5.2 　對數函數

5.1 　指數函數

例 1 化簡以下各式。

(a) 5 2 e 　　(b) ⁰ e e

x

　　(c) (e^3t)² 解： (a) 5 2 e⁰      5 2 1 5 2 3

e^x e^x

  ^  ^ 

例 2 連續複利

一退休者 存款 10,000 元，年利 率為 8%，依連續 複利計算 ， 3 年後 的 總金額為多少？

解： 使用連續複利的公式

A  Pe^rt 其中

P 10 000, 　　t  3　　r  0 08. 　　將百分率表為小數 結果為

A  10 000, e^{(0.08 3))(}  10 000, e^0.24 10 000 1 2712, ( . )  $12,712

三年後總金額 為 12,712 元。注意 ，計算器或表對 e^0.24 所提供的值 為

近似值。故使用“近似等於＂的符號。 

例 3 現　值

若年利率為 7%，依連續複利計算，欲在 5 年後得 6000 元，則現在的 存款金額為多少？

解： 用連續複利的公式

A  Pe^rt 其中

A  6000　　r  0 07. 　　t  5 結果為

6000 6000

0.07 5) 0.35

 



P e Pe

( )(

則存款金額 P 為

P  6000e  6000

1 419 4228

0.35 . 　或　 　元

欲在五年後得到 6000 元，則現在存款金額為 4228 元。

　　存款金額 4228 元稱為

現值

例 4 推理成長

養殖池中的魚群數由以下的推理成長函數所限定：

y  e ^t

 ^ 2000 1 49 ^0.3 其中 y 為 t 個月後的魚群數。

(a) 起初的魚群數為多少？

(b) 10 個月後的魚群數為多少？

(c) 這個魚池最多可養殖的魚群數為多少？

解： (a) 起初， t  0 ，推理成長函數的值為

y  e

2000   1 49

2000

50 40

0

起初有 40 條魚。

(b) 10 個月後， t  10 ，推理成長函數的值為

y  e

 ^ 2000 1 49 ³ 由計算器得 e^3  0 05. ，則

y 

  2000

1 2 45 580 .

在 10 個月後，魚群數約為 580 條。

(c) 理論上，當 t   時有最多的魚。當然要考慮如下的極限：

lim lim

t

t

t t

e e





 

0.3

0.3

1

當 t   時 ， 0 3. t   ， 這 表 示 e^0.3t   。 當 e^0.3t 趨 近





tlim t

  e 

    2000

1 49

2000 1 49 0

2000

1 2000

0.3

故養殖池最多可養殖 2000 條的魚 ( 見圖 5.5)。 

5.2 　對數函數

例 1 解　 3^x  11

解： 將方程式寫成如下的對數形式，再解出 x ：

x  log₃11 

例 2 解　 10^{7 x}  9

解： 將指數方程式寫成對數形式就可分離出 7x ， 7x  log900000000000000

x  log 9

7 　兩邊同除以 7 

例 3 解　 4e^5x 12

解： 為了解得指數，似乎很自然就把方程式寫成對數形式，但底和指數必須 單獨地同在一邊才能寫成對數形式。對數符號的定義，或者例 1 及例 2 都是這種情形，當然在此處，只要方程式 4e^5x 12 兩邊同除以 4 之後，

就符合該情況。

4 4

12 4 3

5 3

5

5

e e

x

x

x





 ln 對數形式

000000

x  ln 3

5 兩邊同除以 5 

例 4 解　 ln 7x  50

解： 就像指數方程式改成對數形式後求解，對數方程式改成指數形式之後 亦可求解。

log_e x x e 7 50 7 ⁵⁰



 指數形式

x e

 ⁵⁰

7 00000 

例 5 解　 3 2ln x 10

解： 要 改 成 指 數 形 式 之 前 ， 對 數 要 單 獨 在 一 邊 ， 方 程 式 兩 邊 同 除 以 3 即 可。

3 2 10 2 10

3 2 ^{10 3} ln

ln

/

x x x e





 指數形式

e^{10 3/}

例 6 化簡各式　(a) 4ln e 　　(b) 1⁷  e^ln3x 解： (a) 4lne⁷  4 lne⁷

  



4 7 28

　　因　 ln e^x x

(b) 1e^ln3x  1 3x　因　e^lnu  u

例 7 使用對數性質展開下列各式。

(a) ln x x



 2

5 　　(b) ln 3^2x 　　(c) ln e x³ 解： (a) 由對數性質 2 得

ln x ln( ) ln( )

x  x x

2    

5 2 5

(b) 由對數性質 3 得

ln3^2x  2xln3 (c) lne x³  lne³  lnx　　對數性質1

 3 lnx　　　 因 lne^x  x

例 8 使用對數性質化簡下列各式。

(a) ln3 x 　　(b) lnln x  2 　　(c) 2ln xln 解： (a) ln3 lnx  ln3x　性質 1

(b) lnx  ln2  ln x

2 　性質 2 (c) 2lnx  lnx²　性質 3

例 9 連續複利

欲在 8 年後存款加倍，若為連續複利，則年利率應為多少？

解： 在 A Ce ^kt 中， k 為成長率，時間為 t  8 年。存款加倍是指開始的 金額 C 在 8 年後變為 2C 。故 A Ce ^kt 變為

2 2

8 8

C Ce C

e

k k





( )　　兩邊同時除以

改成對數形式以解 k ，得

8 2

2 8

0 6931

8 0 087 k

k



  

ln

ln .

.

　 　 小 數 0.087 等 於 8.7% 。 欲 在 8 年 後 存 款 加 倍 ， 年 利 率 應 為 8.7%。在本例中，8 年為

倍增時間

例 10 細菌成長

在細菌培養的實驗中，在 3 小時內細菌數目由 400 成長至 1000，假設 細菌係呈指數成長，試問在 10 小時後，細菌的數目為多少？

解： 為決定 10 小時後之細菌數目，吾人使用 A Ce ^kt 公式，其中若 C k, 均為已知，則吾人可以 10 代入公式中的 t 而計算出細菌數目 A 。 由題意知，細菌之起始數目為 400，故 C  400 ，因此，

A  400e^kt 又已知在 t  3 時， A  1000 ，故

1000  400e^{k (3)}

由上式可解出 k ，並得到完整的公式 A Ce ^kt 。將上式同時除以 400 得

為解 k 值，將上式寫成對數形式，

3 2 5 2 5 3

0 9163

3 0 305 k

k



 

ln .

ln . .

　或　 . 故細菌成長公式變成

A  400e^0.305t

在 10 小時後，當 t  10 ，細菌數目 A  8446 ，計算如下：

A  400e^0.305(10)  400e^3.05  400 21115( . )  8446 本例之細菌成長曲線如圖 5.8 所示。

例 11 放射性物質之半衰期

鐳是一種呈指數衰減之放射性物質，它的半衰期約為 1600 年，若一開 始鐳的質量有 80 克，則在 200 年後鐳的質量還有多少？

解：

半衰期

40  e80 ^{k (1600)} 或再同除以 80，得

0 5.  e^1600k

為解 k 值，將上式寫成對數形式 1600 0 5

0 5 1600

0 6931

1600 0 0004 k

k



     ln .

ln . .

. 故衰減率為 0.0004，負號表示衰減。

接著，將 k  0 0004. 及 C  80 代入指數衰減公式，吾人可得在任一 時間 t 時鐳的質量 A ，亦即

A  80e^0.0004t 在 200 年後， t  200 ，鐳的質量為

A 80e^{0.0004 200( )} 80e^0.08 80 0 9231( . )  73 85. 故在 200 年後，鐳的質量還有約 73.85 克。

本例鐳之放射衰減曲線如圖 5.9 所示。

例 12 實質利率

(a) 某銀行的名目年利率為 7.5%，則實質利率為多少？

(b) 某銀行的實質利率為 5.41%，則名目利率為多少？

解： (a) 實質利率為 e^r  1 ，此處 r  7 5%. 或 0.075，故 e^r  1 e^0.075  1 1 0779 1.   0 0779.

實質利率為 7.79%，吾人將 e^0.075 的值四捨五人至小數四位。

(b) 實質利率為 5.41% 或 0.0541，又實質利率為 e^r  1 ，其中 r 為名 目利率。故

e^r  1 0 0541. 　或　e^r 1 0541. 改成對數形式，得

r  ln .1 0541 0 0527.

5.3 　指數函數的微分

例 1 微分　 f x( )  x e^{3 x}

解： x e^{3 x} 為積， x e^{3 x}  x³ e^x ，使用微分的積法則得

    

   

 

f x x d

dx e e d

dx x

x e e x

x e x e

x x

x x

x x

( ) ³ ( ) ( ³)

3 2

3 2

3 3

由各項提出 x e^{2 x}，則可化簡成

  

f ( )x x e^{2 x}(x 3) 提出因式有助於決定臨界數。

例 2 若　 y e x

 x  7

2 ，求　 dy

dx 。 解： 應用商法則得

dy dx

x e e x

x

x e xe x

x

x x x x

 ( )( ) (  )( )    ( )

2

2 2

2

4

7 2 2 14

由分子和分母提出 x ，再對消，則可化簡得 dy

dx

xe e

x

x x

 2 14

3

例 3 若　 y  e^x  ，求　 dy dxx / 。 解： 將式子表為數值指數時，得

y  (e^x  x)^{1 2/} 依乘冪法則來微分，可得

dy

dx e x d

dx e x e x e

x x x x

 1  ^     ^  2

1

2 1

1 2 1 2

( ) ^/ ( ) ( ) ^/ ( )

(e^x  x)^

1

2 可記成分母為 (e^x  x)^{1 2/} ，或 e^x  的形式。故x dy

dx

e

e x

x

 x

 1 2

例 4 求 y  e^8x 的導函數。

解： dy dx

d

dx e e d

dx x e e

x x x x

 ( ⁸ )  ⁸  (8 )  ⁸  8 8 ⁸

例 5 若　 y  (1 e^3x)¹²，求　 dy dx/ 。 解： 此處要應用乘冪法則，

dy

dx e d

dx e

e e

x x

x x

   

  

12 1 1

12 1 3

3 11 3

3 11 3

( ) ( )

( ) ( )

000000

 36e^3x(1e^3x) 　　整理再化簡¹¹

例 6 新屋價格的上漲

據調查顯示，在 82 至 87 年，新單一家庭房屋的價格上漲很多。函 數

p t( )  71 2 t e^0.6t

為 82 年 (t  0 至 87 年 () t  5 中，任意時間的房價 p t) ( ) ( 以萬元計 算 )。

(a) 證明在 82 至 87 的期間內，新屋的價格是上漲的。

(b) 在 85 年價格的變化率為多少？

解： (a) 記住，函數的導函數為正時，函數為遞增。現在

  

p t( ) 2 0 6. e^0.6t

對所有的 t ， e^0.6t  ，所以 0 60 . e^0.6t  且 2 0 60  . e^0.6t  0。故對所 有的 t ， p t( )  0 ，所以 p t( ) 對期間的所有 t 為遞增。吾人得結 論為，在 82 至 87 的期間內新屋的價格為上漲。

(b) 在 85 年的價格變化率為 p ( ) 3 ，即

  

   

p t e

p e

( ) . t

( ) . ^. . 2 0 6

3 2 0 6 5 6

0.6 1 8

在 85 年新屋價格的變化率為每年 5600 元。 

例 7 求 f x( )  1 xe^x 的所有臨界數。

解： 先求 f ( ) ，x

    

f ( )x xe^x e^x e^x(x 1)

欲求函數的臨界數，可考慮使導函數為零的數。因 e^x 絕不為零，只 有 x  1 為零時 f ( ) 才為零，即 x  1 處 x f ( )x  0 。故 1 為唯一

的臨界數。 

例 8 用隱微分求　 dy dx/ 。

xe^y  ye^x  x 解： 先對兩邊微分，

d xe d

ye d

y x x

( )  ( )  ( )

因 y 為 x 的函數，故 xe^y 為兩個 x 之函數 ( x 和 e^y ) 的積。同 理， ye^x 亦為兩個 x 之函數 ( y 和 e^x ) 的積。

故吾人要以積法則來微分，得 x e dy

dx e y e e dy

dx

y y x x

     1   1 整理並提出 dy dx/ 項，得

xe dy

dx e dy

dx e ye

xe e dy

dx e ye

y x y x

y x y x

   

    1

1

( )

方程式兩邊同除以 dy dx/ 的係數後，得 dy

dx

e ye xe e

y x

y x

  



1 

例 9 求 　 f ( )x

( a ) f x( )  3 　 　 (b ) f x^x ( )  10^x 解 ： ( a ) 3^x 屬 於 a ^x 的 形 式 ， 故

 

f ( )x 3^x ln 3 ( b ) 10^x 屬 於 a ^x 的 形 式 ， 故

 

f ( )x 10^x ln10

例 1 0 求 f x( )  4^x21 的 導 函 數 。

解 ： 4^x21 屬 於 a ^u 的 形 式 ， 其 中 u  x²  1 。

  ^  ^ 

f x d

x x x

( ) (4 ^{2 1}) 4 ^{2 1} 2 ln 4

5.4 　對數函數的微分

例 1 若　 f x( )  x² lnx ，求　 f ( ) 。x

解： x² ln 為 x x² 與 ln x 的積，故用積法則來微分。於是

    

   

 

f x x d

dx x x d

dx x

x x x x

x x x

( ) (ln ) (ln ) ( ) (ln )

ln

2 2

2 1

2 2

若欲求臨界數時，可將 x  2 ln 寫成 xx x (1 2 ln )x 。 

例 2 微分　 y  6(ln )x ³ 解： dy

dx

d

dx x d

dx x x

x

x

 [ (ln ) ]  (ln )   (ln )   (ln )x 6 ₃ 6 ₃ 6 3 ₂ 1 18 ²



例 3 若 　 y x

 lnx

2 ， 求　 dy dx/ 。 解 ： 此 處 應 用 商 法 則 ，

dy dx

d dx

x x

x x x x

x

x x x

  x





   

 

ln (ln )( )

( )

ln

2

2

2 2 4

1 2

2

分 子 和 分 母 可 提 出 x 再 抵 消 ， 則 分 式 化 簡 為 dy

dx

x x

x x

x

  x

  ( ln )

( )

ln

1 2 1 2

3 3 

例 4 微 分　 y  ln(x² 1) 解 ： 因 u  x² 1， 故

dy dx

d

dx x

x

d dx x

x x x

   x

   

   ln( ² 1) ₂1 ( ² ) _{2 2} 

1 1 1

1 2 2

1 

例 5 已知　 y  ln(x³  9)⁵ ，求　 dy dx/ 。 解： (a) 依 ln u 之導函數的公式，得

dy dx

d dx x

 x 

 ( ) ( )

3 5

3 5

9 9 應用乘冪法則得

dy dx

x x

 x 



5 9 3

9

3 4 2

3 5

( ) ( )

分子和分母的公因式為 (x³  9)⁴ ，互相抵消後得 dy

dx

x

 x

 15

9

2 3

(b) 但對數的第 3 性質可用來簡化過程，如下所示。

y  ln(x³ 9)⁵ 可寫成

y  5ln(x³ 9) 則微分變得更簡單，即

dy d

x x x

 5 ₃  9  5 3 ²  15 ² ln( )

例 6 求 f x( )  ln 1 x² 的導函數。

解： 將根號形式改為指數形式，得

f x( )  ln(1 x^{2 1 2}) ^/

使用對數的第 3 性質，將 ln(1 x^{2 1 2}) ^/ 寫成 1

2 ln(1 x ，則微分的過²) 程更簡單。

f x x

f x x

x

x x ( ) ln( )

( )

 

  

 

 1

2 1 1

2

2

1 1

2

2 2

讀者亦可不使用對數的第 3 性質，直接求 f x( )  ln(1 x^{2 1 2}) ^/ 的導函

數，兩相比較就可瞭解這一種作法的價值。 

例 7 求 f x( )  2x ln2 的所有相對極值。x 解： 首先由 f ( ) 來找出臨界數，x

   f x

( ) 2 1x 現在要決定 f ( ) 在何處為零或無定義。x

　　顯然在 x  0 處 f ( ) 無 定義， 但原函 數 f xx ( )  2x ln2 在x x  0 處亦為無定義的，這表示 0 不為臨界數。

　　而 f ( ) 為零的 x 值為x

2 1 0 1 2 2 1 1 2

 





 x x x x

 1 1

　　現用二階導函數判定法來看 f 1 2



 

 是否為相對極值。因

  f x

( ) x1

2

而





   f 1

2 4 0 故 f 在 1

2 處為相對極小，即 f 1 2







 為相對極小值。

f 1

2 2 1

2 2 1

2 1 0 1







     





    ln

1 為相對極小函數值，為函數 f x( )  2x ln2x 的唯一相對極值，參見

圖 5.10。 

10

例 8 在函數 f x( )  2x² 5lnx 的圖形中，函數在點 (1 , 2) 處為遞增或遞 減？

解： 先求 f ( ) 1 ，若 f ( ) 1  0 ，則在 (1 , 2) 處為遞增。若 f ( ) 1  0 ，則在 (1 , 2) 處為遞減。

  

     

f x x

x f

( ) ( )

4 5

1 4 5 1 0

因 f ( ) 1  0 ，故 f 的圖形在 (1 , 2) 處為遞減。 

例 9 城鄉遷移

在開發國家中，鄉村的貧窮導致人們大量遷居城市。因此世界資源學 會預測在 1995 至 2025 年，居住於這些城市人口的增加百分率。函 數

f t( )  0 75 0 002.  . t  0 01. ln(t 1)

預測由 1995(t  0) 到 2025(t  30) 拉丁美洲人口居住於城市的百分 率。

(a) 在 2005 年拉丁美洲人口將居住於城市的百分率為何？

(b) 在 2005 年居住於這些城市的人口之百分率的變化率？

解： (a) 在 2005 年為 t  10 ，故求 f ( )10 。

f (10)  0 75 0 002 10.  . ( )  0 01 11. ln  0 794. 即 2005 年人口的 79.4% 居住於城市。

(b) 至於變化率，則是 f ( 10 。)

  



   

f t

t f

( ) . . ( ) . .

. 0 002 0 01

1 10 0 002 0 01

11 0 0029

在 2005 年人口居住於城市的百分率是以每年 0.29% 的速率在增

加。 

例 10 用隱微分求　 dy dx/ 。

3x  y ln(xy)  0

解： 首先注意到，若使用對數的性質 1，將 ln(xy 寫成 ln) x  ln y ，則微 分起來是較簡單。故

3x  y lnx  lny  0 逐項微分得

3 1 1

 dy     0 dx x y

dy dx

將方程式兩邊的各項同乘以公分母 xy ，則可消去分式，其結果為 3xy xy dy 0

dx y x dy

   dx 

移項，

xy dy

dx x dy

dx xy y

  3  然後，

(xy x) dy ( )

dx xy y

   3  最後，

dy dx

xy y xy x

  

 3

例 11 求 d

dx ln| | 的公式 ( 在第 6 章將要用到此公式 )。x 解： 考慮 x 為正或為負的情況。

(i) 當 x  0 時，

(i) 這表示 | |x  ，亦即 ln| | lnx x  x 。故 d

dx x d

dx x

ln| | ln  x1 (ii) 當 x  0 時，

(ii) 這表示 | |x   ，亦即 ln| | ln( )x x   。故x d

dx x d

dx x

ln| | ln( )

(ii) 可用求 ln u 之導函數的公式，繼續微分，以 u   來進行。x

d

dx x

x d

dx x

x x

ln( ) ( ) ( )

   

   

1 1

1 1

合併 (i) 及 (ii) 的結果，當 x 為正或為負， ln| |x 的導函數是相同，



例 12 若　 y  log (₁₀ x² 1 ，求　 dy dx) / 。 解： dy

dx

d

dx x

x x x

   x

    log ( ) 

ln ( ) ln

10 2

2 2

1 1

1 2 1 10

2

1 10

例 13 令　 y  x^x(x  0 ，求　 dy dx) / 。

解： 對底及指數皆為變數的函數，並無微分的公式可用，吾人要引用對

數以消除指數。由

y  x^x 得

lny  lnx^x

例 13 令　 y  x^x(x  0 ，求　 dy dx) / 。

解： 對底及指數皆為變數的函數，並無微分的公式可用，吾人要引用對數

以消除指數。由

y  x^x 得

ln y  lnx^x 用對數性質 3，

ln y  xlnx

現在並無乘方為變數的情形，因已用對數將指數消去，吾人可繼續對 兩邊微分。在微分 ln y 時，記住 y 本身為 x 的函數，而 xln 為x 積。

為求 dy dx/ ，方程式兩邊同乘以 y 後得 dy

dx  y(1ln )x

因 y  x^x ，再代入之後，即為 x 的顯函數，就像原函數表為 x 的顯 函數。結果為

dy

dx  x^x(1 ln )x

y  x^x 的圖形參見圖 5.11。 

11

例 14 y  (2x 1) (³ x² 1) (⁴ 4x 3)

3

2 ，求 dy dx 。

解： 首先對等式左右兩邊同時取自然對數並加以化簡，

ln ln( ) ( ) ( )

ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( )

y x x x

x x x

x x x

   

     

     

2 1 1 4 3

2 1 1 4 3

3 2 1 4 1 3

2 4 3

3 2 4

3 2

3 2 4

3 2

2

接著以隱微分對上式微分得

1 3 1

2 1

2 1

4 1 1

1 3 2

1 4 3

4 3 6

2 1

8 1

6 4 3

2

2

2

y dy

dx x

d x

dx x

d x

dx x

d x dx x

x

x x

  

  



  





  

 



( ) ( ) ( )

再解出 dy dx 得

dy dx y

x

x

x x

  

 





 



 

6 2 1

8 1

6 4 3

2

3

例 15 y x x

 x 



( ) ( )

( )

2 1 4 3 1

3

3 2

2 4 ，求 dy

dx 。

解： 對等式左右兩邊同時取自然對數並加以化簡，

ln ln( ) ( )

( )

ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( )

y x x

x

x x x

x x x

  



     

     

2 1 4 3 1

2 1 4 3 1

3 2 1 3

2 4 3 4 1

3

3 2

2 4

3

3

2 2 4

2

以隱微分對上式微分得

1 3 2

2 1 3 2

4

4 3 4 2 1 6

2 1

6 4 3

8 1

2

2

y dy

dx x x

x x

x x

x x

    

  



  

 

 解出 dy

dx 得 dy dx y

x x

x x

x x x

  

 





 



  

 

 

6 2 1

6 4 3

8 1

2 1 4 3 6 6 8

2

3

3

( ) ( )2



5.5 　羅必達法則

例 1 求　 lim

x

x x

 x

 



3

2 12

3 解： 因 lim

x

x x

 x

 



3

2 12

3 為 0

0 之不定型，故可使用羅必達法則，亦即

lim lim

( )

( )

lim lim( ) ( )

x x x

x

x x

x

d

dx x x d

dx x

x

x

  



 

   



 

    

3 2

3

2

3

3

12 3

12 3

2 1 1 2 1 2 3 1 7

此極限值與使用因式分解得到的結果相同。

例 2 求　 lim

x

ex

 x



0

1

解： 因 lim

x

ex

 x



0

1 為 0

0 之不定型，由羅必達法則得

lim lim

( ) ( )

lim ^{( )}

x

x

x

x

x

e x

x

d dx e

d dx x

e e

  

  

  

0 0 0

1 1 0

1 1

故　 lim

x

ex

 x

 

0

1 1

例 3 求　 lim

x x

x

 e

2

解： 此極限屬於 

 之不定型，故由羅必達法則

lim lim

( ) ( )

lim

x x x x x x

x e

d dx x

d dx e

x

 ²     e

2

2

因 lim

x x

x

 e

2 仍為 

 之不定型，再使用一次羅必達法則得

lim lim

( ) ( )

lim

x x

x x x x

x e

d

dx x d

dx e e

 2   2   

2 0

故　 lim x_x

2  0

例 4 求　 lim ln

x

x x

0^

解： 因 x  0 時 ln x   ，故 lim ln^

x

x x

0^

屬於 0  不定型，不能直接 使用羅必達法則。考慮

lim ln lim ln

x x

x x x

x

 ^   ^

0 0 1

則此極限變成 

 不定型，可使用羅必達法則，故

lim ln

lim

(ln )

lim

lim ( ) lim ( )

x x x

x x

x x

d

dx x d

dx x

x x

x x x

  

 

  

 

 

 







 

 

    

0 0 0

2

0

2

0

1 1

1 1

1 0

 

例 5 求　 lim

x

xx

0^

解： 此極限屬於 0⁰ 不定型，不能直接使用羅必達法則。現令

y x

x

 x

 ^

lim

0

對上式取自然對數，則得

ln y ln lim x lim lnx lim lnx x

x

x x

x x

  

0^ 0^ 0^

由例 4 知 lim ln

x

x x

 ^ 

0

0 ，故

ln y y e



  0

0 1 故　 lim

x

xx

 ^ 

0

1

例 6 求　 lim

ln

x^{ } x   x

 



1

1 1

1

解： 因 x 1 時 ln x^  0 ，故此極限屬於 ^

 

lim ln lim ln ( ) ( ) ln

x x x x

x x

x x

 ^    ^

 

   



1 1

1 1

1 1

1 則此極限變成 0

0 不定型，由羅必達法則得 lim ln ( )

( ) ln lim

[ln ( )]

[( ) ln ]

lim

( ) ln

x x

x

x x

x x

d

dx x x

d

dx x x

x

x x x

x

 



 



 

   



 

  

 

1 1

1

1 1

1 1

1 1 1 1

1

此極限仍為 0

0 不定型，再用一次羅必達法則，

lim ( ) ln lim

( )

[( ) ln ]

lim

ln lim ln

x x x

x

x

x x x

d

dx x

d

dx x x x x

x x

x

  



  





   

 

 

  

 

  

1 1 1

1

1 1

1 1

1 1 1 1

2

1 2 故　 lim

ln

x^{ } x   x

 

  

1

1 1

1 1

2 