三角形內的比例線段

三角形內的比例線段

劉俊傑

一 . 前言

比例的性質在幾何學中, 扮演著相當重 要的角色, 舉凡相似形、 平行線的截線、 角平 分線定理、 圓冪定理、 阿波羅尼斯圓、 托勒密 定理、 黃金分割等, 都能見到比例的蹤影 [1]。

而在近世幾何學, 比例更被廣泛地用來討論 點共線及線共點的問題 [2], 在射影幾何學中, 距離、 角度等最基礎的幾何觀念, 雖然都失去 內在意義, 然而我們仍可見到許許多多線段 與線段間的比例關係式 [3]。

幾乎在每本名為 Modern Geometry 的書中, 我們都可以遇到一個簡潔有力的 定理 — Menelaus 定理, 它是西元前 100 年由亞力山卓城的數學家 Menelaus 所發 現, 但直到近世幾何學興起, 才逐漸地受到重 視, 並在西元 1678 年由義大利數學家 Ceva 給出了對應的 Ceva 定理 [4]。 Menelaus 定理揭發出, 在幾何學中, 三點共線和其所 決定的線段間最基本的比例關係。 (如圖 1)

.

... . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . .

A

B C

D

E F

圖 1

Menelaus 定理: 若且唯若 D, E, F 共線, 則 EA

BE F C AF

DB CD = 1

有了 Menelaus 和 Ceva 定理, 很多共線及 共點的題目, 如重心、 垂心、 內心等的證明, 將會容易許多。

當我們在計算有關三角形內的比例值問 題, 常常會遇到很多繁瑣的計算, 而其運算過 程中, 又有許多相同的步驟。 為了簡化解法, 節省時間, 一套以一般化文字敘述的比例公 式便因應而生。 整個立論的依據在於, 當某些 三角形內線段比例已知的前提下, 我們就可 以確定其它未知的比例值, 而不用考慮這個 三角形的大小、 角度等其它幾何性質。

本文的目的, 就是從 Menelaus 定理出 發, 嘗試建立一套三角形內兩相交線段所引 出的比例關係式, 共計有六組卅七個。 利用這 套公式, 我們將可以迅速地求出三角形內兩 線段的比例, 進而能夠很容易地處理許多有 關三角形中點的共線與兩線的平行等問題。

二 . 比例公式

(一) 首先, 第一組的六個公式, 是討論 一線段上相異四點間的比例關係 (如圖2)。 這 一組是公式中的公式, 稍後在其它組公式的

1

演證過程中, 都要運用到這一組公式。 這組公 式的證明僅需利用合分比的性質即可 [5], 由 於證明方法大致相同, 在此僅就第 1及第 6個 做證明。

.

... ..

.. .. ..

.. .. .. ..

.. .. .. ..

.. .. .. ..

A B C D

圖 2

I-(1) 若 AB BC = a

b, AB BD = c

d, 則 AC

CD = c(a + b) ad − bc 且BC

CD = bc ad − bc。 I-(2) 若 AB

BC = a b, AC

CD = c d, 則 AB

BD = ac bc + ab + bd 且 BC

CD = bc d(a + b)。 I-(3) 若 AB

BC = a b, BC

CD = c d, 則 AB

BD = ac b(c + d) 且 AC

CD = c(a + b) bd 。 I-(4) 若 AB

BD = a b, AC

CD = c d, 則 AB

BC = a(c + d) bc − ab 且 BC

CD = bc − ad d(a + b)。 I-(5) 若 AB

BD = a b, BC

CD = c d, 則 AB

BC = a(c + d) bc 且 AC

CD = ac + ad + bc bd 。

I-(6) 若 AC CD = a

b, BC CD = c

d, 則 AB

BC = ad − bc bc 且AB

BD = ad − bc b(c + d)。 證明: 公式(1) 1. AB

BC = a

b ⇒ AB

AC = a a + b

⇒AC = a + b a AB AB

BC = a

b ⇒BC = b aAB AB

BD = c

d ⇒BD = d cAB CD = BD − BC = ad − bc

ac AB

2. AC CD =

a+b a

AB

ad−bc

ac

AB = c(a + b) ad − bc BC

CD =

b a

AB

ad−bc

ac

AB = bc

ad − bc #

公式 (6) 1. AC

CD = a

b ⇒ AD

CD = a + b b

⇒AD = a + b b CD BC

CD = c

b ⇒ BD

CD = c + d d

⇒BD = c + d d CD AD

BD =

a+b b

CD

c+d

d

CD = d(a + b) b(c + d)

⇒ AB

BD = d(a + b) − b(c + d)

b(c + d) = ad − bc b(c + d)

2. BD BC =

c+d d

CD

c

d

CD = c + d c

⇒BC = c c + dBD AB

BC =

ad−bc b(c+d)

BD

c

c+d

BD = ad − bc

bc #

(二) 現在考慮過三角形頂點及其對邊的 兩條直線 (如圖 3)。 顯然這圖形中只有

^AF _{F D}

,

CE

EA

,

^BF _{F E}

及

^BD

DC

等四個比例, 因此就這四 個比例值列出公式。 這些只要稍微應用一下 Menelaus 定理, 就不難得到它們的證明, 在 此僅就第 1個公式進行說明。

圖 3 II-(1) 若 BD

DC = a b,CE

EA = c d, 則 AF

F D = d(a + b) ac 。 II-(2) 若 BD

DC = a b, AF

F D = c d, 則 CE

EA = d(a + b) ac 。 II-(3) 若 BD

DC = a b,CE

EA = c d, 則 BF

F E = a(c + d) bd 。

II-(4) 若 CE EA = a

b,BF F E = c

d, 則 BD

DC = bc d(a + b)。 證明: 公 式(1) 由 Menelaus 定 理 得 F A

F D EC AE

BD BC = 1 已 知 BD

DC = a b,CE

EA = c d 故 F A

F D c d

a a + b = 1

⇒ AF

F D = d(a + b) ac

(三) 現 在 考 慮, 過 三 角 形 一 頂 點 及 其 對 邊 的 直 線, 和 一 條 過 另 兩 邊 的 截線 (如 圖 4)。 這 兩 種 線 在 幾 何 學 中 分 別 稱 為 Ceva 線 與 Menelaus 線 [6]。

在 這 個 圖 形 中, 很 明 顯 地 共 有 五 條 線 段, 五 個 比 例 值, 如 果 已 知 其 中 的 三 個 比 例 值, 便 可 以 從 而 得 知 其 餘 的 兩 個 比 例 值。 在 此 以 一 般 化 的 公 式, 將 這 幾 個 比 例 值 之 間 的 關 係 表 示 出 來。

圖 4

在 證 明 過 程 中, 使 用 了 一 個 近 世 幾 何 學 中 相 當 好 用 的 定 理 (請 看 圖 4):

BE

EC = AB AC

sin α sin β [6]

III-(1) 若 AD DB = a

b,BE EC = c

d,CF F A = e

f, 則 DG

GF = a(e + f )c (a + b)df。 III-(2) 若 AD

DB = a b,CF

F A = c d,DG

GF = e f, 則 BE

EC = (a + b)de a(c + d)f。 III-(3) 若 AD

DB = a b,BE

EC = c d,CF

F A = e f, 則 AG

GE = af (c + d) ace + bdf。 III-(4) 若 BE

EC = a b,CF

F A = c d,AG

GE = e f, 則 AD

DB = bde

bdf + adf − ace。 III-(5) 若 AD

DB = a b,BE

EC = c d,AG

GE = e f, 則 CF

F A = acf + adf − bde ace 。 證明: 公 式(1)

1. 令

⁶

BAE = α,

⁶

EAC = β, AD = aS, DB = bS, AF = f T , F C = eT

BE

EC = AB AC

sin α sin β

= (a + b)S (e + f )T

sin α sin β = c

d

⇒ sin α

sin β = cT (e + f ) dS(a + b)

2. DG

GF = AD AF

sin α sin β

= aS f T

cT (e + f )

dS(a + b) = a(e + f )c (a + b)df

公 式 (3)

1. 延 長 DF 交 BC 延 長 線 於 H 利 用 Menelaus 定 理

得 F A CF

DB AD

HC

BH = 1 ⇒ f

e b a

HC BH = 1

⇒ HC BH = ae

bf ⇒ HC

BC = ae bf − ae 又 已 知 BE

EC = c

d, 代 入 公 式 I-2 得 BE

EH = bcf − ace bdf + ace

⇒ BH

EH = bf (c + d) bdf + ace

2. 再 應 用 Menelaus 定 理, 知 GA

EG DB AD

HE BH = 1 GA

EG b a

bdf + ace bf (c + d) = 1 AG

GE = af (c + d) ace + bdf

在 此 要 特 別 提 出 說 明, 如 果 一 個 三 角 形 的 比 例 關 係 的 類 型, 在 同 一 平 面 上 旋 轉 後 可 以 代 入 已 得 證 的 公 式, 將 不 再 予 以 敘 述。

但 另 有 些 圖 形, 必 須 要 將 整 個 圖“翻 轉”過 來, 才 能 代 入 已 得 證 的 公 式, 這 種 情 形 就 好 像 從 紙 的 背 面 看 這 個 圖 一 樣, 為 了 避 免 常 常“翻 來 翻 去”, 對 於 這 些 圖 形, 將 列 出 公 式。 例 如 本 組 中 第 五 個 公 式 求

^CF _{F A}

和 第 四 個 公 式 求

^AD _DB

恰 好 是 對 稱 的。 我 們 以 一 直 線 為 對 稱 軸, 作 出 對 稱 圖 形, 在

這 種 轉 換 下, 距 離 沒 改 變, 因 此 對 應 點 的 比 例 值 自 然 是 相 同 的, 此 種 現 象 可 以 用 幾 何 變 換 中 的 反 向 保 距 鏡 射變 換 來 解 釋。[7]

(四) 考 慮 過 三 角 形 兩 邊 的 兩 條 截線, 所 決 定 的 六 個 比 例 值 (如 圖 5)。

這 組 公 式 的 證 明 使 用 了 Menelaus 定 理 及 第 一 組 的 公 式, 值 得 注 意 的 是 第 4, 5, 6 號 公 式, 經 過 鏡 射 變 換 後, 可 分 別 由 第 1, 3, 2 號 公 式 推 導 出 來, 因 此 無 需 再 多 做 證 明。

圖 5 IV-(1) 若 AD

DB = a b,AE

EB = c d,CF

F A = e f, CG

GA = g h, 則 EH

HG = f (g + h)(bc − ad) a(c + d)(f g − eh)。 IV-(2) 若 AD

DB = a b,CF

F A = c d,CG

GA = e f, DH

HF = g h, 則

^AE

EB

=

bhf(c+d)−g(a+b)(de−cf ) ^{af h(c+d)}

。

IV-(3) 若 AE EB = a

b,CF F A = c

d,CG GA = e

f, EH

HG = g h,

則

^AD _DB

=

g(a+b)(de−cf )+bdh(e+f ) ^{adh(e+f )}

。 IV-(4) 若 AD

DB = a b, AE

EB = c d,CF

F A = e f, CG

GA = g h, 則 DH

HF = h(e + f )(bc − ad) c(a + b)(f g − eh)。 IV-(5) 若 AD

DB = a b, AE

EB = c d,CF

F A = e f, DH

HF = g h,

則

^CG _GA

=

h(e+f )(bc−ad)+ceg(a+b) cf g(a+b)

。 IV-(6) 若 AD

DB = a b, AE

EB = c d,CG

GA = e f, EH

HG = g h, 則

^CF

F A

=

aeg(c+d)−h(e+f )(bc−ad) af g(c+d)

。 證明: 公 式(1)

1. 由 已 知AD DB = a

b,AE EB = c 代 入 公 式I-4 d

⇒ AD

DE = ac + ad bc − ad 又 已 知CF

F A = e f,CG

GA = g h 代 入 公 式I-4

⇒ AG

GF =f h + eh

gf − eh ⇒ F A

F G=f h + gf gf − eh

2. 利 用 Menelaus 定 理 知 HE

GH DA ED

F G AF = 1

⇒ HE GH

ac + ad bc − ad

gf − eh f h + gf = 1

⇒ EH

HG = f (g + h)(bc − ad) a(c + d)(f g − eh) 公 式 (2)

1. 已 知CF F A = c

d,CG GA = e

f, 代 入 公 式I-4

⇒ F G

GA = ed − cf f d + f c 又 依 據Menelaus 定 理 知HF

DH GA F G

ED AE = 1

⇒ h g

f d + f c ed − cf

ED AE = 1

⇒ ED

AE = g(ed − cf ) f h(c + d)

⇒ ED

AD = g(de − cf ) f h(c + d) − g(de − cf ) 2. 已 知AD

DB = a b 及ED

AD = g(de − cf ) f h(c + d) − g(de − cf ) 代 入 公 式I-1

得AE

EB =

bf h(c+d)−g(a+b)(de−cf ) ^{af h(c+d)}

#

(五) 考 慮 過 三 角 形 三 邊 的 兩 條 截線, 所 產 生 出 的 六 個 比 例 值 (如 圖 6)。 這 組 公 式 中 第 4, 5, 6 號 公 式 的 比 例 關 係, 經 過 鏡 射 變 換 後 可 代 入 第 1, 2, 3 號 公 式 得 到 證 明。 另 外, 在 第 2 號 公 式 的 證 明 過 程 中, 使 用 了 代 數 方 程 式 的 解 法。

圖 6 V-(1) 若 AD

DB = a b,BE

EC = c d,CF

F A = e f,

CG GA

=

_h ^g

, 則 GH

HE = a(c + d)(f g − eh) (h + g)(bdf + ace)。 V-(2) 若 BE

EC = a b,CF

F A = c d,CG

GA = e f, GH

HE = g h,

則

^AD _DB

=

h(a+b)(de−cf )−acg(e+f ) ^{bdg(e+f )}

。 V-(3) 若 AD

DB = a b,BE

EC = c d,CG

GA = e f, GH

HE = g h, 則 CF

F A = aeh(c + d) − bdg(e + f ) acg(e + f ) + af h(c + d)。 V-(4) 若 AD

DB = a b,BE

EC = c d,CF

F A = e f, CG

GA = g h, 則 DH

HF = (e + f )(acg + bdh) d(a + b)(f g − eh)。 V-(5) 若 AD

DB = a b,CF

F A = c d,CG

GA = e f, DH

HF = g h,

則

^BE

EC

=

g(a+b)(de−cf )−bf h(c+d)

aeh(c+d)

。

V-(6) 若 AD DB = a

b,BE EC = c

d,CF F A = e

f, DH

HF = g h, 則

^CG

GA

= bdh(e + f ) + deg(a + b) df g(a + b) − ach(e + f ) 證明: 公 式(1)

1. 延 長 DF 交 BC 於 I 利 用 Menelaus 定 理 得 知 F A

CF DB AD

IC BI = 1

⇒ f e

b a

IC

BI = 1 ⇒ IC

BC = ae bf − ae。 又 已 知 BE

EC = c d, 代 入 公 式 I-2 ⇒ EC

CI = d(bf − ae) ae(c + d)

⇒

^IC

EI

= ae(c + d) bdf + ace。 2. 由 已 知CF

F A = e f,CG

GA = g h, 代 入 公 式I-4, 得GF

F C = gf − eh eh + eg。 再 由Menelaus 定 理, 知

F G CF

HE GH

IC EI = 1

⇒ f g − eh eh + eg

HE GH

ae(c + d) bdf + ace = 1

⇒ GH

HE = a(c + d)(f g − eh)

(h + g)(bdf + ace) # 公 式 (2)

設

^AD _DB

= x, 已 知

^BE _EC

=

^a _b

,

^CF _{F A}

=

^c _d

,

^CG _GA

=

e

f

,

^GH _HE

=

^g _h

代 入 公 式V-1 得g

h = x(a + b)(de − cf ) (e + f )(bd + acx)

⇒h(a + b)(de − cf )x

= acg(e + f )x + bdg(e + f )

⇒x =

h(a+b)(de−cf )−acg(e+f ) ^{bdg(e+f )}

=

^AD _DB

圖 7

圖 8

(六) 這 組 公 式 的 圖 形 看 似 簡 單 (如 圖 7,8), 但 卻 有 10 個 公 式, 這 是 因 為 此 圖 形 不 具 對 稱 性, GE及F D各 決 定 了 5 個 比 例 值。 但 我 們 只 要 透 過 鏡

射變 換, 就 可 以 將 公 式 (6) 和 公 式 (1) 的 圖 形 視 為 相 同 的 圖 形, 自 然 也 就 只需 要 做 一 次 證 明, 同 樣 的 道 理 也 適用 在 公 式 (2) 和 (7), (4) 和 (8), (3) 和 (9) 及 (5) 和 (10)。

(1) ∼ (5) 請 看 圖 7, (6) ∼ (10) 請 看 圖 8。

VI-(1) 若 AG GB = a

b,BD DC = c

d, BE EC = e

f, 則 AF

F D = ae(c + d) b(de − cf )。 VI-(2) 若 AG

GB = a b,BD

DC = c d, BE

EC = e f, 則 GF

F E = ca(e + f ) (a + b)(de − cf )。 VI-(3) 若 AG

GB = a b,BE

EC = c d, GF

F E = e f, 則 BD

DC = ce(a + b)

af (c + d) + de(a + b)。 VI-(4) 若 AG

GB = a b,BD

DC = c d, GF

F E = e f, 則 BE

EC = c(af + ae + be) de(a + b) − acf。 VI-(5) 若 BD

DC = a b,BE

EC = c d, GF

F E = e f, 則 AG

GB = e(bc − ad)

af (c + d) − e(bc − ad)。 VI-(6) 若 BD

DC = a b,BE

EC = c d, CF

F A = e f, 則 AG

GE = bf (c + d) e(bc − ad)。 VI-(7) 若 BD

DC = a b,BE

EC = c d, CF

F A = e f, 則 F G

GD = df (a + b) (e + f )(bc − ad)。

VI-(8) 若 BE EC = a

b,CF F A = c

d, DG GF = e

f, 則 BD

DC = af (c + d) − bde b(de + df + cf )。 VI-(9) 若 BD

DC = a b,CF

F A = c d, DG

GF = e f, 則 BE

EC = de(a + b) + af (c + d) bf (c + d) 。 VI-(10) 若 BD

DC = a b,BE

EC = c d, DG

GF = e f, 則 CF

F A = de(a + b) − f (bc − ad) f (bc − ad) 。

證明: 公 式(1) 1. 由 已 知 BD

DC = c d,BE

EC = e f 運 用 公 式I-4

得 BD

DE = c(f + e) de − cf

⇒ BE

DE = e(c + d) de − cf 。 2. 依 據 Menelaus 定 理

AF F D

GB AG

ED BE = 1

⇒ AF DF

b a

de − cf e(c + d) = 1

⇒ AF

DF = ae(c + d) b(de − cf )。 公 式 (3)

1. 應 用Menelaus定 理 F E

GF DB ED

AG

BA = 1 ⇒ f e

DB ED

a a + b = 1

⇒ DB

ED = e(a + b) af 2. 因 為BD

DE = e(a + b) af /BE

EC = c d 由 公 式I-2 得 到

BD

DC = ce(a + b) acf + de(a + b) + adf

= ce(a + b) af (c + d) + de(a + b)

三 . 應用

例題 1: 已知 : IA

AJ = JF

F C = CD DI = AH

HF = DG

GA = GB

BH = a, 求證 ABC 三點 共線。

圖 9

證明:因 CD

DI = IA

AJ = JF F C = a 代入公式III-1

⇒ DE EF = a

²

令 CA 交 HG 於 B

^′

已知 AH

HF = DG

GA = a 及 DE EF = a

²

再代入公式III-1

得 GB

^′

B

^′

H = a, 故 B = B

^′

, 得證 A, B, C 共線。 #

例題 2 : 已知:AD

DB = BE

EC = CF F A = a AG

GB = BR

RC = CS

SA = DI IE

= ET

T F = F H HD = c。

求證 (1)CG, F I, EH 三線共點。

(2)

_{M N} ^LM

= a。

(3)△ABC 和 △QP M 共重心。

圖 10 證明:

(1) 已知 BE

EC = CF

F A = AD DB = a 且 EI

ID = 1 c

代入公式V-6, 得 AK KB=CJ

JA= a + c 1 − a

²

c 設 F I 交 EH 於 M,

知 AK

KB = a + c 1 − a

²

c,BE

EC = CF F A = a, CJ

JA = a + c 1 − a

²

c

代入公式V-1, 得 JM

ME = c(a + c)(a + 1) a + c + 1 − a

²

c 令 CG 交 EJ 於 M

^′

知 CJ

JA = a + c 1 − a

²

c,AG

GB = c,BE EC = a 代入公式III-1,

得JM

^′

M

^′

E = c(a + c)(a + 1) a + c + 1 − a

²

c 因此JM

ME = JM

^′

M

^′

E ⇒M = M

^′

故 CG, F I, EH 共點

(2) 由前述得知, AR, F I, DT 共點, EH, DT, BS 共點,

利用 Menelaus 定理 得到 LC

LG SA CS

BG AB = 1

⇒ CL

LG = c(c + 1) 已知 CJ

JA = a + c 1 − a

²

c,AG

GB = c,BE EC = a 代入公式III-3,

得知 CM

MG = (a + c)(c + 1) ac

²

+ 1 再依據 Menelaus 定理 得 NC

GN RB CR

AG AB = 1

⇒ CN

NG = c + 1 c

²

然後將CL

LG, CM MG, CN

NG 經合分比得到 LM

MN = a

圖 11

(3) 令AK

KB = BU

UC = CJ JA = d, AZ, QY, CV 是中線(如圖11) 已知BU

UC = d,CF

F A = a,AD DB = a, AK

KB = d 代入公式V-1 得 KQ

QF = JM

ME = d(a + 1)(d − a) (d + 1)(1 + a

²

d) 另由 AK

KB = d,BE

EC = CF F A = a, CJ

JA = d 代入公式V-4 得 KM

MF = JP

P E = (a + 1)(1 + ad

²

) (d + 1)(d − a) 再由 AK

KB = d, BZ

ZC = 1, CF F A = a 代入公式III-1

得 KX

XF = d(a + 1) d + 1 綜合 KQ

QF , KM MF, KX

XF 有 QX

XM = d(a

²

d − d + a + 1) ad

²

+ ad − d

²

+ 1

由 Menelaus 定理, 得 W E

JW ZC EZ

AJ CA = 1

⇒ W E JW

a + 1 1 − a

1 d + 1 = 1

⇒ JW

W E = a + 1 (d + 1)(1 − a),

由前述知

^{J M}

M E

,

_{P E} ^{J P}

, 再經過合分比計算出

MW

W P = ad

²

+ ad − d

²

+ 1 ad

²

−a

²

d

²

−d + 1 已知

^{M Y}

Y P

= 1, 代入公式 I-4, 有 MY

Y W = 2ad

²

−a

²

d

²

+ ad − d

²

−d + 2 ad − d

²

+ a

²

d

²

+ d

⇒ MW

Y W = 2(ad

²

+ ad − d

²

+ 1) d(a

²

d − d + a + 1)

因為 O 是 △QP M 的重心,

^OQ _{Y O}

=

² ₁

綜合 以上結果,

OQ Y O

XM QX

W Y MW = 2

1

ad

²

+ ad − d

²

+ 1 d(a

²

d − d + a + 1)

× d(a

²

d − d + a + 1) 2(ad

²

+ ad − d

²

+ 1) = 1

依據 Menelaus 定理, 知 X, O, W 共線, 故 O 在中線 AZ 上。 同理可知 O 在中 線CV 上, 所以 △ABC 和 △QP M 共重

心。 #

四 . 結語

平面幾何學是第一套結構細緻, 組織龐 大, 推理嚴謹的數理公設系統。 從幾個不證自 明的公設作為磐石, 以邏輯演繹的方法, 推導 衍生出環環相扣, 形形色色的定理, 如畢氏定 理、 中線定理、 歐拉定理... 等, 然後再運 用這些定理, 推演出其它眾多的定理, 也可以 解決一些實際生活中的幾何問題。

本文中所列的 37個“公式”, 在後續的幾 篇文章中, 將扮演著基礎定理的角色, 只要 是有關於三角形兩相交線段的比例求值問題, 都可以應用這套公式迅速地獲得解決。

參考資料

1. 九章編輯部譯, “幾何學辭典”, 九章出版社, 1986, P.932-943。

2. D. R. Davis, “Modern College Geome- try”, 1949.

3. Otto Schreier, “Projective Geometry of n dimensions”, Chelsea Publishing Company, 1985。

4. Roger A. Johnson, “Advanced Eucli- dean Geometry”, Dover Publications, INC. 1960, P.145-149。

5. 孫文先, “平面幾何”, 九章出版社, 1986, P.31。

6. Howard Eves, “A Survey of Geometry”, Vo1.1, P.67-68。

7. 趙文敏, “幾何學概論”, 九章出版社, 1986, P.77-103。

—本文作者任教於省立西螺農工—