向量與二維運動

(1)

物理學

向量與二維運動

Chapter 3

(2)

本章大綱

3.1 向量與它們的性質

3.2 向量的分量

3.3 二維度的位移、速度及加速度

3.4 二維的運動

3.5 相對速度

(3)

第3章向量與二維運動 3

3.1 向量與它們的性質

(4)

向量與純量複習

在本書中出現的所有物理量若非向量即是

純量

向量同時具備大小及方向

純量則只有大小不具方向性

(5)

(6)

向量表示法

以手寫方式表示一向量時，通常會在符號

的上方加箭頭：

當以印刷體表示向量時，常以粗體字伴同

上方的箭頭來表示：

當以印刷體來表示向量的大小時，通常以

一斜體字母表示：A

A

(7)

向量的性質

二向量相等時

當二向量的大小及方向均相同時，此二向量相等

在圖形中向量可以平行，而不受到任何影

響

任何一個向量可視需要而加以平移，其本質不會改變

(8)

(9)

向量性質的進一步說明

負向量

二向量若大小相同但方向相反（二向量夾角） ()，此二向量互為負向量

合向量

數個向量相加的結果稱為合向量

180

o

0 )

A (

A B

A

= − ； + − =

B A

R = +

(10)

向量相加

當處理向量加法時，它們的方向必須列入

考慮

參與相加的向量，它們的單位需相同

幾合作圖法

要利用直尺來畫圖

代數法

此法比較簡單

(11)

向量相加的幾何作圖法 (三角形或平行四邊形法)

先估算作圖所需尺寸，並定出比例關係

在座標系中，先將第一個要加的向量依比

例大小及原來的方向畫出來

接著將第二個要加的向量依照前述的比

例。平移到同一座標中，然後把第二個向 量的尾部(出發點)與第一向量的頭部(終點) 相接

(12)

向量相加的幾何作圖法(續)

依照向量頭尾相接的方式，依序將參與相加的向量連接起來

合向量即為自最初向量的尾部畫向最後向量頭部的直線

最後再量合向量的 大小(長度)以及它與 向量間的夾角

利用比例關係再將的

R A

B

R

A

R

(13)

向量相加的幾何作圖法(續)

當處理好幾個向量的相加時，只需依照頭尾相接的方式，一個向量接一個向量畫成多邊形

最後的合向量仍然是參與相加的第一個向 量尾 (出發點) 到最後 一個向量箭頭 (終點) 間的直線

(14)

向量加法的注意事項

向量遵守加法的交換律

參加相加的向量，何者先加，何者後加，都不會改變相加的結果

_A ₊ _B ₌ _B ₊ _A

(15)

向量減法

這是向量加法的一種特例

可以把要減去的向量視為加一個該向量的負向量

將減法改成加法後，

接下來即依向量加法的原則來作圖

) B ( A B

A

− = + −

(16)

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Active Figure

3.3

(17)

純量對向量的乘與除

純量與向量的乘與除結果仍為一向量

乘除以後向量的大小即為原向量的大小被

純量乘或除的結果

若純量為正，則乘除後向量的方向與原來

向量相同

若純量為負時，乘除以後的向量方向與原

向量相反

(18)

(19)

例題3.1

(20)

3.2 向量的分量

(21)

向量的分量

向量的分量是向量的一部分

一般都慣用直角座標來處理分量

這些分量即為向量在 x 軸與 y 軸上的投影

(22)

向量的分量(續)

向量的 x 分量即為向量在 x 軸上的投影

向量的 y 分量即為向量在 y 軸上的投影

同時

θ

cos A

A _x

=

y

x A

A

= +

θ

sin A

A _y

=

(23)

關於向量分量的進一步說明

前述分量的表示法僅適用於

角度是相對 x 軸量度的

分量可能為正，也可能為負，但其單位與

原向量是相同的

θ

(24)

關於向量分量的進一步說明(續)

向量的二個分量 A _x

與 A

_y

即是以向量 A 的 大小為斜邊的直角三角形的兩股

且

利用分量也可求向量和 x 軸間的夾角

由分量求出的角度只有在向量位於第一與

第四象限中才成立

若向量在第二或第三象限時，所求出的角

度要再加

2 2

y

x

A

A = + _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=

⁻

⎛

x y

A

1

A

θ tan

180 o

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

例題3.2

(30)

例題3.2

(31)

代數式的向量加法

選擇一座標，將要加的各向量畫在座標上

把每一個向量的 x 與 y 分量找出來

將所有的 x 分量加起來

加起來的結果即為合向量的 x 分量 R

_x

：

將每一向量的 y 分量加起來

結果即為合向量的 y 分量 R

_y

：

∑

= _x

x

V

R

∑

= _y

y

V

R

(32)

代數式的向量加法 (續)

利用畢氏定理求合向量的大小：

利用反正切函數求合向量與 x 軸之間的夾

角

2 2

y

x

R

R R = +

x y

R

1

R

tan

⁻

θ

=

(33)

例題3.3

(34)

例題3.3

(35)

3.3 二維度的位移、

速度及加速度

(36)

二維度的運動

在二維以上空間運動物體的描述，利用

正、負號來表示方向的差異，已無法滿足需要

利用向量可以更完整的描述運動情形

在二維運動中，我們仍然對位移、速度，

以及加速度感到興趣

(37)

位移

物體的位置是利用位置向量來加以表達

物體的位移定義為物體位置的改變

Δ r ≡ r

_f

− r

_i

(38)

速度

平均速度是位移和所經歷時間的比值

瞬時速度是位移除以時間間隔

(分母)中，

趨近於零時的極限值

瞬時速度的方向與物體移動路徑上任意一點的切線平行，其方向指向物體運動的方向

Δ t

≡ Δ r v

av

Δ t

(39)

加速度

平均加速度定義為速度變化除以所經歷的

時間

瞬時加速度為在極短的時間(趨近於零)內速

度的變化率

Δ t

≡ Δ v

a

^av

(40)

各量的單位摘要 (SI系統)

位移

公尺(m)

平均速度與瞬時速度

公尺每秒(m/s)

平均加速度與瞬時加速度

公尺每秒平方(m/s

²

)

(41)

物體的加速度方式

速度的大小(速率)發生改變

速度的方向發生改變

有可能速度的大小維持常數

速度的大小及方向同時發生變化

(42)

(43)

3.4 二維的運動

(44)

拋體運動

物體可以同時在 x 與 y 方向各自獨立運動

物體在二維空間運動

我們即將要探討的這種二維運動稱為拋體

運動

(45)

拋體運動的一些假設

一般都忽略空氣阻力

不考慮地球自轉的影響

在上述假設前題下，拋體的軌跡為一條拋

物線

(46)

拋體運動的規則

物體在 x 與 y 方向的運動，二者是完全獨

立的

x 方向的運動為等速度運動

a _x

= 0

y 方向則為自由落體運動

a _y

= -g

物體的初速度可以分解成 x 與 y 二個分量

v

₀_x

= v

₀

cos θ

₀

和 v

₀_y

= v

₀

sin θ

₀

(47)

拋體運動的圖形

(48)

Active Figure

3.14

(49)

各種不同仰角的拋體運動

二個互餘的拋射角，

它們拋體的水平射程均相同

可是這二個拋體的最大高度不會相同

拋體的最大水平射程 發生在仰角45°時(初速 大小相同)

(50)

Active Figure

3.15

(51)

關於拋體運動 x方向的規則

x -方向

a _x

= 0

• 這一關係即為拋體在 x 方向唯一的一個距離公式，

因為在 x 方向它是做等速度

=常數

=

v ₀ v ₀ cos θ ₀

v _x _x

t v

x

=

₀ _x

=

( ₀ cos θ ₀ )

Δ

(52)

關於拋體運動 y方向的規則

y - 方向

y 方向運動為自由落體

• a_y

= -g

取向上的方向為正

在此方向物體是做等加速度運動，於是前面介紹過的等加速度公式，在此都適用

0 0

0 v sin θ

v _y =

(53)

拋體的速度

拋體在其運動過程中任何一點的速度，等

於在該點拋體 x 方向速度與 y 方向速度的向 量

請特別注意上式中角度所在的象限

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

= ⁻

x y y

x

v

v v v

v

² ²

且

θ tan

¹

(54)

(55)

例題3.4

(56)

例題3.4

(57)

拋體運動解題策略

選擇一合適的座標將拋體的軌跡畫在座標

上

同時把初速度、初位置、最終位置，及加速度標示於圖中

將初速度分解成 x 與 y 方向的速度分量

把運動分成水平方向與垂直方向分別處理

拋體的水平方向運動依等速度方式來分析

至於 y 方向則依等加速度運動方式來分析

(58)

拋體的一些變化情形

拋體可以自高處水平發射

此時初速度只有 x 方 向的分量， y 分量為 零

所有關於拋射體的運動規則對這種情形均適用

0 v

_y

0 =

v

_x 且 =

v

(59)

例題3.5

(60)

例題3.5

(61)

例題3.6

(62)

例題3.6

(63)

例題3.6

(64)

非對稱軌跡的拋體運動

它們也遵守拋體的各項規則

將 y 方向運動再加以 分割

分成向上與向下

在拋體回抵原高度的過程，向上與向下的軌跡為對稱的，接下來拋體繼續掉落至地面為止

(65)

例題3.7

(66)

例題3.7

(67)

例題3.7

(68)

例題3.8

(69)

例題3.8

(70)

例題3.8

(71)

3.5 相對速度

(72)

相對速度

相對速度與二不同觀察者間的量測結果有

關

使用一運動中的座標來處理相對速度，會

比利用靜止座標來得方便

座標的選擇極為重要，因為不同的座標所

描述的運動情形也不相同

沒有特殊的方程式來處理相對速度的問題

(73)

相對速度的符號

在處理相對運動的問題時，使用下標的代

號有助於解題

假設下述的代表符號：

E 為相對於地球靜止的觀察者

A 及 B 分別為二行駛中的車子

(74)

相對位置的公式表示法

向量

為A車相對於觀察者E的位置向量

為B車相對於E的位置向量

為B車上所見的A車位置向量

r AE

r BE

r AB

BE AE

AB r r

r = −

(75)

相對位置

A車相對於B車的位置 為二車各自對同一觀 察者E的位置向量差 (相減)

(76)

相對速度的表示法

由位移的時變率可以得到相對速度的表示

法

v

AB

= v

AE

− v

BE

(77)

相對速度解題策略

將每一物體用一前述公式中的代號來表示

確認每一組下標所代表意思，例如： 表示 A 相 對於 B 的速度

對各項速度加上正確的下標

若有某一量並沒有非常明確指出是相對於其餘某一物體時，它有可能是相對於地球的

將各項速度代入相對速度公式中

要注意依前述標準相對速度關係式的順序正確的將各相關量代入

最後解出未知值來

v

AB

(78)

例題3.9

(79)

例題3.10

(80)

例題3.10

(81)

例題3.11

(82)

例題3.11

(83)

例題3.11

(84)

向量與二維運動