二十世紀數學的演進
石厚高
楔子
美國古代 (不會太古, 美國建國只有二百年) 有位總統, 白天作總統, 晚上作數學, 他是資 優美國人。 他作甚麼數學? 他作平面幾何。 嘻嘻! 他的數學不太資優。 跳脫平面幾何的侷限, 他 應該作作三角、 解析幾何 ...。 視野一開, 他會更愛數學。 總統不是日理萬機嗎? 美國古代總統 不需要日理萬機, 日理百機就行了, 所以他有時間作數學。
The Evolution of Mathematics in the 20th Century, Michael Atiyah, (Edited by Abe Schenitzer and John Stillwell).
這是 2000 年六月 7–9 日 Michael Atiyah 在多倫多 (Toronto) 2000 年世界數學議的演 講, 由 Abe Shenitzer 與 John Stillwell 作整理。 本文是數學史, 很值得大家參考, 我把它 作個簡介。 原載 The America Mathematical Monthly 108, August-September 2001, 654-666。
Atiyah 為綜合評述過去一百年的數學, 更要預測未來的一百年, 他整體的找些主題, 並強 調其間發生了些甚麼。 困難在於很難把自己想像成 1900年的數學家, 因為上一世紀的數學很多 都被我們的文化吸收了。 那個時代, 他們既不用我們的術語思考, 也不用我們的方式思考。 這篇 講稿共有九段:
1. 局部至全域 2. 增加維數 3. 交換至非交換 4. 線性至非線性 5. 幾何對代數 6. 共同技術 7. 有限群 8. 物理衝擊 9. 歷史總結
其中以 <5. 幾何對代數> 最為精闢, 最讓學數學的陣陣暖流湧遍全身。 原來數學家和魔 鬼打交道, 問魔鬼要部機器, 只要把題目丟進機器答案就出來了; 魔鬼答應了, 可是條件是數學 家要把靈魂交出來, 數學家沒有靈魂, 從此就不再用腦筋了。 這個機器就是今天的電腦。 忘了在 那裡看過, 蜜蜂釀成了蜜獻給上帝一瓶, 上帝嚐過一再讚美好東西, 要給蜜蜂獎品; 牠居然要一
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根剌, 誰吃了我的蜜就剌死他。 上帝很不高興, 為甚麼這麼自私? 好的, 就給你一根剌, 可是你 只能用一次, 用過你就會死。 數學家和蜜蜂都付出了慘重的代價。
說兩句題外之言, 我大約十歲在大陸時曾看過一部電影 <出賣影子的人>, 大意是一個人 把影子賣了很多錢, 可是他照鏡子時看不到影子, 大太陽下也沒有影子, 生活上有了太多困擾, 所以錢帶給他災難。 來台後才知道男主角是嚴俊。
<5. 幾何對代數> 更精彩的是談到 「幾何與代數間不同」 的觀點, 原來幾何是有關空間 的, 而代數本質上是關注時間的。 不論那一類代數, 一系列的作業在執行著, 一個又一個, 必需 要有時間。 我從來沒有聽過, 也沒有看到誰寫過, 更沒有想到過, 所以其它各段都是作個簡介, 本段詮釋的多些。
<9. 歷史總結> 對數學歷史與前景作精簡扼要的介紹, 亦有可觀之處。
Atiyah 談數學, 原來二十世紀數學的演進是個轉移 (shift) 的時代:
1. 局部至全域: 本來在一個小規模、 地區座標的環境裡學習, 本世紀轉向去了解全域、 大 域的表現。 函數定義不僅有明確公式更要有全面的性質: 奇異點在那裡、 定義域、 何處取值。 這 些全域性質是函數的特色, 局部的擴展只不過是觀察他的一種方式。
微分方程式、 複變分析、 微分幾何與數論也出現了相似的狀況。 數論家在 “局部論” 裡探 討單一的質數, 一次一個, 或者是一組有限個質數, 而 “全域論” 是同時討論所有的質數。 質數 與點之間的類比、 局部與全域之間, 在數論的發展有重要的效果, 發生於拓撲的觀念對數論有衝 擊。
2. 增加維數: 古典複變函數論主要是把單變函數論的變數個數由一個擴展為兩個。 而更 多變數主要是發生於本世紀, n 變數的理論愈來愈強勢, 是這個世紀成功事件之一。
微分幾何在過去主要是研究曲線與曲面。 現在研究的是 n 維流形的幾何, 高維有點兒虛 構, 認識這些觀念並作同等研究才真正是二十世紀的產物。 想到增加函數的個數, 研究的不僅一 個函數而是好幾個函數, 或向量值 (vector-valued) 函數。
線性代數從有限維到無限維, 從線性空間到 Hilbert 空間, 為無限個變數。 當然與分析有 關。 有了多變數函數, 你就能運作函數的函數、 泛函數。 這些都是空間函數的函數。 它們本質上 有無限個變數, 我們叫作變分學 (calculus of variations)。 老學科普通非線性 (non-linear) 函 數有相似的發展, 在二十世紀真正突起。
3. 交換至不可交換: commutative 轉至 non-commutative 是二十世紀數學獨有的特 色, 植根於十九世紀。 Hamilton 四元數作品最為奇特, 動力源自物理觀念。 Grassman 的作品 外部代數 (exterior algebra) — 是另一種代數系統, 現已為微分形式論 (theory of differen- tial form) 所吸收。 當然 Cayley 奠基於線性代數的矩陣作品, 以及 Galois 奠基於群論的作 品都是精彩場面 (highlight)。 群論也是二十世紀的支配者。
4. 線性至非線性: 古典數學根本上是線性的, 至少是接近線性。 真正的非線性現象更為困 難, 只有在本世紀才認真著手。 歐氏幾何、 平面幾何、 空間、 直線, 都是線性; 然後由非歐幾何至 Riemann 更一般的幾何, 本質上都是非線性的了。
在微分方程式, 認真研究非線性現象營建了全面新氣象。 其中 soliton 與混沌是微分方程 式論裡兩種非常不同的景觀, 本世紀裡絕對的突出又受歡迎。 它們呈現了交替的主題。 電磁學的 Maxwell 方程式是線性偏微分方程式。 著名的 Yang-Mills 方程式是非線性微分方程式, 因為 Yang-Mills 方程式本質上是 Maxwell 方程式的矩陣版, 而矩陣沒有交換性的事實, 就在方程 式裡產生了非線性項。 不可交換並不導致某特殊類非線性, 這一點特別有趣而重要。
5. 幾何對代數: 幾何與代數是數學形式的兩大柱石, 而且都很古老。 幾何要回溯至希臘或 更古時代; 代數回溯至阿拉伯與印度時代, 他們對數學都曾重要, 可是他們的關係並不和諧。
解析幾何問世之前, 歐氏幾何堅守幾何路線。 笛卡爾企圖減輕幾何思維以訴諸代數運用。
把牛頓與萊布尼茲的微積分作比較, 他們分屬不同的傳統: 牛頓是幾何學家, 而萊布尼茲是代數 學家。 牛頓發展的幾何或微積分是用數學描述自然律, 他關注物理, 而物理發生於幾何世界。 如 果你想了解為甚麼管用, 你就在物理世界裡思維, 在幾何畫面裡思維。 當他發展微積分時, 他要 發展的形式儘可能接近於物理場景, 所以他用了幾何論證。 萊布尼茲有野心, 要形式化所有的數 學, 把它轉向成一個代數機制。 牛頓與萊布尼茲打了一架, 後者的記號嬴了。 我們用他的方法寫 導函數。 牛頓的精神還在, 可就沉寂良久。
一百年前十九世紀末葉, Poincar´e 與 Hilbert 二人分別是牛頓與萊布尼茲的信徒。
Poincar´e 的思維精神泰半是幾何、 拓撲, 用這些觀念作主要內涵。 Hilbert 更是個形式主義者;
他要公理化、 形式化、 嚴格證明、 正式呈現。 他們分屬不同傳統。
幾何與代數是不同的, 幾何當然是有關空間的。 另一方面你也許從未如此想過, 代數本質 上是關注時間的。 不論你作那一類代數, 一系列的作業在執行著, 一個又一個, “一個又一個” 是 說你必需要有時間。 在一個靜態宇宙, 你不能想像代數, 可是幾何本質上是靜態的。 當我說 “代 數” 我並不是僅指近世代數。 任何算則, 任何計算處理, 都是一個又一個的循序執行, 現代電腦 在這點十分清楚。
代數關注時間 (time), 幾何關注空間 (space), 代表兩種不同的數學觀點。 不能說張三是 代數學家而李四是幾何學家, 整體說來我們想要二者兼備。
代數對幾何學家來說可以稱之為 “浮士德承諾” (Faustian Offer)。 代數是魔鬼給數學家 的 offer。 魔鬼說 “我要給你這個強勁的機器, 他會回答你任何問題。 你需要作的就是把你的靈 魂給我: 放棄幾何, 你就會得到這個不可思議的機器。” 今天我們可以把他看成是電腦!
代數的目標基本上是產生一個公式, 放進機器把柄搖一搖, 就得到答案。 你拿了某些有意 義的東西; 把他轉換成公式; 你得到答案。 在處理中, 你不需要把對應於幾何中不同的代數舞台 多作思考。 你失去了洞察力, 在不同的舞台上這一點非常重要。
幾何與代數間二者的分割無法涇渭分明, 例如代數學家常用圖表 (diagram)。 除了讓步給 幾何直觀, 圖表是甚麼?
6. 共同技術: 同調論 (Homology Theory) 傳統上由拓撲的分支出發。 是個基本的代數 工具, 發明於本世紀上半葉, 是一種方式得到有關拓撲空間的資訊; 一些由幾何抽出來的代數, 可以說他是個非線性情況裡的線性不變量的建設。 幾何上, 你會想到週期, 加加減減就得到一個 空間的同調群。 同調論在代數其它分支也有廣泛應用, 同調論證明是分析整體情況的強勁工具, 二十世紀數學的標準特徵。
K-理論 在多方面來說都和同調論相似, 具有廣泛的應用, 根源於數學很多部分。 雖然它早 已奠基, 直到二十世紀中葉它才出現。 K-理論作為一種技術的基礎。 他和同調論相似, 都是要在 複雜的非線性狀態取出線性資訊。 在代數幾何 algebraic geometry、 泛函分析、 弦理論 (string theory) K-理論都有精彩表現。
李群 (Lie Groups) 始於十九世紀, 不僅是種技術。 起初, 對 Klein 來說藉著這種方式來 統一各類幾何: 歐氏幾何與非歐幾何。 二十世紀被李群論牢牢支配, 像個統一架構而用於研究很 多不同問題。 Klein 認為幾何是均勻空間, 他們都由等距變換群所決定。 歐幾里德群帶來了歐氏 幾何; 雙曲幾何來自另一個李群。 所以每個均勻幾何對應於不同李群。
進入二十世紀, 大域景觀的大域級李群與微分幾何, 帶來了所謂 “示性類” 的資訊。 這些拓 撲不變量結合了三種關鍵部分: 李群、 微分幾何與拓撲, 當然, 代數結合了群。
在更解析的方向上, 得到了不可交換的調和分析。 這就是 Fourier 理論的一般化, Fourier 級數或 Fourier 積分本質上對應於圓與直線的交換李群。
在數論, 李群理論影響深遠。 對於每個李群, 你就會聯想到與之有關的數論。 在這個世紀的 後半葉他影響了代數數論成果的很大一部分。 模形式的研究與這個故事一致, 包括了 Andrew Wiles’ 在費馬最後定理的成果。
7. 有限群 (Finite Group): 有限單群的分類可以認同, 若干年前有限單群剛剛完成, 但 那並不很重要。 理由是有限單群的分類裡多數單群是眾所周知。 這個領域是關閉了, 這樣說有人 會不高興, 因為他們還在使勁兒挖寶。 我出門要穿防彈背心了。
其中有個 “離散群” 名為 “魔鬼 Monster” 最激盪人心, 和數學其他的很多部分都有出 人預料的關聯, 和橢圓模函數、 甚至於理論物理和量子場論。 分類把自己的大門關上了; 可是 Monster 開了門。
8. 物理衝擊: 縱觀歷史, 物理與數學聯繫久矣, 數學很大一部分, 如微積分發展是為了解 決物理問題。 二十世紀中葉這一點或許變的不明顯了, 多數的純數學獨立於物理之外進展的很 好, 可是上個世紀的最後四分之一, 情況有了戲劇性的變化, 物理與數學的交互作用, 特別是幾 何。
十九世紀 Hamilton 發展了古典力學, 它導出了 “扭對稱幾何 (symplectic geometry)”
最近的二十年才認真研究。 結果呢, 他是數學非常豐富的一部分。
這個世紀, 群論的較深應用結果是與物理的關係。 設定任何一個模式, 對稱是不可或缺的 組成分子, 現在流行的不同理論都有基本李群如 SU(2) 與 SU(3), 作為內建的根本對稱群。 所 以李群似乎是物質的建造基石。
二十世紀數學的演變是看到了轉移, 維數成了無限大。 物理學家更上層樓。 在量子場論他 們真正要研究無限維空間, 那裡的無限維空間是標準的各類函數空間。 所以正如二十世紀大部 分數學關注幾何、 拓撲、 代數與分析在有限維李群與流形上的發展, 物理這部分相似的處理在 無限維。
9. 歷史總結: 18與19世紀併論, 可以稱之為古典數學時代, 那是和 Euler 與 Gauss 有關 的時代, 古典數學都有了好結果與發展, 幾乎是數學的完結篇, 可是 20世紀相反, 真的是多產。
20 世紀前半葉為 “特殊時代” 所支配, 這個時代 Hilbert 要把一切公式化再小心定義, 影 響深遠。 後半葉絕對超越了 “整合時代”, 技術從這個領域進入其他領域, 混合到了驚人的程度。
21 世紀呢? 也許是量子力學的時代也可以說是無限維數學。 這意味著徹底了解 (under- standing properly) 分析、 幾何、 拓撲、 多樣化非線性函數空間的代數 (algebra of various non-linear function spaces) 的嚴格證明。
21 世紀還會有些甚麼? 那就要強調 Alain Connes 不可交換微分幾何的整合理論, 結合 了分析、 代數、 幾何、 拓撲、 物理與數論, 都對某部分有所貢獻。 他是個架構, 讓我們能作微分 幾何通常能作的事, 包括就非交換分析而論的與拓撲的關係。
我們預期物理的衝擊一往直前直到數論, 在物理裡脫穎而出表現突起的是 “對偶 duali- ties”, 在線性理論裡, 對偶僅限於傅立葉變換 (Fourier Transform)。 可是在非線性理論裡, 如 何取代一個傅立葉變換是項大挑戰。 了解這些非線性對偶似乎是下一世紀大挑戰之一。
最後我這個老頭兒要說的是: 下個世紀有很多事給大家作。
—作者曾執教建中現已退休—
