碩士 論 文 資訊管 理 系 朝陽科技大學

朝陽科技大學 資訊管理系

碩士論文

基於概念圖的學習補救路徑之探討

The Study of Enhanced Learning Path based on Concept Mapping

指導教授：陳榮昌 博士 研 究 生 ： 陳伸豐

中華民國九十四年七月十二日

朝陽科技大學資訊管理系

Department of Information Management Chaoyang University of Technology

碩士論文

Thesis for the Degree of Master

基於概念圖的學習補救路徑之探討 The Study of Enhanced Learning Path based on

Concept Mapping

指導教授：陳榮昌博士(Rong-Chung Chen) 研 究 生 ： 陳伸豐(Seng-Feng Chen)

中華民國九十四年七月十二日

12, July 2005

摘要

線上測驗(On-line testing)不僅能夠快速的提供受測者的學習評量，更能 透過相關的分析來幫助受測者找出學習補救路徑(Enhanced learning path)，

作更進一步的學習。利用概念圖(Concept mapping)可以作學習概念診斷 (Learning diagnosis)並建立學習補救路徑，然而目前概念圖的建立大多由教 師主觀構圖，雖然已有學者利用過去受測者的資料，以資料探勘和統計理 論的方法較客觀地來找出概念與概念之間的關係，但這些方法仍存在著概 念影響訊息(Concept effect information)不足以及僅能表示難易度等不足之 處。因此本論文提出灰關聯分析法(Grey relational analysis)與概念相關指標 法(Concept Independence Indexing)來重新探討在學生的答題中概念與概念 之間的相關性程度。其中，灰關聯分析法利用關聯序列的特性將兩概念之 間的答錯率計算成灰關聯度來當作彼此的概念相關性以保留更多的概念影 響訊息；概念相關指標法則更詳細的分析概念錯誤率與概念相關性之間的 關係，我們更提出一個概念相關指標來表示概念與概念之間的相關性，並 提供一建立學習補救路徑之演算法來改善傳統學習概念診斷的尋找方式。

關鍵字：線上測驗、學習補救路徑、概念圖、學習概念診斷、概念影響訊 息、概念相關指標法、概念錯誤率

Abstract

The on-line testing not only provides faster evaluation of learning for examinees but also helps us to find enhanced learning path by corresponding analysis. The concept mapping could help us diagnosing misconceptions as well as constructing enhanced learning path of examinees, but there have some problems in constructing the concept maps. During these years, the researchers have diagnosed the examinee’s misconceptions by using data mining and statistics methods to find the maximum relationships between each pairs of concepts to construct the concept maps. However, these approaches are short on reserving the concept effect information and could only find the degree of difficulties. Therefore, in this research, we use grey relational analysis and concept independence indexing to improve them. We calculate the grey relational grade to treat as degree of relationship between concepts with concept error rate to reserve more concept effect information. On the other hand, the concept independence indexing give more detail illustrations on the concepts between each pairs of concepts and the concept error rates. Furthermore, we will propose an effective algorithm to find the enhanced learning path to improve the conventions.

Keyword: on-line testing, enhanced learning path, concept mapping, learning diagnosis, concept effect information, concept independence indexing, concept error rate

誌謝

研究所生涯兩年時光匆匆而逝，在此特別感謝指導教授陳榮昌博士的 耐心指導，有您的學術啟蒙得以使本論文能順利完成，而您對於學生的細 心關懷、孜誨不倦更當成為學生日後的典範，學生由衷地表達對您的敬愛 與感恩。此外，更感謝虎尾科技大學蔡鴻旭教授、本校資訊管理系李麗華 教授、李富民教授與杜淑芬教授，在學生計畫書及論文口試期間對本論文 提出寶貴之意見與建議，學生謹記於心。

充實的研究生活讓我覺得兩年並不孤單，謝謝浩永學長、偉育學長、

淑蓉學姊、家惠學姊、宜惠學姊與博允學長對我的關心與照顧，更覺得有 緣能與你(妳)們一起在朝陽資管所成長。

另外，也感謝雅芬平常的搞笑耍冷增進和諧的氣氛；謹如無厘頭的對 話增添幾分活潑氣息；廷貴泡的竹炭茶恢復大家的精神力得以與研究再次 衝刺；德榕一路走來相互扶持二話不說的好朋友；育良、忠訓、小 、莉 莉、仁德，能跟你們一起吃喝玩樂，創造許多有哭、有笑的回憶將是我今 生的幸福資產；阿旺的細心關懷讓我減少許多壓力；淑秋充當我的垃圾筒 讓我感到窩心；笨小宛則是我重要的心靈雞湯使我擁有更多動力…還有許 多好同學及學弟妹們和諧的相處，能跟大家一起渡過研究所生活真的讓我 覺得這種幸福是無價的。

最後我要感謝我親愛的家人，謝謝你們對我在升學路上的支持，有你 們不斷對我的鼓勵與包容才得已完成我的夢想，也因為有你們，才能讓我 在求學生涯中不留遺憾。

陳伸豐 謹識

目錄

第一章 緒論 ... 1

1.1 研究背景與動機 ... 1

1.2 研究目的 ... 2

第二章 文獻探討 ... 4

2.1 認知學習同化理論 ... 4

2.2 概念構圖 ... 4

2.3 概念繼承關係圖 ... 6

2.4 主觀式概念構圖 ... 8

2.5 客觀式概念構圖 ... 10

2.5.1 以資料探勘建構概念關係圖 ... 10

2.5.2 以條件機率建構概念關係圖 ... 17

2.6 學習診斷方法 ... 19

2.6.1 工具建構 ... 20

2.6.2 記錄學習歷程 ... 21

2.6.3 測驗診斷建立學習補救路徑 ... 23

2.6.4 學習診斷相關研究的整理 ... 24

第三章 灰關聯分析法... 29

3.1 系統架構 ... 29

3.2 灰色理論 ... 30

3.3 以整體性灰關聯分析建構概念關係圖... 32

3.4 學習概念診斷 ... 40

3.5 建立學習補救路徑 ... 43

第四章 概念相關指標法... 51

4.1 概念影響關係 ... 51

4.2 以概念相關指標法建構概念關係圖... 59

4.3 學習概念診斷 ... 65

4.4 建立學習補救路徑 ... 66

第五章 研究結果與發現... 67

5.1 實驗結果與分析 ... 67

5.2 實驗結果與灰關聯分析、條件機率之比較... 72

第六章 結論與建議... 77

參考文獻... 78

附錄... 83

附錄一 學生答題狀況 ... 83

附錄二 學生概念錯誤率 ... 85

表目錄

表 2.1 試題關聯表 ... 11

表 2.2 試題關聯比重分配表... 11

表 2.3 試題關聯比重分配表... 12

表 2.4 學生答題結果表... 13

表 2.5 學習診斷方法相關研究表... 27

表 2.6 以測驗結果建立學習補救路徑... 28

表 3.1 灰色系統、概率、模糊的區別... 31

表 3.2 概念被包含於測驗題題數... 34

表 3.3 學生對概念之答錯率... 35

表 3.4 加入隱含概念之測驗題... 41

表 3.5 加入隱含訊息量後的概念答錯率... 42

表 3.6 條件機率與灰關聯分析之差異... 48

表 4.1 學生答題狀況... 53

表 4.2 概念答錯率 ... 55

表 4.3 三種方法在不同情況下之比較... 59

表 4.4 概念被包含於測驗題題數... 60

表 4.5 概念答錯率 ... 61

表 4.6 兩概念之間的相關性程度... 63

表 5.1 概念表 ... 67

表 5.2 概念被包含於測驗題題數... 68

表 5.3 測驗卷所包含之概念相關性程度... 69

表 5.4 概念相關性程度(門檻值>=0.85)... 70

圖目錄

圖 2.1 概念構圖 ... 6

圖 2.2 傳統概念樹狀結構圖... 7

圖 2.3 概念繼承關係圖... 8

圖 2.4 Apriori for concept產生之概念關係圖 ... 14

圖 2.5 歸納式演算法產生之概念關係圖... 16

圖 2.6 DTEx-Sys系統畫面 ... 22

圖 3.1 系統架構圖 ... 29

圖 3.2 構圖流程 ... 33

圖 3.3 灰關聯係數之影響關係圖(鄧) ... 37

圖 3.4 灰關聯係數之影響關係圖(翁) ... 38

圖 3.5 GreyRelation v1.1 ... 39

圖 3.6 繪製概念關係圖... 40

圖 3.7 概念關係圖 ... 41

圖 3.8 學生S1答錯率概念圖... 43

圖 3.9 去除第一條學習補救路徑後之概念關係圖... 47

圖 3.10 建議學習補救路徑... 48

圖 4.1 概念關係圖 ... 65

圖 4.2 欲參與補救學習之概念關係圖... 66

圖 4.3 建議學習補救路徑... 66

圖 5.1 概念關係圖 ... 71

圖 5.2 建議學習補救路徑... 72

圖 5.3 概念相關指標法之概念相關圖... 73

圖 5.4 灰關聯分析法之概念相關圖... 73

圖 5.5 條件機率之概念相關圖... 74

圖 5.6 三種方法之概念相關比較圖... 74

第一章 緒論

1.1 研究背景與動機

傳統的學習評量測驗通常只是在學生測驗後給予一個評量分數或標準 參照，但每一個學生的學習能力與學習速度皆不同，如果學生的學習能力 較低，使用難度高的測驗題目將較難測驗出其真實程度。因此，適性化測 驗(Adaptive test)逐漸受到大家的重視，其中以試題反應理論(Item response theory)較具代表性，他根據受測者在上一題的答題結果，依其能力與題目難 度，在下一次的出題中選擇適合該受測者測驗之題目[28][31]。

在 1981 年開始有了概念構圖(Concept mapping)的想法[16]，他把每個 片段的知識當成單一概念來學習，如此可以幫助學生依靠圖形化的記憶來 加強理解。概念構圖是以建構主義為理念，其基本精神在於解釋「什麼是 知識?」以及「什麼是學習?」，認為「新知的學習是靠學習者先前的知識和 經驗」[45]。Piaget 以「基模」(Schema)來表示學習的認知結構[27]，「基模」

是學習者在學習的過程中所建立的概念或知識以及其影響的相關概念組 織，而概念與知識是由人這一主體所建構並不是被動的接受或吸收。另外，

知識的建構是由個人經驗主觀形成，只對自己有意義，所以每個人對某些 概念與知識的認知會有些許的差異。概念圖即在此建構主義之理念下誕 生，由學習者個人主觀認知與經驗，將之繪製出來而形成一張概念與概念 間彼此影響關係存在的網狀結構圖[30]，然而概念圖雖然可以幫助學生記憶

與學習，但它也存在著學生必須自我建構能力、構圖時間不足的困境、教 師花費許多時間評量學生概念圖與主觀評量等問題[14][18][36]，此後 Surber 與 Smith 於 1981 年提出以概念圖為工具來調查研究學生在學習上的迷思概 念[22]。Novak 與 Gowin 於 1984 年提出了以概念構圖的策略來比較學生在 學習上與傳統教學法的差異[17]，經過了許多實驗證實，使用概念構圖的教 學法在學習成效上確實比傳統教學法優異許多[22][29][36]。然而概念構圖 不但不易應用於評量測驗且容易受到專家主觀因素的影響，故相關的發展 如 McClure(1999)的整體性計分法[14]、McClure 與 Bell(1999)的相關性計 分法[13]、Novak 與 Gowin(1984)及 Stuart(1985)的結構性計分法[17][23]，

這些研究雖然貢獻良多但概念構圖的評量至今仍然一直未盡完善。

近年來，在探討概念構圖的應用領域上，如林義益及賀嘉生[34]、黃國 禎[6][7][40]等學者已不再著墨於評量階段，他們以較客觀的方式將概念構 圖推廣至探討學習者學習概念的迷思、學習補救路徑以及如何進行補救教 學，然而這些方法仍存在著概念影響訊息的不足、只能建構出單一固定模 式之概念圖、無法適用於不同學習能力的學習者以及需要大量資料分析建 構概念圖等不足之處。

1.2 研究目的

學習補救路徑是可以讓學生有學習順序的依據，因為迷失在概念裡的學 生是無法擁有學習順序的自覺，此時如果有一條良好的建議學習路徑將更

能幫助學生進行補救教學以達到最大的學習成效。上述方法雖然可以達到 此一目的，但其建構方式尚有許多探討的空間，所以本研究利用整體性灰 關聯分析的關聯序列特性來建構概念圖以保留所有概念影響訊息、不受樣 本限制及依班級學生能力不同建構概念圖來改善條件機率的缺失，研究成 果發表於 2004 年第九屆灰色系統理論與應用研討會[43]。但以統計理論或 灰關聯分析的概念關係程度計算並不能真正代表概念與概念的關聯性，只 能表示概念與概念之間難易差距，在探討學習補救路徑時若單以概念的難 易來決定哪個概念該進行補救，將造成跳躍式的學習，若要將相關性高的 概念一起學習，則必須找出概念與概念間的相關性。故本研究另提出概念 相關指標法來建構概念關係圖來當做學習補救路徑的參考依據，經實驗證 明本研究的方法除了可以解決條件機率與灰關聯分析所無法解釋的特殊狀 況，也較能說明概念與概念的相關性。另外我們也提出一學習補救路徑的 演算法，利用灰關聯分析法與概念相關指標法所得的概念相關性程度為基 礎探討哪些概念是必須一起學習的，以期找出更適合的學習補救路徑。

第二章 文獻探討

2.1 認知學習同化理論

認知學習的同化理論 (assimilation theory of cognitive learning)是由 Ausubel(1963)所提出[1]，認為概念與概念間的關係及學習者的「先備知識」

(prior knowledge)在「有意義學習」上扮演重要的角色；只要學習者將所要 學習的新知識與既有的知識概念間聯結成一道有意義的命題，即可產生有 意義的學習。此將使新的學習變得愈來愈容易，即使短暫遺忘了某個大概 念底下的子概念，也可以較容易由這些大概念所啟發的一些意義而推理獲 益，進而終身記住這些概念。

2.2 概念構圖

概念圖的組成元素包含了概念、階層、聯結線、聯結語、交叉聯結線及 聯結兩個概念而成的有意義命題。概念表示單一知識的片段並且存在階層 的特性，概念間是依靠註記名稱(聯結語)所表示的聯結線來維繫，進而形成 一張網狀結構圖。學習者經由自己的回憶來辨識概念間的關係而慢慢建構 出概念圖，此一過程稱之為「概念構圖」，隨著學習者的思考模式與認知程 度的不同也會產生相異的概念圖，所以概念圖可以反映出不同學習者在學 習上的個人經驗與認知差異。

圖 2.1 為一簡單概念構圖的說明，其中綠色植物、莖、葉、…等以節點

來表示概念，連結線(的、含有、可進行)則是用來指出概念間關係的圖形，

當兩個概念之間加上適當的連結用語即形成有意義的命題，例如：「葉綠體」

可進行「光合作用」為一有意義的命題，其中「葉綠體」、「光合作用」是 指個別的概念，「可進行」則表示兩概念間的連結關係說明。

概念構圖是以建構主義為理念，Novak 與 Gowin(1984)說明了以概念構 圖的策略來比較學生在學習上與傳統教學法的差異，並經多年研究實驗證 實，使用概念構圖的教學法經由概念的圖形化，學習者可產生聯想的方法 來幫助學習與記憶、利於教學者瞭解學生的認知結構以及適用於日後在測 驗題庫上的應用。Surber 與 Smith(1981)更提出以概念圖為工具來研究學生 在學習上的迷思概念[19][30][32][36]。

依據所述理論，概念圖至今約略可分為實驗研究的工具、發展課程的 設計、評量學習者概念的認知以及調整教學上的策略等用途，經多位學者 實證也確實大大提升了概念圖在教育、教學上的應用，但其中評量部份卻 礙於無客觀標準因素而滯於發展。

綠色植物

的

葉子 莖

含有

葉綠體 可進行 光合作用 綠色植物

的

葉子 莖

含有

葉綠體 可進行 光合作用

圖2.1 概念構圖 (資料來源：林達森，2003)

2.3 概念繼承關係圖

概念繼承關係圖簡單來說為表示學習概念與概念間具有的先後順序關 係。教學者在教學時，常利用教材的章、節順序來進行教學，如轉換於概 念構圖上，則課程裡的單元可以階層結構或樹狀結構來呈現，圖 2.2 以[33]

統計機率論的課程單元當做概念結構圖的說明。圖中表示教學者在教學 時，勢必先對”隨機實驗”此一章進行教學，再對”隨機實驗的意義”、”隨機 實驗基本概念”等細節概念進行教學，教授完畢再依序進行下一章。

機 率 論

隨機實驗 機率理論 事件機率 事件的性質與 事件機率的運算

貝氏定理

隨機實驗 的意義

隨機實驗 基本概念

機率理論 的種類

三個機率 理論比較

機率的公 理體系

事件機率 的定義 聯合機率

邊際機率

條件機率

事件的性 質與關係

事件機率 運算法則 機 率 論

隨機實驗 機率理論 事件機率 事件的性質與 事件機率的運算

貝氏定理

隨機實驗 的意義

隨機實驗 基本概念

機率理論 的種類

三個機率 理論比較

機率的公 理體系

事件機率 的定義 聯合機率

邊際機率

條件機率

事件的性 質與關係

事件機率 運算法則

圖2.2 傳統概念樹狀結構圖

但這種教學方法卻常常忽略了此一概念領域最基本的學習要素，以圖 2.2 為例，在學習「機率論」這個知識領域時，最基本的要素也是應該最先 學會的概念是”排列”與”組合”，雖然此兩個概念並未編排於教科書之中，但 卻是應該最先學習的概念，而不是按照教科書所編排的章節順序進行教 學。所以概念繼承關係圖意謂捨棄了傳統章、節順序的教學法，改以節點 表示片段的知識，在進行教學時，則代入父、子繼承的概念，先教授父概 念進而教學子概念。

Novak[16]與黃國禎[7]皆指出學生在概念的學習上必須是具有認知的 順序(圖 2.3)，學習概念時並不單只是由大概念學習到小概念，而是應該決 定概念間彼此的從屬關係，也就是具有繼承的關係存在。先學習父概念再

學習子概念將更有助於學習。以統計機率理論為例，必須先學習排列、組 合等學習概念，才能進而學習較複雜的聯合機率、邊際機率、條件機率等 三大機率理論。

排列

組合

聯合機率

邊際機率

條件機率 排列

組合

聯合機率

邊際機率

條件機率

圖 2.3 概念繼承關係圖

上節中所提到每位學習者會有認知上的差異，所以學習者心中的概念 圖勢必難有一個標準存在，甚至教學者也會隨著專業知識領域的不同而造 成概念圖的差異。那麼，連教學者都難有標準答案的概念圖，學習者又該 如何遵循？故爾後陸陸續續有許多學者試圖研究能否以較客觀的因素或以 系統自動建構概念關係圖，以避免太多人為主觀因素的介入，下節中我們 將對如何建構概念關係圖此一主題做更深入的探討。

2.4 主觀式概念構圖

概念圖常被利用來加強學生的記憶與學習，但如何建構以及構圖後的 評量卻是極艱深的難題。最常見的方法是由教師與學生各自建構出自己心

中的概念圖之後，再由教師自行決定採用何種概念圖評分法加以評量，但 這種方法必須先讓學生具備建構概念圖的能力，也表示將花費更多心力與 時間且效用有限，另外如果測驗概念過於繁複將造成學生構圖上的困難以 及教師評量的困擾[4][6][11][24]。

爾後學者如 McAleese(1999)、Eric(2000)、Thomson(2001)等人均針對節 省構圖時間、便利構圖等問題開發出許多工具來解決手畫概念圖的問題 [2][3][12]，他們利用事先定義的 pattern 表示學生的學習概念以及選單使用 介面，讓學生能夠透過滑鼠輕易的建構出自己心中的概念圖，同時也透過 系統比較教師與學生各自概念圖的差異，提供教師一個易於評量的環境。

概念構圖的方法與環境雖然趨於改善，卻仍存在於主觀意識的介入，

所以在發展概念構圖相關工具的同時，另一批學者試著利用比較客觀的方 式來進行概念圖的修正及建構。吳育龍、鍾斌賢、林聰武(1990)利用長期累 積的學生答題結果來修正原本建構的概念圖[29]。近期學者 Chang(2001)、

Hwang(2003)、劉湘川&蕭維仁(2004)皆利用多專家決策的方式進行整合式 的概念圖建構。整合式建構方法意謂採取多領域專家的意見並利用層級分 析法(Analytical Hierarchy Process, AHP)或模糊決策(Fuzzy decision)等方式 加以整合以求得出較佳的概念圖[2][8][55]。

然而至目前的發展尚有許多改進的空間，例如每次在測驗前必須花費

許多時間先讓學生瞭解建構概念圖的觀念以及意義，所以 Gamboa[9]、

McClure[13]、黃國禎[7]、曾憲雄[38]等學者也慢慢往是否能以學生的答題 結果來自動建構概念圖此一方向研究，他們認為概念構圖的本質是要幫助 學生來達到容易學習的目的，更希望能透過概念圖來傳達學生在學習上不 足的地方，而主觀式的構圖方式並無法完全有效掌握學習狀況，所以在下 節中我們將介紹一些更為客觀的概念構圖方法，這些方法均有一個共通 點，那就是由學生的答題結果來當成測驗中概念的訊息，藉由這些訊息來 瞭解概念與概念間彼此的關係程度並建構出概念圖，且可利用此圖來瞭解 每位學生在學習概念上的不足以尋求該學生之學習補救路徑。

2.5 客觀式概念構圖

2.5.1 以資料探勘建構概念關係圖

概念間的影響關係是由教師或專家主觀地建立，但可能因為各專家領 域的深知差異，造成在建構概念關係圖時的不客觀，抑或者是題目中所包 含的認知權重不同，造成學生學習結果對建構概念關係圖的標準差異性。

蕭嘉琳等[6][7]提出以(1) Apriori for concept 演算法(2)歸納式概念關係演算 法來建構概念關係圖。透過教師決定試題包括概念強度的關係(表 2.1)以轉 換為試題關聯比重分配表(表 2.2)與學生受測結果，利用上述兩種演算法自 動建構出概念關係圖。試題關聯表是教師用來決定試題與概念間的強弱關

係，分別為強、中、弱，無關係則不勾選，其中若一試題只包含單一概念，

則該相關程度為 1；若試題包含兩個以上之概念，則以強、中、弱程度(分 別以 3、2、1 表示)來作分配，且該試題比重總和係數為 1。

表 2.1 試題關聯表

題號/概念 C₁ C₂ C₃ C₄ …

強 中 弱 強 中 弱 強 中 弱 強 中 弱

Q₁ …

強 中 弱 強 中 弱 強 中 弱 強 中 弱

Q₂ …

強 中 弱 強 中 弱 強 中 弱 強 中 弱

Q₃ …

強 中 弱 強 中 弱 強 中 弱 強 中 弱

Q₄ …

… … … …

表2.2 試題關聯比重分配表

概念/題號 Q1 Q2 Q3 Q4 …

C₁ 0.75 - - 0.5 …

C₂ - 1 - - …

C₃ 0.25 - - 0.5 …

C₄ - - 1 - …

… … … …

比重總和 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

(1) Apriori for concept 演算法

在此，教師必需先訂定 min support 與 min confidence 來決定題目在此 次測驗中錯誤率的門檻值以及學生在此次測驗中錯了第i 題又錯第 j 題條件 下之門檻值。此一演算法是利用資料探勘裡的關聯式法則(Association rule) 技術-Apriori 演算法，產生 Large 2 Itemset，再利用 Large 2 Itemset 來找出各 題目間的關聯，最後依照教師所給定的題目與概念間的關係，求得概念與 概念間的關聯程度，進而產生概念關係圖。接著我們舉例說明如何利用 Apriori for concept 演算法來建構概念關係圖，表 2.3 為一試題關聯比重分配 表，表 2.4 為學生答題結果表(答對為 0，答錯為 1)，

表2.3 試題關聯比重分配表 (Ci：概念；Qj：測驗題數)

Q₁ Q₂ Q₃ Q₄ Q₅ Q₆ Q₇ Q₈ Q₉ Q₁₀

C1 1 - - - 0.4 - - -

C₂ - 1 - - 0.6 - - - - -

C₃ - - 1 - - 0.3 - - - -

C₄ - - - 1 - 0.7 - - - -

C5 - - - 1 - - -

C₆ - - - 1 - 0.8

C7 - - - 1 0.2

表 2.4 學生答題結果表 (Q_i：概念；S_j：學生)

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 Total

Q₁ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

Q₂ 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 3

Q3 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2

Q4 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 4

Q₅ 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 3

Q₆ 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 5

Q₇ 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2

Q8 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 3

Q₉ 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 6

Q₁₀ 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 5

假設support值=0.3、belief值=0.7 時，表示學生答錯題數必須≧3(題數 10*0.3) 才可以成為Large 2 Itemset，另外在L₂中的項目必須≧0.7 才可以成為關聯法 則。根據演算法必須先找出L₂高頻項目集(≧3)，集合結果為{Q₂Q₄：3，Q₂Q₆： 3，Q₂Q₉：3，Q₄Q₆：3，Q₄Q₉：4，Q₅Q₉：3，Q₆Q₉：4，Q₉Q₁₀：3}，接著利 用L₂產生需要的法則，

Confidence(Q2->Q4)=3/3=1 v Confidence(Q4->Q2)=3/4=0.75 v Confidence(Q2->Q6)=3/3=1 v Confidence(Q6->Q2)=3/5=0.6

Confidence(Q2->Q9)=3/3=1 v Confidence(Q9->Q2)=3/6=0.5 Confidence(Q4->Q6)=3/4=0.75 v Confidence(Q6->Q4)=3/5=0.6

Confidence(Q₄->Q₉)=4/4=1 v Confidence(Q₉->Q₄)=4/6=0.67 Confidence(Q₅->Q₉)=3/3=1 v Confidence(Q₉->Q₅)=3/6=0.5 Confidence(Q₆->Q₉)=4/5=0.8 v Confidence(Q₉->Q₆)=4/6=0.67 Confidence(Q₉->Q₁₀)=3/6=0.5 Confidence(Q₁₀->Q₉)=3/5=0.6

其中有打勾的法則是高於我們需要的門檻值(≧0.7)，之後再利用產生的法 則與試題關聯比重分配表轉為概念間的關係，

Q₂ÆQ₄ =1 ^＝> C₂ÆC₄=1*1*1=1 Q₂ÆQ₆=1 ^＝> C₂ÆC₃=1*1*0.3=0.3

＝> C₂ÆC₄=1*1*0.7=0.7 x Q₄ÆQ₂=0.75 ^＝> C₄ÆC₂=0.75*1*1=0.75

Q₄ÆQ₆=0.75 ^＝> C₄ÆC₃=0.75*1*1=0.75 Q₂ÆQ₉=1 ^＝> C₂ÆC₇=1*1*1=1

Q₄ÆQ₉=1 ^＝> C₄ÆC₇=1*1*1=1 Q₅ÆQ₉=1 ^＝> C₁ÆC₇=1*0.4*1=0.4

＝> C₂ÆC₇=1*0.6*1=0.6 x Q₆ÆQ₉=0.8 ^＝> C₃ÆC₇=1*0.3*0.8=0.24

＝> C₄ÆC₇=1*0.7*0.8=0.56 x

計算的結果即是表示概念與概念之間的關聯程度，並以此關係結果產生概 念關係圖，如有產生兩條相同的法則時(如C₂ÆC₄)，則保留較大的關聯程 度，其結果如圖 2.4。

C

C

C

C

C

1 0.75 0.3 0.75

0.24

0.4

1 1

C

C

C

C

C

1 0.75 0.3 0.75

0.24

0.4

1 1

圖2.4 Apriori for concept 產生之概念關係圖

雖然此一方法可以比較快速建構出概念繼承關係圖，但亦需要資料量 較大且較長時間累積，方能使概念繼承關係圖更加精確。

(2) 歸納式概念關係演算法

此演算法中，教師亦需先訂定 min support 與 min belief 來決定題目在此 次測驗錯誤率的門檻值以及產生概念關係的門檻值。他先利用學生的受測 結果找出錯誤人數最多的題目，再依此一題目找出與其相關的題目，如此 反重覆計算後，便會找出許多題目間的關聯，之後再對照題目與概念的相 關表，將題目間的關聯性轉換成概念間的關聯，便可求出概念繼承關係圖，

而此一演算法適合在資料量較小的應用上，我們也利用表 2.3、表 2.4 做這 個演算法的舉例說明。

假設support值=0.4、belief值=0.5，利用表 2.4 找出答錯人數最多之題目 集合E_max={Q₉}，且該題答錯人數為 6 人達到≧support值(N_Q9/N=6/10=0.6≧

0.4)，所以Q₉是符合我們所需要進行演算法計算的條件，接著找出答錯Q₉的 學生中又答錯哪些其它的題目，如表 2.4 答錯Q₉的學生有S₁、S₂、S₄、S₅、 S₇、S₈這六位學生在答錯Q₉的情況下又答錯了其相關題目{Q₁，Q₂，Q₃，Q₄， Q，Q₆，Q₇，Q₁₀}，所以下一步驟將對這些集合題目所包含的概念與Q₉的對 應概念(C₇)做關聯性計算，首先計算Q₁與Q₉裡包含的概念關係，表2.3 指出 Q₁的對應概念是C₁；Q₉的對應概念為C₇，所以C₁與C₇兩概念關係的計算方 式為：Q₁答錯人數*Q₁C₁概念強度*Q₉C₇概念強度/Q₉答錯人數*Q₉C₇概念強

度，計算結果為 0.17，因為小於belief訂定的門檻值，所以這個法則並不成 立，當計算完Q₁後即從相關題目集合中去除Q₁接著計算Q₂對應的概念關 聯，如下所述，

Q₁ N₁=1 C₁ÆC₇ R(C₁,C₇)new = 1*1*1/6*1=0.17 < belief 不保留 去掉 Q₁，ES_Q9={Q₂,Q₃,Q₄,Q₅,Q₆,Q₇,Q₁₀}

Q₂ N₂=3 C₂ÆC₇ R(C₂,C₇)new = 3*1*1/6*1=0.5 ≧belief 保留 去掉 Q₂，ES_Q9={Q₃,Q₄,Q₅,Q₆,Q₇,Q₁₀}

………

關聯性計算結果≧belief值 0.5 時則為需要保留的資訊，上例中當計算完所 有與Q₉相關的題目集合後，則再找出答錯人數次多的題目E_max = {Q₆，Q₁₀}，

N_max=N_Q6=5(5/10=0.5≧0.4)，接著依上述步驟循環計算後可得，

R(C2,C4)new=0.75 R(C3,C4)new=0.5 R(C4,C6)new=0.64 R(C₄,C₇)new=0.67 R(C₆,C₄)new=0.75 R(C₆,C₇)new=0.67 最後即利用所得的關聯係數產生概念關係圖，如圖 2.5

C

C

C

C

C

0.75

0.67 0.67

0.64 0.75

0.5

C

C

C

C

C

0.75

0.67 0.67

0.64 0.75

0.5

圖2.5 歸納式演算法產生之概念關係圖

2.5.2 以條件機率建構概念關係圖

廖浚宏[51]提出概念錯誤率與條件機率，他提供客觀的統計方法以及學 生受測結果，經由系統自動建構概念影響關係圖，此方法避免了專家主觀 的介入。其中重要觀念分述如下:

1)概念錯誤率：以累積學生的測驗結果來得知個別學生對某概念的錯誤 率。如果學生對此概念有學習成長的傾向，則此一概念錯誤率會隨著時間 的增加而降低，故概念錯誤率可用來代表學生對單一概念的學習狀況。公 式(1)為代表累積t次測驗群體概念C_i錯誤率。

∑

∑∑

= ⁼ ×

t

t t i t

S

k

k t

i

NC S

EC C

P

t

i

) (

) ( )

( ¹

,

(1)

： EC_i

i

t

測驗題目中包含概念C_i錯誤的題數

：

NC 測驗題目中包含概念C_i的總題數

：

S 學生人數

其中分子表示在測驗中針對概念C_i總共答錯了幾題；分母則為該次測驗包含 概念C_i的總題數，以此表示單一概念被答錯的機率。

2)條件機率：概念錯誤率只能用來表示學生對單一概念的學習狀況，卻 無法指出學生對此一概念關係其它概念的學習狀況，所以再利用條件機率 的運算方法來探討概念影響間的關係。機率論裡的條件機率定義，P(A|B)

為已知發生事件B之後再發生事件A的機率，稱為事件A的條件機率[31]。上 述公式 1，若以P(C_i)代表對C_i概念的錯誤率，則P(C_i|C_j)代表了C_j概念錯誤的 情況下，C_i概念也錯誤的機率，所以P(C_i|C_j) 可指為C_j概念對C_i概念的影響 程度。公式(2)為代表條件機率之概念錯誤率。

∑∑

∑∑

=

= =

t S

k

k t j t

S

k

k t j

i _t

t

ij

EC EC C

C P

1

, 1

,

) (

) ( )

|

( (2)

：ij

EC 概念Cj錯誤題數包含Ci的題數

：_j

EC 概念Cj的錯誤題目

其中以同時答錯概念C_ij的題數除以包含概念C_j的總錯誤題數求出在概念C_j 錯誤時又答錯概念C_i的條件機率為何。依式(2)，即可根據建構概念圖之演 算法將學生受測結果建構成概念影響關係圖，透過最小平方迴歸分析可以 求得出學生對其它未受測概念之影響程度。

雖然廖浚宏[51]的方法避免了許多人為主觀因素的介入，但從構圖結果 而論，此方法所建構的概念圖僅為單一固定模式，即是在該次測驗裡，只 能呈現單一個概念圖，但是學習者存在著經驗、認知與學習能力的落差，

單一固定的概念圖並無法適用於每一學習者，此即無法達到有效的學習補 救路徑以及適性化的學習。所以在建構概念圖時教學者可依學習者學習能 力的不同彈性的調整其門檻值，以期建構出適合每位學習者的概念圖。此

外，教學者在測驗前所決定的概念權重也會間接影響概念圖的呈現，實際 上學習的概念重要程度不一，如果能適當加入概念權重比，則將更合理的 表示概念圖意義。

2.6 學習診斷方法

學習者在學習過程中往往不瞭解自己對概念(或知識)吸收多少，又或者 產生錯誤的概念而不自知造成學習上的概念混淆，所以一個良好的診斷方 法不僅能幫助學習者自我瞭解，更可提供教學者針對不足之處施以補救教 學。概念圖被許多研究證實能有效提昇學習者的學習能力，故以概念圖為 基礎的評量方式更為近年來熱門的研究主題。McClure(1999)的整體性計分 法[14]、McClure 與 Bell(1990)的相關性計分法[13]、Novak 與 Gowin(1984) 及 Stuart(1985)的結構性計分法[17][23]雖然貢獻良多，但概念構圖的評量至 今仍然一直未盡完善。實施這些評量方法之前必須先讓學習者具備構圖的 能力，而評量的方式則是將學習者的構圖與教學者本身的概念圖做比較，

藉以找出不同之處進行學習概念的診斷，但這些評量方式卻隱藏著花費時 間教導學生構圖、教學者本身須先行建構概念圖、評量方式的主觀、測驗 概念過於繁複易造成疏失與測驗時間過長等問題，故爾後許多學者針對這 些問題提出許多解決方法。

2.6.1 工具建構

Novak(2003)[18]團隊所開發的工具軟體「Cmap」為近年來學者構圖的 主要工具，物件化、人性化的操作介面是最大的優點，教學者與學習者皆 可利用此工具透過滑鼠、拖曳的方式輕易建構出概念圖，大大縮短了構圖 所需花費的時間，然而Cmap 卻也存在著主觀評量的問題，因為它的評量方 式是將教學者與學習者的構圖結果相比較而得，這也意謂著如果是不同專 家領域的教學者可能對於概念圖的建構結果是不同的，所以我們必須從比 較客觀的方式來探討評量。Shaw(1982)[15]、蔡浚明(2003)[53]以凱利方格技 術為基礎來引導學習者的學習概念並建立其個人的概念圖，凱利方格技術 是以晤談的方式一步步引導學生的知識概念，而不是一開始要求學習者勾 勒出知識，這樣的方式可以減少學習者在構圖時的不確定性，不確定因素 包含了概念一時的忘記、概念未整理的混亂與自己的概念方向迷失，在構 圖中適時給予學習者晤談、提示不僅較能正確表達學習者心中的學習狀 況，更可以減少疏失的可能性。

然而此方法的構圖評量還是存在著上述我們提到不同領域的教學者對 於概念與概念之間的認知可能是相異的，William(2004)[25]認為可以利用多 專家決策的方式來改善教學者的主觀構圖，他採取階層分析法(Analytical Hierarchy Process，AHP)加以整合，AHP 是由專家自己認定在該測驗中所包 含的概念重要程度，如測驗概念數為 5 個，其重要程度分別為 1、3、5、7、

9，分數為 9 的概念表示在該次測驗中佔最重要的概念，依此類推分數為 1 的概念則為較不重要，之後再由多位專家所認定之概念程度表整合起來，

決定在該次測驗中概念的重要程度以及概念間的關係。此方法雖然是由主 觀認知決定，但適時加入多專家決策的方法則能相對於較客觀的呈現。

2.6.2 記錄學習歷程

在上節的文獻探討中我們可以發現採用工具建構的方式可以提供教學 者與學習者在構圖上的便利且具效率，但它仍存在著主觀構圖、評量方式 不夠客觀與人為疏失的因素，而且由教學者與學習者的構圖結果相比較只 能得到學習者對整體概念的學習狀況，這對於補救教學並無太大的幫助，

因為學習者本身並無法精確區分出該進行補救學習的概念，所以此節中我 們將進一步探討避免上述問題的相關研究。部分研究者認為可以從網站記 錄學生的學習歷程，並依其記錄來了解學習者在網路學習中發生的問題。

Rosic(2000)[20]的 DTEx-Sys 系統是以 SharedPlans 理論為基礎把學習者所瀏 覽過的概念加入結構樹中(如圖 2.6)，假設在學習 Windows 系統時我們要設 定的使用者的帳號、密碼是包含在「控制台」中，但如果某位學習者測驗 時，他的瀏覽路徑卻是選擇圖中的「Programs」此節點，則該位學生即被判 別為不瞭解「帳號、密碼被包含在控制台中」這個概念。

圖2.6 DTEx-Sys 系統畫面

孫小婷(2001)[38]除了記錄每位學習者的學習過程外，並利用群聚相關 技術分析其結果，他認為不同的學習者在相似學習歷程中如果發生概念迷 失，其也代表在學習行為上有某些相同的部份，群聚技術將有利於將多位 學習者的學習歷程加以分群，教學者即可針對其分群結果探討學習者的概 念迷失進而實施群體補救教學。

雖然群聚技術可以便利教學者進行補救的教學，但我們知道每位學習 者對於相同的概念吸收程度並不相同，這是因為每個人的學習能力有所差 異，如果只以單一標準來決定學習者的歸類似乎不盡理想，謝章冠(2002)[54]

提出學習路徑控制機制來控制學習者學習的進度並指引學習者能夠往正確 的概念方向學習。教學者設計引導的路徑，而學習者則可經由學習者控制

路徑來訂定學習目標，這樣的方式不但可以區別出學習能力不同的學習 者，更可以建立其個人的學習補救路徑。

Carl Adam Petri 在 1962 年 提出 Petri-net 技術[20]，它以圖型化的方式 來幫助學習者記錄學習行為的發展及提供相關系統分析，Petri-net 定義了位 置(place)、轉變(transition)、流向關係(arc)與記號(token)等四種基本結構以 集 合 包 含 元 素 的 意 義 來 解 釋 概 念 具 有 包 含 的 關 係 ， 孫 鵬 宗 與 林 美 娟 (1998)[39]應用於學生數學解題系統，使得系統具有追蹤、記錄、分析、判 斷學生解題過程與行為的能力，並給予適當的提示與引導，藉以提高學生 學習能力。Petri-net 技術可以判斷出學生的迷思概念及進行即時的概念補 救，但這也意謂著教學者必須先具備自己認為正確的概念圖，才能夠讓學 生藉由此概念流向進行學習的調整與補救。

2.6.3 測驗診斷建立學習補救路徑

以學習者的學習歷程當成學習診斷的基準似乎頗具合理性，因為他是 從學習者實際的瀏覽行為加以探討而去除掉由學習者自行構圖的主觀性，

這樣的診斷方式雖然可以判別學習者該進行補救教學的個別概念，但概念 的學習畢竟存在著難易度以及繼承包含的觀念，以學習者而言並無法判別 出補救概念的學習先後順序及概念間的相互關係，所以學習者在進行補救 學習時如果能有一條適當的學習路徑可以依循則將事半功倍，謝章冠

(2002)[54]雖然可依其方法建立學習補救路徑，但依學習歷程所建構的路徑 似乎顯示資訊不足，舉例來說，如果某些概念沒有出現在該次的歷程紀錄 中，則無法表現學習者對於這些概念的瞭解程度，這樣就無法進行學習概 念的診斷。Reynolds(1992)、Broeck(2002)[26]依據概念關係圖利用迴歸分析 的方法來診斷學習者對於測驗中沒有出現的概念瞭解程度，迴歸分析是用 來解釋自變數項與依變項的關係，這種關係則可以當成受測概念與未受測 概念之間的變化，值得一提的是以學習者的測驗結果來當成診斷的標準是 近年來被許多學者接受的方法，他們認為使用一些較節省時間的測驗方式 (如選擇題)除了可以讓學習者便於回答外，也可以降低構圖的主觀性、學習 歷程的疏失因素。

2.6.4 學習診斷相關研究的整理

以上文獻我們得知要怎麼達到客觀方式建構概念圖、降低人為疏失因 素、節省診斷時間以及建立學習補救路徑是重要的議題，蕭嘉琳(2001)[6]

利用資料探勘裡關聯式法則(Apriori for concept)與歸納式概念演算法針對學 習者的測驗成績自動產生概念關係圖以利診斷學習概念迷失，然而概念圖 必須由長時間的測驗累積所形成才會趨於客觀，當資料過多的時候採用資 料 探 勘 的 技 術 不 僅 非 常 耗 時 而 且 可 能 發 生 資 訊 過 多 的 狀 況 ； 林 義 益 (2002)[34]採用累計每次測驗題數所包含的概念與測驗後產生的概念訊息，

這樣將每次測驗記錄起來慢慢修正概念與概念之間的關係漸而趨於客觀

化。

表 2.5 整理了多種診斷學習概念的方法，以視覺化操作介面的概念構圖 工具雖然提升了便利性，但卻無法進行客觀式的評量以及建立學習補救路 徑。依個人化學習瀏覽路徑的診斷方式則受制於學習者可能進行無意間的 路徑瀏覽導致診斷結果產生偏差，故以學習歷程的診斷方法發展甚緩。而 將學習者的個人測驗結果進行診斷是近幾年堀起的方法，測驗診斷的建立 基礎是學習者對測驗的答題結果，這種方法除了可以反映出學習者本身對 概念的瞭解程度外，也有利於評量的客觀性以及容易建立學習補救路徑。

如表 2.5 所示以測驗診斷為基礎的學習概念診斷方法很多，雖然各有其特性 及優劣，但是大多均可以避免工具建構與學習歷程等診斷方法的缺點，足 以說明利用學習者的測驗結果來當成學習概念的診斷是較能廣被接受的方 式，所以本研究將以測驗診斷的方法進行概念關係圖的建構來診斷學習者 的學習概念，並且建立一學習補救路徑幫助學習者進行概念的補救學習與 提供教學者進行補救教學的依據。

表 2.6 則是針對測驗的結果來建立學習補救路徑的整理，從文獻整理中 我們瞭解到如何建立一有效的學習補救路徑是重要的議題，目前眾多的方 法裡又以選擇題的測驗方式來建立該路徑最廣為應用，因為簡單的測驗方 式可以快速地建立，並且經由學習者本身的答題結果來探討學習補救路徑 也較為客觀，但是截至目前的學習補救路徑相關研究充其量只能算是線性

概念的補救，這種單以概念答錯率來決定概念的補救順序是不夠的，因為 概念的學習是具有包容性，換言之相關性較高的概念是必須要一起學習 的，本研究也將對於此一問題提出改善的方法。

我們於研究中提出以灰關聯分析為基礎的概念構圖方式，利用整體性 灰關聯分析法找出概念與概念之間的關係來客觀地建構概念圖並保留大部 分的概念影響訊息，如此能使概念圖的建立更明確，我們將於下一章裡介 紹如何以灰關聯分析來達到建構概念關係圖的目的以及提供一演算法來建 立學習補救路徑。

表2.5 學習診斷方法相關研究表 診斷方式 研究者 研究方法 學習補

救路徑 特性 缺點

Novak(2003) Cmap N 視覺化、方便性操作介面 主觀構圖、評量、無學習補救路徑 蔡浚明(2003) 凱利方格-

連結分析 N 晤談、引導的方式建立概念構圖 主觀構圖、評量、無學習補救路徑 工具建構

Williams(2004) AHP N 多專家決策代替單一教學者構圖 易造成人為疏失、無學習補救路徑 林美娟(1998) Petri-net N 具有追蹤、記錄、分析、判斷學生解題過

程與行為的能力 必須要有概念圖可依循

Rosic(2000) DTEx-Sys N 自動加入學習者瀏覽節點 學習者無意點選的節點也會加入可能造 成系統的判別錯誤、無學習補救路徑 孫小婷(2001) 群聚技術 N 可找出學習者學習分布狀況 無法進行個別化補救教學

學習歷程

謝章冠(2002) SCORM Y 個人化的學習、控制路徑 教學者自訂學習引導路徑

Reynolds(1992) Regression N 可找出學習者對未受測概念的瞭解程度 必須要有概念圖可依循、無學習補救路徑 蕭嘉琳(2001) 資料探勘 Y 使用較簡單的方法即能找出學習者個別

的概念學習珍斷 資料過多造成探勘不易

林義益(2002) 知識地圖 N 累計概念訊息量建構概念圖 無學習補救路徑 廖浚宏(2003) 條件機率 Y 以兩概念同時被答錯的機率方法來達到

客觀的學習診斷 單一構圖結果、概念訊息不足

測驗診斷

Broeck(2003) Regression Y 可找出學習者對未受測概念的瞭解程度 必須要有概念圖可依循

表2.6 以測驗結果建立學習補救路徑

研究者 構圖方法 測驗方式 學習補救路徑

蕭嘉琳 Apriori for concept

歸納式概念演算法 選擇題 門檻值決定概念答錯率

廖浚宏 條件機率 選擇題

概念答錯率門檻值決定個別概念迷思再進行 迴歸分析找出相關概念

蕭維仁 模糊決策 選擇題 門檻值決定概念答錯率

Gamboa 自行建構 是非題或選擇題 Bayesian Network McClure

McClure、Bell Novak、Gowin、Stuart

自行建構 構圖

整體性計分法 相關性計分法 結構性計分法

第三章 灰關聯分析法

本研究提出以灰關聯分析法與概念相關指標法來進行概念關係圖的建 構以及探討其學習補救路徑。本章說明應用整體性灰關聯分析來建構概念 關係圖並找出學習補救路徑，我們把所有學生在答題結果中所包含的概念 以整體性灰關聯分析的方式兩兩比較，如此找出所有概念間彼此的關係程 度訊息。另外學習補救路徑的研究均是單以概念答錯率來當成補救學習的 依據，在未深入探討概念相關性的情況下此種方式將是跳躍式的概念補救 方式，所以我們也發展一學習補救路徑的演算法以期能尋找出更適合學生 進行補救學習的路徑。圖3.1 為本研究之系統架構，

3.1 系統架構

圖 3.1 系統架構圖

其中，針對各部分內容細節再加以介紹之。

1. 建構概念關係圖：以學生測驗結果求出各概念間的關係程度，並經由系 統繪製出概念關係圖。

2. 學習補救路徑演算法：依概念關係圖為基礎提供建議的學習補救路徑。

3. 測驗題庫：此一為動態更新的測驗題庫資料庫，它會依據學生測驗後所 得的概念關係圖裡概念間的資訊含量加以更新，以求在下次測驗中能選 出更符合學生作答的概念選題題目。

4. 學生資料檔：除了儲存學生的一般資料外，尚會記錄每次該學生測驗後 所得的建議學習補救路徑。不僅提供學生自行審閱成長歷程，教師也可 以隨時掌握學生的學習狀況以利調整未來的教學策略。

5. 教師資料檔：教師可於線上編輯測驗題目，可隨時進行修改、更新。

3.2 灰色理論

此節中我們將對灰色理論的基礎做一介紹，除了簡略說明如何應用灰 色理論裡整體性灰關聯分析的特性來建構概念關係圖外，也利用理論中得 到的灰關聯度來進行概念與概念之間關係程度的討論。自1982 年鄧聚龍教 授正式宣告了灰色系統(Grey system)的誕生，也造就了另一波信息革命。灰 色系統意指信息不完全、不確定的系統，其特點在於研究 ”少數據不確定”

之信息。過往學者利用概率數理統計與模糊理論來處理不確定性信息，但

卻受限於樣本數與認知上的條件使得信息處理結果不甚理想，故擁有 ”少 數據不確定”特性之灰色系統因而具有實用價值。所以「灰色系統理論」在 於對事物的”不確定性”(not certainty)、”多變量輸入”(multi-input)、”離散的 數據”(discrete data)及”數據的不完整性”(not enough)做有效的處理。表 3.1 提供了灰色系統、概率數理統計與模糊理論之區別[37][52]。

表3.1 灰色系統、概率、模糊的區別

灰色系統 概率論 模糊集

內涵 小樣本不確定 大樣本不確定 認知不確定

基礎 灰朦朧集 康托集 模糊集

依據 信息覆蓋 概率分布 隸屬度函數

特點 少數據 多數據 經驗(數據)

思維方式 多角度 重複再現 外延量化

信息準則 最少信息 無限信息 經驗信息

(資料來源：鄧聚龍，1999)

其中，灰關聯分析為灰色系統理論中兩大支柱之一，灰關聯分析的主 要功能是做離散序列之間測度的計算。灰關聯分析也是現今廣泛應用領域 探討之方法，因子空間(factor space)、序列可比性(comparison)及灰關聯度是 建立灰關聯分析的三大要素，其中序列可比性又依需求不同可分為局部性 (localized)灰關聯度以及整體性(globalized)灰關聯度[50]。以下為局部性灰關

聯 測 度 的 說 明 ： 在 灰 關 聯 空 間 中 之 因 子 集 P(X) 裡 的 序 列

，局部性灰關聯測度，即只有序列 為參考序 列，其他序列 為比較序列， 與 的灰關聯係數為

( ) ( ) ( )

(

x_i = _i 1, _i 2..., _i

)

x

x

(k ) x

( ) ( )

(

)

( )

∆ +

= ∆

ς γ ς

k k x k x

oi i

o (3) 其中，i = 1, 2, 3, … , n， k = 1, 2, 3, … , m，

辨識係數ς

∈ ( 0 , 1 ]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

k oi i

k

i ∆ = −

=

∆_min min∀ min∀ min∀ min∀

( )

( )

( )

k oi i

k

i ∆ = −

=

∆_max max∀ max∀ max∀ max∀ ，當灰關聯係數產生後，即可依據公 式(4)得到 與 或 與 兩序列之間的灰關聯度量測值， x_o x_i x_i x_j

( ) ∑ ( ( ) ( )

=

= ^m

k

i o k i

o x x k x k

x

1

,

, β γ

γ

)

∑

= m =

k k 1

β 1

k m

= 1

β ，k = 1, 2, 3, … , m。取得所有灰關聯序後，即可根據其所得之數值 進行排列得其結果。

3.3 以整體性灰關聯分析建構概念關係圖

本節將說明應用整體性灰關聯分析來建構概念圖。構圖流程中(如圖 3.2)，教師需在測驗前決定測驗題目包含的概念以便學習者受測後根據灰關

聯分析建構出概念圖。當建立概念圖後，教學者可以視學習者學習能力的 不同而調整建構概念圖的門檻值以達到適性化的目的。

開始

測驗是 否結束

是 否

教師決定題目 測驗 包含概念

利用灰關聯分析 建構概念圖

建立每位學生 學習補救路徑

結束 開始

測驗是 否結束

是 否

教師決定題目 測驗 包含概念

利用灰關聯分析 建構概念圖

建立每位學生 學習補救路徑

結束

圖3.2 構圖流程

概念圖的建構流程約略可分為五個步驟，首先於測驗前決定每一測驗 題包含的概念，然後計算每一單一概念錯誤率來當作學生答錯概念的訊息 量，接著以整體性灰關聯分析法來針對每一概念序列進行比較並保留比較 過後的概念訊息，最後建構出概念圖，各步驟簡略說明如下。

Step 1，教師指導在該次測驗中的測驗題目需包含的概念。

Step2，計算每位學生在該次測驗中的概念答錯率。

Step3，介紹如何以灰關聯分析的方法求得出概念與概念之間的灰關聯測度。

Step4，以灰關聯系統程式計算整體性灰關聯分析。

Step5，將所得之概念關係繪製成概念關係圖。

下列我們將針對各步驟詳述說明。

Step1 測驗題所包含的概念

此時教師並不需要知道概念與概念的存在關係，只需指定測驗題目應 包含哪些概念，另外亦可以加入客觀權重參數值以凸顯部份概念的重要 性，試題包含概念如表3.2 所示：

表3.2 概念被包含於測驗題題數 (C_i：概念；Q_j：測驗題數)

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10 SUM

C1 1 1 1 1 4

C2 1 1 2

C3 1 1 1 1 4

C4 1 1 2

C5 1 1 1 1 4

C6 1 1 1 3

C7 1 1 1 3

C8 1 1 1 3

C9 1 1 2

C10 1 1 2

教師可以數值”1”或勾選方式來表示該題的測驗題目Q_i是否包含概念

C_j，”0”則表示該概念未包含於該題測驗中，最後則統計每一概念在該次測 驗裡總共被包含在幾題測驗題中。本研究有別於一些教師主觀認定概念權 重的方法，所以我們採用與廖浚宏[51]”是否有關係”來表示題目中包含哪些 概念。

Step2 概念錯誤率

在步驟 2 裡我們利用傳統方法[6][7][51]計算每一概念在該次測驗中每 一位學生答錯的錯誤率。概念錯誤率範例如表 3.3 所示：

表 3.3 學生對概念之答錯率 (C_i：概念；S_j：學生)

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 CRj

C1 0.25 0.25 0.5 0.5 0 0.5 1 0.5 0.75 0 0.425 C2 0 1 0.5 0 0 0.5 0.5 0 0 0.5 0.300 C3 0 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.325 C4 0 0.5 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0.150 C5 0.25 0.5 0.75 0.25 0 0.75 0.75 0.5 0.5 0.25 0.450 C6 0.33 0.33 0 0 1 0.33 0 0.33 0.33 0.67 0.332 C7 0.67 1 0.33 0 0.33 0 0.67 0.33 0 0.33 0.366 C8 0 0 0.33 0.33 0.33 1 0.67 0.67 0.67 0 0.400 C9 0 0 0 0.5 0 0.5 0.5 0 0.5 0 0.200 C10 0 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 0.200 表中有數值的部份即為學生於該次測驗中，對單一概念的答錯率。假 設學生S₁答錯了包含概念題目Q₁與Q₄，則該學生在概念C₁的答錯率為，