耦合強度與居量相關聯之安德森模型的熱力學特性分析

國立臺灣大學理學院物理學研究所 碩士論文

Graduate Institute of Physics College of Science National Taiwan University

Master Thesis

耦合強度與居量相關聯之安德森模型的熱力學特 性分析

Thermodynamic Properties of the

Anderson Model with Correlated Hybridization

王鐘漢 Chung-Han Wang

指導教授：郭光宇 博士 Advisor: Guang-Yu Guo, Ph.D.

中華民國 102 年 10 月

Oct , 2013

I

摘要

近藤效應於 1930 年左右被觀察到後，為了成功解釋這現象，許許多多的理 論以及計算方式如雨後春筍的冒出，數值重整化群(numerical renormalization group) 就是其中之一，這個方法厲害之處在於不會像是其他的計算方式在低溫處失效，

是第一個能成功計算至超低溫的方法。

本論文一開始會先介紹近藤效應，並於第二章介紹了數值重整化群以及計算 熱物理量的方法。在第三章之中嘗試利用數值重整化群計算材料La_1−xCe_xAl₂，此 材料由於具有 4f 軌域的電子，且此 4f 軌域電子即為形成近藤效應的關鍵，所以 一直以來都是研究近藤效應的好材料，而在模擬的過程中發現了其中雜質的能階 以及雜質電子與傳導電子間的耦合強度的決定並不容易，所以討論這兩個物理量 對整個系統的影響就是第四章的主軸，在第四章之中將會改變系統的耦合強度以 及雜質能階，並計算其雜質所貢獻的比熱與熵還有磁化率。

而在第五章中我們討論了耦合強度與居量相關安德森模型，也就是耦合強度 將不再是個常數，而會隨著系統居量而改變，並了解做了這個改變後對於系統的 影響。

II

ABSTRACT

After the discovery of the Kondo effect by De Haas [1] in the 1930’s lots of theoretical and numerical methods were developed. For example Numerical Renormalization Group method. This method is a noteworthy development as unlike other techniques it does not breakdown when applied to low energy scale calculations.

This thesis will begin with a brief introduction to the Kondo effect. After this brief summary, chapter 2 will introduce what the Numerical Renormalization Group method is.

There are numerous rare-earth metallic compounds with atomic have f orbitals and the wide s-d band coexist at the Fermi level. These have a variety of unique thermal and magnetic properties. These rare-earth metallic compounds can be described by the Anderson Model, so I try to use the Numerical Renormalization Group method to calculate the properties of the La_1−xCe_xAl₂.system in chapter 3

To understand the behavior of the impurity and the influence of different hybridization strengths and impurity energy with regards to the Kondo effect, the Numerical Renormalization Group method will be used to calculate the thermal dynamics of the Anderson model like entropy and specific heat in chapter 4.

At chapter 4 we sets the hybridization strength to be a constant. In chapter 5 we use the Correlated Hybridization Anderson model to consider the effects on the system of

III

changing the hybrization strength to now be depended on impurity occupation number.

Any changes to the system are then assessed.

IV

誌謝

兩年多過去了，我的碩士論文終於順利的完成，心中充滿了感謝，這兩年 遇到了許許多多的挫折，不管是與人的相處、物理以及程式上的能力上都受到 了磨練，也終於一一克服，真的非常的感動。

非常的感謝我的指導教授郭光宇博士在這段過程中給我的幫助，使我明白 做研究和以往大學念書的不同，也幫我點出許多的盲點，讓我的研究更加完 善。感謝 601 裡面的大家，總是在我瀕臨崩潰的時候聽我抱怨，學長們也總是 無私的幫助，總是熱心的幫助我解決問題，感謝我可愛的女朋友，陽陽總是要 忍受我壓力下暴躁的情緒，還要辛苦的安撫我。最後則是要感謝我家人對我的 支持、給我的栽培，讓我能夠有機會完成這本論文。

V

目錄

摘要 ... I ABSTRACT ... II 誌謝 ...IV 目錄 ... V 圖目錄 ... VII 表目錄 ... X

第一章 近藤效應 ... 1

1.1 近藤問題 ... 1

1.2 安德森模型 ... 4

1.3 奈米電子元件中的近藤效應 ... 8

第二章 數值重整化群方法介紹 ... 13

2.1 對數離散化 ... 13

2.2 映襯至威爾森長鍊 ... 17

2.3 疊代對角化 ... 18

2.4 熱物理量計算方式 ... 19

第三章 La_1−xCe_xAl₂熱力學物理量計算 ... 22

3.1 計算參數 ... 22

3.3 計算結果 ... 23

第四章 安德森模型熱力學物理量計算分析 ... 27

4.1 耦合強度為零 ... 27

4.2 耦合強度不為零且為定值 ... 32

4.3 耦合強度不為零且不為定值 ... 36

第五章 耦合強度與居量相關聯安德森模型計算分析 ... 39

5.1 耦合強度與居量相關聯安德森模型介紹 ... 39

5.2 耦合強度與居量相關聯安德森模型計算結果 ... 40

5.2.1 固定Δ₁，調整Δ₂對系統之影響 ... 40

5.2.2 固定Δ₂，調整Δ₁對系統之影響 ... 43

VI

5.2.3 La_1−xCe_xAl₂熱力學物理量計算 ... 47

5.3 耦合強度與居量相關聯安德森模型之能量對稱性... 49

第六章 結論 ... 54

參考文獻 ...55

VII

圖目錄

圖 1-1 金的電阻與溫度關係圖，兩個金樣本中的雜質濃度皆小於10⁻⁴%[1]。 ... 2

圖 1-2 摻雜 1 %鐵的鉬鈮合金其電阻與溫度關係圖，可看到電阻有最小值[3]。 ... 3

圖 1-3 安德森模型示意圖。 ... 5

圖 1-4(a) 雙電子態 ... 7

圖 1-4(b) 局域磁矩態 ... 7

圖 1-4(c) 空電子態 ... 7

圖 1-4(d) 價電擾動態 ... 7

圖 1-5 在局域磁矩態下的自旋翻轉過程。 ... 8

圖 1-6 單電子電晶體之示意圖。 ... 9

圖 1-7 量測不同溫度下，不同ϵ̃ 下的電導值，𝜖₀ ̃ ≡ 𝜖_{0 0}/𝛤，𝜖₀為局域能階相對於費米面的 能量，𝛤為局域能階的帶寬[5]。 ... 10

圖 1-8 歸一化的電導值𝐺̃ ≡_𝐺^𝐺 0以𝑇𝑘為單位下展現出近藤的普遍性，𝜖̃ ≡ 𝜖0 0/𝛤，𝜖0為局域 能階相對於費米面的能量，𝛤為局域能階的帶寬[5]。 ... 10

圖 1-9 調整單電子電晶體的 V 以及𝑉_𝑔 量測其_𝜕𝑉^𝜕𝐼作圖，實驗溫度為 300 mK，使用顏色代 表著_𝜕𝑉^𝜕𝐼的值，從深紅色(0 ^𝑒_ℎ²)到亮黃色(1.3 ^𝑒2 ℎ)[6]。 ... 11

圖 1-10 為固定單電子電晶體的𝑉𝑔= −2.25 V時，改變溫度下所測得的結果，溫度從尖端 最高點依次往下為 T= 0.3 K, 1.0 K, 2.0 K, 3.1 K, 4.2 K, 6.3 K, 9 K, 14 K,20 K[6]。 ... 12

圖 2-1 將和雜質耦合的傳導電子用一維的能量帶表示，再將能量帶切成很多很多個區 間，每個區間寬𝑑_𝑛= 𝛬^−𝑛(1 − 𝛬⁻¹)。 ... 16

圖 2-2 原本是和整個能量帶互相耦合，但經由改變基底之後，現在的雜質只和每一區的 一個項耦合，也就是將連續的能量帶離散化。 ... 16

圖 2-3 將原本和很多點耦合的雜質，經由轉換變成一條長鍊，此時雜質只和 Site0 以耦 合強度 V 相互耦合，Site0 以強度𝑡₀與 site1 相互耦合，依此類推，此長鍊稱為威 爾森長鍊。 ... 18

圖 3-1 LaAl2的能帶圖和態密度[9]。 ... 23

圖 3-2 CeAl₂的能帶圖和態密度[12]。 ... 23

圖 3-3 La1−xCexAl2的實驗與計算結果之比熱對溫度作圖。 ... 24

VIII

圖 3-4 La1−xCexAl2 的 熵 對 溫 度 做 圖 ， 使 用 參 數 𝜀𝑓 = −2 eV ， Δ =

0.2 eV 。 … … . … … … … . 2 5

圖 3-5 La_1−xCe_xAl₂的磁化率對溫度作圖，使用參數 𝜀_𝑓 = −2 eV，Δ = 0.2 eV。 ... 25

圖 3-6 La1−xCexAl2的 kBTχimp/(gμB)²對溫度做圖，使用參數𝜀𝑓= −2 eV，Δ = 0.2 eV。 ... 26

圖 4-1 U=5 eV，∆=0 eV，ε𝑓從-2 eV 增加至−0.5 eV，熵及比熱對溫度作圖。 ... 28

圖 4-2 U=5 eV，∆=0 eV，ε𝑓從-2 eV 增加至−0.5 eV，磁化率對溫度作圖。 ... 29

圖 4-3 U=5 eV，Δ=0 eV，ε𝑓為 0 eV 時之比熱與對熵對溫度作圖。 ... 30

圖 4-4 U=5 eV，Δ=0 eV，ε𝑓為 0 eV，磁化率對溫度作圖。 ... 30

圖 4-5 U=5 eV，Δ=0 eV，ε_𝑓為0.5 eV, 1 eV, 2.5 eV, 5 eV時之比熱與對熵對溫度作圖。 31 圖 4-6 U=5 eV，∆=0 eV，ε𝑓為 0.5 eV、1 eV、2.5 eV，其磁化率對溫度作圖。 ... 32

圖 4-7 U=5 eV，∆= 0.2 eV，ε_𝑓從-2 eV 增加至0 eV，熵及比熱對溫度作圖。 ... 33

圖 4-8 U=5 eV，∆= 0.2 eV，ε𝑓從-2 eV 增加至0 eV，取磁化率對溫度作圖。 ... 34

圖 4-9 U=5 eV，∆= 0.2 eV，ε_𝑓從-2 eV 增加至0 eV，取其等效居里常數_(𝑔𝜇^{𝑘𝐵𝑇𝜒} 𝐵)²對溫度作圖 ... 34

圖 4-10 U=5 eV，∆= 0.2 eV，ε𝑓從 0.4 eV 增加至 3 eV，熵及比熱對溫度作圖。 ... 35

圖 4-11 U=5 eV，∆= 0.2 eV，ε_𝑓從 0.4 eV 增加至 3 eV，磁化率對溫度作圖。 ... 36

圖 4-12 U=5 eV，ε𝑓= −2 eV，∆從 0.05 eV 增加至 0.8 eV，比熱與熵對溫度作圖。 .... 37

圖 4-13 U=5 eV，εf= -2 eV，∆從 0.05 eV 增加至 0.8 eV，等效居里常數_(gμ^kBTχ B)²對溫度作圖。 ... 37

圖 5-1 耦合強度與居量相關聯安德森模型示意圖 ... 39

圖 5-2 U=5 eV，𝜀_𝑓 = −2 eV，∆₁= 0.2 eV，∆₂從 0.05 eV 增加至 0.4 eV，比熱與熵對溫 度作圖。 ... 40

圖 5-3 U=5 eV，ε𝑓 = −2 eV，∆1= 0.2 eV，∆2從 0.05 eV 增加至 0.4 eV，磁化率對溫度 作圖。 ... 41

圖 5-4 U=5 eV，ε𝑓 = −2 eV，∆1= 0.2 eV，∆2從 0.05 eV 增加至 0.4 eV，取其等效居里 常數_(𝑔𝜇^{𝑘𝐵𝑇𝜒} 𝐵)²對溫度作圖。 ... 42

圖 5-5 U=5 eV，ε𝑓 = −2 eV，∆1= 0.2 eV，∆2從 0.05 eV 增加至 0.4 eV，雜質居量對溫 度作圖。 ... 43

IX

圖 5-6 U=5 eV，ε𝑓 = −2 eV，∆2= 0.2 eV，∆1從 0.05 eV 增加至 0.4 eV，比熱與熵對溫

度作圖。 ... 44

圖 5-7 U=5 eV，ε_𝑓 = −2 eV，∆₂= 0.2 eV，∆₁從 0.05 eV 增加至 0.4 eV，磁化率對溫度 作圖。 ... 45

圖 5-8 U=5 eV，ε𝑓 = −2 eV，∆2= 0.2 eV，∆1從 0.05 eV 增加至 0.4 eV，等效居里常數 對溫度作圖。 ... 45

圖 5-9 U=5 eV，ε_𝑓 = −2 eV，∆₂= 0.2 eV，∆₁從 0.05 eV 增加至 0.4 eV，雜質居量對溫 度作圖。 ... 46

圖 5-10 紅線為傳統安德森模型計算之比熱與熵對溫度作圖(𝑈 = 5 eV，𝜀𝑓= −2 eV，∆= 0.2 eV)，綠線為耦合強度與居量相關聯安德森模型計算之比熱與熵對溫度作圖 (𝑈 = 5 eV，𝜀𝑓 = −2 eV，∆1= 0.079 eV，∆2= 0.369 eV)，藍線為實驗量測結果。 ... 47

圖 5-11 紅線為傳統安德森模型計算計算之等效居里常數對溫度作圖(𝑈 = 5 eV，𝜀_𝑓= −2 eV，∆= 0.2 eV)，綠線為耦合強度與居量相關聯安德森模型之等效居里常數 對溫度作圖(𝑈 = 5 eV，𝜀_𝑓= −2 eV，∆₁= 0.079 eV，∆₂= 0.369 eV)。 ... 48

圖 5-12 紅 線 為 傳 統 安 德 森 模 型 計 算 計 算 之 雜 質 居 量 對 溫 度 作 圖 (𝑈 = 5 eV，𝜀𝑓= −2 eV，∆= 0.2 eV)，綠線為耦合強度與居量相關聯安德森模型之雜質居量對溫 度作圖(𝑈 = 5 eV，𝜀𝑓= −2 eV，∆1= 0.079 eV，∆2= 0.369 eV)。 ... 48

圖 5-13 U=5 eV，∆₁= ∆₂= 0.2 eV，調整ε_𝑓做熵與比熱和溫度關係圖。 ... 50

圖 5-14 U=5 eV，∆1= ∆2= 0.2 eV，調整ε𝑓做磁化率和溫度關係圖。 ... 50

圖 5-15 U=5 eV，∆₁= ∆₂= 0.2 eV，調整ε_𝑓做居量和溫度關係圖。 ... 51

圖 5-16 U=5 eV，∆1= 0.2 eV，∆2= 0.316 eV，調整ε𝑓做居量和溫度關係圖。 ... 52

圖 5-17 U=5 eV，∆₁= 0.2 eV，∆₂= 0.316 eV，調整ε_𝑓做熵與比熱和溫度關係圖。 ... 53

圖 5-18 U=5 eV，∆1= 0.2 eV，∆2= 0.316 eV，調整εf做磁化率和溫度關係圖。 ... 53

X

表目錄

表 1-1 單雜質安德森模型之雜質量子態。 ... 6 表 4-1 U=5 eV，ε_𝑓= −2 eV，∆從 0.05 eV 增加至 0.8 eV，近藤溫度計算結果。 ... 38 表 5-1 U=5 eV，εf= -2 eV，∆1= 0.2 eV，∆2從 0.05 eV 增加至 0.4 eV系統之近藤溫度。

... 42 表 5-2 U=5 eV，ε_𝑓= −2 eV，∆₂= 0.2 eV，∆₁從 0.05 eV 增加至 0.4 eV系統之近藤溫度。

... 46

1

第一章 近藤效應

在二十世紀三零年代 de Haas 發現了一個有趣的現象[1]，對於電阻我們的認 知是由電子流通過晶體撞擊原子所產生，隨著溫度變高，原子的震動會轉為激烈 導致電阻升高，也因為如此當溫度下降時，電阻應該也會跟著下降，但是我們在 實驗中可以看見(如圖 1-1)，貴金屬在含有濃度很低的磁性雜質時，當溫度降至 4 K 以下時達到一個極小值，如果我們再繼續將溫度降低，此時樣品的電阻值不降 反增，這個時候科學家們意識到在這背後一定存在著甚麼新的物理機制。在這之 後，有大量的實驗繼續的證實這個電阻極小值的現象，例如圖 1-2 便顯示了 Sarachik 等人在鉬鈮合金中摻雜了 1 %鐵原子的實驗結果，而這電阻的反常現象 即源自於局域磁矩(localized magnetic moment)，到了大約 1960 年，來自日本的 理論物理學家近藤 淳(Jun Kondo)對於這件現象提出了解釋[2]，而後我們便稱此 現象為近藤效應。

近藤效應主要是來自於將磁性雜質放入非磁性金屬中，磁性雜質和傳導電子 間的交互作用，到了現在，近藤效應已經被足夠的了解，所以能解決近藤問題就 變成了我們嘗試新的計算工具的標準，一但有了更好的計算工具，將有助於我們 能夠了解其他多體的問題，除此之外，了解近藤效應也能幫助我們了解其他強關 聯電子的系統。到了近十年來，許多科學家又開始關注這個現象，主要是因為我 們在奈米尺度上的技術長足發展，使得我們開始有能力能夠去操控近藤系統。在 這章我們主要是回顧近藤效應的歷史，並介紹安德森模型，最後則是介紹在奈米 設備中的近藤效應。

1.1 近藤問題

近藤的解釋是這樣的，由於此現象即使在雜質很低時也會發生，所以這個電 阻的極小值應該是來自於雜質和傳導電子間的作用，所以他使用了一個模型來解

2

釋，這個模型假設這邊有一個擁有自旋 S 的局域磁矩，而且這磁矩將會和傳導電 子互相耦合，當電子與磁性雜質產生交互作用，交互作用常數(Exchange integral) 為 J，當近藤把這個 J 當做微擾項處理，展開到第三階的之後就會得出電阻為

𝜌(𝑇) = 𝑎𝑇⁵+ 𝐶_𝑖𝑚𝑝𝜌₀− 𝐶_𝑖𝑚𝑝𝜌₁𝑙𝑛𝑇 (1.1) 其中𝐶_𝑖𝑚𝑝是代表雜質的濃度，第一項是來自於聲子的震動，第二項是一個由 於電子在雜質處散設造成與溫度無關的電阻項，最後一項則是由局域磁矩的自旋 和傳導電子交互作用產生的自旋反轉散射(Spin flip scattering)所造成的。然後我們 將(1.1)對溫度做微分，可以知道電阻在𝑇_𝑚𝑖𝑛會有最小值為：

𝑇_𝑚𝑖𝑛 = (^𝜌_5𝑎¹)^0.2𝐶_𝑖𝑚𝑝^0.2

圖 1-1 金的電阻與溫度關係圖，兩個金樣本中的雜質濃度皆小於10⁻⁴%[1]。

3

圖 1-2 摻雜 1 %鐵的鉬鈮合金其電阻與溫度關係圖，可看到電阻有最小值[3]。

由式(1.1)可以發現，在溫度趨近於零的時候，由於− 𝑙𝑛 𝑇項，電阻值將整個 發散，但實驗結果卻顯示出電阻值應該是會隨溫度的平方達到一個飽和值，也就 是說近藤的微擾法在低溫時是無法適用的，也因此，找出一個能成功解釋溫度極 小值，並且適用於所有溫度區間的完備理論便成為大家的目標，而這個看似簡單 卻非常複雜的問題就是我們有名的“近藤問題”。在理論學家持續的努力之後，

考慮了更高階的微擾項，得到了一個我們稱之為“近藤溫度”的特徵溫度𝑇_𝑘，當 𝑇 ≫ 𝑇_𝑘時微擾法可以完全適用，但當 𝑇 ≪ 𝑇_𝑘時，微擾法將不適用，這主要的原 因是在高溫的時候，含有磁性雜質的非磁性金屬或是合金之中的傳導電子可以用 自由電子的散射理論所解釋，但是當低於近藤溫度時，由於近藤溫度是一個非常 接近零度的能量尺度，在這個尺度之下，傳導電子和局域磁矩的散射是一個量子 化的過程，而在這個過程之中呢，只要發生過自旋反轉散射的傳導電子們會彼此 關聯起來，如此一來，通過與磁性雜質的自旋耦合將成為一個強關聯的多電子系 統，這個時後，微擾法的基礎，也就是傳統散射理論將無法使用，這就是問題最

4

困難的地方。

到了 1960 年，Anderson 和他的同伴們提出了一個理論框架來了解這個問題，

主要的想法就是利用所謂的重整化標度(Scaling)，他們證實了如果今天我們將能 量比較高的激發態透過微擾法消除掉，會得到一個能描述較低能量尺度的模型，

而傳導電子和局域磁矩間有效的耦合強度也會增強，儘管這種逼近法最終會得到 無限大的耦合強度使得此方法無法繼續，但這方法卻暗示著在𝑇 ≪ 𝑇_𝑘，傳導電子 和局域磁矩將會整個偶合成一個束縛態，也就是自由電子會形成一個電子雲圍繞 著磁性雜質，而這團電子雲的磁矩總和約等於局域磁矩的磁矩但是方向相反，使 得自旋的磁矩被這個電子雲相反方向的磁矩所抵銷，就像是一個擁有兩個相反平 行磁矩的量子態，也就是我們俗稱的單態(siglet state)。

而後最重要的貢獻是來自於 K.G.Wilson，它利用了重整化群(Renormalization Group)和重整化標度的想法，在 1974 年創造了一個非常有力的工具─數值重整化 群(Numerical Renormalization Group)，簡稱 NRG，利用這個非微擾的方法計算自 旋數¹

2的 s-d Model，可以算出電阻一開始從𝑇⁵項為主，然後在近藤溫度附近電阻 隨溫度以-lnT 描述，而後隨著溫度遞減，到了近藤溫度之下開始按𝑇²趨近於一個 飽和值，這個方法可以清楚的解釋每一個溫度區間，也因此 Wilson 在 1982 年得 到了諾貝爾物理學獎，到這邊近藤問題算是到了一個段落。

1.2 安德森模型

在 1961 年時，安德森為了理論工作需要一個能夠描述局域磁矩埋在金屬裡 的模型[4]，而這個我們稱之為安德森模型(Anderson Model)的理論模型能幫助我 們了解不同的能量尺度下雜質的微觀狀態，安德森模型的特色在於他雜質的部分 僅擁有一個能階，可用來描述帶有磁性的雜質，其哈密頓算符主要由三個部分組 成：

𝐻 = 𝐻_𝑖𝑚𝑝 + 𝐻_{𝑏𝑎𝑡ℎ}+ 𝐻_{𝑖𝑚𝑝−𝑏𝑎𝑡ℎ}

5

考慮一個雜質的時候，可寫成單雜質安德森模型 SIAM(Single Impurity Anderson Model)，其雜質的哈密頓算符為：

𝐻_𝑖𝑚𝑝 = ∑ ε_{𝜎 𝑓}𝑓_𝜎^†𝑓_𝜎 + 𝑈𝑛_𝑓↑𝑛_𝑓↓ (1.4) 其中的𝜀_𝑓代表著雜質在侷限能態(localized state)上填入電子所需能量(本章使用雜 質的 f-orbital 代表侷限能態)，𝑓_𝜎和𝑓_𝜎^†則為電子在這個位置的創生以及消滅算符，

而𝑈則代表雜質上兩顆電子間的庫倫斥力。而這傳導帶電子的哈密段算符為：

𝐻_{𝑏𝑎𝑡ℎ} = ∑_𝑘,𝜎𝜀_𝑘𝑐_𝑘,𝜎^† 𝑐_𝑘,𝜎

𝐻_{𝑖𝑚𝑝−𝑏𝑎𝑡ℎ} = ∑ (𝑉_{𝑘,𝜎 𝑘}𝑓_𝜎^†𝑐_𝑘,𝜎+ 𝑉_𝑘^∗𝑐_𝑘,𝜎^† 𝑓_𝜎)

而這三項則構成了我們安德森模型的哈密頓算符：

𝛨 = ∑ 𝜀_{𝜎 𝑓}𝑓_𝜎^†𝑓_𝜎+ 𝑈𝑛_𝑓↑𝑛_𝑓↓+ ∑_𝑘,𝜎𝜀_𝑘𝑐_𝑘,𝜎^† 𝑐_𝑘,𝜎+ ∑ (𝑉_{𝑘,𝜎 𝑘}𝑓_𝜎^†𝑐_𝑘,𝜎+ 𝑉_𝑘^∗𝑐_𝑘,𝜎^† 𝑓_𝜎)

(1.7)

圖 1-3 安德森模型示意圖。

為了了解這個模型，我們先假定耦合強度為零，此時這個雜質的電子組態將 會非常簡單，藉由控制𝐸_𝑓以及U 其能階的基態可以有四種量子態，見表 1-1，分

6

別代表雜質之 f-orbital 有兩顆電子、自旋向上電子、自旋向下電子、以及沒有電 子。

量子態 能量

|𝑓²⟩ 2𝐸_𝑓+ 𝑈

|𝑓¹ ↑⟩ 𝐸_𝑓

|𝑓¹ ↓⟩ 𝐸_𝑓

|𝑓⁰⟩ 0

表 1-1 單雜質安德森模型之雜質量子態。

圖 1-4(a)表示在𝐸_𝑓+ 𝑈 < 0且𝐸_𝑓 < 0時，雜質的基態為在 f-orbital 上填入兩顆 電子，也就是雙電子態(double occupation regime)而圖 1-4(b)表示在𝐸_𝑓+ 𝑈 > 0、

𝐸_𝑓 < 0時，雜質的基態為在 f-orbital 上填入一顆自旋向上或一顆自旋向下電子，

在這個情形，我們稱之為局域磁矩態(local moment regime)，圖 1-4 (c)表示在𝐸_𝑓+ 𝑈 > 0、𝐸_𝑓 > 0時，雜質的基態為在 f-orbital 上沒有半顆電子，這是屬於空電子態 (empty orbital regime)。而其中的|𝑓¹ ↑⟩以及|𝑓¹ ↓⟩兩個量子態是能擁有磁矩的，

|𝑓²⟩和|𝑓⁰⟩是沒有磁矩的。

而當 V≠0 時，雜質能階和傳導電子混成使得能階有一個帶寬∆= 𝜋𝜌𝑉²， 𝜌為傳導電子態密度，此時如果|𝐸_𝑓|<<𝛥的時候，由於傳導電子能夠輕易的跳上或 跳下，這時的量子態除了|𝑓¹ ↑⟩以及|𝑓¹ ↓⟩以外，還必須考慮|𝑓⁰⟩進來，那我們這 邊我們稱之為價電擾動態(valence fluctuation regime)，如圖 1-4(d)。

7

圖 1-4(a) 雙電子態 圖 1-4(b) 局域磁矩態

圖 1-4(c) 空電子態 圖 1-4(d) 價電擾動態

當處於我們的局域磁矩態時，會發生所謂的自旋翻轉(spin flip)，將在雜質上 的電子從向上轉到向下，或者向下轉成向上，這整個過程就像是圖 1-5 一樣，一 開始傳導電帶上有一顆自旋向下的電子，而雜質能階上有著一顆自旋向上的電子，

然後這顆電子跳到了費米面上，這個動作需要|𝜀_𝑓|的能量，在古典上根本是不可 能發生的，但在量子的角度中，由於海森堡測不準原理的存在，這狀況是會發生 的，只不過時間非常的短暫，大約停留的時間是_|𝜀^ℎ

𝑓|秒鐘，h 是普朗克常數，但就 在這很短的時間，一顆在傳導電帶的電子就跳了進來，這顆電子可能是自旋向下 的電子，也有可能是自旋向上的電子，如果今天和我們的示意圖一樣跳進來的是 和雜質電子自旋方向相反的電子，那麼我們的初始狀態和最終狀態的自旋將會相 反，這也就是一開始所講的自旋翻轉現象，當這個現象大量的發生之後，會影響 我們的能譜，使得態密度在費米面上有個很高的峰值，我們稱之為“近藤共振”

(Kondo resonace)

8

初始狀態 虛態

最終狀態

圖 1-5 在局域磁矩態下的自旋翻轉過程。

1.3 奈米電子元件中的近藤效應

近藤效應再度被重視的原因之一在於奈米科技上的突破，使得我們對於控制 進藤系統有前所未有的成長[5]。理論上就預測我們應該能夠在單電子電晶體 SET(single electron transistor)發現前面所說由雜質電子被電子雲包覆形成的獨態。

所謂的單電子電晶體，就如同一般的電晶體一般擁有源極(Source), 汲極 (Drain)及閘極(Gate)，特別之處在於一般的電晶體電子流量大都上千顆，但是 SET 經由控制每次可以只流過一顆電子，光是損耗的功率就大幅降低，所以 SET 擁有 極高應用價值的奈米元件，其示意圖見圖 1-6，中間綠色的為穿隧接面(tunnel

9

junction)，而這接面需要非常的薄，薄到能讓電子從源極穿越進去量子點，再穿 隧至汲極，此量子點的尺度大概為 10~200nm，接近電子的物質波長，所以量子 點內有不連續能階。

圖 1-6 單電子電晶體之示意圖。

而我們就能藉由調控閘極電壓來控制雜質的能階，也控制了量子點中的電子 數目，藉由調控源極和汲極電壓，穿隧接面材料來改變耦合的強度，也就是對於 整個近藤系統我們能控制的物理量相較於塊材變多了。換言之，藉由單電子電晶 體我們可以調控前述安德森模型的參數來幫助我們理解各種態下的情形。例如我 們就可以實際去量測安德森模型的局域磁矩態𝜖̃ < −0.5，價電擾動態−0.55 ≤₀ 𝜖̃ ≤ 0，空電子態下的電導率見圖 1-7[5]，其中𝜖₀ ̃ ≡ 𝜖_{0 0}/𝛤，𝜖₀為局域能階相對於 費米面的能量，Γ為局域能階的帶寬

當然，也成功的在單電子電晶體上看到近藤的普遍性[5]，見圖 1-8，當我們 控制在局域磁矩態時(ϵ̃ < 0.5)，以溫度為零時的電導值歸一化後的電導值，如果₀ 以近藤溫度當單位，電導值與𝜖̃ 以及Γ無關，也與數值重整化群計算的結果相符₀ 合。

10

圖 1-7 量測不同溫度下，不同ϵ̃ 下的電導值，𝜖0 ̃ ≡ 𝜖0 0/𝛤，𝜖0為局域能階相對於費米 面的能量，𝛤為局域能階的帶寬[5]。

圖 1-8 歸一化的電導值𝐺̃ ≡_𝐺^𝐺

0以𝑇𝑘為單位下展現出近藤的普遍性，𝜖̃ ≡ 𝜖0 0/𝛤，𝜖0為局 域能階相對於費米面的能量，𝛤為局域能階的帶寬[5]。

11

在單電子電晶體中我們也看見了了近藤共振的現象，當改變閘極電壓(𝑉_𝑔)，

以及源極和汲極間的順向偏壓(V)後來量測_𝜕𝑉^𝜕𝐼[6]，見圖 1-9，我們可以發現，第 I

區內僅有一個電子，此時能觀察_𝜕𝑉^𝜕𝐼在無順向偏壓時會有明顯的峰值，而在第 II 區 之中，我們的能階裡面擁有成對電子時，這個現象消失了，這可以說明這個現象 一定與雜值內是否有磁矩有關，再來我們固定𝑉_𝑔，量測不同溫度以及順向偏壓實 的_𝜕𝑉^𝜕𝐼(圖 1-10)，可在單電子電晶體中看見當溫度遞減，_𝜕𝑉^𝜕𝐼 在順向偏壓為零的時候 會有一個越來越高的峰值，此外，整個圖形的寬度也會越來越窄，這個現象無疑 代表著在溫度很低的時候，一定有甚麼東西形成了，而這就是發生”近藤共振”最 有力的證據，也就是當溫度低於一定時，費米面出現一個新的能階，而這能階也 使得電子更容易穿越，所以我們便可以觀察到^𝜕𝐼

𝜕𝑉的峰值，此外由於這個近藤共振 造成的能階會非常的窄，所以只要施加順向偏壓，電導值將迅速下降。這些都顯 示出單電子電晶體除了是個很有前瞻性的電子元件之外，對於研究近藤效應和安 德森模型都是個非常有力的工具。

圖 1-9 調整單電子電晶體的 V 以及𝑉𝑔 量測其_𝜕𝑉^𝜕𝐼作圖，實驗溫度為 300 mK，使用顏色 代表著^𝜕𝐼

𝜕𝑉的值，從深紅色(0 ^𝑒_ℎ²)到亮黃色(1.3 ^𝑒_ℎ²)[6]。

12

圖 1-10 為固定單電子電晶體的𝑉_𝑔= −2.25 V時，改變溫度下所測得的結果，溫度從尖

端最高點依次往下為 T= 0.3 K, 1.0 K, 2.0 K, 3.1 K, 4.2 K, 6.3 K, 9 K, 14 K,20 K[6]。

13

第二章 數值重整化群方法介紹

數值重整化群的應用非常廣泛，而他其實主要是一種非微擾法的重整化群，

能解決過往的計算方式總是被受限在特定的能量尺度或是 parameter regime，而 數值重整化群主要用來計算的模型大都是有低自由度的雜質泡在一堆費米子或 玻色子中，並互相耦合，至於雜質部分的哈密頓算符則沒有限制，但是要記得費 米子和玻色子間必須互相沒有交互作用，否則數值重整化群將無法使用，常見模 型有 Hubbard model、Kondo model 或是本篇論文所使用的安德森模型都是很好 的例子，所以在本章我們將使用單雜質安德森模型來介紹數值重整化群[7]。

2.1 對數離散化

首先我們知道安德森模型之哈密頓算符為：

𝐻 = 𝐻_𝑖𝑚𝑝 + 𝐻_{𝑏𝑎𝑡ℎ}+ 𝐻_{𝑖𝑚𝑝−𝑏𝑎𝑡ℎ}

= ∑ 𝜀_𝑓𝑓_𝜎^†𝑓_𝜎

𝜎

+ 𝑈𝑛_𝑓↑𝑛_𝑓↓+ ∑ 𝜀_𝑘𝑐_𝑘,𝜎^† 𝑐_𝑘,𝜎

𝑘,𝜎

+ ∑(𝑉_𝑘𝑓_𝜎^†𝑐_𝑘,𝜎+ 𝑉_𝑘^∗𝑐_𝑘,𝜎^† 𝑓_𝜎)

𝑘,𝜎

(2.1) 而 雜 質 摻 入 金 屬 中 所 造 成 的 影 響 是 由 一 個 混 成 函 數 (hybridization function)𝛥(𝑤)所決定：

𝛥(𝑤) = 𝜋𝑉_𝑘²𝛿(𝑤 − 𝜀_𝑘) (2.2) 再來我們要在不影響這混成函數下先改寫其他部分的哈密頓算符，這邊我們 先假設混成函數僅在區間[-D,D]中有值，D 即是我們的傳導電子帶寬，簡稱傳導 帶寬，令 D=1 時安德森模型可以寫成

𝐻 = 𝐻_𝑖𝑚𝑝+ ∑ ∫ 𝑑𝜀 𝑔(𝜀)𝑎_𝜀𝜎^† 𝑎_𝜀𝜎

1

𝜎 −1

+ ∑ ∫ 𝑑𝜀 ℎ(𝜀)(𝑓_𝜎^†𝑎_𝜀𝜎+ 𝑎_𝜀𝜎^† 𝑓_𝜎)

1

𝜎 −1 (2.3)

在這邊我們使用一維的能量帶來取代三維的 K 空間，而這一維的能量傳導帶 是表示傳導電子，其範圍為[-1,1]，其中𝑎_𝜀𝜎^† 和𝑎_𝜀𝜎符合交換關係：[𝑎_𝜀𝜎^† , 𝑎_{𝜀′𝜎′}]₊ = 𝛿(𝜀 − 𝜀^′)𝛿_𝜎𝜎′，且𝑔(𝜀)和ℎ(𝜀)兩個方程式將會和混成函數相關：

14

𝛥(𝑤) = 𝜋^{𝑑𝜀(𝑤)}_𝑑𝑤 ℎ[𝜀(𝑤)]² (2.4) 𝑔[𝜀(𝑤)] = 𝑤 𝜀(𝑤)為𝑔(𝜀)的反函數 (2.5) 再來就可以開始進行像是圖 2-1 的離散化，將能量帶切成一份一份的，𝛬是 一個決定怎麼切的常數，當定𝛬 > 1的時候，能量帶上會有無限個切點𝑥_𝑛：

𝑥_𝑛 = ±𝛬^−𝑛 , 𝑛 = 0,1,2, … .. (2.6) 切點與切點間的距離𝑑_𝑛為

𝑑_𝑛 = 𝛬^−𝑛(1 − 𝛬⁻¹) (2.7) 先令在每個區間中有個完整的單範正交函數系𝜓_𝑛𝑝^± (ε)：

𝜓_𝑛𝑝^± (𝜀) = {

1

√𝑑𝑛𝑒^{±𝑖𝜔𝑛𝑝𝜀} 𝑥_𝑛+1 < ±𝜀 < 𝑥_𝑛 0 區間之外

(2.8)

其中 p 是從−∞~∞的整數，且每個區間的𝜔_𝑛是由𝑑_𝑛所決定，其關係式為：

𝜔_𝑛 =^2𝜋_𝑑

𝑛

如此便可以將剛剛傳導帶的算符𝑎_𝜀𝜎、𝑎_𝜀𝜎^† 用這函數系展開，舉𝑎_𝜀𝜎為例子：

𝑎_𝜀𝜎 = ∑ [𝑎_{𝑛𝑝 𝑛𝑝𝜎}𝜓_𝑛𝑝⁺ (𝜀) + 𝑏_𝑛𝑝𝜎𝜓_𝑛𝑝⁻ (𝜀)]+ (2.10) 其 中 𝑎_𝑛𝑝𝜎 = ∫ 𝑑𝜀[𝜓₋₁¹ 𝑛𝑝+ (𝜀)]^∗𝑎_𝜀𝜎 ， 𝑏_𝑛𝑝𝜎 = ∫ 𝑑𝜀[𝜓₋₁¹ 𝑛𝑝− (𝜀)]^∗𝑎_𝜀𝜎 ， 這 之 後

𝐻_{𝑖𝑚𝑝−𝑏𝑎𝑡ℎ}的第一個部份將可以寫成：

∑ ∫ 𝑑𝜀 ℎ(𝜀)𝑓_{𝜎 −1}¹ _𝜎^†𝑎_𝜀𝜎=

𝑓_𝜎^†∑ [𝑎_𝑛𝑝𝜎∫_𝑥^𝑥𝑛 𝑑𝜀ℎ(𝜀)𝜓_𝑛𝑝⁺ (𝜀) +

𝑛+1 𝑏_𝑛𝑝𝜎∫_−𝑥^{−𝑥𝑛+1}𝑑𝜀ℎ(𝜀)𝜓_𝑛𝑝⁻ (𝜀)

𝑛 ]

𝑛𝑝

(2.11)

如此一來當我們定ℎ(𝜀)為一個常數 h 的時候，積分的結果會變為

∫_𝑥^𝑥𝑛 𝑑𝜀ℎ(𝜀)𝜓_𝑛𝑝⁺ (𝜀)

𝑛+1 = √𝑑𝑛ℎ𝛿_𝑝,0

15

ℎ(𝜀) = ℎ_𝑛^± , 𝑥_𝑛+1 < ±𝜀 < 𝑥_𝑛

𝑛∫_𝑥^𝑥𝑛 𝑑𝜀_𝜋¹

𝑛+1 𝛥(𝜀) (2.14)

ℎ_𝑛⁻ = √_𝑑¹

𝑛∫_−𝑥^{−𝑥𝑛+1}𝑑𝜀_𝜋¹

𝑛 𝛥(𝜀) (2.15)

為了減化式子，這邊我們令𝛾_𝑛⁺ = ∫_𝑥^𝑥𝑛 𝑑𝜀𝛥(𝜀)

𝑛+1 ；𝛾_𝑛⁻ = ∫_−𝑥^{−𝑥𝑛+1}𝑑𝜀

𝑛 𝛥(𝜀)，再將另 一個部分也依照這方法改寫，那麼𝐻_{𝑖𝑚𝑝−𝑏𝑎𝑡ℎ}就可以成功改寫成

∑ ∫ 𝑑𝜀 ℎ(𝜀)(𝑓_{𝜎 −1}¹ _𝜎^†𝑎_𝜀𝜎+ 𝑎_𝜀𝜎^† 𝑓_𝜎)=

1

√𝜋∑ 𝑓_{𝜎 𝜎}^†∑ (𝛾_{𝑛 𝑛}⁺𝑎_𝑛0𝜎+ 𝛾_𝑛⁻𝑏_𝑛0𝜎)+ ¹

√𝜋∑ (∑ (𝛾_{𝜎 𝑛 𝑛}⁺𝑎_𝑛0𝜎+ 𝛾_𝑛⁻𝑏_𝑛0𝜎))𝑓_𝜎

(2.16)

再來繼續處理傳導電子項𝐻_{𝑏𝑎𝑡ℎ}的時候，我們可以拿掉𝑝 ≠ 0的項，因為𝑝 ≠ 0 的項並沒有直接和雜質耦合在一起，他必須先與𝑝 = 0耦合，所以我們可以將傳 導電子項寫為：

∑ ∫ 𝑑𝜀 𝑔(𝜀)𝑎_{𝜎 −1}¹ 𝜀𝜎† 𝑎_𝜀𝜎 = ∑ (𝜉_{𝑛𝜎 𝑛}⁺𝑎_𝑛0𝜎^† 𝑎_𝑛0𝜎+ 𝜉_𝑛⁻𝑏_𝑛0𝜎^† 𝑏_𝑛0𝜎) (2.17) 其中𝜉_𝑛⁺ =^{∫ 𝑑𝜀}

1 𝜋 𝑥𝑛+1𝑥𝑛 𝛥(𝜀)𝜀

∫_𝑥𝑛+1^𝑥𝑛 𝑑𝜀_𝜋¹𝛥(𝜀)、𝜉_𝑛⁻ = ^{∫ 𝑑𝜀}

1

−𝑥𝑛+1 𝜋

−𝑥𝑛 𝛥(𝜀)𝜀

∫_−𝑥𝑛^{−𝑥𝑛+1}𝑑𝜀_𝜋¹𝛥(𝜀)。如此一來，就能將整個哈密頓算 符成功改寫為：

𝐻 = 𝐻_𝑖𝑚𝑝 + ∑ (𝜉_{𝑛𝜎 𝑛}⁺𝑎_𝑛0𝜎^† 𝑎_𝑛0𝜎+ 𝜉_𝑛⁻𝑏_𝑛0𝜎^† 𝑏_𝑛0𝜎) +

1

√𝜋∑ 𝑓_{𝜎 𝜎}^†∑ (𝛾_{𝑛 𝑛}⁺𝑎_𝑛0𝜎+ 𝛾_𝑛⁻𝑏_𝑛0𝜎)+ ¹

√𝜋∑ (∑ (𝛾_{𝜎 𝑛 𝑛}⁺𝑎_𝑛0𝜎+ 𝛾_𝑛⁻𝑏_𝑛0𝜎))𝑓_𝜎

(2.18)

如此一來，整個就像是圖 2-2 一般，原本是和整個連續的能量帶耦合的雜質，

現在已經轉為和不連續的能量點耦合，也就是我們已經將連續的能量離散化。

16

圖 2-1 將和雜質耦合的傳導電子用一維的能量帶表示，再將能量帶切成很多很多個

區間，每個區間寬𝑑𝑛= 𝛬^−𝑛(1 − 𝛬⁻¹)。

圖 2-2 原本是和整個能量帶互相耦合，但經由改變基底之後，現在的雜質只和每一

區的一個項耦合，也就是將連續的能量帶離散化。

17

2.2 映襯至威爾森長鍊

數值重整化群的下一步是希望能從圖 2-2 轉換成像是圖 2-3 一般的長鍊，這 條長鍊我們稱之為威爾森長鍊(Wilson chain)，想要轉換成長鍊藉由觀察式子 (2.18)，如果想要使得雜質𝑓_𝜎^†僅和一個電子耦合，那麼我們必須有一個新的算符 𝑐_0𝜎^† ：

𝑐_0𝜎^† =_√𝜉¹

0∑ (𝛾_{𝑛 𝑛}⁺𝑎_𝑛0𝜎+ 𝛾_𝑛⁻𝑏_𝑛0𝜎)

𝜉₀ = ∑ ((𝛾_{𝑛 𝑛}⁺)²+ (𝛾_𝑛⁻)²)

𝐻_{𝑖𝑚𝑝−𝑏𝑎𝑡ℎ}=¹

√𝜋∑ 𝑓_{𝜎 𝜎}^†∑ (𝛾_{𝑛 𝑛}⁺𝑎_𝑛0𝜎+ 𝛾_𝑛⁻𝑏_𝑛0𝜎)+ ¹

√𝜋∑ (∑ (𝛾_{𝜎 𝑛 𝑛}⁺𝑎_𝑛0𝜎+ 𝛾_𝑛⁻𝑏_𝑛0𝜎))𝑓_𝜎 = √^𝜉_𝜋⁰∑ (𝑓_{𝜎 𝜎}^†𝑐_0𝜎+ 𝑐_0𝜎^† 𝑓_𝜎)

(2.21)

在耦合強度與 k 無關的時候，也就是式子(2.1)中的𝑉_𝑘 = 𝑉，那麼式子(2.21)中的耦 合強度√^𝜉_𝜋⁰就會等於 V，這樣就可以清楚的看出，𝑐_0𝜎^(†)這個算符其實就是代表著威 爾森長鍊中的 Site0 的那顆傳導電子，但現在的問題是𝑐_0𝜎^(†)與之前的算符𝑎_𝑛𝑜𝜎^(†) 、

𝑏_𝑛𝑜𝜎^(†) 並非正交，所以必須利用𝑐_0𝜎^(†)、𝑎_𝑛𝑜𝜎^(†) 、𝑏_𝑛𝑜𝜎^(†) 創建一組新的正交算符𝑐_𝑛𝜎^(†)，經由 能正交轉換：

𝑎_𝑛0𝜎 = ∑^∞_𝑚=0𝑢_𝑚𝑛𝑐_𝑚𝜎 𝑏_𝑛0𝜎 = ∑^∞_𝑚=0𝑣_𝑚𝑛𝑐_𝑚𝜎

𝑐_𝑛𝜎 = ∑^∞_𝑚=0𝑢_𝑚𝑛𝑎_𝑚0𝜎+ 𝑣_𝑚𝑛𝑏_𝑚0𝜎

𝐻 = 𝐻_𝑖𝑚𝑝 +

√^𝜉_𝜋⁰∑ (𝑓_{𝜎 𝜎}^†𝑐_0𝜎+ 𝑐_0𝜎^† 𝑓_𝜎) + ∑ [𝜀^∞_{𝜎𝑛 𝑛}𝑐_𝑛𝜎^† 𝑐_𝑛𝜎+ 𝑡_𝑛(𝑐_𝑛𝜎^† 𝑐_𝑛+1𝜎+ 𝑐_𝑛+1𝜎^† 𝑐_𝑛𝜎)]

(2.23)

其中𝜀_𝑛表示第 n 個 site 的電子能量，𝑡_𝑛表示第 n 個 site 和 n+1 個 site 間的耦

18

合強度，Wilson 也推導出在態密度為定值之下，也就是如果混成函數為一個定值，

如果考慮的長鍊電子能量皆為費米能，如此一來便可得知其耦合強度𝑡_𝑛將為：

𝑡_𝑛 = ^{(1+𝛬−1)(1−𝛬−𝑛−1)}

2√1−𝛬^−2𝑛−1√1−𝛬^−2𝑛−3𝛬^−𝑛/2

當威爾森長鍊足夠長的時候，也就是 n 夠大的時候

𝑡_𝑛 →¹₂(1 + 𝛬⁻¹)𝛬^−𝑛/2

圖 2-3 將原本和很多點耦合的雜質，經由轉換變成一條長鍊，此時雜質只和 Site0

以耦合強度 V 相互耦合，Site0 以強度𝑡0與 site1 相互耦合，依此類推，此長鍊稱為威爾森長

鍊。

2.3 疊代對角化

到了這一步我們已經擁有了一個離散的哈密頓算符且表示成一個長鍊的形式，接 下來便能用此來進行疊代重整化群(iterative renormalization group)的工作，式子 (2.23)其實可以視為一串的哈密頓算符𝐻_𝑁(N = 0,1,2, … . )

𝐻_𝑁 = 𝛬^(𝑁−1)/2(𝐻_𝑖𝑚𝑝+ √^𝜉_𝜋⁰∑ (𝑓_{𝜎 𝜎}^†𝑐_0𝜎+ 𝑐_0𝜎^† 𝑓_𝜎) +

∑^𝑁_𝜎𝑛=0𝜀_𝑛𝑐_𝑛𝜎^† 𝑐_𝑛𝜎+ ∑^𝑁−1_𝜎𝑛=0𝑡_𝑛(𝑐_𝑛𝜎^† 𝑐_𝑛+1𝜎+ 𝑐_𝑛+1𝜎^† 𝑐_𝑛𝜎)

(2.26)

其中𝛬^(𝑁−1)/2是用來消去(2.25)中𝑡_𝑛的(N-1)項用的，然後連續的兩個𝐻_𝑁之間 的關係是：

𝐻_𝑁+1 = √𝛬𝐻𝑁+ 𝛬^𝑁/2∑ 𝜀_{𝜎 𝑁+1}𝑐_𝑁+1𝜎^† 𝑐_𝑁+1𝜎+ 𝛬^𝑁/2∑ 𝑡_{𝜎 𝑁}(𝑐_𝑁𝜎^† 𝑐_𝑁+1𝜎+ 𝑐_𝑁+1𝜎^† 𝑐_𝑁𝜎)

(2.27)

而取 N 到無限大的時候𝐻_𝑁時可逼近 H：

19

𝐻 = 𝑙𝑖𝑚

𝑁→∞𝛬^{−(𝑁−1)/2}𝐻_𝑁

如此一來，我們可以先解出𝐻_𝑁的多體能量𝐸_𝑁(𝑟)：

𝐻_𝑁| 𝑟⟩_𝑁 = 𝐸_𝑁(𝑟)| 𝑟⟩_𝑁 , 𝑟 = 1, … . . , 𝑁_𝑠

| 𝑠(𝑁 + 1)⟩來描述新增加一個 site 所多出的自由度，如此便可以展開出一個新的 基底| 𝑟; 𝑠⟩_𝑁+1：

| 𝑟; 𝑠⟩_𝑁+1= | 𝑟⟩_𝑁⊗ | 𝑠(𝑁 + 1)⟩ (2.30) 利用此方法，便可以經由不斷的疊代，拉長威爾森長鍊，計算至很低的能量 尺度。但這邊有一個新的問題，從𝐻₀開始，經過一次的展開整個希伯特空間的自 由度就會變大幾倍，那麼很快的𝑁_𝑠將會大到電腦無法處理，這樣子對於計算上無 疑是一個很大的問題，所以在每次的疊代當中我們必須進一個截斷的動作，也就 是固定我們的𝑁_𝑠，我們將只保留能量最低的𝑁_𝑠個𝐸_𝑁，這個動作並不會造成計算上 很大的誤差，原因在於能量太高的𝐸_𝑁並不會參與低能量尺度的物理活動。

2.4 熱物理量計算方式

由熱力學可知比熱 C 可由內能(𝑈 =< 𝐻 >=^{∑ 𝐻𝑛 𝑛𝑒𝑥𝑝 (−𝛽𝐻}_𝑍 ^𝑛))求得，而熵 S 可由 自由能(𝐹 = −𝑘𝐵𝑇𝑙𝑛𝑍)求得，其中𝛽 =_𝑘¹

𝐵𝑇，Z 為配分函數等於∑ 𝑒𝑥𝑝 (−𝛽𝐻_𝑛 𝑛)。其 求法為：

𝐶 = 𝜕𝑈/𝜕𝑇 (2.31)

𝑆 = −𝜕𝐹/𝜕𝑇 (2.32)

但就數值計算的角度，微分是必須盡量避免的，所以為了能直接使用數值重 整化群來進行運算，必須將(2.31)(2.32)更進一步的推導：

𝐶 =^𝜕𝑈_𝜕𝑇 𝐶 =^𝜕𝑈_𝜕𝛽^𝜕𝛽_𝜕𝑇

20

𝐶 =^𝜕

∑ 𝐻𝑛𝑒𝑥𝑝 (−𝛽𝐻𝑛)𝑛 𝑍

𝜕𝛽 × −_𝑘¹

𝐵𝑇²

C= 𝑘_𝐵𝛽²(^{∑ 𝐻}_𝑛 ^{𝑛2𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝐻𝑛})×∑ 𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝐻_{𝑛 𝑛})−∑ 𝐻_{𝑛 𝑛}𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝐻_𝑛)×∑ 𝐻_{𝑛 𝑛}𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝐻_𝑛)

𝑍² )

𝐶 = 𝑘_𝐵𝛽²(^{∑ 𝐻𝑛 𝑛2𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝐻}_𝑍 ^𝑛)− (^{∑ 𝐻𝑛 𝑛𝑒𝑥𝑝(−𝛽𝐻}_𝑍 ^𝑛))²) _𝑘^𝐶

𝐵 = 𝛽²(< 𝐻² > −< 𝐻 >²) (2.33)

𝑆 = −^𝜕𝐹_𝜕𝑇

𝑆 =^𝜕𝑘𝐵_𝜕𝑇^{𝑇𝑙𝑛𝑍}

𝑆 = 𝑘_𝐵𝑙𝑛𝑍 + 𝑘_𝐵𝑇𝜕𝑙𝑛𝑍/𝜕𝑇 𝑆 = 𝑘_𝐵𝑙𝑛𝑍 −¹_𝑇¹_𝑍𝜕𝛽^𝜕𝑍

𝑆 = 𝑘_𝐵𝑙𝑛𝑍 +¹_𝑇< 𝐻 >

_𝑘^𝑆

𝐵= 𝛽 < 𝐻 > +𝑙𝑛𝑍 (2.34) 藉由數質重整化群可以計算出系統的能量𝐻_𝑁，計算上保留計算出最低的 1800 個能量，代入(2.33)和(2.34)便能計算出系統的比熱與熵。

而磁化率的計算方式為：

𝜒 =^𝛥𝑀_𝛥𝐻 (2.35)

其中𝛥H 為一個極小磁場，𝛥M 為加上極小磁場後雜質產生的磁矩，藉由數 質重整化群可以計算出系統雜質中的自旋向上電子數以及自旋向下電子數，兩者 相減再乘上 1/2 便可以得到雜質貢獻的磁矩𝛥M，除上磁場便可以得到磁化率。

由於我們要計算的是安德森模型中雜值所貢獻的比熱𝐶_𝑖𝑚𝑝、熵𝑆_𝑖𝑚𝑝以及磁化 率𝜒_𝑖𝑚𝑝，也就是將安德森模型的計算結果減去沒有雜質時的安德森模型，其計算 方式為：

𝐶_𝑖𝑚𝑝 = 𝐶 − 𝐶₀

21

𝑆_𝑖𝑚𝑝 = 𝑆 − 𝑆₀

𝜒_𝑖𝑚𝑝 = 𝜒 − 𝜒₀

其中𝐶₀、𝑆₀和𝜒₀為系統沒有雜質下的計算結果。

22

第三章 𝐋𝐚 _𝟏−𝐱 𝐂𝐞 _𝐱 𝐀𝐥 _𝟐 熱力學物理量計算

在實驗上實際觀測近藤效應是有難度的，因為假若是摻入過度金屬元素形成 的近藤合金，如果想要避免雜質跟雜質間的交互作用，其雜質濃度必須要在幾個 ppm 的尺度，但當濃度這麼低的時候，又很難量測雜質所貢獻的部分，但如果我 們摻入的雜值是鈰(Ce)和鐿(Yb)這種稀土元素就不同了，其雜質和雜質間的交互 作用力較小，也因此其濃度可以比摻入過度金屬時大一百倍左右 [8]，所以 La_1−xCe_xAl₂這個化合物一直以來就是非常吸引人的近藤系統，因為他在低溫的 時候展現了熱物理量的奇異性，從電子組態可以了解：Ce = [Xe]4f¹5d¹6s²；La = [Xe]5d¹6s²，所以當 Ce 取代原本的 La 的時候，多出了一顆4f¹電子，這電子就 好像磁性雜質一般，這也是可以使用安德森模型說明的原因，本章節主要在藉由 對照實驗的結果找出材料的安德森模型系統參數，藉由數值重整化群便能夠計算 出La_1−xCe_xAl₂其他的熱物理量。

3.1 計算參數

要成功計算安德森模型，必須要知道雜質的能量是多少(ε_𝑓)，還有雜質間電 子的庫倫斥力(U)，以及傳導帶的帶寬(D)，最重要的是必須知道雜質能階與傳導 電子能階混成的雜質帶寬∆= π𝜌𝑉²。傳導帶寬D 參考圖 3-1 取 10 eV 為本次數值 重整化群計算參數[9]。雜質間的電子庫倫斥力則約為 5-6 eV[10, 11]，所以本次計 算令庫倫斥力為 5 eV。但剩下的兩個參數卻難以決定，從圖 3-2 中可以合理的推 論顯示雜質能量應該在費米能之下[12]，於是本計算採用ε_𝑓= −1 eV, −2 eV，嘗 試找出最吻合實驗結果[13, 14]的傳導帶寬，如此便能獲得雜質帶寬∆之值。實驗 使用之 Ce 濃度為 0.64 %和 1.5 %，近藤溫度為 0.4 K。

23 圖 3-1 LaAl2的能帶圖和態密度[9]。

圖 3-2 CeAl₂的能帶圖和態密度[12]。

3.3 計算結果

從實驗結果便可得知其發生比熱峰值的溫度約為 0.1 K，藉由不斷更換系統

24

之∆值，找出每個𝜀_𝑓值欲使比熱峰值發生在最接近 0.1 K 所需要的雜質帶寬，結 果𝜀_𝑓 = −2 eV所配合的雜質帶寬為∆= 0.2 eV，而如果使用𝜀_𝑓 = −1 eV，所找出 的雜質帶寬為∆= 0.14 eV，其計算結果與實驗結果計算結果可見圖 3-3，其中模 擬之結果其比熱峰值較大，且寬度較實驗結果較窄，表示其真實材料隨著溫度 降低，其雜質量子態數擾動對溫度並沒有如此敏感，從兩組裡面取較接近的一 組，所以使用𝜀_𝑓 = −2 eV，∆= 0.2 eV當做計算參數，其計算之熵與磁化率可見 圖 3-4 和圖 3-5，在這邊為了定義所謂的近藤溫度，我們將取等效居里常數

𝑘_𝐵𝑇𝜒

(𝑔𝜇𝐵)²(𝑘_𝐵 = 𝑔𝜇_𝐵= 1)降至 0.07 時的溫度即為近藤溫度，其等效居里常數對溫度 作圖見圖 3-6，計算出之近藤溫度為約為 0.17 K。

圖 3-3 La_1−xCe_xAl₂的實驗與計算結果之比熱對溫度作圖。

25

圖 3-4 La1−xCexAl2的熵對溫度計算結果，使用參數 𝜀𝑓= −2 eV，Δ = 0.2 eV。

圖 3-5 La1−xCexAl2的磁化率對溫度作圖，使用參數 𝜀𝑓= −2 eV，Δ = 0.2 eV。

26

圖 3-6 La_1−xCe_xAl₂的 k_BTχ_imp/(gμ_B)²對溫度做圖，使用參數𝜀_𝑓= −2 eV，Δ = 0.2 eV。

這樣的估算方式在假定實驗沒有誤差的狀況下，是可以獲得適當的安德森模 型參數用以計算其他的物理量，但同時有兩個參數是未知的，在找尋適當的計算 參數是非常耗時的，此外必須要先有實驗結果提供對照才能獲得參數也限制了這 個計算的自由度，因為必須要先有人量測過其某一物理量才能算這材料其他的物 理量。