3 向量

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3 向量

Vector Quantities

(2)

3-1 物理學探討什麼 3-2 向量與純量

3-3 向量的幾何加法 3-4 向量的分量

3-5 單位向量

3-6 以分量計算向量的和 3-7 向量與物理定律

3-8 向量的乘法

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3-1 物理學探討什麼

„ 物理學處理許多含有大小與方向的量,並需要用一種 特殊的數學語言──向量的語言,來描述這些量。

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3-2 向量與純量

„ 向量物理量(vector quantity)是具有大小與方向的物 理量,因此可以用向量代表它。位移、速度及加速度 都是向量物理量。

„ 並非所有的物理量都有方向,比如溫度、壓力、能量

、質量和時間等,這些量並沒有任何指向空間方向的 意義,我們稱這些量為純量(scalar)。

„ 最簡單的向量物理量是位移,也就是位置的變化。我 們以一個向量代表位移,並稱之為位移向量(

displacement vector);同理,也可以有速度向量及加 速度向量。

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圖3-1

(a)這三個箭號都有相同的大小及方向,因此它們代表相同的位移。

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3-3 向量的幾何加法

„ 如圖 3-2a 的向量圖形所示,有一粒子從 A 點移動至 B 點,然後再從 B 點移動至 C 點,我們可以用兩個 連續的位移向量 AB 和 BC 來代表它的總位移(不管 它的實際路徑如何),這兩個位移的淨(總)結果與 將粒子從 A 點移動至 C 點的單一次位移結果一樣。

因此,我們可以稱 AC 為 AB 和 BC 兩位移的向量和

(vector sum;resultant),這個「和」的意義與一般 的「代數和」不同。

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圖3-2

(a) AC是 AB 和 BC 兩向量的向量和。(b)重新標示相同的向量。

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3-3 向量的幾何加法 (續)

„ 我們可以將圖 3-2b 中三個向量之間的關係寫成一個 向量方程式(vector equation)

這表示向量 s 是向量 a 及向量 b 的向量和。

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3-3 向量的幾何加法 (續)

„ 圖 3-2 是一種以幾何方法計算二維向量 a 和 b 相加的 過程:

(1) 選擇適當的比例,將向量 a 畫在紙上,並保持 a 原 本的方向;

(2) 用相同的比例畫出向量 b,同樣要保持 b 原本的方 向,並將 b 的尾部與向量 a 的頭部相接;

(3) 從 a 的尾部到 b 的頭部間,我們畫上箭號,這個箭 號便是向量和 s。

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圖3-3

可以將兩向量 a 以及 b 以任意次序相加,見3-2式。

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3-3 向量的幾何加法 (續)

„ 向量 –b 的大小與向量 b 相同,但是方向相反(見圖 3-5)。

„ 若將圖 3-5 中的兩向量相加,得到 b+(–b)=0。所以

,「加上 –b」的效果等於「減去 b」。我們利用這個 性質來定義兩個向量的差:令 d= a–b,則

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圖3-4

可以將三個向量 a、b 及 c 以任意次序相加,見3-3式。

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圖3-5

向量 b 與向量 –b 有相同的大小及相反的方向。

(14)

„ 一個向量的分量(component)定義為該向量在座標 軸上的投影。

„ 一個向量在 x 軸上的投影就稱為它的 x 分量,在 y 軸上的投影就稱作 y 分量。這種求分量的過程稱為 向量的分解(resolving the vector)。

3-4 向量的分量

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圖3-8

(a)向量 a 的分量 ax及 ay。(b)若平移一個向量而不改變它的大 小及方向,它的分量是不會改變的。(c)以分量為直角三角形

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„ 利用圖 3-8a 中的直角三角形,可以幾何方式求出 a 的分量:

„ 一旦向量被分解成一些沿著座標軸上的分量,那麼 這些分量也可以用來代表原向量。例如,圖 3-8a 中 向量 a 可以由 a 及θ的數值完全決定出來;同時,

它也可以由它的分量 ax 及 ay 決定出來。

3-4 向量的分量 (續)

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圖3-9

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3-5 單位向量

„ 單位向量(unit vector)是大小恰好為 1 並指向某一 特定方向的向量,它沒有因次及單位,唯一的用途是 用來指向,也就是標示一個方向。指向 x、y 及 z 軸 正方向的單位向量分別寫為 i、j 及 k。

„ 圖 3-14 中座標軸的配置方式稱為右手座標系(right- handed coordinate system)。

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3-5 單位向量 (續)

„ 可以用單位向量來表示其他的向量,這種表示法十分 有用。例如,可以將圖 3-8 及圖 3-9 內的向量 a 及 b 寫為

„ ax i 及 ay j 這兩個量是向量,稱為向量 a 的向量分量

(vector components);而 ax及 ay 這兩個量是純量,

稱為向量 a 的純量分量(scalar components);或者 如前面所說,簡稱為分量(components)。

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圖3-14

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圖3-15

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3-6 以分量計算向量的和

„ 考慮以下方程式:

這個等式代表 r 與 a+b 是相同的向量,因此 r 的每一分 量必須和 a+b 對應的分量相等:

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3-6 以分量計算向量的和 (續)

„ 當以分量計算 a 與 b 的向量和時,我們必須:

(1) 將向量分解成其純量分量;

(2) 將對應於相同座標軸的純量分量各自相加,如此可 以得出向量 r 的各分量;

(3) 將 r 的各分量組合起來,便得到 r 向量。

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3-7 向量與物理定律

„ 我們也可以將座標軸(但不包含向量 a)旋轉ψ的角 度,如圖 3-19b,此時向量 a 的各分量將會有新的數 值,我們將它們記為 a’x 及 a’y,因為ψ有無數個數值 可以選擇,所以向量 a 也有無限多組的不同分量。

„ 每一組分量(與它的座標軸)只是以不同方式來描述 同一向量 a,每一組都會產生具相同大小和方向的向 量。

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3-7 向量與物理定律 (續)

„ 向量跟向量之間的關係與座標原點的位置或座標軸方 向的選擇均無關,所以我們可以自由選擇座標系來描 述向量。

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圖3-19

(a)向量 a 跟它的分量。(b)相同的向量,不過座標軸旋轉了

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3-8 向量的乘法

以純量乘向量

„ 假若我們將純量 s 乘以向量 a,我們得到一個新的向 量,它的大小等於 a 的大小乘以 s 的絕對值。若 s 為 正,它的方向與 a 相同;若 s 為負,則方向與 a 相反

。要計算 a 除以 s,只要將 a 乘以 1/s 即可。

以向量乘向量

„ 向量乘以向量有兩種方法:第一種乘法可以得到一個 純量(稱為純量積;scalar product),另一種乘法可 得到一個新的向量(稱為向量積;vector product)。

學生經常容易將它們混淆。

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3-8 向量的乘法 (續)

純量積

„ 考慮圖 3-20a 內的兩個向量 a 及 b,它們的純量積(

scalar product)記為 a.b,並被定義為

上式中,a 為向量 a 的大小,b 為向量 b 的大小,ψ為 向量 a 和 b 之間的夾角(a 方向及 b 方向間的夾角)。

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3-8 向量的乘法 (續)

„ 由於我們用「‧」的符號,因此 a.b又被稱為點積

(dot product)並讀作「a dot b」;另一個名稱為內 積(inner product)。

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圖3-20

(a) 兩個向量 a 和 b,它們之間的夾角是ψ。

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3-8 向量的乘法 (續)

„ 交換律(commutative law)適用於純量積,我們有

„ 當兩個向量均以單位向量表示時,它們內積可寫為

可以依分配律(distributive law)將方程式右邊展開:

第一個向量的每一個向量分量與第二個向量的每一個向 量分量做內積運算。因此,可得到

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3-8 向量的乘法 (續)

向量積

„ 兩個向量 a 和 b 的向量積(vector product),寫為 a × b,會產生第三個向量 c,它的大小為

其中ψ為 a 和 b 的兩個夾角中較小的一個。

„ 由於使用了「×」的符號,a × b 也稱為叉積(cross product),並讀作「a cross b」;另一個名稱為外積

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3-8 向量的乘法 (續)

„ c 的方向垂直於包含 a 和 b 兩向量的平面。圖 3-21a 說明如何決定 c = a × b 的方向,此規則稱為右手定 則(right-hand rule)。

„ 交換律不適用於向量積。以單位向量表示向量時,外 積可寫為

將 3-29 式的其他項計算出來,可得

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圖3-21

向量積的右手定則。(a) 以右手手指從 a 掃向 b,大拇指的伸 出方向便是 c = a × b的方向。(b) b × a 的方向與 a ×

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