9-2 質量中心

9 質心與線動量

Center of Mass and Momentum

9-1 物理學探討什麼？

9-2 質量中心

9-3 粒子系統的牛頓第二定律 9-4 線動量

9-5 粒子系統的線動量 9-6 碰撞與衝量

9-7 線動量守恆

9-8 碰撞的動量及動能

9-9 一維非彈性碰撞 9-10 一維彈性碰撞 9-11 二維碰撞

9-12 變質量系統：火箭

9-1 物理學探討什麼？

„

在這一章中，我們要討論如何將物體系統（譬如汽車 或芭蕾舞者）的複雜運動加以簡化；其實，只要測定 出此系統的某個特殊的點─系統的質量中心─即可。

9-2 質量中心

„

為偵測系統的可能運動路徑，我們來定義粒子系統（

例如人）的質量中心（center of mass；質心）。

9-2 質量中心

^(續)

粒子系統

„

圖 9-1b 所顯示的是更普遍的情形。座標系統向左位 移，則此時質心位置定義為

„

我們可將此方程式延伸到更一般的情況，即 n 個沿 x 軸排列的粒子，總質量 M=m

₁ +m ₂ +⋯+m _n

，質心位置 為

圖9-1

(a) 質量為 m₁ 及 m₂ 的兩粒子，相距為 d。標示「com」處為 質心的位置，可由 9-1 式計算。

(b) 粒子系統與圖 (a) 相同，只是座標原點離兩粒子較遠。

質心的位置可由 9-2 式計算。質心與任一粒子的相對位置，

在此兩種情形中均相同。

9-2 質量中心

^(續)

„

若粒子分佈在三維空間，則質心須以三個座標來標示

。由 9-4 式推展為

„

一粒子系統的質心位置也可用位置向量表示為

9-2 質量中心

^(續)

„

9-5 式的三個純量式，現在可用一個簡單的向量式取 代，

此處，M 同樣為系統的總質量。

9-2 質量中心

^(續)

剛體

„

一般物體，例如球棒，是由許多粒子（原子）組成，

所以我們可將其質量視為連續分佈，此時「粒子」成 為很微小的質量元素 dm，9-5 式的總和變成積分，則 質心的座標定義為

此處 M 為物體的質量。

9-2 質量中心

^(續)

„

此處只考慮均勻物體，具有均勻的密度；亦即其密度 ρ對該物體任一處的質量元素而言，都是一樣的值。

„

由密度的定義得

其中 dV 為質量元素 dm 所佔有的體積，而 V 為物體的 總體積。將 9-10 式中的 dm=(M/V)dV 代入 9-9 式，則可 得到

範例9-1

三個質量各為 m

₁

=1.2 kg、m

₂

=2.5 kg、m

₃

=3.4 kg 的粒子

，各位於邊長 a=140 cm 的等邊三角形頂點上。系統的 質心位置在何處？

解題關鍵

我們面對的是粒子而非剛體，因此可以使用 9-5 式來定 出其質心的位置。粒子位於等邊三角形的平面上，因此 我們只需要前面兩個方程式。

範例9-1 (續)

解題算式

我們可以藉由挑選 x 和 y 軸來簡化計算，使得其中一個 粒子位在原點，且 x 軸與三角形其中一邊重疊（見圖

9-2）。則三個粒子的座標值如下：

系統的總質量 M 為 7.1 kg。

圖9-2

三個粒子分別位於邊長為 a 的等邊三角形頂點上。

範例9-1 (續)

由 9-5 式知，質心座標為

範例9-1 (續)

以及

在圖 9-2 中，質心位於位置向量 r

_com

處，其分量為 x

_com

及 y

_com

。

9-3 粒子系統的牛頓第二定律

„

要掌握一個粒子系統的質心運動，我們用向量方程式 來描述為

此方程式即一粒子系統質心運動的牛頓第二定律。請注 意其形式與單一粒子運動 ( F

_net

=ma ) 的形式相同。

9-3 粒子系統的牛頓第二定律

^(續)

„

9-14 式裡出現的三個分量，在計算時須注意：

™ (1) F _net

為一淨力，即作用在系統上所有外力的向量 和。系統中某一部分作用在另一部分的力（內力）並 不包括在 9-14 式內。

™ (2) M 為系統的總質量。我們假設系統運動時沒有質

量進入或離開此系統，因此 M 保持常數，此系統稱 為封閉的（closed）。

™ (3) a _com

是系統質心的加速度。9-14 式沒有提供系統 其他粒子的加速度資料。

9-14 式的證明

„

由 9-8 式得知，有 n 個粒子的系統，

其中，M 為系統總質量，而向量 r

_com

定出系統質心的 位置。

„

微分 9-16 式，亦即對時間求導數，可得

方程式中 v

_i

（=dr

_i

/dt）為第 i 個粒子的速度，且 v

_com

（

=dr

_com

/dt）為質心的速度。

9-3 粒子系統的牛頓第二定律

^(續)

m

_n

v

_n

9-3 粒子系統的牛頓第二定律

^(續)

„

微分 9-17 式，亦即對時間求導數，推得

此處 a

_i

（=dv

_i

/dt）為第 i 個粒子的加速度，且 a

_com

（

=dv

_com

/dt）為質心的加速度。雖然質心只是一個幾何 上的點，但它有位置、速度及加速度，就像是一粒子。

„

根據牛頓第二定律，m

_i

a

_i

就等於作用於第 i 個粒子上 的合力 F

_i

，因此我們可把 9-18 式改寫成：

9-3 粒子系統的牛頓第二定律

^(續)

„

在 9-19 式右邊各力之間，所貢獻的力包含由系統各 粒子間的交互作用力（內力），和由系統外作用於各 粒子的力（外力）。

„

根據牛頓第三定律，內力將形成 9-19 式右邊作用力 與反作用力的成對抵消，只保留作用於系統所有外力 的向量和。則 9-19 式簡化成 9-14 式，因而得證。

範例9-3

圖 9-6a 中最初為靜止的三個粒子，皆受到來自此三粒 子系統外的物體所施之外力，方向如圖所示，大小為

F ₁

=6.0 N、F

₂

=12 N 和 F

₃

=14 N。試問此系統的質心加 速度為何？質心向哪個方向移動？

解題關鍵

質心的位置可利用範例 9-1 的方式算出，標示於圖中的 圓點處。我們可以把質心看成一個真實的粒子，具有與 系統總質量相同的質量 M=16 kg，也可以將這三個外力 看成同時作用在質心上（見圖 9-6b）。

圖9-6

(a) 最初三個粒子是靜止於圖示的位置，受到如圖中的外力作用。

系統之質心（com）如圖中的標示。

(b) 現在將各力作用轉移於系統的質心，質心的行為就像一粒子，

其質量 M 等於系統的總質量。質心所受的淨外力 F_net 及其加速度

a

_com 如圖所示。

範例9-3 (續)

解題算式

現在我們可將牛頓第二定律（F

_net

=ma）應用到質心上

，寫成 或者 所以

9-20 式告訴我們，質心的加速度 a

_com

與系統淨外力 F

_net

的方向相同（見圖 9-6b）。

範例9-3 (續)

因為粒子最初為靜止，質心必定也是靜止的，而當質心 開始加速時，它必定朝 a

_com

及 F

_net

共同的方向行進。

我們可以用一具向量功能的計算機直接估算 9-21 式右邊的答案，也可以把 9-21 式重寫成分量形式，找 出 a

_com

的各分量，然後求出 a

_com

。我們沿 x 軸可得

範例9-3 (續)

沿 y 軸可得

經由這些分量可求得 a

_com

的大小，

以及角度（a

_com

與正 x 軸方向的夾角）

9-4 線動量

„

一粒子的線動量（linear momentum）為一向量 p，其 定義為

其中，m 為粒子的質量，v 為其速度。

„

動量的 SI 制單位為「公斤－公尺／秒」（kg．m/s）

„

牛頓曾以動量來表示第二運動定律：

9-4 線動量

^(續)

„

以方程式來表示則為

„

線動量只能藉由淨外力才能改變。將 9-23 式的 p 以 9-22 式取代，而 m 是固定的質量，運算如下

因此，對於一粒子的牛頓第二定律而言，F

_net

=dp/dt 和 F =ma 實為等效的關係式。

9-5 粒子系統的線動量

„

現在我們考慮一具有 n 個粒子的系統，以推廣粒子系 統線動量的定義。就系統整體而言，具有一總動量 P

，其定義為個別粒子的線動量之向量和。因此，

„

若將此式與 9-17 式比較，我們可知

m

_n

v

_n

9-5 粒子系統的線動量

^(續)

„

若我們對 9-25 式取時間導數，則可得

„

牛頓第二定律也可寫成相同的形式：

此處 F

_net

為作用於系統的淨外力。

„

線動量只能藉由一淨外力的作用才能改變，如果沒有 淨外力存在，P 就不會改變。

9-6 碰撞與衝量

„

任何像粒子的物體不會改變其動量 P，除非有一淨外 力作用而導致其動量改變。

單一碰撞

„

我們令發射體為球、標靶物為球棒，碰撞過程短暫，

而球所承受的力大到足以讓球速減緩、停止或甚至反 轉其運動方向。圖 9-7 敘述此碰撞發生的某一瞬間。

„

在時間間隔 dt 內，球的動量改變量是

圖9-7

當球與球棒相碰撞時，此球受一力 F(t) 作用。

9-6 碰撞與衝量

^(續)

„

如果將 9-28 式的兩邊積分，而積分範圍從碰撞開始 的 t

_i

到碰撞結束的 t

_f

，則可求出由於碰撞而導致球動 量所改變的淨值：

„

方程式右邊是撞擊力大小和持續時間兩者的量度，此 量度值稱為碰撞的衝量（impulse）J：

9-6 碰撞與衝量

^(續)

„

因此，物體動量的改變量等於作用在物體上的衝量：

„

在很多情形下，我們並不知道力如何隨著時間改變，

但是卻知道力的平均量值 F

_avg

，以及碰撞的持續時間 Δt（=t

_f

－t

_i

）。我們可以將衝量大小表達成

圖9-8

(a) 這個曲線顯示出隨時間而 變的撞擊力 F(t) 大小，此力 即為圖 9-7 的碰撞中，作用 在球上的力。曲線下的面積 就等於球在碰撞時所承受的 衝量大小。

(b) 長方形的高代表平均力

F

_avg 在Δt 時間的間隔內，平 均力對球作用。此長方形的 面積與圖(a)中曲線下的面積 相等，所以此面積也等於碰 撞時的 J 衝量大小。

9-6 碰撞與衝量

^(續)

連串的碰撞

„

在圖 9-9 中，有一穩定流速的投射物，其中每一投射 物的質量 m 及線動量 mv 都是相同的，它們沿著 x 軸 移動並撞擊一固定於地面的標靶物。

„

n 個投射物在Δt 的時間內，線動量的總改變量為 nΔp。在Δt 期間，作用於標靶物衝量 J 的總和是沿 著 x 軸，且和 nΔp 大小相同、方向相反。

此處的負號代表 J 和Δp 的方向相反。

9-6 碰撞與衝量

^(續)

„

在碰撞期間，作用於標靶物的平均力 F

_avg

：

此式告訴我們 F

_avg

是根據 n/Δt（投射物對標靶物的撞 擊率）和Δv（投射物速度的改變率）來決定。

„

在時間Δt 的間隔內，共有質量Δm=nm 撞上標靶物

，因此，9-37 式可寫成

範例9-4

當一頭大角公羊以頂角去衝撞另一頭公羊時，其速率降 至 0 的變化率是頗引人注目的。在如此的衝撞中，圖

9-10 提供了加速度 a 對時間 t 的函數關係圖，加速度 取為負值的原因是對應於初速方向取為正值的關係。加 速度的尖峰值大小為 34 m/s

²

，而衝撞的持續時間為

0.27 s。假設公羊的質量是 90.0 kg，則公羊由於衝撞 所承受的衝量和平均力的大小為何？

解題關鍵

(1) 根據 9-30 式（J=

∫ F(t) dt），衝量是定義為作用力

對時間的積分。(2) 藉由 9-35 式（J=F

_avg

Δt）得知，平

圖9-10

在一大角公羊與另一頭公羊頂撞的期間，

其所承受的加速度對時間之函數關係圖。

範例9-4 (續)

解題算式

我們沒有此作用力的函數式，所以無法求其積分。然而 我們確實有一個 a 對 t 的函數圖，若將加速度軸的刻度 乘上 90.0 kg 的質量，我們就可將其轉換成 F 對 t 的函 數圖，則此圖形積分可藉由曲線與時間軸間的面積來求 得，既然此曲線構成了三角形的形狀，我們可得衝量的 大小為

範例9-4 (續)

至於平均力的大小，我們可寫成

評論：在此衝撞期間，公羊所承受的衝量等於其動量的 改變量，所以衝量的大小端賴公羊的質量和正要衝撞前 的速率而定。公羊需要一個很大的動量來贏得戰役，不 管怎樣，只要是公羊以頭殼對頭殼，或者頭殼對頂角的 話，則本題所提及的衝撞持續時間將縮短為原先的 1/10

，而剛才估算出的平均力將會增加 10 倍。

範例9-4 (續)

如此強大的衝撞力會導致腦震盪或甚至死亡，若以上結 果沒發生，此公羊將贏得旁觀母羊的青睞。

一公羊藉由彈性的頂角，往往可在頂撞時避免災難，因 為這樣的韌度可使衝撞時間延長，而讓衝撞力降低到約 1500 N，公羊的腦袋和肌肉組織可以耐得住這樣的衝撞 力。因此，若在某次衝撞時頂角斷了，則下一次的頂撞 便可能致命。

9-7 線動量守恆

„

假設作用於一粒子系統的淨外力（及衍生的淨衝量 J

）為 0（該系統是孤立的），且無粒子離開或進入該 系統（該系統是封閉的）。令 9-27 式中的 F

_net

=0，

則使得 dP/dt =0，或

„

敘述如下：

9-7 線動量守恆

^(續)

„

此一結論被稱之為線動量守恆定律（law of

conservation of linear momentum），它也可寫成

„

就一封閉、孤立的系統而言，此式可敘述為

範例9-6

一維空間的爆炸。質量 m=6.0 kg 的投票箱正以 v＝4.0 m/s 的速率沿 x 軸正向通過無摩擦的地板。箱子爆炸成 兩塊碎片，一塊的質量 m

₁ =2.0 kg 以 v ₁ =8.0 m/s 的速率

向 x 軸正向運動，試求質量 m

₂

的第二塊碎片之速度。

解題關鍵

(1) 如果我們知道第二塊碎片的動量，便可以知道它的 速度，因為我們已經知道它的質量 m

₂ =m － m ₁

=4.0 kg。

(2) 如果動量守恆的話，我們便可將兩塊碎片的動量和 箱子的初動量關聯起來。

範例9-6 (續)

解題算式

我們的參考座標就定在地板上，系統原先是箱子，然後 由兩塊碎片所組成，是封閉但非孤立，因為箱子和碎片 都受到來自地板正向力和重力的作用。然而，這些力都 是垂直，因此並不會改變系統動量的水平分量；由爆炸 所生產的力也不會，因為它們是系統內力的作用，所以 此系統動量的水平分量是守恆的，而沿著 x 軸，我們可 以應用 9-43 式。

此系統原先的動量就是箱子的動量：

範例9-6 (續)

同理，我們可以寫下兩塊碎片的末動量為

系統最後的總動量 P

_f

為這兩碎片動量的向量和：

既然本題所有的速度及動量均為沿 x 軸的向量，我們便 可以 x 分量來取代向量式。

範例9-6 (續)

當使用 9-43 式來處理時，我們得到 或

代入已知數據可得

因此

既然結果是正的，代表第二塊碎片是朝 x 軸的正方向移 動。

9-8 碰撞的動量及動能

„

若總動能在碰撞後仍不改變，則該系統的動能是守恆 的（動能在碰撞前和碰撞後相同），這樣的碰撞稱為 彈性碰撞（elastic collision）。

„

一般物體如兩輛車或球與球棒，通常在碰撞中，總有 一些能量由動能轉為其他形式的能量，例如熱能或聲 能，因此系統的動能並不守恆，這樣的碰撞稱為非彈 性碰撞（inelastic collision）。

„

最大的動能損失是發生在當兩物體碰撞後黏結在一起 時，在這種情形下的碰撞稱為完全非彈性碰撞（

completely inelastic collision）。

9-9 一維非彈性碰撞

一維非彈性碰撞

„

圖 9-14 所示為兩物體正要發生一維碰撞之前及之後 的情形。在碰撞前（下標 i）和碰撞後（下標 f）的速 度已標示出來。此兩物體組成了所謂封閉且孤立的系 統，可寫出此二物體系統的線動量守恆定律如下：

圖9-14

當沿 x 軸移動的物體 1 和物體 2 完成 一非彈性碰撞前及後的情形。

9-9 一維非彈性碰撞

^(續)

一維完全非彈性碰撞

„

圖 9-15 所示為兩物體正在做完全非彈性碰撞（意思 就是它們黏在一起了）之前及之後的情形。質量 m

₂

的物體原先是靜止的（v

_2i

=0），我們可以稱此物體是 一個靶，而入射的物體為一個投射物。

„

碰撞後黏在一起的物體以速度 V 移動，在此情況下

，9-51 式可重寫為

圖9-15

兩物體間的完全非彈性碰撞。碰撞前，質量 m₂ 的 物體是靜止的，且質量 m₁ 的物體直接朝它移動。

碰撞後，黏在一起的兩物體一起以速度 V 移動。

9-9 一維非彈性碰撞

^(續)

質心速度

„

在一封閉、孤立的系統中，質心速度 v

_com

不會因碰 撞而改變。於系統是孤立的，所以沒有淨外力來改變 它。為了求出 v

_com

的表式，讓我們回到二物體系統及 圖 9-14 中的一維碰撞，由 9-25 式（P=M v

_com

），可 將 v

_com

與此二物體系統的總線動量 P 產生關聯寫成

9-9 一維非彈性碰撞

^(續)

„

總線動量 P 在碰撞期間是守恆的，因此可由 9-50 式 任一邊得到。我們採用左式並寫成

„

將上式取代 9-54 式中的 P，並解出 v

_com

得

圖9-16

展示一些定格的畫面，是圖 9-15 中兩物體系統完全非彈 性碰撞的經歷。每個定格畫 面都標示出該系統的質心。

質心速度 v_com 並不受碰撞影 響， 因為物體在碰撞後黏在 一起， 所以其共同速度 v 必 等於質心速度 v_com。

範例9-9

衝擊擺（ballistic pendulum）是在電子計時器尚未發展 前，用來量測子彈速率的裝置。如圖 9-17 所示，此裝 置是以兩長繩懸掛一塊質量 M=5.4 kg 的大木塊組成。

一個質量 m=9.5 g 的子彈射入木塊，並很快就靜止，

木塊+子彈系統向上擺動。當其擺動至圓弧軌線的尾端 而暫停時，系統質心上升的垂直距離為 h=6.3 cm。則 正要碰撞的時候，子彈的速率為何？

範例9-9 (續)

解題關鍵

我們可以看出子彈的速率 v 決定了上升高度 h。然而，

我們不能用力學能守恆將此兩物理量關聯起來，因為顯 然能量會在子彈鑽入木塊時，由力學能轉換成其他形式 的能量（如熱能及裂開木塊所需的能量）。不過我們仍 可將這個複雜的運動分成兩個步驟各自分析：(1) 子彈

－木塊的碰撞；(2) 子彈－木塊的揚升，在此揚升過程 中，力學能是守恆的。

圖9-17

一個過去用於量測子彈速率的衝擊擺。

範例9-9 (續)

推論步驟 1：由於子彈－木塊系統的碰撞很短暫，我們 可做兩個重要的假設。(1)碰撞時，重力及吊繩皆對木 塊施力且仍維持平衡，因此，在碰撞期間，此子彈－木 塊系統的淨外衝量為 0，因此系統為孤立的，其線動量 是守恆的。(2)子彈與木塊剛碰撞完的方向仍循子彈原 先的運動方向，據此判定碰撞應是一維的。

因為碰撞是一維的，木塊最初為靜止，且子彈崁入了木 塊，所以我們可以用 9-53 式來表達線動量守恆。將該 式符號改成此處相對應的符號，我們得

範例9-9 (續)

推論步驟 2：當子彈與木塊一起擺動上揚時，此子彈－

木塊－地球系統的力學能是守恆的。（因為繩子對木塊 施力的方向恆垂直於木塊行進的方向，故此力並不會改 變系統的力學能。）我們取木塊最初的高度，就是重力 位能為 0 的參考高度，則力學能守恆便意味著系統在擺 動開始時的動能，必等於擺動到最高點時的重力位能。

因為子彈和木塊在擺動開始的速率，就是碰撞結束瞬間 的速率 V，我們可將此守恆寫成

範例9-9 (續)

結合兩步驟：將 9-57 式的 V 代入上式，導得

衝擊擺像是一種「轉換器」，可將質量較小物體（子彈

）的高速，轉換成易於量測之質量較大物體（木塊）的 低速。

9-10 一維彈性碰撞

靜止靶

„

圖 9-19 所示為兩物體經歷一維碰撞前及碰撞後的情 況，類似撞球間的正面撞擊。質量 m

₁

且初速度 v

_1i

的 投射物，朝向質量 m

₂

且原為靜止（v

_2i

=0）的靶移動

。假設此雙物體系統是封閉且孤立的，則系統的淨線 動量是守恆的。而根據 9-51 式，守恆式可寫為

„

若此碰撞也是彈性碰撞，則總動能是守恆的，可寫下 守恆式為

„

在上述的方程式中，下標 i 代表物體的初速度，而 f 代表其末速度。若我們知道物體的質量，同時也得知 物體 1 的初速度 v

_1i

，則只剩下兩物體的末速度 v

_1f

及

v _2f

是未知量。

9-10 一維彈性碰撞

^(續)

圖9-19

物體 1 沿著 x 軸移動，正要與原先靜止的 物體 2 做彈性碰撞，兩物體在碰撞後均沿 此 x 軸移動。

9-10 一維彈性碰撞

^(續)

„

由線動量守恆 以及總動能守恆

我們可得 以及

9-10 一維彈性碰撞

^(續)

„

自 9-68 式注意到 v

_2f

是恆為正的（質量為 m

₂

的靜止 靶，被撞後總是向前移動）。而由 9-67 式可知，v

_1f

可能有正負符號（若 m

₁ >m ₂

，則質量 m

₁

的投射物撞 後仍會向前移動；若 m

₁ < m ₂

，則撞後被反彈）。

„

我們來檢視一些特殊的情況：

‹

(1) 兩物的質量相等 若 m

₁ = m ₂

，則 9-67 式及 9-68 式便簡化成

我們可以稱之為一種撞球演出的效果。等質量的兩物體 單純是交換速度。

9-10 一維彈性碰撞

^(續)

‹

(2) 靜止靶的質量超大 在圖 9-19 中，質量超大的靶 意指 m

₂

＞＞m

₁

。例如，我們發射一顆高爾夫球去撞 靜止的砲彈，則 9-67 式及 9-68 式會簡化成

由此可知，物體 1（高爾夫球）單純是沿著入射路徑反 彈回去，原則上其速率不變。

9-10 一維彈性碰撞

^(續)

‹

(3) 投射物的質量超大 這是相反的狀況，即 m

₁

＞＞

m ₂

。這次我們發射一顆砲彈去撞擊靜止的高爾夫球。

9-67 式及 9-68 式簡化成

9-70 式說明物體 1（砲彈）繼續保持前進，且幾乎不因 碰撞而減速。物體 2（高爾夫球）則以 2 倍於砲彈的速 率帶頭向前衝。

9-10 一維彈性碰撞

^(續)

移動靶

„

對圖 9-20 的情形而言，線動量守恆可寫成 而動能的守恆則寫成

要解出此聯立方程式以求得 v

_1f

及 v

_2f

9-10 一維彈性碰撞

^(續)

„

將 9-74 式除以 9-73，並做一些代數運算之後，我們 可得

以及

圖9-20

物體正面相向移動，做一維彈性碰撞。

範例9-11

兩金屬球分別用繩垂直懸吊，原先兩球恰好碰觸，如圖 9-21 所示。球 1 質量 m

₁ =30 g 被往左拉至高度 h ₁

=8.0 cm 處，然後由靜止釋放，在擺動下來後，將會與球 2 產生彈性碰撞。球 2 的質量 m

₂

=75 g，則球 1 剛碰撞後 的速度 v

_1f

為何？

解題關鍵

我們可將此複雜的運動分解成兩個步驟來分析：(1) 球 1 的下降（此處力學能是守恆的）；(2) 兩球的碰撞（

此處動量是守恆的）。

圖9-21

金屬球以繩懸吊著，當兩球靜止時恰好接觸。

質量 m 的球 1 被向左拉至 h 高處，然後釋放。

範例9-11 (續)

步驟 1：當球 1 擺動下來時，球－地球系統的力學能是 守恆的（繩子作用在球 1 的力因為總是垂直於球的行進 方向，所以力學能不會改變。）

解題算式

我們取擺至底部最低點時為一參考水平位置，其重力位 能為 0。則球 1 在最低點時的動能，必等於當球 1 在高 度 h

₁

時的系統重力位能。因此，

範例9-11 (續)

依此可求出在球 1 恰要碰撞前的速率 v

_1i

：

步驟 2：除假設此為彈性碰撞外，我們還可另做兩個假 設。首先，可假設此為一維的碰撞，因為球的運動在正 要碰撞前及剛碰撞後幾乎是呈水平的。其次，因為碰撞 時間很短，短到可以假設此雙球系統是封閉且孤立的。

以上可知系統的總動量是守恆的。

範例9-11 (續)

解題算式

因此，我們可用 9-67 式來找出球 1 剛碰撞後的速率：

負號提示，球 1 剛碰撞後的移動方向是向左。

9-11 二維碰撞

„

當兩物體碰撞時，在兩者間之衝量可測知其未來行進 的方向，尤其當碰撞並非正面的時候，結果是物體不 會再沿著初始的軸前進。

„

對這樣的二維碰撞，只要是一個封閉孤立的系統，則 其總線動量仍必守恆：

„

如果此碰撞也是彈性的話，則總動能也是守恆：

9-11 二維碰撞

^(續)

„

圖 9-22 所顯示的是投射物與靜止靶間的一種擦撞（

並非正面的）情況，可將 9-77 式沿 x 軸的分量寫成 而沿 y 軸時為

„

我們也可把 9-78 式（彈性碰撞的特殊情形）以速率 形態改寫如下式：

圖9-22

有一彈性碰撞發生於兩物體間，但不是正面碰撞。

9-12 變質量系統：火箭

求出加速度

„

假設我們相對於一慣性參考座標系是靜止的，於此觀 察一火箭在不受重力及空氣阻力作用下，加速通過太 空。對此一維運動而言，令火箭質量為 M，並定其速 度為 v 而此刻的時間為 t（見圖 9-23a）。

„

圖 9-23b 顯示稍後一小段時間 dt 內的系統演變。火 箭現在的速度為 v+dv、質量為 M+dM，此處質量的 改變量 dM 是負值。在 dt 的時間間隔內，由火箭排 出的廢氣物之質量為－dM，而其相對於我們的慣性 參考座標之速度為 U。

圖9-23

(a) 有一正在加速的火箭，在 t 時的質量為 M，是由一慣性 參考座標系所觀察。

(b) 情況相同，不過是在 t+dt 時所觀察。在時間 dt 內所排 出的廢氣物亦如圖所示。

9-12 變質量系統：火箭

^(續)

„

我們的系統由火箭及在時間 dt 內排出的廢氣物所組 成。此系統是閉封且孤立的，因此系統的線動量在時 間 dt 內必定是守恆的，即

„

可將 9-82 式重新寫成

其中右式的第一項為時間 dt 內排出廢氣物的線動量，

第二項為火箭剛過時間間隔 dt 時的線動量。

9-12 變質量系統：火箭

^(續)

„

寫成符號即為 或

„

將此結果代入 9-83 式的 U，並經一些代數運算後得

9-12 變質量系統：火箭

^(續)

„

兩邊同除以 dt，我們可得

„

我們以－R 取代 dM/dt（火箭損失質量的速率），此 處 R 為燃料消耗的（正）質量率，且我們知道 dv/dt 為火箭的加速度。由於這些改變，9-86 式變成

9-12 變質量系統：火箭

^(續)

„

根據質量 M、燃料消耗率 R，則在該時刻的加速度 a 就被估算出來。

„

我們稱 Rv

_rel

此項為火箭引擎的推力（thrust），並以

T 表示。

„

若我們將 9-87 式寫成 T=Ma，則牛頓第二定律的形式 便清楚地顯現出來，其中 a 為火箭在質量為 M 時的 加速度。

9-12 變質量系統：火箭

^(續)

求出速度

„

當火箭消耗燃料時，速度將如何變化？根據 9-85 式 得到

經積分得

其中 M

_i

為火箭的初質量、M

_f

為其末質量。則計算此積 分可得

此式為求其速率增量的方程式。