指數與對數

數學科教師共備手冊

高中課程

單元４

指數與對數

數學新世界

2018 年 12 月 編印

數學新世界

指數和對數

^{作者：CA、陳梅仙}

高中共備單 版本： 20181224

一、反思問題

15 世紀初，海上遠洋航運蓬勃發展，航海者只要參照星圖，便可計算經 緯度來確定船隻的位置與航道方向，然而，在計算天體的運行軌道時，

經常會遇到大量且繁雜的計算，如何簡化計算就成為當時天文學家迫切 需要解決的問題，將乘除法簡化成加減法來計算的對數應運而生。在現 代數學的教科書中，可以發現不管是內容的安排，或是對數定義的講解，

通常都會置入指數的概念，讓人誤以為指數的發明是先於對數的。但從 前述歷史的探討可以發現事實卻是相反，即從巴比倫古老的泥板中，也 只是單單等比或等差的數列，絲毫沒有指數的概念。事實上發明對數的 數學家 John Napier 約從 44 歲開始，共花了近 20 年的時間只研究對數，

連基本指數的概念都未建立，即便如此，他的貢獻已足以名列數學史上 重要的事蹟之一了。

參考：https://scitechvista.nat.gov.tw/c/sfn1.htm

1. 關於數字的大小的表現方式，從小學階段數字的長短和十進位制，國 中階段利用指數律寫成科學記號，高中階段將科學記號前方的數字 也寫成合併成指數的型態，並且底數的選擇不再限定為 10，甚至發 展出以尤拉數 e 為底的自然對數。

就近代而言，計算機已經取代人為的計算了，因此，將一個數字轉換 為對數的形式其訴求應該不再侷限於計算上的便利性(當然，計算的 簡易性還是很重要)，到底是什麼其他的需求下，我們會選擇用這種 指數型態的數字表現方式？這跟選取不同的單位來表現一個數字的 想法差異何在？貫穿這一連串在不同學習階段表現數字大小的核心 想法是什麼呢？

1

2. 查表是直接獲得數值的簡便方式，那麼對於對數函數而言，我們要考 慮哪個範圍來製作對數表就足供使用，為什麼？，請以 log x 當例子 加以說明！

3. 課本是這樣教對數的：〝設 a＞0，𝑎 ≠ 1，對任一個正數 y，恰存在一 個數

x，使𝑦 = 𝑎 ，x 稱為 y 以 a 為底的對數，x 記作log 𝑦。〞也就

是說， 𝑦 = 𝑎 ⟺ 𝑥 = log 𝑦，可是，這樣的說法好難懂，只看得到規 則，看不到想法，您可以試著談出規則中的數學想法嗎？

4. 承第 3 題，為什麼要規定𝑦 0, 以及 a＞0，𝑎 ≠ 1？為什麼會有這 樣的規定？

數字的大小

y

數字的等級

x

選擇以

a 為基準

𝑥 = log 𝑦

還原數字的大小 𝑦 = 𝑎 = 𝑎

2

5. 下面 3 個公式是對數運算的核心，怎麼把論證上的常態，轉換成認知 上的自在，讓學生可以在使用時信手拈來呢？

設

a＞0，𝑎 ≠ 1，M 與 N 都是正數，r 是實數。

(1) log

a

MN＝log

a

M＋log

a

N。 ( 積的對數化成對數的和 ) (2) log

a

N

M

＝log

a

M－log

a

N。 ( 商的對數化成對數的差 ) (3) log

a

M

^r

＝r．log

a

M。 ( 乘方的對數化成對數的倍數 )

6. 首先，談談在什麼情況之下，我們會將一數以 a 為底換成以 b 為底，

當我們將換底公式 log 𝑥 = 改寫成 log 𝑥 = log 𝑎 × log 𝑥，

這兩種表現方式在想法上有什麼不同？或是說，這兩種表現方式各 自的意涵是什麼？

3

7. 您通常都是怎麼協助學生比較出下面函數圖形中 a 和 b 的大小和倍 數關係呢？

8. 介紹對數的首數和尾數的目的是什麼？跟有效位數有關嗎？如果底 數

a, b,

0 < 𝑎 < 1, 1 < 𝑏，那麼，他們的尾數是在表現什麼？

𝑦 = log 𝑥

𝑦 = log 𝑥

𝑦 = log 𝑥 𝑦 = log 𝑥

𝑦 = 𝑎

𝑦 = 𝑏

𝑦 = 𝑏

𝑦 = 𝑎

4

9. 發展出以尤拉數 e 為底的自然對數的好處是什麼？

二、試著撰寫下面名詞的核心概念 1. 對數

2. 指數

3. 對數函數圖形 4. 指數函數圖形 5. 自然對數 6. 首數和尾數

7. 積化和差、和差化積 8. 換底公式

5

三、試著根據概念發展的三個階段草擬下面名詞的概念發展脈絡。

概念 認知 形成 使用

對數

指數

對數函數 圖形 指數函數

圖形

自然對數

首數 尾數 積化和差 和差化積

換底公式

四、觀摩、討論&修改 1.參考影片

(1)

數學新世界--CA--指對數 入班教學 20180721 (臺中市黎明國中) PART1-PART6

(2) 數學新世界--CA--指數與對數 20171229 (雲林縣維多利亞高級中 學) PART1-PART2

(3) 數學新世界--CA--指對數函數 教師研習 20171110 (臺中市弘文中 學) PART1-PART3

2.針對單元核心概念、概念發展的教學脈絡進行細部分析或調整。

3.找出屬於自己最自在的概念發展的教學脈絡。

五、學習單：如附件。

6

附 件

指數與對數

核心概念

____年____班____號 姓名______________

蔡晴穎

𝑦 log 𝑥

𝑦 log 𝑥

𝑦 𝑎

𝑦 𝑏

數字

數字 等級

等級

2018 年 12 月

目錄 (本學習單想法源自彰師大 CA 教授)

什麼時候談等級？ ... - 2 -

等級尺(以 5 為晉級倍數) 等級尺(以 3 為晉級倍數) 等級尺(以 2 為晉級倍數) ... - 4 -

指數律是： 先複習⼀下國中學到的～ ... - 5 -

完備指數律... - 6 -

對數函數

f x

( ) log= _a

x

與圖形 (找等級的函數) (建議搭配計算器) ... - 9 -

等級分成兩種



... - 14 -

從圖形找到晉級倍數 ... - 16 -

對數的運算其實就是指數律：(永遠要記得，對數 log 之值代表等級) ... - 18 -

主題：換底公式 ... - 21 -

任意底的置換： ... - 22 -

指數函數

f x

( )=

a

^{x與對數函數}

g x

( ) log= _a

x

圖形的關係 ... - 25 -

再探指數函數的圖形 ... - 28 -

指對數函數圖形的對稱性統整 ... - 29 -

指對數圖形的凹向性觀察 ... - 31 -

指數方程式與指數不等式 ... - 32 -

對數方程式與對數不等式 ... - 32 -

科學記號與首數、尾數 ... - 32 -

粗估等級... - 36 -

查表?怎麼查? ... - 37 -

單利、複利問題 ... - 39 -

- 2 -

米(m)

米(m) 地

球 到 太 陽 的 距 離

世 界 最 高 的 樹

地 球 到 月 球 的 距 離 地

球 的 直 徑

什麼時候談等級？

 有多小？有多大？

 房屋： 好窄？ 豪宅？ 連連看。

 口袋裡的錢：小學生？高中生？爸媽？郭董？連連看。

 電腦儲存容量單位：你的硬碟是哪一個等級？

1 萬 10 萬 100 萬 1000 萬 1 億 10 億

1 10 100 1000 10000 100000

單位 Bytes

KB MB GB TB PB EB ZB YB

B

 常見的科學記號 a× k^b：就是以等級的方式來記錄數字，a×10³是以10 為晉級的倍數，等級在 10³的數字，×10 可以升級，× 會降級。a 的數字如果太大就會升級，太小就會降級，a 應該 要有什麼限制才能留在10³這一個等級呢？_____________________________

 阿銘應徵工作，老闆承諾『月起薪 100000，並且每年加薪 5%』。

(1) 隔年，老闆給阿銘月薪應為________________。

(2) 又隔一年(過了兩年)，老闆給阿銘月薪 100000+5000+5000，照這個邏輯的話每年增加的薪水 一樣多，你覺得對嗎?__________

(3) 此時阿銘幫自己爭取月薪應為 100000 +________+________

(4) 若依老闆原本預計的給薪方法，過了 4 年，阿銘的月薪會是多少?

請用數學計算式表示：100000 +___________。

(5) 阿銘替自己爭取到的月薪，每年增加的薪水不一樣多，你覺得阿銘每年的薪水應該是前一年 的幾倍才對?______________

(6) 若依阿銘替自己爭取到的月薪計算方法，過了 4 年，阿銘的月薪會是多少?

請用數學計算式表示：100000 X ___________。

(7) 請說說老闆原本的給薪方法和阿銘認為合理的給薪方法，不同之處在哪裡?

_______________________________________________

 本章節預計探討的內容

對於固定倍數連乘這一類的運算，以及如何知道這種數的大小

- 4 -

等級尺(以 5 為晉級倍數) 等級尺(以 3 為晉級倍數) 等級尺(以 2 為晉級倍數)

晉級倍數為 5 晉級倍數為 3 晉級倍數為 2

1 永遠是 0 級

1 永遠是 0 級 1 永遠是 0 級

範 例

等級 0 等級 1 等級 2

 次方就是等級

0

1

2 3 4 5 7 6 8 9 10 11 13 12 40 50

45

15 25

20 30 35

14

指數律是：

先複習⼀下國中學到的～

一次跳一級

原本的數

2 ² 2 ² 2 ² 2 ² 2 ² 2 ² 2 ²

乘以

2 3 ^{2 5 2}

⁻⁵

升降級

+ 3 − 4

怎麼算

2

^{2 3+}

2

^{2 10+}

2

^{2 7−}

後來的數

2 ⁵ 2

⁹

一次跳 m級(以

m

= 3 為例)

從

2

⁰開始，一次跳

2

³

升降級

(跳幾次)

+ 2 + 4 ^{− 5}

變成

(2 )

^{3 2}

(2 )

^{3 5}

(2 )

^{3 −3}

怎麼算

2 ^{3 2 ×}

後來的數

2 ^{6 2}

⁹

²

⁻²¹

升 1 級 降 1 級

以 2 為晉級倍數

升 1 級 降 1 級

以 為晉級倍數

升 一 級

往 上 跳 一 次

- 6 -

＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝

完備指數律

1. 指數律等級如何計算：

,

a b R

∈ ， ,

m n Z

∈ ，則(1)

a a

^m⋅ =ⁿ

a

^{m n+} (2)

m

m n n

a a a

=

− (3)( )

a

^{m n}=

a

^mn (4)( )

ab

ⁿ =

a b

^{n n}

2. 零指數的定義：a R

∈

，a

≠ 0

，

a

⁰ = 。(1 永遠是 0 級) 1 3. 負整數指數的定義： a R

∈

，a

≠ 0

，n N

∈

， _n 1

a

n

a

− = 。

4. 看等級時，不考慮底數為 1，因為沒變化時看等級無意義。

 但指數一定要是整數嗎？如果不是，那它代表的數是多大？如果我們已經知道有5⁻²、5⁻¹、 50、5¹、5²、5³…這些數，那你覺得5^1.8、5^2.8、5^1.2、5^−1.5、5^0.85、5^−0.1這些數大約應該要在哪 個位置比較合理呢?請在試著下方括號中填入。

5⁻2 5⁻¹ 5⁰ 5¹ 5² 5³

1 25

1

5 1 5 25 125

 如果我們希望國中學的指數律(當指數為整 數時)，在指數為分數(即有理數)時也成 立，那麼我們該如何定義

1

2 才適當？請說3

明。

 依照左列推論，那

2

2 應該代表什麼數？ 3

小結：

5. ⁿ

a 的意義： , a x R n N

∈ , ∈ ，若

x

ⁿ = ，則

a

^a

> ⁰

時，恰有一個正實數解記為ⁿ

a 。

6. 分數指數的定義：設

a R a

∈ , > ， m n Z0 、 ∈ ，n

> 0

，則(1)

a

ⁿ

1

=ⁿ

a (2)

^{n n m n m}

m

a a

a = ( ) =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

作業：講義 p.117~120

作業：講義 p.120~121

國中：正整數整數(正+負+0)

高中：有理數(分數)實數(有理數+無理數) 指數等級

 更進一步的，如果指數為無理數，你認為5 大約在哪個位置比較合理?請在試著下方適當的括³ 號中填入5 。( 3 1.732³ ≈ ) 我們相信有這個數！！

5⁻2 5⁻¹ 5⁰ 5¹ 5² 5³

1 25

1

5 1 5 25 125

 如何更精確的算出5 之值? ( 3 1.732³ ≈ )

至此，對於所有的實數而言，指數律已經完備，也就是說：

a、b ∈ R，a > 0，b > 0，α、β ∈ R，則

(1) a

^α

⋅ a

^β

= a

^{α + β}

(2)

_β^α

a

a = a

^{α – β}

(3) (a

^α

)

^β

= a

^αβ

(4) (a ⋅ b)

^α

= a

^α

⋅ b

^α

練習：

1. 試求下列各式之值：

(1) (5¹⁰ ⋅ 5¹¹ ÷ 5²⁰)³ =______。 (2) (4²)³ = 2ⁿ，n =______。

Ans

：(1)125 (2)12 2. 試求下列各式之值：(1)5^–2 =_______ (2)1024 =______ (3)(⁰

3

2

)^–1 =______ (4)(–6)^–3 =______。

Ans

：(1)

25

1

(2)1 (3)

2 3

(3)

216

− 1

3. 試求下列各式之值：(1) ³

1

27

=______ (2) ²

3

25

=______ (3) ³

2

8

⁻ =______ (4)⁶ 4096 =______。

4. ______________

3

¹⁰

+ 3

¹⁵最接近下列哪一個數？(單選)(A)

3

¹⁰ (B)

3

¹⁵ (C)

3

¹⁶ (D)

3

²⁵ (E)

3

^{log 153} ( ) ( ) ( ) ( )

數值

等級

作業：講義 p.122

- 8 -

 請完成下方表格，並利用表格提供的數據，畫出函數

f x

( ) 2= ^x及 1 ( ) ( )

2

g x

= x^的圖形。

x -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

2

^x 0.25 0.29 0.33 0.38 0.44 0.5 0.57 0.66 0.76 0.87 1 1.15 1.32 1.52 1.74 2 2.3 2.64 3.03 3.48 4 1

2

 x

  

(1) 1

(2 ) 2 2

x

  = x =

  

(2) 根據上方表格及兩個圖形，你發現了什麼特殊之處？（ ）

小結：

 與 的圖形對稱於ｙ軸。

作業：講義 p.129~130

對數函數 ^{f x}

^{( ) log= a}

^x 與圖形 (找等級的函數)

(建議搭配計算器)

 在數學式子上，『談等級的函數』，我們用 log。

 log_a

x 代表：『

x』這個數在_____這個晉級倍數下，所代表的『等級』。

例如：

如何說『log₅

x

=3.2』 x 這個數在以____為晉級倍數底下時，它的等級是_______。

如何形容『5 』這個數以____為晉級倍數時，等級是_______的數。 ^3.2 練習：

(1) 8 這個數在以 2 為晉級倍數底下時，它的等級是_______，所以log 8 ______₂ = ，

(2) ______這個數在以____為晉級倍數底下時，它的等級是_______，所以log 81 ______₃ = ， (3) ______這個數在以____為晉級倍數底下時，它的等級是_______，所以log 10000 ______₁₀ = (4) ______這個數在以____為晉級倍數底下時，它的等級是_______，所以log 0.001 _______0.1 = ， (5)

 2 =

log 42 =______ (6)

 =

₁

5

log 25

 =______

(7)

 =

log 9₃ =______ (8)

 =

₈ 1 log 2

 =______

(9)

 =

log 1₅ =______ (10)

 =

log 7₇ =______。

 把對數寫好：



 你覺得(底數)晉級倍數可以是 1 嗎？＿＿＿＿ 如果晉級倍數是 1，那等級有意義嗎？＿＿＿＿

為什麼？

要晉級，就是要變大或變小，乘比 1 大的數變大 乘比 1 小的數變小 但乘以 1不會變，所以談以 1 為晉級倍數很無聊…

試寫出底數a的範圍：_______________________

 「真數」指的是「想看它等級的數」，對我們來說，看正的就夠了。因此，

試寫出真數x的範圍：_______________________

 試判斷下列對數，哪些沒有意義？____________

(A) log 1 (B) ₃ log 3 (C) ₁ log 3 (D) ₂ log ( 3)₂ − (E) log 3₋2 (F) log₂ 5 (G) log ₅2 (H) log 0₂ 真數

底數(底數為 10 時常省略不寫)

數學 murmur：

看等級不需要考慮負數，由 於|負|=正，所以如果我們要 看等級大小，看正的就好。

作業：講義 p.146~147

小結：

 底數 的範圍：

 真數 的範圍：

- 10 -

說出精確的等級 說出大約的等級 □.~~~

log 32 2 log 1 ₁₀ log 10 ₂ log 8

10

2

log 1

32 log 10 ¹⁰ log 88

2

log 878 ₁₀

log 128 2 log 100

₁₀

log 878

₂

^{log 9487}

₁₀

2

log 1

128

¹⁰

log 1

10 log 50

⁵

_{log 10}

₁₀ ^6.5

log 1024

2

log 10

₁₀ ⁻⁵

^{log 500} ₅ ^log131

2

log 1

1024 log 0.01 10 log 50

₃

^{log 0.131}

log 2 2 log ₁₀ 10 log 100

₃

^{log 0.0033}

3

log 2 2 log 7

₇

log 0.1

_0.3

^{log 5.1 10} ×

⁻⁵

2 2 3

log 2 ^log

₁₂₅¹

^{5 log 0.01}

^0.3

^{log5.1 10 ×}

⁻⁹⁹

2

log 1

2 log 3 ²⁷ log 3 ₂ log 2 ₃

log 0.008

0.2

log 9 ₂₇

log

2

3 log

₃

2 log 5 5

log 5 5 ^{log 50} log 10 1

1 3

log 1

9

¹₉

log 1

3 log

^0.2

− 0.007

log ₋ 5 5



請沿所有實線割開 練習

> >

> > 換成等級

- 12 -

請寫上前頁相對應的數值 請寫上前頁相對應的數值

請

塗 上 膠 水

請

塗 上 膠 水

請

塗 上 膠 水

練習：

 比較log 11與 3.5 兩個數，哪一個比較大？ ₂

2 ______ ______

3.5 ______ _____

log 1

_

 1

 



介於 與 兩整數之間

介於 與 兩整數之間 不夠細

換個想法…換成同樣的晉級倍數來思考：

log 11_____這個數在以____為晉級倍數底下時的等級 2

3.5

在以 2 為晉級倍數底下時的等級為 3.5 的是哪一個數呢?

3.5 log= ₂？



？=2

^3.5

= 2 = 2 =

11 2

3.5

∴ = < =

2 2

log 11 log 3.5

∴ < =

 仿上題，比較log 15 與 2.5 兩個數，哪一個比較大？ ₃

 pH 值是衡量酸鹼性的直接尺度，其範圍介通常於^pH

= ⁰

到pH

= 14

之間，化學上以 pH 值來表 示水溶液的酸鹼性，以氫離子莫耳濃度

 

H⁺

 

來標定，公式為pH

值 = − log  

H⁺

 

。已知一水溶 液其氫離子濃度為

_{9 10 ×}

⁻¹⁰，且

log 3 0.4771 ≈

，試求其 pH 值______________。

- 14 -

降一級 升一級

等級分成兩種

種類⼀：越大等級越高 (由於空間不足，所以此 scale未按照比例畫)

■晉級倍數 10 (晉級：等級加 1，降級：等級減 1)

畫等級尺

寫上等級

數的大小

---

■

晉級倍數 2

畫等級尺

寫上等級

數的大小

 為什麼這兩個都是『越大等級越高』呢?

 生活中有哪些符合『越大等級越高』

的事呢?

 以上兩種晉級倍數，哪一種比較 容易晉級?

 請試著在右方的坐標中畫出上面兩個函數 的圖形。

 在右方你畫出的圖形旁寫上該函數：

 觀察左圖，你覺得哪一個比較容易晉級？＿＿＿

 a 與 b 兩個晉級倍數哪一個比較大？＿＿＿＿ ， 你如何得知？________________________

 等級為______時的那個數，即為晉級倍數。

 左圖中的晉級倍數 a、b 是比 1 大還是比 1 小的 數？___________，

你如何得知？_________________

0 1 10 100 1000

0 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1000

種類二：越小等級越高 (由於空間不足，所以此 scale未按照比例畫)

■晉級倍數 1

10 (晉級：等級加 1，降級：等級減 1)

畫等級尺

寫上等級

數的大小

---

■晉級倍數 1 2

畫等級尺

寫上等級

數的大小

 為什麼這兩個都是『越小等級越高』呢?

 生活中有哪些符合『越小等級越高』的事呢?

 以上兩種晉級倍數，哪一種比較容易晉級?

 請試著在右方的坐標中畫出上面兩個函數的圖 形。

 請在你畫出的圖形旁寫上該函數。

 觀察左圖，你覺得哪一個比較容易晉級？＿＿＿

 c 與 d 兩個晉級倍數哪一個比較大？c____d 你 如何得知？______________________

 等級為______時的那個數，即為晉級倍數。

 左圖中的晉級倍數 c、d 是比 1 大還是比 1 小的 數？_______

你如何得知？______________________

0 1

0 1

升級 降級

- 16 -

從圖形找到晉級倍數

 請試著畫出數字分別以晉級倍數 3、2、1 3、1

2 所對應的等級指標(次方)的圖形。並在圖形旁 邊寫出其所對應的函數。

 函數 ( ) log

f x

= _a

x

的晉級倍數為_______。

寫成指數形態 ＿＿＿＿＿＿

函數值(等級)為 1 時，x=？

也就是說，當能讓等級為＿＿＿的x，即為它的晉級倍數。

 請找出下面 4 個等級函數圖形的”晉級倍數”，並在圖形旁寫下其函數。

你是如何判別的?

_____________________________

當晉級倍數(底數)小於 1 時，你是 如何判別的?

_____________________________

練習：

1.

512 = 2

，

500 2 =

，

49 7 =

，

50 7 =

2. 請寫出 500 在以下各晉級倍數中的『等級』

(1) 以 2 為晉級倍數時，

500 2 =

，□介於______與______兩整數之間。

(2) 以 5 為晉級倍數時，

500 5 =

，□介於______與_____ _兩整數之間。

(3) 以 10 為晉級倍數時，

500 10 =

，□介於______與______兩整數之間。

(4) 以1

2 為晉級倍數時， 1

500 ( )

= 2 ，□介於______與______兩整數之間。

3. x在以a為晉級倍數時的等級為＿＿＿＿＿＿＿

x在以b為晉級倍數時的等級為＿＿＿＿＿＿＿

x在以c 為晉級倍數時的等級為＿＿＿＿＿＿＿

所以，

x a = = b = c

4. 觀察前幾頁的學習單，

當晉級倍數比 1 大時，晉級倍數越______越不容易晉級。(填大或小) 當晉級倍數比 1 小時，晉級倍數越______越不容易晉級。(填大或小) 數越大等級越高，

表示晉級倍數_____1 (填

>，=，<)，

圖形會像

數越小等級越高，

表示晉級倍數_____1 (填

>，=，<)，

圖形會像

作業：講義 p.158~160

- 18 -

對數的運算其實就是指數律： (永遠要記得，對數 log 之值代表等級)

想想看…並回答下列問題：

 log 1 ________a = ；log_a

a

=_______



a

^logab

= _____

 想法：log3 log5 log+ = ？

也就是說，在晉級倍數為 10 時，3 的等級＋5 的等級＝哪一個數的等級？

兩個等級相加，其實就是兩個「次方」相加…

因此，讓我們回到指數來思考……

log3 log5

log3 log5

log15

10

10 10 3 5 15 10

+

= ×

= ×

=

=



仿左，試論：log_a

r

+log_a

s

=log_a

rs

兩個數相乘等級相加

從函數圖形看對數運算規則：

 請在括弧中填入適當數值，

並試著從右圖觀察上列等式。

 右圖中a b c

, ,

之間的關係為何?

____________________

可以這樣用…

問題：右圖為兩函數 f x

( ) log =

₃x與g x

( ) log =

₆x的圖 形，試回答下列問題：

(1) 若 M、N 兩點坐標為

M

( 27,0)、N

(27, 0)

, 且 MA NC OE

+ =

，則 O 點標為( , 0 )。 (請將答案化到最簡)

(2) 承上，是否MB ND OF

+ =

?__________

( ) ( ) ( )

a b

c

 想法：log 24 log 8₃ − ₃ =？

也就是說，在晉級倍數為 3 時，24 的等級－8 的等級＝哪一個數的等級？

兩個等級相減，其實就是兩個「次方」相減…

因此，讓我們回到指數來思考……

3 3

log 24 log 8

3

⁻

=



仿左，試論： log_a log_a log_a

r

r s

− =

s

兩個數相除等級相減 請同樣利用上頁的圖形解釋這樣的性質。

公式怎麼用？ log354 + log36 – log34 =__________

 想法：

3log 85 =？

在晉級倍數為 5 時，當 8 的等級變為原來的 3 倍時，其實是對 8 做『 』

5

1log 8

2 =？

在晉級倍數為 5 時，當 8 的等級變為原來的一半時，其實是對 8 做『 』 回到指數思考……

5

5

3log 8 3

3

log

5 (5 )

5

=

=

=

5

5

1 1

log 8

2 2

1 2 log

5 (5 )

5

=

=

=

仿左，試論：

log

_ar^t

=

t

log

_ar

公式怎麼用？ (1) log7343=________ (2)

216

log

₆

1

=_________

- 20 -



log ¹

a

log

b

b

=

a (why?)

回到指數思考……

1

3 3

8 2 =  8 = 2

仿左，試論：

log ¹

a

log

b

b

=

a

₌  =

 試利用

log

_ar^t

=

t

log

_ar、

^{log 1}

a

log

b

b

=

a這兩個公式，說明

log

s

log

t a a

r t r

= s

公式怎麼用？ log0.1100 = _______

【大考試題賞析】

 若正實數x y

,

滿足log₁₀

x

=2.8，log₁₀

y

=5.6，則

log (

₁₀ x²

+

y

)

最接近下列哪一個選項的值？

(1)

2.8

(2)

5.6

(3)

5.9

(4)

8.4

(5)

11.2

。 【101 學科能力測驗】

 請問下列哪一個選項等於

^log ( ) ² ( )

^{35 ？}

(1) 5log(2³) (2) 3

_×

5log2 (3) 5log2

_×

log3 (4) 5(log2+log3) (5) 3⁵log2。

【103 學科能力測驗】

作業：講義 p.148~149

主題：換底公式

 請在下方坐標中畫出log₂

x 、

log₄

x 與

log₈

x 的圖。

 哪一個的晉級能力最好？_________

 log 4 1₄ = ，那麼log 4 _____2 = ；log 8 1₈ = ，那麼log 8 _____2 =



2

²

= 4

¹，所以底為 4 的晉級能力是底為 2 的________倍。

 2³ =8¹，所以底為 8 的晉級能力是底為 2 的________倍。

 想想看，怎麼換的？

乘_______倍

乘_______倍

- 22 -

任意底的置換：

 針對 540 這個數的等級，如果想把晉級倍數由 7 改為 2……

2 =540 7 = = (2 ) = 2

^×

 仿上討論，針對 1000 這個數的等級，如果想把晉級倍數由 7 改為 2……

 仿上討論，針對

x 這個數的等級，如果想把晉級倍數由 7 改為 2……

所以，將晉級倍數由 7 改為 2 的倍率為______________

 仿上討論，針對 c 這個數的等級，如果想把晉級倍數由 b 改為 a……所以

小結：將晉級倍數由 b 改為 a 的倍率為______________

可以這樣用…

有一手機計算軟體上面有兩個按鈕，每按一次５，會將原有的數值乘 5 倍，每按一次７，會將原有 的數值乘 7 倍。某甲對一數

x 連續按了 21 次７得到一數 a ，某乙欲對 x 連續按５，希望得到最接近

a 的值，那麼乙大約要按幾次按鈕５？(已知

log 21 1.89₅ ≈ ，log 5 0.53₂₁ ≈ ，log 7 1.2₅ ≈ ，

log 5 0.837 ≈ ，log 7 0.64₂₁ ≈ ，log 21 1.56₇ ≈ )。答案請取最接近的整數。__________

從函數圖形看換底公式

★在兩個不同的晉級倍數 a、b 中，不論 c 是什麼數，都有著相同的等級換算倍率。

公式怎麼用？已知

log 2 a =

，

log 3 b =

，求log 3₂ = ＿＿＿＿＿＿

延伸：由以上結論可推知：(log )(log )(log_a

b

_b

c

_c

d

)(log ) log_d

e

= _a

e

公式怎麼用？化簡 log23×log35×log57×log732＝ 。

小結： (連鎖律) (換底公式)

( ) ( )

乘_______倍

作業：講義 p.150~151

- 24 -

配合下頁學習單，請留空。

重點統整：

 ；

 兩個數相乘等級相加

 兩個數相除等級相減

 、





 (連鎖律) (換底公式)

指數函數 ^{f x}

^{( )=}

^a

^x

與對數函數 ^{g x}

^{( ) log= a}

^x 圖形的關係

 操作步驟：

1. 請先在上方坐標中分別以不同的顏色畫出：

以 2 為底的對數函數

f x

( ) log= ₂

x

的圖形，並在圖形旁寫上函數。

以1

2 為底的對數函數 ₁

2

( ) log

f x

=

x

的圖形，並在圖形旁寫上函數。

畫好後請「用力」將曲線及兩坐標軸顏色加深加粗。

2. 翻到背頁，沿著方才畫出的兩條曲線及兩坐標軸軌跡，在背頁描繪出來，並在背頁坐標軸相對應 位置亦寫上原坐標軸之『等級』及『數值』字樣。

3. 請沿著 直線切開。並沿著 線往內翻摺(谷線)，沒畫 線的地方不要摺到。

觀察：這個步驟，我們是否把 x 軸(input)與 y 軸(output)對調了？＿＿＿＿

4. 連接 AB^←⎯→並寫出其直線方程式______________。以AB為谷線將其往上摺。

5. 觀察：你覺得翻摺後的兩個曲線，是哪兩個函數的圖形呢？＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿

6. 請在本頁坐標上描出對調後的圖形，並在圖形旁寫上函數。

7. 觀察：後來的圖形與原圖形對稱於直線__________(對稱軸)。



A



B

- 26 -

數

等級 把數變成等級

把等級還原成數 logrithm

exponential

數

等級 把數變成等級

把等級還原成數 logrithm

exponential

小結：

 像 與 這樣「因果互調」的函數，我們稱它們互為『反函數』。

 與 的圖形對稱於 軸。

 若 與 互為反函數，我們稱之為 ，則它們的圖形一定對稱於 軸。

 每個函數都會有反函數嗎？_____________

 從函數的定義來思考(不能一對多，可以多對一)，什麼樣的函數才會有反函數？

8. 函數做的事

9. 對數函數與指數函數的作用有何不同？ (填入「數」或「等級」) 對數函數

f x

( ) log= _a

x

把______變______；

指數函數

g x

( )= 把______變______

a

^x

10. 圖解指對數函數之關係：

表示法一：

表示法二：

輸出 output

輸入 input

有關反函數的延伸：

11. 若x R

∈

，g x

( ) 3 =

x

− 2

，猜猜

g x 的反函數

( )

g

⁻¹( )

x

= _______。

12. 大約畫出

f x

( )= 與

x

²

f x

( )= 的圖。

x

³ 然後回答下兩題

13. 當

x

≥0 時,

f x

( )=

x

²，猜猜

f x 的反函數

( )

f

⁻¹( )

x

= _______(^x

≥ ⁰

)。

14. 當

x

≥0 時,

f x

( )=

x

³，猜猜

f x 的反函數

( )

f

⁻¹( )

x

= _________。

你覺得這句話拿掉可以嗎？＿＿為什麼？＿＿＿＿＿＿＿＿＿________＿＿＿

你覺得這句話拿掉可以嗎？＿＿為什麼？＿＿＿＿＿＿______________＿＿＿

- 28 -

再探指數函數的圖形

從圖形檢查晉級倍數

1. 函數 ( ) 5

f x

= ，當^{x x}=_______時，函數值 即為此函數的晉級倍數(底數)。

2. 右圖為3^x、5^x兩函數的圖。等級為 1 時，

這兩個函數的值分別即_____、_____。

我們可利用此性質來檢查圖形的『晉級倍 數(底數)』。

3. 右圖的指數函數圖形，晉級倍數 (底數)______1 (填>、=、<)

4. 試試看利用上述方法，比較右圖兩個函數 的晉級倍數(即「底」) a、b 的大小。

____________________

5. 右圖的指數函數圖形，晉級倍數 (底數)______1 (填>、=、<)

6. 試試看利用上述方法，比較右圖兩個函數 的晉級倍數(底數) a、b 的大小。

____________________

7. 請在圖形旁寫出右方五個指數函數。

當晉級倍數(底數)小於 1 時，你是如何判別 的?

______________________

( )

( ) ( ) ( )

( )

指對數函數圖形的對稱性統整

問：

f x 與 ( )

( )

g x

= − 的圖形有何關聯?

f

( )

x



g x 的高度(值)要去 ( )

( )

f

− 拿。

x

 所以左邊的高度(值)會被拿到右邊，右邊的高度(值)會拿到左邊。

 圖形左右對稱

請依序畫出

f x

( ) 2=

x

− 與 ( )1

f

− 的圖形。

x

請依序畫出

f x

( )= − +(

x

1)²+ 與 ( )2

f

− 的圖形。

x

請依序畫出

f x

( )= 與 ( )

x

²

f

− 的圖形。

x

請依序畫出

f x

( )= 與 ( )

x

³

f

− 的圖形。

x

請依序畫出

f x

( ) 2= 與^x 1 ( ) 2

x

g x

 

=  

  的圖形。

請依序畫出

f x

( ) log= ₅

x

與 ₁

5

( ) log

g x

=

x的圖 形。

- 30 -

右圖的曲線是函數

f x 的圖形? 則

₁( )

f x

₁( ) _______= ，請在 圖形旁寫上。

(1)

f x

₂( )= −

f x

( ) _________=

1

3

( ) ( ) ________

f x

=

f⁻ x

=

4( ) 3( ) _________

f x

=

f

− =

x

(2) 利用

f x 的圖，畫出

₁( )

f x 、

₂( )

f x 、

₃( )

f x 的圖。

₄( )

【大考試題賞析】

 令

a =

2.6¹⁰- 2.6⁹，

b =

2.6¹¹- 2.6¹⁰，

11 9

2.6 2.6

c

2-

= 。請選出正確的大小關係。

(1)

a b c (2)

> >

a c b (3)

> >

b a c (4)

> >

b c a (5)

> >

c b a 。 【102 學科能力測驗】

> >

作業：講義 p.129~133

( ) ( ) ( )

( )

a ( ) b 中點 A

B

C

指對數圖形的凹向性觀察

我們討論圖形的凹向性。

(1) 函數圖形上任兩點連線段都在函數圖形上方時，稱此函數圖形為凹向上。

通常最方便檢測的點是中點，檢測方法如下：

即對任意實數 a＜b，滿足 ( ) ( )

2

f a

+

f b

＞f

2

a b

+

 

 

 

，我們就稱其為凹向上。

思考：你覺得C是A與B的中點嗎? 為什麼?

(2) 函數圖形上任兩點連線段都在函數圖形下方時，稱此函數圖形為凹向下，如圖 (b)。

即對任意實數 a＜b，滿足

( ) ( ) 2

f a

+

f b

＜f

2

a b

+

 

 

 

，我們就稱其為凹向下。

【大考試題賞析】

 坐標平面上，在函數圖形 y = 2^x上，標示

A、B、C、D 四個點，其 x 坐標分別為

−1、0、1、2。

請選出正確的選項。

(1)點 B 落在直線 AC 下方

(2)在直線 AB、直線 BC、直線 CD 中，以直線 CD 的斜率最大 (3) A、B、C、D 四個點，以點 B 最靠近 x 軸

(4)直線 y = 2x 與 y = 2^x的圖形有兩個交點

(5)點 A 與點 C 對稱於 y 軸。 【104 學科能力測驗】

作業：講義p.161

( ) ( ) ( )

( )

( ) b 中點 a

- 32 -

指數方程式與指數不等式

對數方程式與對數不等式

科學記號與首數、尾數

讓我們重新解構 x

=5^3.2

，即

log₅

x

=3.2

。究竟 x 是多大？我們在下方數線找找看。

 你覺得

x

大概在哪個位置？

晉級倍數 5 以等級表之

原始數值 

 

x

=5^3.2 = ×5³ 5^0.2

，

猜猜看5^0.2大概等於多少 ?

 5 比 1 大嗎? __________ ^0.2

思考……

5

^0.2

× 5

^0.2

× 5

^0.2

× 5

^0.2

× 5

^0.2

= 5

 拿出計算器算算看、猜猜看5 大約是多少?＿＿＿＿＿＿＿ ^0.2

 因此， ^{3.2 0.2 3}

3

5 5 5 ____ 5

= ×

≅ ×

你覺得這樣有像『晉級倍數為５的科學記號表示法』嗎？

 我們慣用的科學記號的晉級倍數為 10，其實是初階版的科學記號。

 拿出你的計算器算出等級：

1000 2 = = 3 = 5 = 10

例：利用換底公式 ₂ log

log 1000 _________

=log ≈

0 1 5 25 125 625

大概在這 裡，對吧？

題型請移至：

講義p.162~166 題型請移至：

講義p.134~140

想想看…

921 大地震，是 1999 年 9 月 21 日上午 1 時 47 分 15.9 秒。震央在約於南投縣集集鎮境內，震源 深度 8.0 公里，美國地質調查局測得地震矩規模 7.6~7.7；2011 年 3 月 11 日 14 時 46 分 18 秒許，

宮城縣牡鹿半島東南偏東約 130 公里的西北太平洋海域發生地震矩規模 9.0 的地震，震源深度約 24.4 公里。常見的一種

芮氏地震規模 M 與能量 E 關係的等式為：

log₁₀

E

=4.8 1.5+

M

(1)地震強度 7 和 9 能量的差距，相差多少？

(2)地震強度 7.1 和 7.2 能量的差距，和地震強度 7.6 和 7.7 能量的差距，相同嗎？

- 34 -

回來看看我們熟知的『科學記號』吧!

▲

a = 53280000 5.328 10 = ×

⁷

晉級倍數 10 以等級表之

原始數值 

7

0.7266 7

7.7266

53280000 5.328 10

10 10

10

= ×

≅ ×

=

▲

b = 0.00005328 5.328 10 = ×

⁻⁵

晉級倍數 10 以等級表之

原始數值 

5

0.7266 5

5 0.7266 4.2734

0.00005328 5.328 10

10 10

10 10

−

−

− +

−

= ×

≅ ×

=

=

那我們又要如何得知

5.328 10 ≅

^0.7266 ，只能靠計算器啦！！或者……有現成的表可以查。

a

大概在這裡？

0 1 10000000 100000000

尾數 首數

0 0.00001 0.0001 1

0.1

大概在這裡

尾數 首數

應該要是整數 應該是不滿一級的數

範圍：＿＿＿＿＿＿ 範圍：＿＿＿＿＿＿

作業：講義 p.176~178

 請仿照上頁，在此頁討論：

7241000

與

0.00000007241

- 36 -

粗估等級

 請先查表完成右方等級尺。

 請在以下空格填入適當的數：

5 5

2 10 × = 10 × 10 = 10

5 5

3 10 × = 10 × 10 = 10

5 5

4 10 × = 10 × 10 = 10

5 5

5 10 × = 10 × 10 = 10

5 5

6 10 × = 10 × 10 = 10

5 5

7 10 × = 10 × 10 = 10

5 5

8 10 × = 10 × 10 = 10

5 5

9 10 × = 10 × 10 = 10

練習：

 (1) 設 log

x

=3.518，則x 的整數部分有______位，其最高位數字為_______。

(2) 設 log

y

= −8.562，則y 從小數點後第_______位開始出現不為零的數字，此數字為______。

 (1) log2 = 0.3010，log3 = 0.4771，log7 = 0.8451，則 5³⁰為______位數，最高位數字為______。

(2) (

3

2

)²⁵小數點以下第______位才開始出現不為 0 的數字，第一個不為 0 的數字是______。

 在密閉的實驗室中，開始時有某種細菌 1 千隻，並且以每小時增加8%的速率繁殖。如果依此速 率持續繁殖，則100 小時後細菌的數量最接近下列哪一個選項？

(1) 9 千隻 (2) 108 千隻 (3) 2200 千隻 (4) 3200 千隻 (5) 32000 千隻。【99 學科能力測驗】

數值

等級

 完成等級尺

0.301 0.4771

0.8451

2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10

=

=

=

=

=

=

=

=

查表?怎麼查?

回顧我們的需求…

7

0.7266 7

7.7266

53280000 5.328 10 10 10 10

= ×

≅ ×

=

查表，我們需要查的會是：□首數 □尾數，因此，表中的函數值總是落在哪一個範圍？＿＿＿＿＿

常用對數表 y

=log₁₀

x

 =

x

10^y

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ：

： ： ： ： ： ： ： ： ： ： ：

50 51 52 53 54

6990 7076 7160 7243 7324

6998 7084 7168 7251 7332

7007 7093 7177 7259 7340

7016 7101 7185 7267 7348

7024 7110 7193 7275 7356

7033 7118 7202 7284 7364

7042 7126 7210 7292 7372

7050 7135 7218 7300 7380

7059 7143 7226 7308 7388

7067 7152 7235 7316 7396

內插法的原理成正比

所以，如果我們把它當直線來看「成正比」的概念！

利用正比的性質，我們可以估計我們想要知道的位置之值。

Zoom in(放大) 1000 倍，你 還會覺得它是「彎」的嗎?

？

作業：講義 p.173~174

作業：講義 p.175

y小數 點後 4 真數

5.0

x

=

真數

x

=0.01

- 38 -

單利、複利問題

還記得本章節一開始提過的問題嗎? 讓我們再看一次。

 阿銘應徵工作，老闆承諾『月起薪 100000，並且每年加薪 5%』。

(1) 隔年，老闆給阿銘月薪應為________________。

(2) 又隔一年(過了兩年)，老闆給阿銘月薪 100000+5000+5000，照這個邏輯的話每年增加的薪水 一樣多，你覺得對嗎?__________

(3) 此時阿銘幫自己爭取月薪應為 100000 +________+________

(4) 若依老闆原本預計的給薪方法，過了 4 年，阿銘的月薪會是多少?

請用數學計算式表示：100000 +___________。

(5) 阿銘替自己爭取到的月薪，每年增加的薪水不一樣多，你覺得阿銘每年的薪水應該是前一年 的幾倍才對?______________

(6) 若依阿銘替自己爭取到的月薪計算方法，過了 4 年，阿銘的月薪會是多少?

請用數學計算式表示：100000 X ___________。

在阿銘的例子中，老闆給薪的方法，其實就是單利的計算方式。

而阿銘認為合理的給薪方法，就是複利的計算方式。

小結：

1. 單利問題：

設本金為P，期利率為r％，期數為n，若單利計算，則本利和S＝P×（1＋n×r％）。

2. 複利問題：

設本金為P，期利率為r％，期數為

n

，若複利計算，則本利和S＝P×（1＋r％）ⁿ。 註：一般銀行的存款或貸款均用複利計算。

【大考試題賞析】

1. 小華準備向銀行貸款 3 百萬元當做創業基金，其年利率為 3％，約定三年期滿一次還清貸款的本 利和。銀行貸款一般以複利（每年複利一次）計息還款，但給小華創業優惠改以單利計息還款。

試問在此優惠下，小華在三年期滿還款時可以比一般複利計息少繳＿＿＿＿元。 【104.學測】

- 40 -

2. 下表為常用對數表log N 的一部分： ₁₀

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755

           20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201

           30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900

請問10^3.032最接近下列哪一個選項？

(1) 101 (2) 201 (3) 1007 (4) 1076 (5) 2012。 【101 學科能力測驗】

3. 某公司為了響應節能減碳政策，決定在五年後將公司該年二氧化碳排放量降為目前排放量的 75

％。公司希望每年依固定的比率（當年和前一年排放量的比）逐年減少二氧化碳的排放量。若要 達到這項目標，則該公司每年至少要比前一年減少 ％的二氧化碳的排放量。（計算到小數

點後第一位，以下四捨五入） 【98.學測】

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 93 9685 9689 9694 9699 9703 9708 9713 9717 9722 9727 94 9731 9736 9741 9745 9750 9754 9759 9763 9768 9773 95 9777 9782 9786 9791 9795 9800 9805 9809 9814 9818 96 9823 9827 9832 9836 9841 9845 9850 9854 9859 9863

4. 設 a , b , x 皆為正整數且滿足a x b≤ ≤ 及b a− =3。若用內插法從log a , log b 求得 log x 的近似值 為

logx

≈

^{1log 2log}

3 a+3 b

=

¹

(

1 2log 3 log 2

) (

² 4log 2 log3

)

3 + − +3 + ，

則x的值為 。 【106 學科能力測驗】

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