單純同倫算法的翼狀伸延道路
王則柯
不識廬山真面目 , 只緣身在此山中。
— 蘇軾 : 《題西林壁》
近年研習向量標號的單純同倫算法, 有 一項“初識廬山真面目”的心得。 不久前訪問 美國耶魯大學時, 專門向單純算法的創始人 報告, 得到驚喜的讚賞。 謹不揣淺陋, 精心述 作, 期與諸君分享。
同倫方法基本思想
設 f : Rn → Rn 是歐氏空間的自映 照, 這裡, 對於 x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, f(x) = (f1(x), . . . , fn(x)) ∈ Rn。 如果 x ∈ Rn 使得 f (x) = 0 ∈ Rn, 就說 x 是映照 f 的零點。 解方程組
f1(x1, . . . , xn) = 0, ...
fn(x1, . . . , xn) = 0, 也就是求映照 f 的零點。
f 可能很複雜。 人們想到從一個簡單的 輔助的映照 g 開始, 逐漸過渡到 f 。 為了過 渡, 就按照比方說
H(t, x) = tg(x) + (1 − t)f (x)
確定同倫 H : [0, 1]×Rn→ Rn。 固定 t = 1 時, H 和 g 一樣; 隨著同倫參數 t 的下降, H 逐漸接近 f ; 當到達 t = 0 時, H 就和目標 映照一致。 所以, H 是連接 g 和 f 的一個同 倫。
設 x1 是輔助映照 g 的已知零點, 則 (1, x1) 是同倫 H 的零點。 如果從 (1, x1) 出 發, 沿著同倫 H 的零點集
H−1(0) = {(t, x) ∈ [0, 1]×Rn: H(t, x) = 0}
走, 同倫參數 t 下降到 0, 得到一點 (0, x0), 那麼 H(0, x0) = f (x0) = 0, 可見 x0 ∈ Rn 就是欲求的映照 f 的零點。 這就是同倫方法 (Homotopy Methods) 的基本思想。 同倫方 法在純粹數學和應用數學都有用武之地。 如 果著眼於數值計算, 亦常稱為同倫算法 (Ho- motopy Algorithms)。
實現上述基本思想, 主要有兩種途徑。
一是當 f 和 g 都光滑, 並且 0 ∈ Rn 同 時是光滑映照 g 和 H 的正則值時, H−1(0) 由若干簡單的光滑曲線組成。 從數學上講, 由
1
上述 (1, x1) 出發沿著一條簡單光滑曲線走, 是完全確定的事, 可以用歐拉 (Euler) 折線 法、 預估校正法 (predictor-corrector) 等 多種方法實現。 按照這樣的想法, 發展起連續 同倫算法 (continuation homotopy algo- rithms, 參看 《數學傳播》 第十八卷第二期 關於同倫方法的文章)。
另一種途徑, 就是對 n + 1 維空間 [0, 1] × Rn 做單純剖分 (simplicial trian- gulation), 也就是把 [0, 1]×Rn分割為一個 一個正則相處的 n + 1 維單形 (simplices), 定義映照
φ : [0, 1] × Rn → Rn
如下: 在單純剖分的所有頂點 (vertices) 上, φ 和 H 取值一樣; 在剖分的每個單形上, φ 是仿射的 (affine)。 容易知道, 當 H 和 [0, 1] × Rn 的單純剖分 T 確定以後, 上述 φ 是唯一地確定的。 我們稱映照 φ 為同倫 H 關 於剖分 T 的單純逼近 (simplicial approxi- mation), 或 PL(piecewise linear, 分片線 性) 逼近。 關於單純剖分的詳細討論, 可看代 數拓樸 (algebraic topology) 的入門著作, 亦可參看拙著 [7]。
由於 H 連續, 所以當剖分 T 很細緻時, 在任何有界區域裡, φ 的零點集
φ−1(0) = {(t, x) ∈ [0, 1]×Rn: φ(t, x) = 0}
和同倫 H 的零點集 H−1(0) 就很接近。 這 樣, 設想 φ 的零點集 φ−1(0) 也都由簡單 曲線組成, 那麼由於 φ 在每個單形上是仿射 的, 所以這些簡單曲線都是簡單折線 (bro- ken lines)。 從 φ 在 t = 1 處的某個零點
(1, x1) 出發, 沿著 φ 的零點集 φ−1(0) 中的 相應折線走, 如果同倫參數 t 下降到 0, 得 到一點 (0, x0), 那麼 x0 就是 f 的近似零點 (圖 1)。 按照這樣的想法, 發展起單純同倫算 法 (simplicial homotopy algorithms)
圖1
問題 是, φ 的 零 點 集 φ−1(0) 可 能 相 當 複 雜, 特 別 是 並 不 都 由 簡 單 折 線 組 成, 這 就 使 得“沿 著 φ−1(0) 的 折 線 走”, 成 為 一 件 難 以 把 握 的 事 情。
零點集的困難
φ 的零點集 φ−1(0) 可能相當複雜, 指
的是, φ−1(0) 不但不是由簡單折線組成, 而 且在維數上也不整齊。φ−1(0) 在這裡可能是 0 維, 在那裡可能是1維, 在別的地方可能是2 維、3維、 一直到 n + 1 維。 具體來說, φ−1(0) 一般是一個變維數複形的多面體 (polyhe- dron of a simplicial complex of variable dimensions).
在本文中, Rn 中p + 1個仿射無關 (affinely independent) 的點 a0, . . . , ap 的 凸包的相對內部 (relative interior), 是一個 p 維單形, 記作 < a0, . . . , ap>, a0, . . . , ap 就是這個單形的頂點。 單形有良好的幾何性 質。 首先, 用一個超乎面去切一個單形, 切痕 (交) 必是一個單形。 其次, 在 Rm 中用一個 p 維超平面去切一個 m 維單形, 只要切著了, 切痕 (交) 不但是一個單形, 而且一定是一個 p 維單形。 這樣兩個簡單的幾何事實, 在下面 的討論中將起重要作用。 除了單形以外, 球體 (ball) 的幾何性質也很好。 但是, 尺寸一致的 單形可以分割空間, 球體卻不能。
如果 σ 和 τ 都是單形, 並且 τ 的頂點都 是 σ 的頂點, 就說 τ 是 σ 的一個面 (face)。
如果 τ 是 σ 的面, 並且 τ 的維數比 σ 的維數 小 1, 就特別稱 τ 是 σ 的一個界面 (facet)。
按照上述定義, σ 也是 σ 自己的面。 所以, 有 時我們把 σ 的異於自身的面, 叫做真面。 例 如, 設 σ =< a0, a1, a2 >, 那麼 σ 有 7 個 面, 其中 6 個真面是 < a0, a1>, < a1, a2>,
< a2, a0> 和 < a0>, < a1>, < a2>, 前面 3 個是 σ 的界面。
因為我們採用相對開的 (relatively open) 單形的概念, 所以若干單形正則相處,
指的是它們在幾何上互不相交。 正則相處的 若干單形組成的集合 T 如果滿足下述條件, 就叫做一個單純複合形 (simplicial com- plex), 簡稱複形: 設 σ 是 T 的元素, 而 τ 是 σ 的面, 那麼 τ 也是 T 的元素。 複形中 維數最高的單形的維數, 就叫做複形的維數 (dimension)。
複形是一個代數對象, 其元素是單形。
單形作為一個幾何體是一個點集。 複形中全 體元素 (單形) 作為點集的併, 叫做該複形的 多面體 (polyhedron)。 反過來, 複形叫做它 的多面體的單純剖分。 所以, 做單純剖分, 就 是把空間 (多面體) 分割為幾何性質很好的單 形。
如果一個 p 維複形的每一個元素都是某 個 p 維元素的面, 就稱這個複形是齊次的 p 維複形。[0, 1] × Rn 的任何單純剖分, 都是一 種特別好的齊次的 n + 1 維複形。 對於齊次 複形, 我們約定單形專指它的最高維的元素, 這些單形的面和界面, 都直稱為複形的面和 界面。 這樣, [0, 1] × Rn 的任一單純剖分的 每個 ( n 維) 界面, 頂多是兩個 ( n + 1 維) 單形的面。 具體來說, [0, 1] × Rn 的單純剖 分的界面有兩種: 位於 [0, 1] × Rn 的邊界 {0, 1} × Rn = {0} × Rn∪ {1} × Rn 的 每個界面都只是一個單形的面, 其餘的每個 界面都恰好同時是一對單形的面 (參看 [7])。
這是 [0, 1] × Rn 的單純剖分的主要性質。
相反, 如果在一個 p 維複形中, 有一個 頂點 (0 維單形) 不是任何一個 p 維單形的 面, 就說這個複形是一個變維數複形。
現在我們證明, 上一節定義的映照 φ 的 零點集 φ−1(0), 一定是一個複形的多面體:
設 τ ∈ T , 總可以找到 T 中一個 n + 1 維單形 σ, 使得 τ 是 σ 的面。 在 σ 上, φ|σ : σ → Rn 是仿射映照。 因為 σ ⊂ [0, 1] × Rn⊂ R × Rn, φ|σ : σ → Rn, 可以 仿射地擴張為 F : R × Rn → Rn。 因為 F 是仿射映照, 其核 F−1(0) 就是 R×Rn中的 一個超平面。 明顯, φ−1(0)∩τ = F−1(0)∩τ , 等式右端作為超平面與單形的交, 仍是一個 單形。
因為 T 中各維單形都正則相處, 即都不 相交, 就得到 φ−1(0) 的一個分割 φ−1(0) =
∪τ ∈T(φ−1(0) ∩ τ ), 所以 φ−1(0) 是複形 {φ−1(0) ∩ τ : τ ∈ T } 的多面體。 證畢。
那麼, φ−1(0) 的困難在哪裡呢? 在於它 通常是一個變維數複形的多面體! 而且, 即
使 φ−1(0) 的某個部分是齊次 1 維的, 這個 部分也不一定由簡單折線組成。 例如在圖2的 n = 1 的情形, 設 φ : [0, 1] × R → R 在剖分 T 的頂點上取值如圖所示, 就可知 φ−1(0) 如粗黑線和陰影所示, 是分成 6 個 連通片的一個變維數複形的多面體, 在不同 的地方的維數分別是 0,1 和 2。 對於一般的 n, φ−1(0) 在不同的地方可以分別具有維數 0, 1, . . . , n + 1。 在圖2中, 遇到分叉交叉, 究 竟往哪裡走好呢? 更不必說遇上高於 1 維的 部分了。 這種不知道往哪裡走的不確定性, 破 壞了 φ−1(0) 只由簡單折線組成的設想, 破 壞了沿折線走的算法的可行性 (feasibility)。
這就是零點集 φ−1(0) 的困難。
圖2
理想化假設和小擾動技巧
單純同倫算法的直接激勵, 是沿著 φ 的零點集 φ−1(0) 走。 但是這有困難, 因為 φ−1(0) 並不只由不分叉的簡單折線組成。 為 使 φ−1(0) 只包含不分叉的簡單折線, 數學家 們提出 φ−1 (0) 不和 T 的低維面相交的理 想化假設[2,3]。 前已約定, 剖分 T 的“單形”專
指 n + 1 維單形, “界面”專指 n 維面, 現 再把維數低於 n 的面, 都統稱為“低維面”。
這時易知, 在 φ−1(0) 不和剖分 T 的低維 面相交的理想化假設之下, 對於上節證明中 由 φ|σ : σ → Rn 仿射擴張而得的仿射映 照 F : R × Rn, 其零點集 F−1(0) 必須 是 1 維的一條直線。 這樣一來, φ−1(0) 就一
定是一個維數不超過1的複形的多面體, 於是 φ−1(0) 只由若干簡單折線組成。
事實上, 在理想化假設之下, φ−1(0) 的 折線和一個界面的交, 必定是界面的內點。
這是不發生交叉和分叉的幾何保證。 進一步, 因為折線和各界面的交點必是該界面的內點, 所以按照 [0, 1] × R 的單純剖分的主要性質, 除了折線走到 {0}×Rn或 {1}×Rn的情形 以外, 折線是不會中途停下來的。 由此可見,
如圖 3, 在理想化假設之下, φ−1(0) 的每個連 通分支, 都是簡單折線。 沿著這些折線走, 在 數學上說來是完全確定的事, 也就是說, 算法 的可行性成立。 剩下的問題, 是從 t = 1 處 開始的折線是否到達 t = 0 處。 這已超出本 文關於可行性的論題, 屬於計算收斂性討論 的範圍。 如果你讀過本刊十八卷第二期上關 於同倫方法的文章, 就知道只要這些折線是 有界的和單調的, 計算收斂性就成立。
圖3 理 想 化 假 設 是 否 合 理 呢? 對 此, 數 學 家 仿 照 薩 德(Sard) 定 理[5]證 明 了, 在 某 種 意 義 上 說, φ−1(0) 不 和 T 的 低 維 面 相 交, 是 一 個 滿 概 率 (full probability) 事 件[2,3,4]。 換 言 之, 不 理 想 的 情 況 雖 然 可 能 發 生, 但 是 發 生 的 機 率 等 於 0。 這 個 證 明 的 思 想 在 幾 何 上 是 清 楚 的: 首 先, 適 當 選 取 輔 助 映 照, 可 以 使 得 φ 在 t = 1 處 的 零點 不 和 T 的 低 維 面 相 交。 這 樣 一
來, t = 1 處 的 每 個 界 面 內 頂 多 只 有 一 個 零 點, 從 而 φ 在 t = 1 處 的 零點 數 目 可 數。 然 後, 從 φ 在 t = 1 上 的 每 個 零點 出 發, 折 線 穿 過 一 個 n + 1 維 單 形 向 對 面 的 某 個 界 面 射 去。 很 明 顯, 當 折 線 以 隨 機 的 方 向 這 樣 射 去 的 時 候, 射 中 n 維 界 面 的 內 部 的 概 率 是 1, 射 中 低 維 面 的 概 率 是 0。 這 樣 一 段 一 段 射 過 去, 每 次 射 中 低維 面 的 概 率 都 是 0, 而 折 線 這 樣 一
段 一 段 行 進 的 過 程 當 然 是 一 個 可 數 的 過 程, 可 數 個 零 測 度 集 合 之 併 集 還 是 測 度 為 零 的 集 合, 所 以 每 條 折 線 遇 上 低 維 面 的 概 率 為 0。 另 一 方 面, 折 線 的 數 目 可 數, 所 以 再 用 一 次“可 數 個 零 測 度 集 合 之 併 集 還 是 零 測度 集 合”, 就 知 道 只 要 適 當 選 取 補 助 映 照, 理 想 化 假 設 成 立 的 概 率 應 當 是 1。 這 就 是 關 於 理 想 化 假 設 的 合 理 性 的 數 學 論 證。
另外一 些 數 學 家 引 進 所 謂 小 擾 動 技 巧, 來 保 證 理 想 化 假 設 成 立[1]。 什麼 叫 小 擾 動? 在 上 述 折 線 的 隨 機 行 進 之 中, 射 中 低 維 面 的 概 率 雖 然 是 0, 但 還 是 可 能 射 中 的。 射 中 了 怎 麼 辦? 偏 轉 一 點 點 就 是 了。 低 維 面 是 不 超過n − 1維 的, 而 界 面 則 是n維, 界 面 在 維 數 上 占 有 絕 對 優 勢。 所 以, 原 來要 射 中 低 維 面, 那 麼 你 把 它 擾 動 一 點 點, 就 可 以 不 打 在 低 維 面 上。 這 樣, 必 要 時 就 擾 動 一 下, 就 可 以 保 證 理 想 化 假 設 成 立。
平 心 而 論, 理 想 化 假 設 的 提 出, 很 有 歷 史 意 義, 這 主 要 是 使 得 問 題 變 得 可 以 把 握。 至 於 實 際 問 題 符 合 理 想 化 假 設 的 概 率 為 1 的 論 證, 雖 然 在“機 會 均 等”的 前 提 下 邏 輯 上 站 得 住 腳, 卻 難 以 令 人 完 全 信 服。 現 實 世 界 同 類 事 件 的 發 生 究 竟 是 否“機 會 均 等”, 實 在 大 可 懷 疑。 以 整 數 為 例, 因 為 整 數 集 是 無 限 的, 如 果 機 會 均 等, 隨 機 地 選 中 任 何 預 先 指 定
的 整 數 的 概 率 理 應 是 0。 但 是 讀 者 不 妨 到 大 街 上 試 試, 恐 怕 抽 樣 不 到 100 人, 就 會 有 人 說 出“10”這 個 整 數 來。 可見 就 這 個“整 數 大 街 抽 樣”試 驗 數 學 模 型 而 言, 機 會 均 等 的 前 提 難 以 成立。 數 學 本 身 也 有 這 樣 的 例 子。
如 果 把 多 項 式 和 它 的 係 數 向 量 (或 根 向量) 視 同, 在 所 有 係 數 向 量 (或 根 向量) 出 現 的 概 率 都 相 等 的 前 提 下 , 很 容 易 從 邏 輯 上 推 論 出 在 所 有 多 項 式 之 中, 有 重 根 的 多 項 式 所 占 的 份額 測 度 為 0 的 結 論。 但 是 正 如 一 些 學者 指 出 過 的, 實 際 問 題 中 出 現 有 重 根 的 多 項 式 的 概 率 看 來 遠 遠 大 於 0。 至 於 小 擾 動 技 巧, 不 但 理 論 上 未 盡 人 意, 而 且 實 際 做 起 來 也 是 件 麻 煩的 事。 雖 說 按 機 會 均 等 的 假 設, 擾 動 成 功 的 概 率 是 1, 但 是 實 際 上 失 敗的 可 能 卻 遠 不 等 於 0。
幸 運 的 是, 就 向 量 標 號 的 單 純 同 倫 算 法 來 說, 理 想 化 假 設 其 實 是 多餘 的, 從 而 小 擾 動 技 巧 也 毫 無 必 要。 這 是 眼 睛 只 盯 著 零 點 集 φ−1(0) 的 結 果。 眼 光 移 開 一 點, 天 地 就 豁 然 開 朗。 我 們 將 分 述 如 次。
n 階撓曲線揭真諦
設 ε 是一個正數。 稱
J(ε) = {(s, s2, . . . , sn)T ∈ Rn : 0 < s < ε}
為 Rn 中一段標準 n 階撓曲線。 注意, 我們 對 ε > 0 的大小沒有要求, 也就是說, 標
準 n 階撓曲線的實際伸延長度是無所謂的。
但是, 它必須是以原點0為一端的那樣一段曲 線, 而原點 0在 J(ε) 的上述表示式中理應相 當於 s = 0。 一段標準 n 階撓曲線在非退化 (nondegenerate) 仿射變換下的像, 稱為一 段 n 階撓曲線。 當然, 標準 n 階撓曲線是 n 階撓曲線。
關 於 n 階 撓 曲 線 的 一 個 基 本 的 幾 何 事 實 是: 如 果 某 個 單 形 包 含 一 段 n 階 撓 撓 曲 線, 那 麼 這 個 單 形 的 維 數 至 少 是 n。
如 前, 設 T 是 [0, 1] × Rn 的 單 純 剖分, φ : [0, 1] × Rn → Rn 是 關 於 T 的 單 純 映 照 或 P L 映 照, 即 φ 在 T 的 每 個 單 形 上 都 是 仿 射 映 照。 若 v 是 剖 分 T 的 (單 形 的) 一 個 頂 點, 就稱 φ(v) ∈ Rn 是 頂 點 v 的 向 量 標 號。 若 τ =< v0, . . . , vn > 是 T 的 一 個 界 面, 如 果 τ 的 各 項 點 的 向 量 標 號 φ(v0), . . . , φ(vn) 的 凸 包 包 含 Rn 的 原 點 0, 就 說 τ 是 一 個 含 零 界 面; 如 果 τ 的 各 頂 點 的 向 量 標 號 的 凸 包 包 含 一 段 標 準 n 階 撓 曲 線, 就 說 τ 是 一 個 完 備 界面 (a complete facet)。 若 σ 是 剖 分 T 的 一 個 單 形, 則 當 σ 有 含 零 界 面 時, 稱 σ 是 含 零 單 形, 當 σ 有 完 備 界 面 時, 稱 σ 為 完 備 單 形。
因 為 有 限 個 點 的 凸 包 (convex closure) 是 閉 集, 所 以 完 備 界 面 一 定 是 含 零 界 面, 完 備 單 形 一 定 是 含 零 單 形。 但 是 反 之 不 然。 最簡 單 的 例 子 是, 如 果 φ(v0) = · · · = φ(vn) =
0, 那 麼 τ =< v0, . . . , vn > 是 含 零界 面 而 不 是 完 備 界 面。 事 實 上, 當 φ(v0), . . . , φ(vn) 的 凸 包 包 含 一 段 n 階 撓曲 線 時, φ(v0), . . . , φ(vn) 一 定 仿 射 無 關, 所 以 它 們 張 成 一 個 n 維 單 形
< φ(v0), . . ., φ(vn) >。 這 時, 注 意 單 形 和 J(ε) 按 照 定 義 都 是 相 對 開 的, 就 知 道J(ε) ⊂< φ(v0), . . ., φ(vn) >。 可 見, 完 備 界面 的 特 徵 (充 分 必 要 條 件) 是, 它的 n + 1 個 頂 點 的 向 量 標 號 在 Rn 中 仍 然 張 成一 個 n 維 單 形, 並 且 這 個 單 形 內 含一 段 標 準 n 階 撓 曲 線。
此 外, 把 φ 局 限 在 完 備 界 面 τ =<
v0, . . . , vn>, 就 給 出 仿 射 同 胚 (affine homeomorphism) φ|τ : τ → φ(τ ) =<
φ(v0), . . . , φ(vn) >。
稍許 值 得 提 醒 的 是, 由 於 所 說 的 界 面 和 單 形 都 是 相 對 開 的, 所 以 含 零 界 面 和 含 零 單 形 本 身 不 一 定 有 φ 的 零 點, 但 是 其 閉 包 (closure) 上一 定 有 φ 的 零 點。 同 樣, 完 備 界 面 和 完 備 單 形 的 閉 包 上一 定 有 φ 的 零 點。
至 此 我 們 知 道, 含 零 單 形 和 完 備 單 形 都 在 閉 包 的 意 義 上 把 φ 的 零點 抓 住, 這 為 實 現“沿 著 φ 的 零 點 集 φ−1(0) 走”的 想 法 展 現 了 前 景。 前 已 闡 明, φ−1(0) 作 為 原 點 的 原 像 可 能 相 當 複 雜, 如 果 沒 有 理 想 化 假 設, φ−1(0) 本 身 並 不 是“沿 φ−1(0) 走”的 良 好 基 礎。 這 使 我 們 轉 而 考 慮 標 準 n 階 撓 曲線 J(ε) 的 原 像 φ−1(J(ε))。 有 趣
的 是, 雖 然 曲 線 J(ε) 比 原 點 (只 是 一 個點) 複 雜, 但 J(ε) 的 原 像 φ−1(J(ε)) 卻 比 原 點 的 原 像 φ−1(0) 便 於 把 握。
正 是 關 於 φ−1(J(ε)) 的 幾 何 討 論, 最 終 揭 示 了 向 量 標 號 單 純 同 倫 算 法 的 無 例 外 的 可 行 性, 再 也 不 必 求 助 於 理 想 化 假 設 和 小 撓 動 技 巧。
完備單形都恰有一對完備界面
按照定義, 含零單形都有含零界面。 那 麼, 一個含零單形有幾個含零界面呢? 如果 正好是一對, 那麼一個含零界面做進口, 另一 個含零界面做出口, 算法就不會迷失方向, 可 行性就成立。 可惜不是這樣。 上一節的簡單例 子中, 含零單形的所有界面就都是含零界面。
這樣, 如果從一個含零界面進入了這個含零 單形, 再怎麼走下去呢? 有許多個門口要選 擇, 難免無所適從。
完備單形卻好得多, 每個完備單形都不 多不少正好有一對完備界面。 下面我們就通 俗地說說這一證明的幾何思想, 嚴格的討論 可見 [8]和 [6]。
設 σ 是一個完備單形, 那麼按照定義 σ 已有一個完備界面, 把它記作 τ 。 這樣, J(ε) ⊂ φ(τ ) 對於某個 ε > 0 成立說明, φ|τ : τ → φ(τ ) ⊂ Rn 是一個仿射同胚映 照, 是一個滿秩 (of full rank) 的仿射變換, 從而 φ|σ : σ → Rn 是一個滿秩的仿射變 換。
σ 是 n+ 1 維的單形, 有 n + 2 頂點和 n+ 2 個界面。 記 σ 的拓樸邊界 (topologi- cal boundary) 為 ∂σ, 那麼 ∂σ 由這 n + 2
個界面和它們的低維面組成。 φ|σ : σ → Rn 是從 n + 1 維空間到 n 維空間的滿秩的仿射 變換。 想像 σ 是一個有稜有角的凸球體, 那 麼 φ 把球殼或球面 ∂σ 壓平在 Rn 上。 因 為 J(ε) ⊂ φ(τ ), τ 是 ∂σ 的一部分, 所以 φ(∂σ) 把 J(ε) 蓋住。 但 φ 把有稜有角的凸 球面壓平在 Rn 上蓋住 J(ε), 那就一定要兩 層蓋住。 必要時縮小 ε > 0, 就知道一定還 有一個界面 τ′, 也使得 J(ε) ⊂ φ(τ′)。 所 以, 每個完備單形都有一對完備界面。 會不會 有第三個完備界面呢? 不會。 否則 φ(∂σ) 就 要三層複蓋在 Rn 上了, 這將和 φ 是滿秩映 照而 ∂σ 是凸球面的事實矛盾。
非退化直紋面片
現在看看標準 n 階撓曲線在完備單形中 的原像。
設 σ 是完備單形, 它的一對完備界面 是 τ1 和 τ2, 那麼按定義, 有正數 ε1 和 ε2 使得 J(εi) ⊂ φ(τi), i = 1, 2。 取 ε = min{ε1, ε2}, 就有 J(ε) ⊂ φ(τ1) ∩ φ(τ2)。
φ 在 σ 上的局限 φ|σ : σ → Rn 是仿 射的, 可以唯一地擴張成為全空間 R×Rn上 的仿射映照 F : R × Rn→ Rn。 由於 F 將 σ 的界面 τ1 映成 Rn 中的 n 維單形 φ(τ1), 所以 F 映滿整個 Rn, 從而這個仿射映照的 核 F−1(0) 是 R × Rn 中的一條直線。
對於任何固定的 s > 0, 定義 Fs : R × Rn → Rn 為
Fs(t, x) = F (t, x) − (s, . . . , sn)T, 那麼 Fs 也是仿射的滿映照, 從而 Fs−1(0) 也 是 R × Rn 中的一條直線。 按 Fs 的作法, 我
們知道對於 0 < s < ε, 直線 Fs−1(0) 和 n+ 1 維單形 σ 之交非空。 這時, 再注意 σ 是相對開的, 就知道 Fs−1(0) ∩ σ 是長度非零 的開線段。 最後注意
φ−1(F (ε)) ∩ σ = [
0<s<ε
(Fs−1(0) ∩ σ), 就知道 φ−1(J(ε)) 在 σ 中是一個直紋面片, 只和 τ1, τ2 這兩個界面相交, 其交分別是 τ1 和 τ2 上的 n 階撓曲線 φ−1(J(ε)) ∩ τ1 和 φ−1(J(ε)) ∩ τ2, 並且這個直紋面片是非退化 的, 即直紋面的每條直母線和 σ 的交都具有 正的長度。
在每個完備單形中, J(ε) 的原像是一 片非退化直紋面片, 恰和兩個完備界面相交, 交線是 n 階撓曲線。 把這樣一段一段非退化 直紋面片接起來, 就是向量標號單純同倫算 法的道路。 如果約定把 ε 看作是可以逐段變 化的小正數, 那麼可以說, 標準 n 階撓曲線 J(ε) 的原像集 φ−1(J(ε)) 中的連通分支, 就 是向量標號單純同倫算法的道路。
完備單形都恰有一對完備界面。 完備界 面如果在 {0, 1} × Rn, 則只屬於一個完備單
形, 如果在 (0, 1) × Rn 上, 則屬於一對完備 單形。這樣, 上述連通分支相應的完備界面和 完備單形的交錯序列 (無限或有限) 是這個樣 子:
. . . , τk−1, σk, τk, σk+1, σk+1, . . . , 而作為點集, 道路 φ−1(J(ε)) 被完全包含在 [0, 1] × Rn 的 n + 1 維開集 ∪i(τi∪ σi) 中, 從而, 不同的道路互不相交。 每條道路與相應 的序列 . . . , τk−1, σk, τk, . . . 同步發展, 構成 一幅栩栩如生的圖畫。(見圖 4)
圖 4 是 所 論 直 紋 面 片 的 若 干 典 型 例 子。 有 趣 的 是, 雖 然 按 定 義 不 包 含 邊 界 的 直 紋面 片 φ−1(J(ε)) ∩ σ 不 退 化, 但 是 它 的 s = 0 那 一 端 的 邊 界 稜可 以 退 化, 如 圖 4(e)。 雖 然 直 紋 面 片 φ−1(J(ε)) 只 和 完 備 單 形 的 一 對 界 面 相 交, 但 它 相 應 於 s = 0 的 邊 界 稜既 可 能 不 和 任 何 界 面 相 交, 如 圖 4(d)(e), 又 可 能 和 3 個、4 個, . . ., 甚 至 所 有 界 面 的 閉 包 相 交, 如 圖 4(b)(c)(d)。
(a) (b) (c) (d) (e)
圖4
圖5 問 題 就 在 邊 界 稜 上。 正 是 因 為 老 是 盯 著 邊 界 稜 即 算 法 的 原 始 激 勵 φ−1(0) 上, 人 們 才 窮 於 應 付, 只 好 借 助 理 想 化 假設 和 小 擾 動 技 巧。 現 在 轉 而 觀 察 φ−1(J(ε)), 看 起 來 離 開 φ−1(0) 了, 反 而 豁 然 開 朗, 得 窺 真 諦。
這 是 0 距 離 的 轉 移, 因 為 φ−1(J(ε)) 和 φ−1(0) 雖 然 並 不 相 交, 卻 緊 緊 挨 著。
翼狀二維結構使道路暢通
現在整體地看看非退化直紋面片的道路 是怎樣引導計算進行的。 圖 5 是圖 2 的繼續, 這時 n = 1。 因為 n = 1 時的 J(ε) 只是一 個開區間, 所以直紋面片 φ−1(J(ε)) ∩ σ 平 坦, 只從 φ−1(0) 向 φ 值的正方向滲延一點 點, 在圖5中用波紋線表示。 圖中清楚地看到, φ−1(J(ε)) 有6個簡單的連通分支, 可以作為 可行計算的道路。 雖然只有兩條道路從 t = 1 走到 t = 0, 但幾何上不交叉和無分叉, 保證 計算的可行性對所有6條道路都成立。 至於是 否從 t = 1 走到 t = 0, 是收斂性的問題, 不 是本文討論的可行性問題。
圖 5 中 C 點和 D 點, 都是沿 φ−1(0) 走 的話叫人無所適從的地方, 現在 φ−1(J(ε)) 揭示了道路之所在, 涇渭分明, 暢通無阻。 如 果像以前那樣認 φ−1(0) 作道路, 那麼 AB 稜和 CB 稜其實各被走了兩次 (在 n > 1 情形, 可以被走過更多次)。 這些無所適從和 重複使用的情況, 正是可行性困難的根源。 現 在轉而以 φ−1(J(ε)) 為道路, 一切迎刃而解。
圖6
當 n > 1 時, 每 個 非 退 化 直 紋 面 片 都 是 撓 曲 的, 宛 如 一 片 飛 機 翅 膀, 不 再 平 坦。 所 以, 我 們 把 φ−1(J(ε)) 道
路 叫 作 分 段 翼 狀 道 路。 它 們 像 高 架 公 路 系 統。 零 點 集 φ−1(0) 作 為 高 架 公路 系 統 的 邊 界 稜, 重 合 在 一 起, 但 是 相 應 的 分 段 直 紋 面 片“公 路”, 卻 能 順利 地 擦 邊 而 過, 相 安 無 事。
多 麼 美 妙 的 高 架 公 路 系 統。 急 功 近 利, 緊 盯 著 算 法 的 直 接 激 勵 φ−1(0) 不 放, 使 人 們 的 眼 睛 長 期 蒙 上 迷 霧。 不 識 廬 山 真 面 目, 只 緣 身 在 此 山 中。 信 哉! 只 有 把 著 眼 點 從 φ−1(0) 移 到 φ−1(0), 從 含 零 單 形 移 到 完 備 單 形, 從 1 維 折 線 移 到 2 維 分 段 翼 狀 道 路, 才 能 洞 察 向 量 標 號 單 純 同 倫 算 法 機 制 的 真 面 目。
總 結 以 上 討 論, 對 於 向 量 標 號 單 純 同 倫 算 法 來 說, 一 旦 不 管 用 什 麼 辦 法 找 到 了 一 個 完 備 界 面, 隨 後 的 全 部 計 算 就 在 完 備 界 面 和 完 備 單 形 的 完 全 確 定 的 交 錯 序 列 中 進 行。 這 就 是 無 例 外 可 行 性 的 含 義。 在 輔助 層, 人 們 有 充 分 的 自 由 形 成 需 要 的 完 備 界 面。 這 就 為 向 量 標 號 單 純 同 倫 算 法 的 有 效 使 用 開 創 了 廣 闊的 天 地。
φ−1(0) 作 為 原 點 這 一 個 點 的 原 像 可 以 相 當 複 雜, φ−1(J(ε)) 作 為 標 準 n 階 撓 曲 線 的 原 像 卻 整 齊 得 多, 規 律 得 多。 比 之 原 點, J(ε) 當 然 複 雜 得 很, 但 是 它 的 原 像 卻 反 而 具 有 清 晰得 多 的 幾 何 構 造。 這 種 迎 難 反 易 的“反 變”現 象, 道 理 既 深 刻 又 簡 單, 就 留給 讀 者 去 玩 味 吧。
轉軸運算
本文的全部討論都是幾何的。 數學思維 喜歡幾何, 機器實現依賴代數。 在計算機上實 現分段翼狀道路的算法, 就不免需要代數的 描述。 為了討論完整, 應當介紹代數描述, 這 也便於使用向量標號單純同倫算法的讀者自 行編製計算程序或者開發軟體。 這個介紹是 粗略的, 有興趣的讀者可以進一步參考拙著 [7]。
首 先 指 出, 完 備 界面 τ =<
v0, . . . , vn > 的代數特徵 (即充分必要條 件) 是, 矩陣方程
LτW = I, W ≻ 0 有可行解, 這裡, n + 1 階方陣
Lτ =
"
1 · · · 1 φ(v0) · · · φ(vn)
#
稱為界面 τ 的標號矩陣, φ(vi) 稱為頂點 vi 的向量標號, I 是 n + 1 階單位方陣, W ≻ 0 表示 n + 1 階矩陣 W 字典式正, 即 W 的 每行都不全為 0, 每行的頭一個非 0 元素都大 於 0。
對單形重心坐標和對范達蒙行列式比較 熟悉的讀者, 容易自己寫出證明。
在完備界面和完備單形組成的計算序列 . . . , τk−1, σk, τk, σk+1, τk+1, . . . 中, 若計算已到達 τk =< v0, . . . , vn>, 那 麼單形 σk+1 還有另外 n + 1 個界面。 問題
是如何確定哪一個是唯一的另一個完備界面。
注意我們已有
LτkW = I, W ≻ 0,
所以 W = L−τk1。 設 σk+1 的和 τk 相對的 唯一頂點是 v, 計算 W
"
1 φ(v)
#
, 得到一個 n+ 1 維列向量。 用這個列向量中的正元素除 W 的相應各行, 除得的各行中有唯一的一行 是字典式最小的, 設這行是第 j 行, 那麼 τk+1 就是 σk+1 的和頂點 vj 相對的那個界面, 即 τk+1 =< v0, . . . , vj−1, v, vj+1, . . . , vn >。
所謂行 a = (a0, . . . , an) 比行 b = (b0, . . . , bn) 字典式小, 就是按 j = 0, 1, . . . , n 的次序比較 aj 和 bj, 頭一對比 出大小來的是 aj < bj。這樣比出來字典式最 小的行是唯一的, 不然的話, W 的各行就將 線性相關, 和 W 滿秩的事實矛盾。
上述從 τk, σk+1 得到 τk+1 的做法, 稱 為轉軸 (pivoting) 運算。 從代數觀點來說, 就是類似意義的矩陣方程
Lσk+1W = I, 0
有一對基礎可行解, 相當於 (n+1)×(n+2) 矩陣 Lσk+1 有兩組基底。 轉軸運算就是從基 底 Lτk 轉移到基底 Lτk+1 的運算。 這種矩陣 基底字典式取主元轉移的做法, 最早出現在 線性規劃單純形算法 (simplex method of linear programming) 的文獻中。 從單形 σk
翻過界面 τk 到達新的單形 σk+1, 就是所謂 轉軸運算。
最後指出, 本刊第十七卷第三期 《多項 式求根的攀籐算法》, 用的是整數標號, 給每
個頂點一個整數。 現在用向量標號, 就是給每 個頂點 v 一個向量 φ(v)。 整數標號算法沒有 可行性的麻煩, 可惜它不能對付數理經濟學 的集值映照 (set-valued mappings) 的計算 問題, 參看拙著 [7]。 至於轉軸運算做法, 除 了一個用同標號整數頂替, 一個用矩陣基底 轉移之外, 其餘完全一樣。 它們都是單純同倫 算法。
反覆做矩陣運算, 本來是可怕的事情。
好在向量標號單純同倫算法中的矩陣運算, 除了行運算之外, 就是每次後乘 (postmulti- ply) 一個特別簡單的矩陣。 這屬於算法實施 的專門細節討論, 本文限於篇幅, 集注於問題 的幾何方面, 就只好割愛了。 數學家總愛追求 他的論題的美學價值。 幾何實在很美。
參考文獻
1. Todd, M. J., The Computation of Fixed Points and Applica- tions, Springer, 1976.
2. Eaves, B. C., in Nonlinear Programing, Cottle,R.W. et al eds,. 1976.
3. Eaves, B. C. & Scarf, H., Math. Op.
Res., (1976), 1.
4. Garcia C. B. & Zangwill, W. I., Path- ways to Solutions, Fixed Pints, and Equilibria, Prentice-Hall, 1981.
5. Milnor, J. W. Topology from the Dif- ferentiable Viewpoint, 1965.
6. 王則柯, 高堂安, 同倫方法引論, 重慶出版社, 1990.
7. 王則柯, 單純不動點算法基礎, 中山大學出版 社, 1986, 廣州.
8. WANG, Z., Acta Mathematica Sinica, New Series, 7(1991), 1-3.
9. WANG, Z., Annals of Operations Re- search, 24(1990),261-271.
10. Gao, T. and Wang, Z., in Fixed Point Theory and Applications, ed by K. K.
Tan, World Scientitic, Singapore, 1992.
—本文作者任教於廣州中山大學數學研究所 系—
