對數函數之微分及其 對數函數之微分及其
相關之積分
相關之積分
1. 1.
超越函數（ 超越函數（
Transcendental FunctionsTranscendental Functions） ）
2. 2.對數觀念複習 對數觀念複習
3. 3.
對數函數定義 對數函數定義
4. 4.對數律 對數律
5. 5.
對數函數的導函數 對數函數的導函數
6. 6.對數微分法 對數微分法
課程內容摘要
課程內容摘要
課程內容 課程內容
1. 1.
超越函數（ 超越函數（
Transcendental FunctionsTranscendental Functions） ）
2. 2.對數觀念複習 對數觀念複習
3. 3.
對數函數定義 對數函數定義
4. 4.對數律 對數律
5. 5.
對數函數的導函數 對數函數的導函數
6. 6.對數微分法 對數微分法
7. 7.
對數積分 對數積分
超越函數（
超越函數（ Transcendental Transcendental Functions
Functions ） ） 就是 就是 指數函數 指數函數 、 、 對數函 對數函 數 數 、 、 三角函數 三角函數 及 及 反三角函數 反三角函數 的統稱。 的統稱。
超越函數
超越函數 (1) (1)
對數符號
對數符號 x = log
ba
a b
x=
是與 是與
同義，其中
同義，其中 b > 0 b > 0 ， ， b≠ b ≠ 1， 1 ， 且 且 x為任意實數 x 為任意實數
超越函數
超越函數 (2) (2)
對數符號方程式 對數符號方程式
a x = log
b讀作 讀作 “ “ x x 為對底為 為對底為 b的對數 b 的對數 ” ”
超越函數
超越函數 (3) (3)
a x = log
b注意到對數等於
注意到對數等於 x x ，且 ，且 x x 為 為 指數。故對數就是指數，亦 指數。故對數就是指數，亦 即 即 x x 為 為 b要乘方得 b 要乘方得 a的指數。 a 的指數。
a b
x=
超越函數
超越函數 (4) (4)
a x = log
b正底 正底 b b 的 的 x x 乘方得 乘方得 a a ， ， 故在 故在 b b
x x=a =a 中 中 永遠為正。換句話說，在
永遠為正。換句話說，在 x x =log =log
b ba a 中 中 a a 必為正，於是 必為正，於是 log log
b ba a 只在 只在 a > 0時 a > 0 時
a b
x=
超越函數
超越函數 (5) (5)
以下為某些寫成對數型式之方程式，其右為相等 以下為某些寫成對數型式之方程式，其右為相等 的指數型式。
的指數型式。
2 9
log 3 = 3 8
log 2 = 0 1
log 4 =
2 01
.
log 10 = - 3 20
log e » 1 log e e =
9 3 2 =
8 2 3 =
1 4 0 =
01 . 10 - 2 =
3 » 20 e
e e 1 =
超越函數
超越函數 (6) (6)
現在要用對數於運算中
現在要用對數於運算中 ， ， 以解方程 以解方程 式 式 。 。
例 例 1: 3 1: 3
x x= 11 = 11
解 解
:將方程式寫成如下的對數型式 :將方程式寫成如下的對數型式 ， ， 再解出 再解出
x: x:超越函數
超越函數 (7) (7)
例 例 2: 10 2: 10
7x 7x= 9 = 9
解 解
:將指數方程式寫成對數形式就可分離出 :將指數方程式寫成對數形式就可分離出
77 x x7x =log 9 7x =log 9
兩邊同除以
兩邊同除以
7 7超越函數
超越函數 (8) (8)
例 例 3: 4 3: 4 e e
5x 5x=12 =12
解
解 :為了解得指數 :為了解得指數 ，
，似乎很自然就把方程式寫成對數形式
似乎很自然就把方程式寫成對數形式，
，但
但 底和指數必須單獨地同在一邊才能形成對數形式底和指數必須單獨地同在一邊才能形成對數形式 。
。對數符號
對數符號的定義
的定義，
，或者例
或者例 1及例 1及例
22都是這種情形
都是這種情形，
，在此處
在此處，
，僅需將方程
僅需將方程式兩邊同除以
式兩邊同除以
4之後 4之後 ，
，就符合該情形
就符合該情形。
。對數形式
對數形式
412 4
4 5
= e x
5 x
= 3
e 5 5 x = ln3 x = ln3
超越函數
超越函數 (9) (9)
例 例 4: 4: ln7x = 50 ln7x = 50
解
解 :就像指數方程式改成對數形式後求解 :就像指數方程式改成對數形式後求解 ，
，對數方程式改成指
對數方程式改成指數
數形式之後亦可求解
形式之後亦可求解。
。指數形式
指數形式
50 7
log
ex =
7x = e 7x = e
50 50超越函數
超越函數 (10) (10)
課程內容 課程內容
1. 1.
超越函數（ 超越函數（
Transcendental FunctionsTranscendental Functions） ）
2. 2.對數觀念複習 對數觀念複習
3. 3.
對數函數定義 對數函數定義
4. 4.對數律 對數律
5. 5.
對數函數的導函數 對數函數的導函數
6. 6.對數微分法 對數微分法
對數觀念複習
對數觀念複習 (1) (1)
令 令
x為任意正數，並令 x為任意正數，並令
log xlog x代表以 代表以
1010為底的對數 為底的對數 。 。
x
10
log = ? = ?則 則 ： ：
對數觀念複習
對數觀念複習 (2) (2)
事實上，
事實上，
x以 x以
10為底的對數， 10為底的對數， 其定義即為 其定義即為 ： ：
x
10
log = =x x
對數觀念複習
對數觀念複習 (3) (3)
也就是說，一數
也就是說，一數
x的對數，就是 x的對數，就是
10要自乘多少次 10要自乘多少次 才能到達
才能到達
x的次數。此定義只有在 x的次數。此定義只有在
x > 0x > 0時才成立。 時才成立。
下面是兩個例題 下面是兩個例題 ： ：
所以 所以
log (100) = log (100) =2 2 10
2100 =
對數觀念複習
對數觀念複習 (4) (4)
所以 所以
log (.001) = log (.001) = 3 3 10
3001
. =
-對數觀念複習
對數觀念複習 (5) (5)
? )
000 ,
000 ,
1
log( =
現在我們試作一個題目 現在我們試作一個題目 ： ：
(1) 1,000,000
(1) 1,000,000 (2) 6 (2) 6 (3) 60
(3) 60 (4) 600 (4) 600 11
： ：
為下列那一個答案
為下列那一個答案
??對數觀念複習
對數觀念複習 (6) (6)
? )
000 ,
000 ,
1
log( =
答案是 答案是 ： ：
(1) 1,000,000
(1) 1,000,000 (2) 6 (2) 6
對數觀念複習
對數觀念複習 (7) (7)
您答對了嗎 您答對了嗎 ? ?
請參看驗算
對數觀念複習
對數觀念複習 (8) (8)
? )
000 ,
000 ,
1
log( =
6 10
log
6=
答案為 答案為
對數觀念複習
對數觀念複習 (9) (9)
? )
1
log( =
現在我們試作另一個題目 現在我們試作另一個題目 ： ：
(1) 0
(1) 0 (2) 1 (2) 1 (3) 10
(3) 10 (4) 100 (4) 100 22
： ：
為下列那一個答案
為下列那一個答案
??對數觀念複習
對數觀念複習 (10) (10)
? )
1
log( =
答案是 答案是 ： ：
(1) 0(1) 0 (2) 1 (2) 1
對數觀念複習
對數觀念複習 (11) (11)
您答對了嗎 您答對了嗎 ? ?
請參看驗算
對數觀念複習
對數觀念複習 (12) (12)
? )
1
log( =
0 10
log
0=
答案為 答案為
對數觀念複習
對數觀念複習 (13) (13)
現在您應該會作下面的題目 現在您應該會作下面的題目 ： ：
] 70
| 7
| 10
| 1
| 10
[ )
10 /
10 log(
.
1
4 - 3=
7] /
10
| 10
|
| 10
[ )
10 log(
.
2
n= n n
nn
] /
10
| 10
|
| 10
[ )
10 log(
.
3
- n= - n - n -
n- n
對數觀念複習
對數觀念複習 (14) (14)
上面題目的答案分別為 上面題目的答案分別為 ： ：
] 7 [ )
10 /
10 log(
.
1
4 - 3=
] [
) 10
log(
.
2
n= n
對數觀念複習
對數觀念複習 (15) (15)
如果您對這些題目還有疑 如果您對這些題目還有疑 問，您應該再複習一下
問，您應該再複習一下 對數 對數
的定義 的定義
對數觀念複習
對數觀念複習 (16) (16)
試作下列問題，看您是否瞭解對數的計算，其 試作下列問題，看您是否瞭解對數的計算，其 中 中
a與 a與
b為任意正數 b為任意正數 ： ：
] log
*
| log
log
| log
* [log
) log(
.
1
ab=
a b a+
b a b] log
log
| log
*
| log
/ [log
) /
log(
.
2
a b=
a b-
b a a-
b對數觀念複習
對數觀念複習 (16) (16)
上述 上述
3題正確答案列述如 3題正確答案列述如 下 下 ： ：
] log
[log )
log(
.
1
ab=
a+
b] log
[log )
/ log(
.
2
a b=
a-
b] log
* [
) log(
.
3
a n=
n a對數觀念複習
對數觀念複習 (17) (17)
我們可以利用
我們可以利用
log x的定義以及指數的性質導出 log x的定義以及指數的性質導出 所需的法則
所需的法則 ： ： 由於 由於
a = 10
log ab = 10
log b對數觀念複習
對數觀念複習 (18) (18)
因此 因此
] log [log
log
log
* 10 10
10
a b a bab = =
+對數觀念複習
對數觀念複習 (19) (19)
在兩邊同時取對數，並利用
在兩邊同時取對數，並利用
log (10 log (10 x x ) = x ) = x的事實可得
的事實可得
b a
ab ) log 10
a blog log
log( =
log +log= +
對數觀念複習
對數觀念複習 (20) (20)
同理 同理
] log [log
log
log
* 10 10
10
/ b
a b a ba =
-=
-對數觀念複習
對數觀念複習 (21) (21)
所以 所以
b a
b
a / ) log log
log( = -
對數觀念複習
對數觀念複習 (22) (22)
同樣的 同樣的
; ;a n
n a
a
n= [ 10
log] = 10
log對數觀念複習
對數觀念複習 (23) (23)
且 且
a n
a
n) * log
log( =
對數觀念複習
對數觀念複習 (24) (24)
以上，我們只討論了以
以上，我們只討論了以
10為底的對數。事 10為底的對數。事 實上，任何一個正數都可以作為底數，以其 實上，任何一個正數都可以作為底數，以其
他數為底的對數，通常加入一個下標來說 他數為底的對數，通常加入一個下標來說 明。 明。
例如，以
例如，以
2為底， 2為底，
8的對數記為 8的對數記為
log log 2 2 8。 8。 一般 一般 我們用 我們用
r來代表底數，則 r來代表底數，則
log log r r x的定義方程式 x的定義方程式 為， 為，
x
r
logr x=
課程內容 課程內容
1. 1.
超越函數（ 超越函數（
Transcendental FunctionsTranscendental Functions） ）
2. 2.對數觀念複習 對數觀念複習
3. 3.
對數函數定義 對數函數定義
4. 4.對數律 對數律
5. 5.
對數函數的導函數 對數函數的導函數
6. 6.對數微分法 對數微分法
對數函數定義 對數函數定義 (1) (1)
設 設
a > 0， a > 0，
aa≠ ≠
1 ，若 1，若
a a y y =x =x <==<== > > yy =log =log a a x x (x > (x >0)0)
，則 ，則
g (x) = g (x) = log log a a x稱為以 x稱為以
aa為底的對數函數 為底的對數函數
對數函數定義 對數函數定義 (2) (2)
對數函數
對數函數
g (x) = g (x) = log log a a xx的定義域為 的定義域為
(0, (0,∞ ∞
) ， )， 值域為整個實數域
值域為整個實數域
R。 R。 事實上，
事實上，
a a x x與 與
log log a a xx彼此有反函數的關係 彼此有反函數的關係 。 。 即 即
對數函數定義 對數函數定義 (3) (3)
試計算 試計算
8 log
.
1
264 log 1
.
2
2對數函數定義 對數函數定義 (4) (4)
8 log
.
1
2log 1 .
2
2因為 因為
8 8 = 2 = 2 3 3， 故 ， 故 log
28 = 3
因為 因為
1 = 2 - 6， ， 故 故
6 64log 2 1 = -
方法一 方法一
:依對數定義 :依對數定義
對數函數定義 對數函數定義 (5) (5)
8 log
.
1
264 log 1
.
2
23 2
log 8
log
2=
2 3=
6 2
64 log
log 2 1 = 2 - 6 = -
方法二 方法二
:利用公式 :利用公式
log log a a a a x x = x= x課程內容 課程內容
1. 1.
超越函數（ 超越函數（
Transcendental FunctionsTranscendental Functions） ）
2. 2.對數觀念複習 對數觀念複習
3. 3.
對數函數定義 對數函數定義
4. 4.對數律 對數律
5. 5.
對數函數的導函數 對數函數的導函數
6. 6.對數微分法 對數微分法
對數律 對數律 (1) (1)
設 設
a > 0， a > 0，
a≠ a≠
1 ， 1，
x ， x，
y是正數 y是正數
1log ,
0 1
log )
1
( a = a a =
y x
xy a a
a log log
log )
2
( = +
y y x
x
a a
a log log
log )
3
( = -
x b
x b a
a log
log )
4
( =
b x x log log
) 5
( = (換底公式， (
換底公式，
b > 0， b > 0，
b≠ b≠
1 )1 )對數律 對數律 (2) (2)
已知 已知
log log 10 10 2=0.30102=0.3010， ，
log log 10 10 3=0.47713=0.4771，試求 ，試求
6 log
) 1
(
10log 16 )
3
(
1016 log
) 2
(
103 log
)
4
(
對數律 對數律 (3) (3)
6 log
) 1
(
10解答
解答3 log
2
log
10+
10=
) 3
* 2 ( log
10=
4771 .
0 3010
.
0 +
=
對數律 對數律 (4) (4)
16 log
) 2
(
10解答
解答2 log
4
10=
10
2
4log
=
) 3010 .
0 (
* 4
=
對數律 對數律 (5) (5)
7269 .
0
=
解答
解答4771 .
0 2040
.
1 -
=
3 log
16
log
10-
10=
3 log 16
) 3
( 10
對數律 對數律 (6) (6)
解答
解答3 log
) 4
(
22 log
3 log
10
= 10
3010 .
0
4771 .
= 0
對數中最常用的底為
對數中最常用的底為
10和 10和
ee， ， 使用底 使用底 為 為
10的對數稱為 10的對數稱為 常用對數 常用對數 （ （
common commonlogarithm
logarithm
） ） ， ， 寫成 寫成
log log 10 10或 或
log ， log， 不寫底 不寫底 時 時 ， ， 就是底為 就是底為
10。使用底為 10。使用底為
ee的對數稱 的對數稱 為 為 自然對數 自然對數 （ （
natural logarithmsnatural logarithms） ） ， ， 寫 寫 成 成
log log e e或 或
ln 。 ln。
對數律 對數律 (7) (7)
log log 10 10 x x 寫成 寫成 log x log x
對數律 對數律 (8) (8)
log log e e x x 寫成 寫成 lnx lnx
對數律 對數律 (9) (9)
記作 記作
ln ， ln， 定義如下 定義如下
對數律 對數律 (10) (10)
自然對數函數定義
自然對數函數定義
0 1 ,
ln x =
ò
1 x t dt x >描繪自然對數函數
描繪自然對數函數 f (x) = f (x) = ln ln x (x > 0) x (x > 0) 的 的 圖形時，可先求出幾個點後，再通過這 圖形時，可先求出幾個點後，再通過這
些點描繪出曲線。使用計算機的
些點描繪出曲線。使用計算機的 “ “ ln ln ” ” 鍵可 鍵可 得出 得出 ln ln 的值 的值 ，若無計算機，把方程式 ，若無計算機，把方程式
y y =lnx =lnx 寫成指數形式的 寫成指數形式的 x x =e =e
y y，然後選定 ，然後選定 y y 值，再求對應的
值，再求對應的 x x 值。下面為自然對數函 值。下面為自然對數函 數之點及圖形。
數之點及圖形。
對數律 對數律 (11) (11)
0 1 2 1
2.7 7.4
y x
y = y = ln ln x x
對數律 對數律 (12) (12)
3
2 f (x) = lnx
自然對數函數 自然對數函數
對數律 對數律 (13) (13)
由 由 y = y = ln ln x x 的圖形可看出當 的圖形可看出當 x x 值越大時， 值越大時， lnx lnx 也越大。
也越大。 事實上 事實上 ， ，
¥
¥
=
®
x
x
ln
lim
對數律 對數律 (14) (14)
其次為兩個重要的結果，每個都與自然 其次為兩個重要的結果，每個都與自然 對數的定義
對數的定義 ( ( 即 即 y = y = ln ln x 等於 x 等於 x = x = e e
y y) ) 是同義 是同義 的 的 。 。
x x
e x x
e
x x所有實數的
=
>
= ln
. 2
0 .
1
ln對數律 對數律 (15) (15)
e e x x
與 與
ln ln x的圖形對稱於直線 x的圖形對稱於直線
y = x y = x。 。
對數律 對數律 (16) (16)
y = x
(0, 1)
y = ln x
y =
e e xx1. 1. lnxlnx
的圖形也是遞增的，連續的，經過點 的圖形也是遞增的，連續的，經過點
(1, 0)(1, 0)
。 。
對數律 對數律 (17) (17)
從上圖
從上圖-¥
=
¥
= ® +
¥
® x x
x
x ln , lim ln
lim 0
2.2.
e e x x
與 與
ln ln x的圖形對稱於直線 x的圖形對稱於直線
y = x y = x。 。
對數律 對數律 (16) (16)
y = x
(0, 1)
y = ln x
y =
e e xx1. 1. lnxlnx
的圖形也是遞增的，連續的，經過點 的圖形也是遞增的，連續的，經過點
(1, 0)(1, 0)
。 。
對數律 對數律 (17) (17)
從上圖
從上圖-¥
=
¥
= ® +
¥
® x x
x
x ln , lim ln
lim 0
2.2.
e e x x
與 與
ln ln x的圖形對稱於直線 x的圖形對稱於直線
y = x y = x。 。
對數律 對數律 (16) (16)
y = x
(0, 1)
y = ln x
y =
e e xx1. 1. lnxlnx
的圖形也是遞增的，連續的，經過點 的圖形也是遞增的，連續的，經過點
(1, 0)(1, 0)
。 。
對數律 對數律 (17) (17)
從上圖
從上圖-¥
=
¥
= ® +
¥
® x x
x
x ln , lim ln
lim 0
2.2.
我們將自然對數的性質，以
我們將自然對數的性質，以
ln ln x的形式重新表述 x的形式重新表述
對數律 對數律 (18) (18)
設 設
x ， x，
y是正數 y是正數
1 ln
, 0 1
ln ) 2
( = e =
y x
xy ln ln
ln ) 3
( = +
x e
e x = ln x = ln
) 1 (
y y x
x ln ln
ln ) 4
( = -
ln ln e = 1 e = 1 ln ln 1 = 0 1 = 0
方程式 方程式 log log
e ee e = 1 = 1 和 和 log log
e1 e11 = 0 1 = 0 在作 在作 化簡時常常用到
化簡時常常用到 。以下重新以 。以下重新以 ln ln 的 的 符號來表示
符號來表示 。 。
對數律 對數律 (19) (19)
化簡下列對數值 化簡下列對數值
對數律 對數律 (20) (20)
ln
5.
1 e 2 . ln( x
2* 2
x)
( )
3 2
ln 1 . 3
2 4
+
+
x x e x對數律 對數律 (21) (21)
解答
解答5 ln
,
ln e
x= x 得 e
5= 利用
ln
5.
1 e
對數律 對數律 (22) (22)
解答
解答= ln x
2+ ln 2
x)
2
* ln(
.
2 x
2 x[[
對數律
對數律 (3)] (3)]2 ln ln
2 x + x
=
[[對數律
對數律 (5)](5)]對數律 對數律 (23) (23)
解答
解答(
1)
] ln 2 3ln[ 2 + 4 - +
= e x x x [[
對數律
對數律 (3)] (3)][對數律 [
對數律
(4)] (4)]( )
3 2
ln 1 . 3
2 4
+ +
x x e x(
2 1)
4 ln( 2 3 ) 1 2ln
ln + + - +
= e x x x
1
解下列方程式 解下列方程式
對數律 對數律 (24) (24)
10 .
1 e
2 x=
5 . 0 ln
.
2 x = -
對數律 對數律 (25) (25)
解答
解答10 ln
ln e
2 x=
[[
等式兩邊取對數 等式兩邊取對數
] ]10 ln
2 = x
10 .
1 e
2 x=
10
= ln
x
對數律 對數律 (26) (26)
解答
解答5 . 0 ln
= e
-e
x[[
等式兩邊取指數 等式兩邊取指數
] ]5 . 0
= e
-x 5 . 0 ln
.
2 x = -
課程內容 課程內容
1. 1.
超越函數（ 超越函數（
Transcendental FunctionsTranscendental Functions） ）
2. 2.對數觀念複習 對數觀念複習
3. 3.
對數函數定義 對數函數定義
4. 4.對數律 對數律
5. 5.
對數函數的導函數 對數函數的導函數
6. 6.對數微分法 對數微分法
7. 7.
對數積分 對數積分
對數函數的導函數
對數函數的導函數 (1) (1)
先來看圖形
先來看圖形
(( x > 1) x > 1)R
1 2
y = 1/t
對數函數的導函數
對數函數的導函數 (2) (2)
再來看另一圖形
再來看另一圖形
(0 < (0 < x < 1) x < 1)1
R
2
y = 1/t
對數函數的導函數
對數函數的導函數 (3) (3)
上面所繪製的圖形表示
上面所繪製的圖形表示
ln ln x的幾何意義。 x的幾何意義。
當 當
x > 1時，它表示曲線 x > 1時，它表示曲線
y = 1/t下方介於 y = 1/t下方介於
11及 及
xx所 所 圍成的面積；
圍成的面積； 當 當
0 < 0 < x < 1x < 1時 時 ，它表示這面積的 ，它表示這面積的 負數。自然對數函數是一累積函數，因為它累 負數。自然對數函數是一累積函數，因為它累
積了曲線
積了曲線
y = 1/t下方的面積。吾人無疑地可知 y = 1/t下方的面積。吾人無疑地可知
ln ln xx對 對
x > 0為良好定義； x > 0為良好定義；
ln ln x對 x對
x 0無定義，因 x 0無定義，因
為此定積分在包含
為此定積分在包含
0的區間上不存在的區間上不存在 。 。
£
對數函數的導函數
對數函數的導函數 (1) (1)
先來看圖形
先來看圖形
(( x > 1) x > 1)R
1 2
y = 1/t
對數函數的導函數
對數函數的導函數 (3) (3)
上面所繪製的圖形表示
上面所繪製的圖形表示
ln ln x的幾何意義。 x的幾何意義。
當 當
x > 1時，它表示曲線 x > 1時，它表示曲線
y = 1/t下方介於 y = 1/t下方介於
11及 及
xx所 所 圍成的面積；
圍成的面積； 當 當
0 < 0 < x < 1x < 1時 時 ，它表示這面積的 ，它表示這面積的 負數。自然對數函數是一累積函數，因為它累 負數。自然對數函數是一累積函數，因為它累
積了曲線
積了曲線
y = 1/t下方的面積。吾人無疑地可知 y = 1/t下方的面積。吾人無疑地可知
ln ln xx對 對
x > 0為良好定義； x > 0為良好定義；
ln ln x對 x對
x 0無定義，因 x 0無定義，因
為此定積分在包含
為此定積分在包含
0的區間上不存在的區間上不存在 。 。
£
對數函數的導函數
對數函數的導函數 (2) (2)
再來看另一圖形
再來看另一圖形
(0 < (0 < x < 1) x < 1)1
R
2
y = 1/t
對數函數的導函數
對數函數的導函數 (3) (3)
上面所繪製的圖形表示
上面所繪製的圖形表示
ln ln x的幾何意義。 x的幾何意義。
當 當
x > 1時，它表示曲線 x > 1時，它表示曲線
y = 1/t下方介於 y = 1/t下方介於
11及 及
xx所 所 圍成的面積；
圍成的面積； 當 當
0 < 0 < x < 1x < 1時 時 ，它表示這面積的 ，它表示這面積的 負數。自然對數函數是一累積函數，因為它累 負數。自然對數函數是一累積函數，因為它累
積了曲線
積了曲線
y = 1/t下方的面積。吾人無疑地可知 y = 1/t下方的面積。吾人無疑地可知
ln ln xx對 對
x > 0為良好定義； x > 0為良好定義；
ln ln x對 x對
x 0無定義，因 x 0無定義，因
為此定積分在包含
為此定積分在包含
0的區間上不存在的區間上不存在 。 。
£
對數函數的導函數
對數函數的導函數 (4) (4)
因 因
e e lnx lnx = = xx， ， 在左邊代入 在左邊代入
x = e x = e lnx lnx， ，
代入後 代入後
( )
x x dx
d 1
ln =
( ln x ) = 1
dx x d
這也是一個重要的結果
這也是一個重要的結果 。 。 為使 為使
ln ln xx有定 有定 義 義 ，故 ，故
x > 0 。 x > 0。
d 1
為了求得對數函數
為了求得對數函數
f (x) = f (x) = ln ln x之導函數的公 x之導函數的公 式，從下列方程式開始。
式，從下列方程式開始。
x e
ln x=
微分此式的兩邊得 微分此式的兩邊得
( e ) d ( ) x
d x
ln =
對數函數的導函數
對數函數的導函數 (5) (5)
對數函數的導函數
對數函數的導函數 (5) (5)
( )
x x dx
d 1
ln =
x x
≠ ≠
0 0自然對數函數的導函數
自然對數函數的導函數
對數函數的導函數
對數函數的導函數 (6) (6)
求導函數
求導函數 f f ' ' (x): (x):
x x
x
f ( ) ln )
1
( =
x x f ( ) ).
2
( =
解答
解答 f x x ln x 2) 1
( =
x x
x
f ( ) ln )
1
( =
) 2 ln
( 1 )
( x x
dx x d
f ¢ =
÷ ø ç ö
è + æ
= x x 1 x
2 ln 1
2 ) ( 1
) 1 1 (ln
+
= x
對數函數的導函數
對數函數的導函數 (7) (7)
解答
解答 ) ln( 1 )
( x
x dx
x d
f ¢ = +
( ) ( )
( 1 ln ) 2
ln 1
ln 1
x
dx x x d
x dx x
d
+
ú û ù ê ë
é +
-
÷ + ø ç ö
è æ
=
x x x
f ( ) 1 ln ).
2
( = +
對數函數的導函數
對數函數的導函數 (8) (8)
對數函數的導函數
對數函數的導函數 (9) (9)
若 若
f(x) = f(x) = ln ln x ，利用連鎖律 x，利用連鎖律
)) (
( )]
(
ln[ f g x
dx x d
dx g
d =
) (
)) (
( g x
dx x d
g f ¢
=
( ) ( )
1 g x
dx d x
= g
對數函數的導函數
對數函數的導函數 (10) (10)
所以對數連鎖律公式歸納如下 所以對數連鎖律公式歸納如下
: :) ) (
( )] 1
(
ln[ g x
dx d x
x g dx g
d =
若 若
g(x)是一可微分函數且 g(x)是一可微分函數且
g(x) ≠ g(x)≠
0 ，則 0，則
對數函數的導函數
對數函數的導函數 (11) (11)
求導函數
求導函數 f f ' ' (x): (x):
) 1 3
5 ln(
) (
) 1
( f x = x
2+ x +
] ) 1 4
( ) 5 3
ln[(
) (
) 2
( f x = x +
2x +
3解答
解答 ¢ ( ) = ln( 5 x 2 + 3 x + 1 ) dxx d f
(
5 3 1)
1 3
5
1 2
2 + +
+
= + x x
dx d x
x
3 10 x +
