§1 向量的概念

§1 向量的概念

以數字再加上某種度量單位便可描述的，稱為純量。例如：重量、長度與高度。以純量 再加上方向才能描述的，稱為向量。例如：力、速度與位移。

也就是說，純量只有大小，向量則是具有方向與大小。

◎向量的符號

（1） 小寫的英文字母上頭加一個箭頭符號，如a(唸作「向量 a」)，b等等。

（2） 有向線段，如 AB (唸作「向量 AB」)表示由位置 A(稱為起點)指向位置 B(稱為終點) 的向量。

◎向量的長度

向量的大小稱為長度或範數(norm)，以符號 ⋅ 或 ⋅ 來表示，例如 a 表 的長度。 a

◎特殊關係的向量

（1） 長度一樣且方向相同，稱為相等。

（2） 長度不一樣但方向相同或相反，稱為倍數關係。

例如：2a表與a方向相同但長度為其兩倍；表−¹₂a與a方向相反但長度為其一半。

◎向量的圖示法

一段具有箭頭的線，其中線的長度即為向量的大小，箭頭的指向即為向量作用的方向。

例如下圖。

a

b a c

−

2a

◎零向量

終點與起點同位置的向量，也就是長度為 0 的向量，記作0

◎單位向量

長度為 1 的向量，常以 來表示。u

§3 向量的運算

◎純量與向量之積

為任意實數，

k a= a a₁, ₂ ， b= b b b₁, ₂, ₃

1, 2 1, 2

k a=k a a = ka ka ，kb=k b b b₁, ₂, ₃ = kb kb kb₁, ₂, ₃

當k >0，則所得之向量與原向量同方向，長度為原向量之 倍。 k 當k<0，則所得之向量與原向量的方向相反，長度為原向量之 倍。 k

◎加法、減法

1, 2

a= a a ，b= b b₁, ₂ ，c= c c c₁, ₂, ₃ ，d = d d d₁, ₂, ₃

1, 2 1, 2 1 1, 2 2

a ± =b a a ± b b = a ±b a ±b

1, 2, 3 1, 2, 3 1 1, 2 2, 3 3

c ± d = c c c ± d d d = c ±d c ±d c ±d 加法的幾何意義

（1）平行四邊形定律

利用平移使得 ，a b的兩向量之起點重合，則 ,a b 及a b+ 之關係如下圖。

a

b a b+

（2）三角形定律

利用平移使得 的起點與 的終點重合，則b a a b 及, a b+ 之關係如下圖。

a

b a b+

註：由a b− =a + ( −b )，亦可畫出減法的幾何意義。

由純量與向量之積及向量的加法，可得任意的二維向量

1, 2 1 1, 0 2

a= a a =a +a 0,1

j 稱為R 的標準基底，並以² i

因此將 1, 0 與 0,1 及 表示。同理，將 1, 0, 0 、 0,1, 0 及 0, 0,1 稱為R 的標準基底，並以³ i、 及j k表示，即a= a₁,a₂,a₃ =a₁i+a j₂ +a k₃ 。 由向量與點座標的對應關係，可知：在R 中，² i表點

( )

^{0, 0 至點}

(

^{的向量，即在 X}

軸上的單位向量，

)

1, 0

j 表點

(

^0,0

)

至點

( )

^0,1 的向量，即在 Y 軸上的單位向量；同理，

在R 中， 、³ i j 及 分別為在 X 軸、Y 軸及 Z 軸上的單位向量。 k 性質 3-1

a， ， 為任意向量， ，b c k k₁及k₂為任意實數(或純量)，則 (1) a b+ = +b a (交換律)

(2) a+( b c+ )=( a b+ )+c (結合律)

(3) a+ = + = a0 0 a (加法單位元素) (4) a+ −( a )=0 (加法反元素) (5) k a b( + )=k a+kb

(6) (k₁+k a₂) =k a₁ +k a₂ (7) k₁( k a₂ )=(k k a_{1 2})

【例 1】 若a+2b= 3, 2 且 2a−3b= −1,3 ，求a，b。

解：a+2b= 3, 2 ⇒ − −2a 4b= − − 與 26, 4 a−3b= −1,3 相加 得 2− −a 4b+2a−3b= − − + −6, 4 1, 3

得 7− = − −1 ，b 7, 1 ¹₇ 7, 1 1,

b= −7 − − = ，a= 3, 2 −2b= 3, 2 − 2,²₇ = 1,¹⁰₇

◎內積或點積

a與 之夾角為b θ ，其中0≤θ ≤π ，a的長度、b的長度及cosθ 三者之積，即 cosa b θ ，稱為a與 的內積或點積，並記作b a i b。

定理 3-1

設 與 為非a b 0之任意兩向量，則

(1) 若 與 平行(夾角為 0 或a b π )，則存在k≠0使得b=k a；反之亦然。

(2) 若 與 垂直，則a b a i b=0；反之亦然。

定理 3-2

設a= a a₁, ₂ ，b= b b₁, ₂ ，c= c c c₁, ₂, ₃ ，d = d d d₁, ₂, ₃ 則a i b=a b_{1 1}+a b_{2 2}，c i d =c d_{1 1}+c d_{2 2}+c d_{3 3}

證明：由右圖，利用餘弦定理，可得

2 2 2

b a− = a + b 2 − a b cosθ

得(b₁−a₁)² +(b₂ −a₂)² =a₁²+a₂²+b₁²+b₂²−2( a i b )

a

b

b a− θ

得−2a b_{1 1}−2a b_{2 2} = −2( a i b ) 故a i b=a b_{1 1}+a b_{2 2}

性質 3-2

(1) 若a=0或b=0，則a i b=0

(2) a i b=b i a (交換律) (3) ^{a i}

( )

^{b c+ =a i b+a i c} (分配律)

(4) ^{a i}

( ) ( )

^{kb = k a i b=k a}

(

^{i b}

)

， 為任意實數或純量 ^k (5) a i a= a ² ≥0

【例 2】 求a= 2, 3,1 與b= −1,5,1 之夾角θ 。

解： a = 2²+ +3² 1² = 14， b ( 1)= − ² + +5² 1² = 27，

2 ( 1) 3 5 1 1 14 a i b= × − + × + × =

由定義得cos ^{14 42} 14 27 9

a b

a b

θ = i = =

，故 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

= ⁻ ⎛ 9 cos ¹ 42

θ 。

【例 3】 設x= + +a b c， a =1， b = ，2 c = 且3 a與b、b與c及c與a之夾角分別為

6 π 、

4 π 及

3

π ，求x的長度。

解： x ² =( a b c+ + ) ( i a b c+ + )= a ²+ b ²+ c ²+2 a i b+2 b i c+2 c i a 2

6 3 2 3 17

cos 4 6

cos 6 12

cos 4 9 4

1+ + + + + = + +

= π π π

， 故 x = 17+2 3+6 2 。

◎內積的物理意義

以大小固定之力作用於某物體，當物體的移動方向與力的方向相同時，力之大小與

物體的移動距離之積，稱為力對該物體所作的功。若物體的移動方向與力的方向不同，

即形成某個角度時，則力對該物體所作的功，定義為力在物體移動方向的分力之大小與 物體的移動距離之積。所以，由向量內積之定義知，大小固定之力 ，對某物體所作之

功 ，其中

F

W =F i d d 代表物體移動的距離。

【例 4】 定量之施力F = 2, 4 使木塊由點 移動至 ，設施力之大小的單位為牛頓 物體移動距離之單位為公尺，求其所作之功。

) 1 , 1 (

A B(4,6) ，

解：AB= 4 1, 6 1− − = 3, 5 ，故W = 2, 4 3,5i =26(牛頓-公尺)。

◎方向餘弦

對R 中的非零向量³ a= a a a₁, ₂, ₃ 而言，其與標準基底i、 j 及k之夾角稱為方向角。

設 的方向角分別為a α 、β及γ ，則cosα、cosβ 及cosγ 稱為方向餘弦。由內積的定義 及a i i= a a a₁, ₂, ₃ 1, 0, 0i =a₁, a i j=a₂,a i k = ，得 a₃

cos 1

a

α = a ，cos a²

β = a ，cos a³ γ = a 所以cos²α +cos²β+cos²γ =1。

◎分量與投影

設二維向量a= a a₁, ₂ 與i= 1, 0 之夾角為θ，則a的第一分量

1 cos cos

a =a i i= a i θ = a θ (因為 i = ) 1

若 a < ，則上式的幾何意義如下圖1

( )

^{1 (}0< < ，表示θ ^π2 a1 >0)及圖

(

²

)

⁽2

π < < ，表θ π 示a₁<0)，所以又稱a₁為 在 上的分量。將此想法推廣，遂有以下定義： a i

, 2

a b∈R 或a b, ∈ ，R³ θ 為a與b之夾角，則 a cosθ稱為a在 上的分量(component of b on )，並記作 。

a b comp_ba

因為 cos

cos

a b a b

a

b b

θ = θ = i

，故 1

comp

b

a b

a a b

b b

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

i i 。

a在 上的分量為純量(實數)，若將之視為與b b同起點之向量，則此向量與b同方向 或相反方向，即kb k, ≠ 0，且 之正負號與k comp_ba 相同、長度為 comp_ba ，得

i a θ

i a

θ cos

a θ

( )

^{1 a cosθ}

( )

²

comp_b

k b = kb = a ，所以

2

comp 1

ba a b a b

k

b b b b

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= = =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

i i

遂有以下定義：

2

a b

b b

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

i 稱為a在 上的投影或正射影(projection of b a onto b)，並記作proj_ba。

從 ₂ comp 1

comp

b

b

a b a

b b a

b b

b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛

⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = ⎜

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜

⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝

⎝ ⎠

i b

⎞⎟

⎟⎠

來看，因為 ¹ b

b 為單位向量，所以proj_ba 為 與 同方向的單位向量之積。

comp_ba b

【例 5】 求a= + j4i 在b= +2i 3j上的分量與投影。

解： b = 13

所以^comp

(

⁴

)

¹

(

^{2 3}

)

¹

13 13

ba= i+ j i i+ j = 1

( )

11 1 22 33

proj 2 3

13 13 13 13

ba=⎛⎜ ⎞⎛⎟⎜ ⎞⎟ i+ j =

⎝ ⎠⎝ ⎠ i+ j

k k

【例 6】 a= − −i 2j+7 ，b= −6i 3j−2 ，求proj_ba 、proj_ab 。 解： a ² =54， b 49² = ，a i b= − + −6 6 14= −14

proj 14

ba ⎛−49 ⎞b

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ， ⎛−14⎞ proj^ab= ⎜ 54 ⎟a

⎝ ⎠

◎外積或叉積

對在R 中任意兩向量 與 而言，有無限多個垂直於³ a b a與b所在之平面的向量，這樣 的向量有兩個方向，可由右手定則來決定，即將右手除拇指外的四指，由a的方向朝b的 方向捲曲，則拇指所指的方向即為其方向。這些無限多個向量中，有一個特殊的，其形 式如下：

(

^{sina b θ}

)

ⁿ

其中0≤θ ≤π 為 與 之夾角，a b n為垂直於a與b所在之平面的單位向量，且其方向由右 手定則決定，稱為a與 的外積或叉積，並記作b a × b。

性質 3-3

(1) 若a=0或b=0，則a × =b 0 (2) a × =a 0

(3) 若 與a b互相平行，則a × =b 0 (4) ^{a × = −b}

(

^{b × a}

)

(5) ^{a ×}

( ) (

^{b c+ = a × b}

) (

^{+ a × c}

)

(6)

(

^{a b+}

)

^{× =c}

(

^{a × c}

) (

^{+ b × c}

)

(7) ^{a ×}

( ) ( )

^{kb = k a × =b k a}

(

^{× b}

)

(8) ^{a i}

(

^{a × b}

)

⁼⁰

(9) ^{b i}

(

^{a × b}

)

⁼⁰

由外積的定義可知，當 與a b互相垂直，即 2

θ = 時，π ^{a × =b}

(

^{a b}

)

ⁿ

k

，可得

i × = = ， j n j × = ， k i k × = i j 另外，由性質 3-3，得

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( )

1 2 3 1 2 3

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3

3 1 3 2

a i a j a k b i b j b k

a b i i a b i j a b i k a b j i a b j j a b j k a b k i a b k j a b k k

+ × + +

= × + × + × + × + × + ×

+ × + × + ×

=

(

2 3 3 2

) (

3 1 1 3

) (

1 2 2

)

3 3

1

a b

a b a b i a b a b j a b a b k

= +

×

− + − + −

)

以上結果若以二階行列式來表示如下，將比較容易記憶。

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

a a a a a a

a b i j k

b b b b b b

× = + +

定理 3-3

設a=a i₁ +a j₂ +a k₃ ，b=b i b j₁ + ₂ +b k₃ ，則

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

a a a a a a

a b i j k

b b b b b b

× = + +

【例 7】 a= −4i 2j+ k5 ，b= + −3i j k，求a × b。

解： 2 5 5 4 4 2

1 1 1 3 3 1

a b − i j − k

× = + +

− − = − +3i 19j+ k 10

最後，若a與b為不平行的非零向量，則由外積的定義與下圖可知，以a與b為相鄰

兩邊之平行四邊形的面積為 ^{a sinb θ =}

(

^{sina b θ}

)

^{n = a × b 。}

a b

θ

sin

b θ

b

a

【例 8】求由a= 2, 2 與b= 0,1 所決定之平行四邊形的面積。

解：a= 2, 2 相當於 2, 2, 0 ，b= 0,1 相當於 0,1, 0 而 2, 2, 0 × 0,1, 0 = 0, 0, 2 =2

)

，所以所求之平行四邊形的面積為 2。

【例 9】求由P

(

1,1,1 , 2, 3, 4 , 3, 0, 1

) (

Q

) (

R − 三點所決定之三角形的面積。

解：由PQ= +i 2j+3k，PR= − −2i j 2k

得 2 3 3 1 1 2

8 5 1 2 2 2 2 1

PQ × PR= i+ j+ k= − +i j k

− − − − −

所以由PQ PR, 所決定之平行四邊形的面積為 PQ × 3 10PR = 故 PQR的面積為3

2 10

◎特殊運算

設a=a i₁ +a j₂ +a k b₃ , , =b i b j₁ + ₂ +b k c₃ =c i₁ +c j₂ +c k₃

( )

a i b × c = ₁ ^{2 3} ₂ ^{3 1} ₃ ^{1 2}

2 3 3 1 1 2

b b b b b b

a a a

c c + c c + c c ，稱為純量三重積。

( ) (

^{1 2 3}

)

^{2 3 3 1 1 2}

2 3 3 1 1 2

b b b b b b

a b c a i a j a k i j k

c c c c c c

⎛ ⎞

× × = + + ×⎜ + + ⎟

⎝ ⎠

3 1 1 2 2 3 1 2 2 3 3 1

1 1 2 2 3 3

3 1 1 2 2 3 1 2 2 3 3 1

b b b b b b b b b b b b

a k a j a k a i a j a

c c c c c c c c c c c c

= − − + + − i

3 1 2 3 3 1 2 3

1 2 1 2

2 3 3 1 1 2

3 1 2 3 3 1 2 3

1 2 1 2

b b b b b b b b

b b b b

a a i a a j a a

c c c c c c c c

c c c c

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ − ⎟ +⎜ − ⎟ +⎜ − ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠k

稱為向量三重積。

因為

( )

3 1

1 2

2 3 2 1 2 2 2 1 3 3 1 3 1 3

3 1

1 2

b b b b

a a i a b c a b c a b c a b c c

c c

⎛ ⎞

− = − − +

⎜ ⎟

⎝ ⎠ c i

(

a c2 2 a c b i3 3

)

1

(

a b2 2 a b c i3 3

)

1

(

a c1 1 a c2 2 a c b i3 3

)

1

(

a b1 1 a b2 2 a b c i3 3

)

1

= + − + = + + − + +

(

^{a c b i}

) (

^{1 a b c i}

)

¹

= i − i

同理， ^{3 2 3 1 1 2}

( )

²

( )

2 3 1 2

b b b b

a a j a c b j a b

c c c c

⎛ ⎞

− = −

⎜ ⎟

⎝ ⎠ i i c j²

^{1 3 1 2 2 3}

( )

³

( )

3 1 2 3

b b b b

a a k a c b k a b

c c c c

⎛ ⎞

− = −

⎜ ⎟

⎝ ⎠ i i c k³

故得^{a ×}

(

^{b × c}

) (

^{= a i c b}

) (

^{− a i b}

)

^{c 。}

性質 3-4

(1) ^{a i}

(

^{b × c}

)

^{=b i}

(

^{c × a}

)

^{=c i}

(

^{a × b}

)

(2)

(

^{a × b}

)

^{× =c}

(

^{a i c b}

) (

^{− b i c a}

)

(3) ^{a ×}

(

^{b × c}

)

^{+ ×b}

(

^{c × a}

)

^{+ ×c}

(

^{a × b}

)

^{= 0}

(4)

(

^{a × b}

) (

^{× c × d}

) (

^=⎡_⎣ ^{a × b}

)

^{i d c⎤}_⎦ ^−⎡_⎣

(

^{a × b}

)

_{i ⎤⎦}^{c d}

純量三重積的幾何意義

在平面上，平行四邊形的面積＝底 × 高，推廣至立體中，則是平行六面體(每 一面皆為平行四邊形，例如長方體)的面積＝底面積 × 高。而不在同一平面的三向 量可決定一個平行六面體，故由下圖可知，由 , ,a b c 所決定的平行六面體，其高度恰 為 在a b × c之投影的長度，即comp_{b c×} a ；底面積為 b × c ，故體積等於

comp_{b c}

b × c _× a

( )

(

)

a b c

b c a b c

b c

= × × = ×

×

i i ^{b × c}

b 若b c, 共面且互相垂直，而a垂直 ,b c ，即與b × c平行，則

( )

sin

b × =c ⎛⎜ b c π2⎞⎟n= b c

⎝ ⎠ n ，所以

( )

cos 0( cos

a i b × c = a b × c 或 π) = a b c ， 也就是長方體的長 × 寬 × 高。

comp_{b c×} a

a

c

性質 3-5

若a b c, , 在同一平面(共面)，則^{a i}

(

^{b × c}

)

^{=0，反之亦然。}

【例 10】求由a= +i 2j−3 , k b= −2i 2j−3 , k c= +i 2j+2k所決定的平行六面體的體積。

解：^{a i}

(

^{b × c}

)

^{= −}₂^{2 −}₂^{3 +2−}₂^{3 2}₁ ^{+ −( 3)2}₁ ⁻₂^{2 = 30−}

所以體積為 ^{a i}

(

^{b × c}

)

^=30。

另外，四面體(四個面皆為三角形)亦可利用純量三重積來處理。

右圖中，A,B,C,D,E,F 六點所形成之立體的體積為AB AF AD , , 所決定之平行六面體的體積的一半，而三角形 ACD 的面積等 於三角形 ABC 的面積，且 comp_{DC DA×} DE=comp_{BA BC×} AF，

D C

E

F 所以四面體 EACD 與四面體 FABC 為等底面等高度，

故體積相等。同理可得，四面體 ABCF 的體積等於 四面體 ACEF 的體積。由於DC =AB DE, =AF， 故四面體 DACE 的體積等於AB AF AD 所決定之 , ,

A B

平行六面體的體積的六分之一。

定理 3-4

設 A,B,C,D 四點不共面，則四面體 ABCD 的體積⁼¹₆ ^{AD i}

(

^{AB × AC}

)

當四面體的四個面皆為同樣的正三角形時，稱為正四面體。由^A

(

^{0, 0, 0 ,}

) (

^{B a, 0, 0 ,}

)

3 1 3 6

, , 0 , , , ,

2 2 2 6 3

C⎛a a ⎞ D⎛ a a a⎞ a

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ >

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 所決定的四面體，恰為邊長為 a 的正四面體，故 體積為¹₆ ^{AD i}

(

^{AB × AC}

)

⁼¹₆ ^{AB i}

(

^{AC × AD}

)

⁼ ₁₂^{2 a3，其高度為 comp}AC AD_× AB =

( )

6 3

AB AC AD

a AC AD

= ×

× i

B C

D

= 。或者，如右圖中，利用長方體

所切割而得四面體 DABC，其四個面恰為四個同樣的三角形，

其中，三角形的三邊長l l l₁, ,_{2 3}與長方體的長x,寬 y ,高 ，滿足 z

2 2 2 2 2 2 2 2

1, , 2 ₃²

x +y =l y +z =l z +x = l 由定理 3-4，得其體積＝長方體體積－4 1

× × 長方體體積 6

A

＝1

3xyz 。所以當該長方體的長寬高相等，即正方體時，四面體 DABC 便為正四面體。

若正方體的邊長為 1

2 a ，則正四面體的邊長為 。 a 定理 3-5

一四面體的四個面皆為同一個三角形，而此三角形之三邊長為l l l₁, ,_{2 3}，若存在 , , 0

x y z> ，使得x²+y² =l₁², , y²+z² =l₂² z²+x² = ，則此四面體的體積＝l₃² 1 3xyz 定理 3-6

若一正四面體的邊長為 a，則 (1) 高度＝ 6

3 a (2) 體積＝ 2 ³

12 a ＝1

3×高度×底面正三角形的面積＝1

3×邊長為 1

2 a 的正方體體積

【例 11】有一角錐體，其底面由平面上^A

(

^{−4,1 ,}

) (

^{B 1, 3 ,−}

) ( ) ( )

^{C 5,1 ,D 2, 6 四點所決定，其頂點}

為^E

(

^{1,1, 5}

)

，求體積。

解：設^A′

(

^{−4,1, 0 ,}

) (

^{B′ 1, 3, 0 ,−}

) (

^{C′ 5,1, 0 ,}

) (

^{D′ 2, 6, 0}

)

^{，則由題意知}

該角錐體之體積＝四面體 EA B D′ ′ ′ 的體積＋四面體EC D B′ ′ ′的體積

( ) ( )

1 1 135

6 A E′ A B′ ′ A D′ ′ 6 C E′ C D′ ′ C B′ ′

= i × + i ×

= 2 。

註：處理向量的運算時，須特別留意括號的使用，不可將內外積的符號與一般的乘法符 號混為一談，例如a , , , × b × c a i b × c a i b i c a i bc等，皆無定義。

§4 三度空間中的直線與平面

在二度空間，即平面，已知兩點

(

x y0, 0

) (

, x y1, 1

)

所決定的直線上的任意點

( )

^{x y, ，從}

斜率的概念來看，滿足 ^{0 1 0}

0

y y y y

0 1

x x

− −

− = − x 。現令y¹ y⁰ a x, ₁ x₀

x − = − − = ，若b ，則以向

量的性質來看，有兩個如下的解釋。

, a b≠ 0

（1）由 ⁰

0

y y a

x x b

− = −

− ，得 y y⁰ x x⁰

a b

− −

− = ，意即 x−x y₀, −y₀ 與 b,−a 為倍數關係，

也就是互相平行，得知直線上任意兩點所決定的向量皆與 b,−a 平行，所以稱 ,

b −a 為該直線的方向向量，且 x−x y₀, −y₀ =t b,−a t, ∈R，故

0 0

, , ,

x y = x y +t b −a 稱為直線的方向向量方程式。

（2）由 ⁰

0

y y a

x x b

− =−

− ，得a x

(

−x0

) (

+b y−y0

)

=0，意即 x−x y₀, −y₀ 與 a b, 垂直，

得知直線上任意兩點所決定的向量皆與 a b, 垂直，所以稱 a b, 為該直線的法 向向量，且a x

(

−x0

) (

+b y−y0

)

=0

by0

稱為直線的法向量方程式。若令

，此方程式即為一般所熟知的直線方程式的形式 。

c= −ax0− ax bx+ + =c 0

上述的方向向量方程式可改寫成 ⁰

0 ( )

x x tb y y t a

= +

⎧⎨ = + −

⎩ ，稱為直線的參數方程式；也可再改

回x x⁰ y y⁰

b a

− = −

− ，稱為直線的對稱方程式。

由於在三度空間中的座標軸多了 z 軸，所以將平面上的直線上下移動便形成平面，

故若將以上詮釋的方法推廣至三度空間，可得到直線與平面的方程式，整理如下。

三度空間中的直線方程式：

設

(

^{x y z}0, 0, 0

)

^{為直線的已知點，} a a a1, 2, 3 為直線的方向向量。

（1）方向向量方程式

0 0 0 1 2 3

, , , , , , ,

x y z = x y z +t a a a t∈R

（2）參數方程式

0 1

0 2

0 3

, x x ta

y y ta t R z z ta

= +

⎧⎪ = + ∈

⎨⎪ = +

⎩

（3）對稱方程式

0 0 0

1 2 3

1 2 3

, , , 0 x x y y z z

a a a

a a a

− − −

= = ≠

0 0

0 1

2 3

,y y z z , 0,

x x a a a

a a ², ³ 0

− −

= = = ≠

0 0

0 2

1 3

,x x z z , 0, ,

y y a a a

a a ^{1 3} 0

− −

= = = ≠

0 0

0 1 2

1 2

,x x y y , , 0

z z a a a

a a , ³ 0

− −

= = ≠ =

)

註：由於方向向量方程式與參數方程式中的 t ，可以乘上某數或加減某數，故兩者的 形式不是會唯一的，但所有的形式是可相通的，而對稱方程式是由後者改寫而 來的，所以其形式也不會是唯一的。

三度空間中的平面方程式：

（1）設

(

x y z0, 0, 0 為平面的已知點， a b c, , 為平面的法向向量，即垂直平面的向量。

則平面上任意點

(

^{x y z, ,}

)

^與

(

x y z0, 0, 0

)

所決定的向量 x−x y₀, −y z₀, −z₀ 垂直其 法向量，即 x−x y₀, −y₀,z−z₀ i a b c, , =0，若令d = −ax₀−by₀−cz₀，得

為平面的方程式。反之，若一平面的方程式如前式，則其法 向量為

=0 ax by+ + +cz d

, , a b c 。

（2）設 , ,A B C 三點在平面上，則由向量的外積定義，得知AB AC× 為該平面的法向 量，故^{AP i}

(

^{AB AC×}

)

⁼⁰，其中 為平面上的任意點。所以若設 的座標為

(

0, 0, 0

)

P A

x y z ，AB AC× = a b c, , ，且令 d = −ax₀−by₀−cz₀，亦可得如上的方程 式。

【例 1】 求過^A

(

^{2, 1,8−}

)

與^B

(

^{5, 6, 3−}

)

之直線的參數方程式及對稱方程式。

解：該直線的方向向量為AB= 3, 7, 11− ，所以

參數方程式為x= +2 3 , 1 7 , t y= − + t z = −8 11 , t t∈ R 對稱方程式為 2 1

3 7 1

8 1 x− y+ z−

= =

− 。

【例 2】 求^A

(

^{1, 2, 3 ,}

) (

^{B −1, 2, 3 ,}

) (

^{C 1, 2, 3− −}

)

三點所決定之平面的方程式。

解：AB AC× = −12j+8k

故所求方程式為⁰

(

^{x− −1}

)

¹²

(

^{y− +2}

) (

^{8 z− = 03}

)

得3y−2z=0。

【例 3】 求包含兩直線x= +1 3 ,t y= −1 t z, = + 與2 t x= +4 4 ,s y=2 ,s z= + 之平面的方程式。 3 s 解：由於x= +1 3 ,t y= −1 t z, = + 與2 t x= +4 4 ,s y=2 ,s z= + 的方向向量分別為 3 s

3, 1,1− 和 4, 2,1 ，所以 3, 1,1− × 4, 2,1 = −3,1,10 為該平面的法向量。

又令t =0代入x= +1 3 ,t y= −1 t z, = + ，得2 t x=1,y=1,z= ，知點2

(

^{1,1, 2}

)

在該平面上 故所求之方程式為⁻³

(

^{x− +1}

) (

^{1 y− +1}

)

¹⁰

(

^z−2

)

^{= 0}

得 3x− −y 10z+18=0。

向量不只可以處理上述的直線與平面方程式的問題，關於距離的問題，利用向量的 內積或外積概念，更容易處理。以下是兩種在三度空間中常見的求距離問題。

（1）點到平面的最短距離

設 A 為平面外的已知點，P為平面上的已知點，

若n為平面的法向量，則θ 為 AP 與−n的夾角，

如右圖所示，則點 A 到平面的最短距離為

( )

cos AP n AP n AP

n n

θ = ⁻ =

−

i i

。

若已知平面方程式為ax by+ + + =cz d 0，

P

θ n

A

cos AP θ

A 之座標為

(

^{x y z}0, 0, 0

)

^，則可得

0 0 0

2 2 2

AP n ax by cz d

n a b c

+ + +

= + +

i

（2）點到直線的最短距離

設 A 為直線外的已知點， 為直線上的已知點， P 若 為直線的方向向量，則d θ 為 PA 與d的夾角，

P θ

A

sin PA θ

d 如右圖所示，點A到直線的最短距離為

sin PA d AP d

PA

d d

θ = ^× = ^×

註：設0≤ ≤θ π 為a b, 的夾角，u為垂直 ,a b 所在之平面的單位向量，則

(

^sin

)

^sin

a b× = a b θ u = a b θ

【例 4】 設平面π 通過點

(

^{1, 4, 3}

)

^{且法向量為 2, 7, 2− ，求點}

(

^{2, 2,1}

)

^{到π 的最短距離。}

解：點

(

^{2, 2,1}

)

至點

(

^{1, 4, 3}

)

^{的向量＝ −1, 2, 2}

所以最短距離＝ 1, 2, 2 2, 7, 2 12 2, 7, 2 57

− −

− =

i 。

【例 5】 設直線 為兩平面L x+ =y 3, 2x− +y 3z=2之交線，求點^A

(

^{1, 1, 1− −}

)

^{到 的最短距離。 L}

解：令x=t t, ∈ 代入R x+ =y 3與 2x− +y 3z= 2

解得 5

3 ,

y= −t z= − t ，所以 的參數方程式為3 L 5 , 3 ,

x=t y= −t z= − 3 t 故其方向向量d = 1, 1, 1− − ，而 5

0, 3, P⎛ 3⎞

⎜ ⎟ L

⎝ ⎠在 上， 8

1, 4, AP= − 3 所以最短距離＝ ^{1 122}

3 3

AP d d

× = 。

【例 6】 求參數方程式分別為x= +3 t y, = −1 2 ,t z= + 與2 2t x= +7 t y, = −1 2 ,t z= − + 之兩3 2t 平行線的距離。

解：令t =0代入x= +3 t y, = −1 2 ,t z= + ，得2 2t x=3,y=1,z= 2

所以距離即為點^A

(

^{3,1, 2}

)

到直線^{x= +7 t y, = −1 2 ,t z}= − + 的最短距離。 ^{3 2t} 再將t =0代入x= +7 t y, = −1 2 ,t z= − + ，得點3 2t ^P

(

^{7,1, 3−}

)

而直線的方向向量d = 1, 2, 2− ，故所求距離＝ ³³³ 3 AP d

d

× = 。

§5 向量空間

廣義的向量

對於任意 n 個實數a a₁, ₂, ,a n_n, ≥4而言，無法想像的有向線段a= a a₁, ₂, ,a_n ，稱 為n 維向量。所有 n 維向量所形成的集合記為R 。ⁿ R 中， 0ⁿ = 0, 0, , 0 。

對R 中任意的ⁿ a= a a₁, ₂, ,a_n ,b= b b₁, ₂, ,b_n 及純量 k 而言，有以下定義：

(1) a = a₁²+a₂²+ a_n² (2) k a= ka ka₁, ₂, ,ka_n

(3) a b± = a₁±b a₁, ₂±b₂, ,a_n ±b_n (4) a i b=a b_{1 1}+a b_{2 2}+ +a b_{n n}

(5) a b, ≠0，a i b=0，稱a與b為正交 向量空間—向量概念的抽象化

定義 5-1

設 V 為非空的任意集合，若對任意兩個 V 中的元素而言，加法運算有定義；若對任 意一個 V 中的元素及任意一個純量而言，純量積運算有定義，且當這兩種運算滿足下列 十個性質，在此稱為公設，便稱 V 為向量空間或線性空間，而其元素稱為向量。

(1) 若 ,x y V∈ ，則 x y V+ ∈ （加法封閉性）

(2) 若x V∈ 且k為任意純量，則k x V∈ （純量積封閉性）

(3) 對所有 ,x y V∈ ， x y y x+ = + （加法交換律）

(4) 對所有 , ,x y z∈ ，V ^x+

(

^y+z

) (

^{= x+y}

)

^{+ z （加法結合律）}

(5) 對所有x V∈ ，存在一個t∈V ，使得x t+ = + =t x x （加法單位元素）

(6) 對所有x V∈ ，存在一個w∈V，使得x+ =w t （加法反元素）

(7) 對所有 ,x y V∈ 與任意純量k，^{k x}

(

^+y

)

^{=k x+k y （純量積分配律）}

(8) 對所有x V∈ 與任意純量k k₁, ₂，

(

k1+k2

)

x=k x1 +k x2 （純量積分配律）

(9) 對所有x V∈ 與任意純量k k₁, ₂，^{k k x1}

( )

^{2 =}

⁽

^{k k1 2}

⁾

^{x （純量積結合律）}

(10) 對所有x V∈ 與純量 1，1x=x

註：加法運算和純量積運算合稱為線性運算。

由上述定義來看，很明顯地，R R 及², ³ R 皆為向量空間。另外，向量空間並沒有納ⁿ 入向量的長度、內積，甚至外積等概念，因為這些運算無法滿足封閉性(例如 ， 但 )或八個公設的其中之一。

, 2

a b∈R 2

a i b∉R

【例 1】 集合V1=

{ }

1 與V2 =

{ }

0 在一般的實數加法與乘法下，是否為向量空間？

解：由1 1+ = ∉2 V₁，k≠1,k⋅ = ∉V1 k ₁，便知V₁不是向量空間。

而0 0+ =0,k⋅ =0 0，所以V₂滿足封閉性公設。又0 0+ = +0 0， ， 所以 亦滿足加法交換律和加法結合律。其餘六個公設亦可驗證，故 為向量空間。

( ) ( )

0+ +0 0 = 0 0+ +0 V2

V2

【例 2】所有正實數的集合在一般的加法和乘法下，是否為向量空間？

解：由於對任意正實數 與實數 ，當a k k<0時，ka<0，所以純量積封閉性不成立 故不是向量空間。

【例 3】 ^Pn =

{

^{a xn n}+^an−^1xn−1+ +^{a x1} +^{a a a0 0, ,1 ,an}∈^R

}

，即次數小於或等於 的多項式集 合，在一般的多項式加法及多項式與實數乘法的運算下，是否為向量空間？

n

解：因為

(

^{a xn n+an−1xn−1+ +a x1 +a0}

) (

^{+ b xn n+bn−1xn−1+ +b x b1 + 0}

)

( ) (

1 1

)

¹

(

1 1

) (

0 0

)

n n

n n n n

a b x a₋ b ₋ x ⁻ a b x a b P

= + + + + + + + + ∈ _n

(

^{n n n 1 n 1 1 0}

) ^{( )}

^{n n}

⁽

^{n 1}

⁾

^{n 1}

^{( ) ( )}

^{1 0}

k a x +a ₋ x ⁻ + +a x+a = ka x + ka₋ x ⁻ + + ka x+ ka ∈P_n

0

而其餘八個公設，很明顯地都成立，所以P_n為向量空間。

註：本題若改成 次多項式的集合，則因為任意兩個 次多項式相加後，次數可能小於 ，

或者 ，次數為零次，封閉性不成立，故非向量空間。

n

⋅ +

n

)

n

(

^{1 1 1 0}

0 a x_n ⁿ a_n−xⁿ⁻ + +a x+a =

【例 4】 設V 為正實數所形成的集合，若任意兩正實數 之和，改定義成 ；而任 意正實數 與任意實數 之積，改定義成

, a b ak

a b+ =ab

a k ka= ，則V 是否為向量空間？

解：(1)因為任意兩個正實數相乘亦為正實數，所以加法封閉性成立

(2)因為對任意正實數 與實數 而言，a k a^k >0，所以純量積封閉性成立 (3)因為對任意兩個正實數a b, 而言，ab=ba，所以加法交換律成立

(4)因為對任意三個正實數a b c, , 而言，a bc( )=(ab c) ，所以加法結合律成立 (5)因為對所有正實數 ，a a= ⋅ = +1 a 1 a a, + = ⋅ = ，所以加法單位元素為 1 1 a 1 a (6)因為對所有正實數x，1

x亦為正，且 1 1 1 1 1

x x x

x x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ = +x

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ，所以由(5) 知有加法反元素

(7)對任意兩正實數a b, 與任意實數k，^{k a b}

(

⁺

) (

^{= a b+}

)

^{k =(ab)k =a bk k =ka+kb}

(8)對所有正實數 與任意兩實數a k k₁, ₂，

(

1 2

)

^{1 2 1 2} 1 2

k k k k

k +k a=a ⁺ =a a =k a+k a (9)對所有正實數 與任意兩實數a k k₁, ₂，^{k k a1}

( )

^{2 =k a1 k2 =}

( )

^{ak2 k1 =ak k1 2 =}

⁽

^{k k1 2}

⁾

^a

(10)對所有正實數 與實數 1，a 1a=a¹ = a 故V 是為向量空間

【例 5】 正弦函數的集合^{S =}

{

^{asin(x b a b+ ) , ∈R}

}

，在一般函數的加法與實數乘函數的運算

下，很明顯地為向量空間。

定義 5-2

V 為向量空間，W為V 的任意子集合，若W以定義在V 的加法和純量積作運算時，

也是向量空間，則稱W為V 的子空間(subspace)。

例如：在一般的加法和乘法的運算下，實數集合 R 為向量空間，

{ }

^{0 為其子空間。}

由上述定義可知，因為W的元素亦為V 的元素，所以必定滿足定義 4-1 中的(3)~(10) 的公設，因此要檢驗一個向量空間的子集合是否為其子空間時，只需檢驗是否滿足兩個 封閉性的公設即可。

定理 5-1

W為向量空間V 的非空子集合，當W以定義在V 的加法和純量積作運算時，若以下 兩個條件成立，則W為V 的子空間；反之亦然。

(1)若 ,x y W∈ ，則 x y W+ ∈

(2)若x W∈ 且k為任意純量，則kx W∈

【例 6】 在一般函數的加法與任意實數乘函數的運算下，自變數為任意實數的連續函數集合 為向量空間，通常以 表示，例 3 中的 與例 5 的 均為其子空間；而

則為自變數為任意實數的函數集合的子空間。

(

^,

C −∞ ∞

) )

Pn S

(

^,

C −∞ ∞

註：若 lim ( ) ( )

x a f x f a

→ = ，則稱函數 f 在數線上點 處為連續的；若a f 在數線上的任意 點皆連續，則稱 f 在

(

^{−∞ ∞,}

)

為連續的，簡稱 ^{f 為連續函數。}

在向量空間中，雖然定義了線性運算，但很明顯地，不表示任意一個向量一定可以 寫成另外兩個以上的向量之線性組合，即給定向量x x₁, ₂, ,x_n

n n

，則下式不一定成立。

1 1 2 2 1 1 1 1

i i i i i

x =k x +k x + +k₋ x₋ +k₊ x₊ + +k x

例如在R 中的任意向量³ x=r i₁ +r j₂ +r k₃ ，但卻不存在兩個實數 ，使得 。 以下定義了一個形容詞來表示這樣的現象。

1, 2

r r i=r j₁ +r k₂

定義 5-3

向量空間中的任意一組向量x x₁, ₂, ,x_n，若滿足以下條件，則稱為線性獨立；否則 稱為線性相依。

1 1 2 2 _{n n} 0

k x +k x + +k x = 才成立 只有當k₁=k₂ = =k_n =0時，

由以上定義可知，若x x₁, ₂, ,x_n為線性相依，則k k₁, ₂, ,k_n至少有 1 個不為 0，使得

1 1 2 2 _{n n} 0

k x +k x + +k x = 。例如在R 中，³ a= 1,1,1 ,b= 2, 1, 4 ,− c= 5, 2, 7 為線性相依，

因為c=3a b+ ，即3a b+ − =c 0。