對數函數之微分及其對數函數之微分及其相關之積分相關之積分

(1)

對數函數之微分及其對數函數之微分及其

相關之積分

(2)

1. 1.

超越函數（超越函數（

Transcendental FunctionsTranscendental Functions

））

2. 2.

對數觀念複習對數觀念複習

3. 3.

對數函數定義對數函數定義

4. 4.

對數律對數律

5. 5.

對數函數的導函數對數函數的導函數

6. 6.

對數微分法對數微分法

課程內容摘要

(3)

課程內容課程內容

1. 1.

超越函數（超越函數（

））

2. 2.

對數觀念複習對數觀念複習

3. 3.

對數函數定義對數函數定義

4. 4.

對數律對數律

5. 5.

對數函數的導函數對數函數的導函數

6. 6.

對數微分法對數微分法

7. 7.

對數積分對數積分

(4)

超越函數（

超越函數（ Transcendental Transcendental Functions

Functions ））就是就是指數函數指數函數、、對數函對數函數數、、三角函數三角函數及及反三角函數反三角函數的統稱。的統稱。

超越函數

超越函數 (1) (1)

(5)

對數符號

對數符號 _x = log

_b

_a

a b

^x

=

是與是與

同義，其中

同義，其中 b > 0 b > 0 ，， b≠ b ≠ 1， 1 ，且且 x為任意實數 x 為任意實數

超越函數

超越函數 (2) (2)

(6)

對數符號方程式對數符號方程式

a x = log

_b

讀作讀作 “ “ x x 為對底為為對底為 b的對數 b 的對數 ” ”

超越函數

超越函數 (3) (3)

(7)

a x = log

_b

注意到對數等於

注意到對數等於 x x ，且，且 x x 為為指數。故對數就是指數，亦指數。故對數就是指數，亦即即 x x 為為 b要乘方得 b 要乘方得 a的指數。 a 的指數。

a b

^x

=

超越函數

超越函數 (4) (4)

(8)

a x = log

_b

正底正底 b b 的的 x x 乘方得乘方得 a a ，，故在故在 b b

^x^x

=a =a 中中永遠為正。換句話說，在

永遠為正。換句話說，在 x x =log =log

_b_b

a a 中中 a a 必為正，於是必為正，於是 log log

_b_b

a a 只在只在 a > 0時 a > 0 時

a b

^x

=

超越函數

超越函數 (5) (5)

(9)

以下為某些寫成對數型式之方程式，其右為相等以下為某些寫成對數型式之方程式，其右為相等的指數型式。

的指數型式。

2 9

log ₃ = 3 8

log ₂ = 0 1

log ₄ =

2 01

.

log ₁₀ = - 3 20

log _e » 1 log _e e =

9 3 ² =

8 2 ³ =

1 4 ⁰ =

01 . 10 ^-² =

3 » 20 e

e e ¹ =

超越函數

超越函數 (6) (6)

(10)

現在要用對數於運算中

現在要用對數於運算中，，以解方程以解方程式式。。

例例 1: 3 1: 3

^x^x

= 11 = 11

解解

:將方程式寫成如下的對數型式 :

將方程式寫成如下的對數型式，，再解出再解出

x: x:

超越函數

超越函數 (7) (7)

(11)

例例 2: 10 2: 10

^7x^7x

= 9 = 9

解解

:將指數方程式寫成對數形式就可分離出 :

將指數方程式寫成對數形式就可分離出

77 x x

7x =log 9 7x =log 9

兩邊同除以

7 7

超越函數

超越函數 (8) (8)

(12)

例例 3: 4 3: 4 e e

^5x^5x

=12 =12

解

解 :為了解得指數 :

為了解得指數，

，

似乎很自然就把方程式寫成對數形式

，

但

但底和指數必須單獨地同在一邊才能形成對數形式

底和指數必須單獨地同在一邊才能形成對數形式。

。

對數符號

的定義

，

或者例

或者例 1及例 1

及例

22

都是這種情形

，

在此處

，

僅需將方程

式兩邊同除以

4之後 4

之後，

，

就符合該情形

。

對數形式

4

12 4

4 ⁵

= e x

5 ^x

= 3

e 5 ₅ x = ln3 x = ln3

超越函數

超越函數 (9) (9)

(13)

例例 4: 4: ln7x = 50 ln7x = 50

解

解 :就像指數方程式改成對數形式後求解 :

就像指數方程式改成對數形式後求解，

，

對數方程式改成指

數

形式之後亦可求解

。

指數形式

50 7

log

^e

x =

7x = e 7x = e

⁵⁰⁵⁰

超越函數

超越函數 (10) (10)

(14)

課程內容課程內容

1. 1.

超越函數（超越函數（

））

2. 2.

對數觀念複習對數觀念複習

3. 3.

對數函數定義對數函數定義

4. 4.

對數律對數律

5. 5.

對數函數的導函數對數函數的導函數

6. 6.

對數微分法對數微分法

(15)

對數觀念複習

對數觀念複習 (1) (1)

令令

x為任意正數，並令 x

為任意正數，並令

log xlog x

代表以代表以

1010

為底的對數為底的對數。。

x

10

log ^= ?^= ?

則則：：

(16)

對數觀念複習

對數觀念複習 (2) (2)

事實上，

x以 x

以

10為底的對數， 10

為底的對數，其定義即為其定義即為：：

x

10

log ⁼⁼

^x ^x

(17)

對數觀念複習

對數觀念複習 (3) (3)

也就是說，一數

x的對數，就是 x

的對數，就是

10要自乘多少次 10

要自乘多少次才能到達

才能到達

x的次數。此定義只有在 x

的次數。此定義只有在

x > 0x > 0

時才成立。時才成立。

下面是兩個例題下面是兩個例題：：

所以所以

log (100) = log (100) =

2 2 10

2

100 =

(18)

對數觀念複習

對數觀念複習 (4) (4)

所以所以

log (.001) = log (.001) =

3 3 10

3

001 . =

^-

(19)

對數觀念複習

對數觀念複習 (5) (5)

? )

000 ,

1 log( =

現在我們試作一個題目現在我們試作一個題目：：

(1) 1,000,000

(1) 1,000,000 (2) 6 (2) 6 (3) 60

(3) 60 (4) 600 (4) 600 11

：：

為下列那一個答案

??

(20)

對數觀念複習

對數觀念複習 (6) (6)

? )

000 ,

1 log( =

答案是答案是：：

(1) 1,000,000

(1) 1,000,000 (2) 6 (2) 6

(21)

對數觀念複習

對數觀念複習 (7) (7)

您答對了嗎您答對了嗎 ? ?

請參看驗算

(22)

對數觀念複習

對數觀念複習 (8) (8)

? )

000 ,

1 log( =

6 10

log

⁶

=

答案為答案為

(23)

對數觀念複習

對數觀念複習 (9) (9)

? )

1 log( =

現在我們試作另一個題目現在我們試作另一個題目：：

(1) 0

(1) 0 (2) 1 (2) 1 (3) 10

(3) 10 (4) 100 (4) 100 22

：：

為下列那一個答案

??

(24)

對數觀念複習

對數觀念複習 (10) (10)

? )

1 log( =

答案是答案是：：

(1) 0

(1) 0 (2) 1 (2) 1

(25)

對數觀念複習

對數觀念複習 (11) (11)

您答對了嗎您答對了嗎 ? ?

請參看驗算

(26)

對數觀念複習

對數觀念複習 (12) (12)

? )

1 log( =

0 10

log

⁰

=

答案為答案為

(27)

對數觀念複習

對數觀念複習 (13) (13)

現在您應該會作下面的題目現在您應該會作下面的題目：：

] 70

| 7

| 10

| 1

| 10

[ )

10 /

10 log(

.

1

⁴ ^-³

=

⁷

] /

10 | 10

|

| 10

[ )

10 log(

.

2

ⁿ

= n n

ⁿ

n

] /

10 | 10

|

| 10

[ )

10 log(

.

3

^- ⁿ

= - n - n -

ⁿ

- n

(28)

對數觀念複習

對數觀念複習 (14) (14)

上面題目的答案分別為上面題目的答案分別為：：

] 7 [ )

10 /

10 log(

.

1

⁴ ^-³

=

] [

) 10

log(

.

2

ⁿ

= n

(29)

對數觀念複習

對數觀念複習 (15) (15)

如果您對這些題目還有疑如果您對這些題目還有疑問，您應該再複習一下

問，您應該再複習一下對數對數

的定義的定義

(30)

對數觀念複習

對數觀念複習 (16) (16)

試作下列問題，看您是否瞭解對數的計算，其試作下列問題，看您是否瞭解對數的計算，其中中

a與 a

與

b為任意正數 b

為任意正數：：

] log

*

| log

log

| log

* [log

) log(

.

1

ab

=

a b a

+

b a b

] log

log

| log

*

| log

/ [log

) /

log(

.

2

a b

=

a b

-

b a a

-

b

(31)

對數觀念複習

對數觀念複習 (16) (16)

上述上述

3題正確答案列述如 3

題正確答案列述如下下：：

] log

[log )

log(

.

1

ab

=

a

+

b

] log

[log )

/ log(

.

2

a b

=

a

-

b

] log

* [

) log(

.

3

a ⁿ

=

n a

(32)

對數觀念複習

對數觀念複習 (17) (17)

我們可以利用

log x的定義以及指數的性質導出 log x

的定義以及指數的性質導出所需的法則

所需的法則：：由於由於

a = 10

^loga

b = 10

^log^b

(33)

對數觀念複習

對數觀念複習 (18) (18)

因此因此

] log [log

log

* 10 10

10

^a ^b ^a ^b

ab = =

⁺

(34)

對數觀念複習

對數觀念複習 (19) (19)

在兩邊同時取對數，並利用

log (10 log (10 ^x^x) = x ) = x

的事實可得

b a

ab ) log 10

^a ^b

log log

log( =

^log ⁺^log

= +

(35)

對數觀念複習

對數觀念複習 (20) (20)

同理同理

] log [log

log

* 10 10

10 / b

^a ^b ^a ^b

a =

^-

=

^-

(36)

對數觀念複習

對數觀念複習 (21) (21)

所以所以

b a

b

a / ) log log

log( = -

(37)

對數觀念複習

對數觀念複習 (22) (22)

同樣的同樣的

; ;

a n

n a

a

n

= [ 10

^log

] = 10

^log

(38)

對數觀念複習

對數觀念複習 (23) (23)

且且

a n

a

ⁿ

) * log

log( =

(39)

對數觀念複習

對數觀念複習 (24) (24)

以上，我們只討論了以

10為底的對數。事 10

為底的對數。事實上，任何一個正數都可以作為底數，以其實上，任何一個正數都可以作為底數，以其

他數為底的對數，通常加入一個下標來說他數為底的對數，通常加入一個下標來說明。明。

例如，以

2為底， 2

為底，

8的對數記為 8

的對數記為

log log ₂₂8。 8

。一般一般我們用我們用

r來代表底數，則 r

來代表底數，則

log log _r_rx的定義方程式 x

的定義方程式為，為，

x

r

^log^r^x

=

(40)

課程內容課程內容

1. 1.

超越函數（超越函數（

））

2. 2.

對數觀念複習對數觀念複習

3. 3.

對數函數定義對數函數定義

4. 4.

對數律對數律

5. 5.

對數函數的導函數對數函數的導函數

6. 6.

對數微分法對數微分法

(41)

對數函數定義對數函數定義 (1) (1)

設設

a > 0， a > 0

，

aa

≠ ≠

1 ，若 1

，若

a a ^y^y=x =x <==<== > > yy =log =log _a_ax x (x > (x >

0)0)

，則，則

g (x) = g (x) = log log _a_ax稱為以 x

稱為以

aa

為底的對數函數為底的對數函數

(42)

對數函數定義對數函數定義 (2) (2)

對數函數

g (x) = g (x) = log log _a_axx

的定義域為的定義域為

(0, (0,

∞ ∞

) ， )

，值域為整個實數域

值域為整個實數域

R。 R

。事實上，

事實上，

a a ^x^x

與與

log log _a_axx

彼此有反函數的關係彼此有反函數的關係。。即即

(43)

對數函數定義對數函數定義 (3) (3)

試計算試計算

8 log

.

1

²

64 log 1

.

2

²

(44)

對數函數定義對數函數定義 (4) (4)

8 log

.

1

²

log 1 .

2

²

因為因為

8 8 = 2 = 2 ³³

，故，故 log

²

8 = 3

因為因為

¹ ₌ ₂^-⁶

，，故故

⁶ 64

log ² 1 = -

方法一方法一

:依對數定義 :

依對數定義

(45)

對數函數定義對數函數定義 (5) (5)

8 log

.

1

²

64 log 1

.

2

²

3 2

log 8

log

²

=

² ³

=

6 2

64 log

log ² 1 = ² ^-⁶ = -

方法二方法二

:利用公式 :

利用公式

log log _a_aa a ^x^x= x= x

(46)

課程內容課程內容

1. 1.

超越函數（超越函數（

））

2. 2.

對數觀念複習對數觀念複習

3. 3.

對數函數定義對數函數定義

4. 4.

對數律對數律

5. 5.

對數函數的導函數對數函數的導函數

6. 6.

對數微分法對數微分法

(47)

對數律對數律 (1) (1)

設設

a > 0， a > 0

，

a≠ a

≠

1 ， 1

，

x ， x

，

y是正數 y

是正數

1

log ,

0 1

log )

1

( ^a = ^aa =

y x

xy ^a ^a

a log log

log )

2

( = +

y y x

x

a a

a log log

log )

3

( = -

x b

x ^b ^a

a log

log )

4

( =

b x x log log

) 5

( = ^{(換底公式，}⁽

^{換底公式，}

^b > 0，^b > 0

^，

^b≠^b

^≠

^1 )^1 )

(48)

對數律對數律 (2) (2)

已知已知

log log ₁₀₁₀2=0.30102=0.3010

，，

log log ₁₀₁₀3=0.47713=0.4771

，試求，試求

6 log

) 1

(

¹⁰

log 16 )

3 (

¹⁰

16 log

) 2

(

¹⁰

3 log

)

4 (

(49)

對數律對數律 (3) (3)

6 log

) 1

(

¹⁰

解答

3 log

2 log

¹⁰

+

¹⁰

=

) 3

* 2 ( log

¹⁰

=

4771 .

0 3010

.

0 +

=

(50)

對數律對數律 (4) (4)

16 log

) 2

(

¹⁰

解答

2 log

4

¹⁰

=

10

2

4

log

=

) 3010 .

0 (

* 4

=

(51)

對數律對數律 (5) (5)

7269 .

0 =

解答

4771 .

0 2040

.

1 -

=

3 log

16 log

¹⁰

-

¹⁰

=

3 log 16

) 3

( ¹⁰

(52)

對數律對數律 (6) (6)

解答

3 log

) 4

(

²

2 log

3 log

10

= 10

3010 .

0

4771 .

= 0

(53)

對數中最常用的底為

10和 10

和

ee

，，使用底使用底為為

10的對數稱為 10

的對數稱為常用對數常用對數（（

common common

logarithm

）），，寫成寫成

log log ₁₀₁₀

或或

log ， log

，不寫底不寫底時時，，就是底為就是底為

10。使用底為 10

。使用底為

ee

的對數稱的對數稱為為自然對數自然對數（（

natural logarithmsnatural logarithms

）），，寫寫成成

log log _e_e

或或

ln 。 ln

。

對數律對數律 (7) (7)

(54)

log log ₁₀ ₁₀ x x 寫成寫成 log x log x

對數律對數律 (8) (8)

(55)

log log _e _e x x 寫成寫成 lnx lnx

對數律對數律 (9) (9)

(56)

記作記作

ln ， ln

，定義如下定義如下

對數律對數律 (10) (10)

自然對數函數定義

0 1 ,

ln ^x =

ò

1 ^x _t^dt ^x >

(57)

描繪自然對數函數

描繪自然對數函數 f (x) = f (x) = ln ln x (x > 0) x (x > 0) 的的圖形時，可先求出幾個點後，再通過這圖形時，可先求出幾個點後，再通過這

些點描繪出曲線。使用計算機的

些點描繪出曲線。使用計算機的 “ “ ln ln ” ” 鍵可鍵可得出得出 ln ln 的值的值，若無計算機，把方程式，若無計算機，把方程式

y y =lnx =lnx 寫成指數形式的寫成指數形式的 x x =e =e

^y^y

，然後選定，然後選定 y y 值，再求對應的

值，再求對應的 x x 值。下面為自然對數函值。下面為自然對數函數之點及圖形。

數之點及圖形。

對數律對數律 (11) (11)

(58)

0 1 2 1

2.7 7.4

y x

y = y = ln ln x x

對數律對數律 (12) (12)

(59)

3 2 f (x) = lnx

自然對數函數自然對數函數

對數律對數律 (13) (13)

(60)

由由 y = y = ln ln x x 的圖形可看出當的圖形可看出當 x x 值越大時，值越大時， lnx lnx 也越大。

也越大。事實上事實上，，

¥

=

®

x

ln

lim

對數律對數律 (14) (14)

(61)

其次為兩個重要的結果，每個都與自然其次為兩個重要的結果，每個都與自然對數的定義

對數的定義 ( ( 即即 y = y = ln ln x 等於 x 等於 x = x = e e

^y^y

) ) 是同義是同義的的。。

x x

e x x

e

x x

所有實數的

=

>

= ln

. 2

0 .

1

^ln

對數律對數律 (15) (15)

(62)

e e ^x^x

與與

ln ln x的圖形對稱於直線 x

的圖形對稱於直線

y = x y = x

。。

對數律對數律 (16) (16)

y = x

(0, 1)

y = ln x

y =

e e ^x^x

(63)

1. 1. lnxlnx

的圖形也是遞增的，連續的，經過點的圖形也是遞增的，連續的，經過點

(1, 0)

。。

對數律對數律 (17) (17)

從上圖

-¥

=

¥

= ® +

¥

® x x

x

x ln , lim ln

lim 0

2.2.

(64)

e e ^x^x

與與

的圖形對稱於直線

y = x y = x

。。

對數律對數律 (16) (16)

y = x

(0, 1)

y = ln x

y =

e e ^x^x

(65)

1. 1. lnxlnx

的圖形也是遞增的，連續的，經過點的圖形也是遞增的，連續的，經過點

(1, 0)

。。

對數律對數律 (17) (17)

從上圖

-¥

=

¥

= ® +

¥

® x x

x

x ln , lim ln

lim 0

2.2.

(66)

e e ^x^x

與與

的圖形對稱於直線

y = x y = x

。。

對數律對數律 (16) (16)

y = x

(0, 1)

y = ln x

y =

e e ^x^x

(67)

1. 1. lnxlnx

的圖形也是遞增的，連續的，經過點的圖形也是遞增的，連續的，經過點

(1, 0)

。。

對數律對數律 (17) (17)

從上圖

-¥

=

¥

= ® +

¥

® x x

x

x ln , lim ln

lim 0

2.2.

(68)

我們將自然對數的性質，以

ln ln x的形式重新表述 x

的形式重新表述

對數律對數律 (18) (18)

設設

x ， x

，

y是正數 y

是正數

1 ln

, 0 1

ln ) 2

( = e =

y x

xy ln ln

ln ) 3

( = +

x e

e ^x = ^ln^x = ln

) 1 (

y y x

x ln ln

ln ) 4

( = -

(69)

ln ln e = 1 e = 1 ln ln 1 = 0 1 = 0

方程式方程式 log log

_e_e

e e = 1 = 1 和和 log log

_e1_e1

1 = 0 1 = 0 在作在作化簡時常常用到

化簡時常常用到。以下重新以。以下重新以 ln ln 的的符號來表示

符號來表示。。

對數律對數律 (19) (19)

(70)

化簡下列對數值化簡下列對數值

對數律對數律 (20) (20)

ln

5

.

1 e ² ^. ^ln( ^x

²

^* ²

^x

⁾

( )

3 2

ln 1 . 3

2 4

+

x x e ^x

(71)

對數律對數律 (21) (21)

解答

5 ln

,

ln e

^x

= x 得 e

⁵

= 利用

ln

5

.

1 e

(72)

對數律對數律 (22) (22)

解答

= ln x

²

+ ln 2

^x

)

2 * ln(

.

2 x

² ^x

[[

對數律

對數律 (3)] (3)]

2 ln ln

2 x + x

=

^[^[

^對數律

^對數律^(5)]^(5)]

(73)

對數律對數律 (23) (23)

解答

(

¹

)

^] ^ln ² ³

ln[ ² + ⁴ - +

= e ^x x x ^[^[

^對數律

^對數律^(3)]^(3)]

[對數律 [

對數律

(4)] (4)]

( )

3 2

ln 1 . 3

2 4

+ +

x x e ^x

(

² ¹

)

⁴ ^ln( ² ³⁾¹²

ln

ln + + - +

= e ^x x x

1

(74)

解下列方程式解下列方程式

對數律對數律 (24) (24)

10 .

1 e

²^x

=

5 . 0 ln

.

2 x = -

(75)

對數律對數律 (25) (25)

解答

10 ln

ln e

²^x

=

[[

等式兩邊取對數等式兩邊取對數

] ]

10 ln

2 = x

10 .

1 e

²^x

=

10 = ln

x

(76)

對數律對數律 (26) (26)

解答

5 . 0 ln

= e

-

e

^x

[[

等式兩邊取指數等式兩邊取指數

] ]

5 . 0

= e

-

x 5 . 0 ln

.

2 x = -

(77)

課程內容課程內容

1. 1.

超越函數（超越函數（

））

2. 2.

對數觀念複習對數觀念複習

3. 3.

對數函數定義對數函數定義

4. 4.

對數律對數律

5. 5.

對數函數的導函數對數函數的導函數

6. 6.

對數微分法對數微分法

7. 7.

對數積分對數積分

(78)

對數函數的導函數

對數函數的導函數 (1) (1)

先來看圖形

(( x > 1) x > 1)

R

1 2

y = 1/t

(79)

對數函數的導函數

對數函數的導函數 (2) (2)

再來看另一圖形

(0 < (0 < x < 1) x < 1)

1

R

2

y = 1/t

(80)

對數函數的導函數

對數函數的導函數 (3) (3)

上面所繪製的圖形表示

ln ln x的幾何意義。 x

的幾何意義。

當當

x > 1時，它表示曲線 x > 1

時，它表示曲線

y = 1/t下方介於 y = 1/t

下方介於

11

及及

xx

所所圍成的面積；

圍成的面積；當當

0 < 0 < x < 1x < 1

時時，它表示這面積的，它表示這面積的負數。自然對數函數是一累積函數，因為它累負數。自然對數函數是一累積函數，因為它累

積了曲線

y = 1/t下方的面積。吾人無疑地可知 y = 1/t

下方的面積。吾人無疑地可知

ln ln xx

對對

x > 0為良好定義； x > 0

為良好定義；

ln ln x對 x

對

x 0無定義，因 x 0

無定義，因

為此定積分在包含

0的區間上不存在

的區間上不存在。。

£

(81)

對數函數的導函數

對數函數的導函數 (1) (1)

先來看圖形

(( x > 1) x > 1)

R

1 2

y = 1/t

(82)

對數函數的導函數

對數函數的導函數 (3) (3)

上面所繪製的圖形表示

的幾何意義。

當當

x > 1時，它表示曲線 x > 1

時，它表示曲線

y = 1/t下方介於 y = 1/t

下方介於

11

及及

xx

所所圍成的面積；

圍成的面積；當當

0 < 0 < x < 1x < 1

時時，它表示這面積的，它表示這面積的負數。自然對數函數是一累積函數，因為它累負數。自然對數函數是一累積函數，因為它累

積了曲線

下方的面積。吾人無疑地可知

ln ln xx

對對

x > 0為良好定義； x > 0

為良好定義；

ln ln x對 x

對

x 0無定義，因 x 0

無定義，因

為此定積分在包含

的區間上不存在。。

£

(83)

對數函數的導函數

對數函數的導函數 (2) (2)

再來看另一圖形

(0 < (0 < x < 1) x < 1)

1

R

2

y = 1/t

(84)

對數函數的導函數

對數函數的導函數 (3) (3)

上面所繪製的圖形表示

的幾何意義。

當當

x > 1時，它表示曲線 x > 1

時，它表示曲線

y = 1/t下方介於 y = 1/t

下方介於

11

及及

xx

所所圍成的面積；

圍成的面積；當當

0 < 0 < x < 1x < 1

時時，它表示這面積的，它表示這面積的負數。自然對數函數是一累積函數，因為它累負數。自然對數函數是一累積函數，因為它累

積了曲線

下方的面積。吾人無疑地可知

ln ln xx

對對

x > 0為良好定義； x > 0

為良好定義；

ln ln x對 x

對

x 0無定義，因 x 0

無定義，因

為此定積分在包含

的區間上不存在。。

£

(85)

對數函數的導函數

對數函數的導函數 (4) (4)

因因

e e ^lnx^lnx= = xx

，，在左邊代入在左邊代入

x = e x = e ^lnx^lnx

，，

代入後代入後

( )

x x dx

d 1

ln =

( ^ln ^x) ⁼ ¹

dx x d

這也是一個重要的結果

這也是一個重要的結果。。為使為使

ln ln xx

有定有定義義，故，故

x > 0 。 x > 0

。

d 1

(86)

為了求得對數函數

f (x) = f (x) = ln ln x之導函數的公 x

之導函數的公式，從下列方程式開始。

式，從下列方程式開始。

x e

^ln ^x

=

微分此式的兩邊得微分此式的兩邊得

( ^e ) ^d ( ) ^x

d _x

ln =

對數函數的導函數

對數函數的導函數 (5) (5)

(87)

對數函數的導函數

對數函數的導函數 (5) (5)

( )

x x dx

d 1

ln =

x x

≠ ≠

0 0

自然對數函數的導函數

(88)

對數函數的導函數

對數函數的導函數 (6) (6)

求導函數

求導函數 f f ' ' (x): (x):

x x

x

f ( ) ln )

1 ( =

x x f ( ) ).

2 ( =

(89)

解答

解答 ^f ^x ^x ^ln ^x 2

) 1

( =

x x

x

f ( ) ln )

1 ( =

) 2 ln

( 1 )

( x x

dx x d

f ¢ =

÷ ø ç ö

è + æ

= x x 1 x

2 ln 1

2 ) ( 1

) 1 1 (ln

+

= x

對數函數的導函數

對數函數的導函數 (7) (7)

(90)

解答

解答 ) ln

( 1 )

( x

x dx

x d

f ¢ = +

( ) ( )

( ¹ ^ln ) ²

ln 1

x

dx x x d

x dx x

d

+

ú û ù ê ë

é +

-

÷ + ø ç ö

è æ

=

x x x

f ( ) 1 ln ).

2

( = +

對數函數的導函數

對數函數的導函數 (8) (8)

(91)

對數函數的導函數

對數函數的導函數 (9) (9)

若若

f(x) = f(x) = ln ln x ，利用連鎖律 x

，利用連鎖律

)) (

( )]

(

ln[ f g x

dx x d

dx g

d =

) (

)) (

( g x

dx x d

g f ¢

=

( ) ⁽ ⁾

1 g x

dx d x

= g

(92)

對數函數的導函數

對數函數的導函數 (10) (10)

所以對數連鎖律公式歸納如下所以對數連鎖律公式歸納如下

: :

) ) (

( )] 1

(

ln[ g x

dx d x

x g dx g

d =

若若

g(x)是一可微分函數且 g(x)

是一可微分函數且

g(x) ≠ g(x)

≠

0 ，則 0

，則

(93)

對數函數的導函數

對數函數的導函數 (11) (11)

求導函數

求導函數 f f ' ' (x): (x):

) 1 3

5 ln(

) (

) 1

( f x = x

²

+ x +

] ) 1 4

( ) 5 3

ln[(

) (

) 2

( f x = x +

²

x +

³

(94)

解答

解答 ¢ ( ) = ln( 5 x ² + 3 x + 1 ) dx

x d f

(

⁵ ³ ¹

)

1 3

5

1 ₂

2 + +

+

= + x x

dx d x

x

3 10 x +

對數函數的導函數

對數函數的導函數 (12) (12)

) 1 3

5 ln(

) (

) 1

( f x = x ² + x +

(95)

對數函數的導函數

對數函數的導函數 (10) (10)

所以對數連鎖律公式歸納如下所以對數連鎖律公式歸納如下

: :

) ) (

( )] 1

(

ln[ g x

dx d x

x g dx g

d =

若若

g(x)是一可微分函數且 g(x)

是一可微分函數且

g(x) ≠ g(x)

≠

0 ，則 0

對數函數之微分及其 對數函數之微分及其 相關之積分 相關之積分