虛擬模態振形法應用於多接點子結構之建模

虛擬模態振形法應用於多接點子結構之建模

楊大中¹ 蔡盈安¹ 蒯光陸²

1元智大學機械系

2臺電公司綜合研究所

摘 要

虛擬模態振形法 (Pseudo Mode Shape Method, PMSM) 僅需在子結構與母 結構接點處施力，量測其頻率響應函數 (FRF)。透過 FRF 可得到子結構的模 態參數及接點處的虛擬模態矩陣，以此反推出子結構之等效質量、阻尼和勁度 矩陣。由於僅需量測接點處的FRF，因此實驗過程可簡化許多。可有效解決大 型複雜結構，無法進行完整模態測試的缺點。本文延伸作者過去發表的虛擬模 態振形法，推導子結構之剛體模態和多接點子結構之應用。本文以一樑結構實 驗驗證，實驗頻寬為4000 Hz。PMSM 對子結構建模，與實驗結果比較，自然 頻率幾乎沒有誤差。將PMSM 所建立子結構矩陣與有限元素法 (Finite Element Method, FEM) 所建立之母結構矩陣在接點處結合，與實驗 FRF 比較。比較結 果良好，自然頻率最大誤差為第11 個模態，誤差為 6.724%。

關鍵詞：子結構，剛體模態，多接點，頻率響應函數。

MODELING OF SUBSTRUCTURES WITH MULTIPLE JOINTS BY PSEUDO MODE SHAPE METHOD

Tachung Yang¹ Ying-An Tsai¹ Kwang-Lu Koai²

1Department of Mechanical Engineering Yuan-Ze University

Taoyuan, Taiwan 320, R.O.C.

2Taiwan Power Research Institute Taipei, Taiwan 100, R.O.C.

Key Words: substructure, rigid body mode, multiple joint, frequency response functions.

ABSTRACT

The Pseudo Mode Shape Method (PMSM) requires only the measurements of the Frequency Response Functions (FRFs) at the joints between the substructures and the mother structure. The modal parame- ters and a pseudo modal matrix of the substructure can then be derived from the FRFs, and the equivalent mass, damping and stiffness matrices of the substructure may be subsequently obtained. The experimental proce- dures are considerably simplified because only the FRFs at the joints are required, which solves the problems of incomplete modal shapes in measurement for large complicated structures. This paper extends the authors’ previous work on the PMSM to include rigid body modes and to substructures involving multiple joints with the mother structure. Experi-

ments with a beam structure were conducted to evaluate the accuracy of the proposed method. The frequency range was set to 4000 Hz. A compari- son of the natural frequen- cies of the modeled substructure obtained by the PMSM versus experimental results shows good agreement. After joining the PMSM matrices of the substructure with the Finite Element Method (FEM) matrices of the mother structure, the FRFs of the integrated system compare well with experimental results. The largest error of natural frequency is 6.724% for the 11th mode.

一、前 言

大型結構，例如汽渦輪發電機組之基座，結構相當複 雜，不易建模。常見的作法為模態測試或有限元素分析。

現場進行模態測試時，不易取得完整的模態；有限元素法 分析，常因結構大型且複雜，不易建模，並因元素過多造 成計算費時。

有 限 元 素 法 若結 構 形 狀 過 於複 雜 ， 可 做 模型 凝 縮 (model reduction)，以減少計算時間。過往文獻中，Guyan reduction [1]為常見之模態凝縮方法。Paz [2]改進 Guyan reduction，凝縮過程中有考慮慣性矩陣的效應。Kammer [3]

提出modal reduction method (MRM)，雖然減少模態，但依 然可以完整的保有全部模態節點自由度的訊息，並不會有 任何模態節點的訊息損失。Maia 和 Silva[4]詳細整理出常 用的 modal condensation 方法，其中 (component mode synthesis, CMS) [5]藉由不同模態組合，表現系統的動態特 性，被廣泛的運用在分析複雜動態結構。O’Callahan [6]改 進Guyan reduction，並加入慣性矩陣的效應，推導出轉移 矩 陣 ， 此 方 法 稱 為 IRS (improved reduced system) 。 O’Callahan 等人[7]提出 SEREP 方法 (system equivalent reduction expansion process)，其轉移矩陣與 MRM [3]不 同，SEREP 為將保留節點自由度投影在模態空間，具有降 低及分散誤差的效果。

模態測試也是有諸多種種限制，例如結構大型複雜或是 實驗時間的限制等等。較為有效的方法為將整體結構分為數 個子結構，分別量測各子結構的頻率響應函數 (FRF)，再將 其結合起來。子結構接合 (coupling) 的方式可以分成兩 類，impedance coupling techniques 和 modal coupling tech- niques [4]。其中 impedance coupling 還可分為兩類，其一是 spatial coupling method，主要是用於有限元素法的子結構接 合；另一種是FRF coupling method，則特別適用於以實驗量 測各個子結構的 FRF 後，再接合成整體結構[4]。Imregun 等人[8]利用實驗量測的 FRF，將其轉換成動態勁度矩陣 (dynamic stiffness matrix)，以 Spatial coupling 的方式組合起 來。Jetmundsen 等人[9]經過重新推導，將動態勁度矩陣結 合的過程中，僅需一次矩陣逆轉 (inverse) 即可。

Ren 和 Beards [10]結合上述 2 種 FRF coupling 的優點，

提出GRC (generalized receptance coupling method)。GRC 僅 一次程序，就可以將母結構搭接兩個以上的子結構，提升

連接的效率以及精準度。Liu和 Ewins [11]改進 Jetmundsen 等 人[9] 的 方 法 提 出 GJDM (general joint description method)。其特點在於在母結構與子結構結合時，無須考慮 接點的參數，可以直接結合並把接點的特性也包含進去。

Stephenson和 Rouch [12]其基座建模方式為透過實驗 量取基座的FRF，直接以最小平方法求得基座的質量、勁 度和阻尼矩陣，再與軸承和轉子搭接，成為整體系統。但 Stephenson 和 Rouch [12]僅能得到 2 × 2 的接點質量、勁度 和阻尼矩陣，能涵蓋的頻寬僅有2 個模態。

虛擬模態振形法 (pseudo mode shape method, PMSM) 可有效解決無法進行完整模態測試和有限元素法建模困難 之缺點，僅需在母結構與子結構接點處施力，量測其頻率 響應函數 (FRF)。透過 FRF 可得到模態參數及接點處的虛 擬模態矩陣，以此反推出子結構凝縮等效之質量、阻尼和 勁度矩陣。不論FRF 在頻寬內有多少個模態，虛擬模態振 形法皆能全部掌握住，並不侷限於2 個模態而已；虛擬模 態振形法也可以處理剛體模態，其邊界條件的設定可以有 很大的彈性。此方法之實用價值已在先前作者發表的文獻 上[13-15]。

然而本方法過往之研究僅能處理單接點之子結構及 變形模態[13-15]，不能處理剛體模態和多接點之狀況，在 邊界條件上有極大的限制。例如電廠轉子串列結構 (rotor train)。基座與轉子之間由 10 個軸承支撐。視基座為子結 構，則子結構與母結構 (轉子串列) 之間有 10 個接點。本 文之研究目標在推廣虛擬模態振形法，應用於多接點子結 構之狀況，其應用範圍將更為廣泛。本文目的除了變形模 態之處理方法外，為求理論之完整性，也包括剛體模態之 處理方法。當然，一般大型基座結構因連結到地面，只需 使用到變形模態之處理方法即足夠，不需使用剛體模態之 處理方法。

本文第2 節為探討虛擬模態振形法之理論。第 3 節範 例子結構共有2 個接點，邊界條件為 free-free，其模態包 含剛體模態，可代表多接點子結構之狀況。第4 節以一桿 件，進行模態測試，驗證本法可應用於真實結構上。

二、虛擬模態振型法

結構體 (例如基座) 其建模方式可用模態座標來表現 [4]，如下

2 2 / , 1

r r r r r r r m rr n

η + ξ ω η ω η + =μ = " (1) 或

[^ˋm_ˋ]{ } [η +^ˋc_ˋ]{ } [η +^ˋk_ˋ]{ } { }η = μ (2)

其中η_r為模態座標，ξ_r為阻尼比，ω_r為自然頻率，μ_r 為模態力，mr為模態質量，cr為模態阻尼，kr為模態勁度。

[^ˋm_ˋ]對角元素為mr，其餘元素為零。[^ˋc_ˋ] [^ˋk_ˋ]可類推。

將模態矩陣 [Φ] 分區 (partition)，

[ ]_{n n} ^{mm mo}

om oo n n

×

×

Φ Φ

⎡ ⎤

Φ = ⎢⎣Φ Φ ⎥⎦ (3)

若僅取前m 個模態重建 [M]、[C]、[K] 矩陣[4]。[Φ]

僅選取前面 m 個模態，空間座標 {x_a} 選取前 m 個自由 度，則模態座標 {η} 與空間座標 {x_a} 之關係為：

1 1

{ }x_{a m×} = Φ[ _{mm m m}] _× { }η _m× (4)

1

1 1

{ }η _m× = Φ[ _mm]⁻_{m m×} { }x_{a m×} (5) 將 (5) 式代入 (2) 式，可得

* * *

[M_R]{ } [x_a + C_R]{ } [x_a + K_R]{ } [x_a = Φ_mm] { }^−T μ _m×1 (6) 其中

* 1

[M_R]_{m m×} = [Φ_mm] [^{−T ˋ}m_ˋ][Φ_mm]⁻ (7)

* 1

[C_R ]_{m m×} = Φ[ _mm] [^{−T ˋ}c_ˋ][Φ_mm]⁻ (8)

* 1

[K_R]_{m m×} = Φ[ _mm] [^{−T ˋ}k_ˋ][Φ_mm]⁻ (9) 再將 [Φmm] 分為兩個部份，[Φj]_j × m對應於接點處的

自由度，j 為接點處之自由度。[Φint](m – j) × m對應其餘內部 的自由度，即

[ _{mm m m}] ^j

int m m

×

×

⎡Φ ⎤

Φ = ⎢⎣Φ ⎥⎦ (10)

亦即由 (4) 式可得

1 1 1

1

[ _mm]{ }_m ^j { }_m ^j { }_{a m}

int int m

x x

η _× η _× x _×

×

⎡Φ ⎤ ⎧ ⎫

Φ =⎢⎣Φ ⎥⎦ =⎨⎩ ⎬⎭ = (11)

代入 (7) 式可得

1 1

T j *

T

j int m m R m m

int

m M

− −

× ×

⎡Φ ⎤

⎡Φ Φ ⎤ ⎡⎣ ⎤⎦ ⎢ ⎥ =⎡⎣ ⎤⎦

⎣ ⎦ ⎣Φ ⎦

ˋ

ˋ (12)

虛擬模態振形法以任意 [Φb](m–j)×m來取代[Φint](m–j)×m， 可表示為

[ _{P m m}] ^j

b m m

×

×

⎡Φ ⎤

Φ = ⎢ ⎥⎣Φ ⎦ (13)

其中 [ΦP] 代表虛擬模態振形法所建構之m × m 模態 矩陣，則 (12) 式變為

1 [ ]

T 1 j

T

j b m m P m m

b

m M

− −

× ×

⎡Φ ⎤

⎡Φ Φ ⎤ ⎡⎣ ⎤⎦ ⎢ ⎥ =

⎣ ⎦ ⎣Φ ⎦

ˋ

ˋ (14)

同理，[CP] [KP] 之推導過程類似。依據前述程序 (12) (14) 式方法推導之 [MR*] [CR*] [KR*] 與 [MP] [CP] [KP] 均 擁有相同的模態參數mr，cr，kr，r = 1 … m 和 [Φj]j × m。

由 (4) 式關係可知，當 [ΦP] 取代 [Φmm] 時，

1 1 1

1

[ _{P m m}] { }_m ^j { }_m ^j { }_{P m}

b m m b m

x x

η η x

× × × ×

× ×

⎡Φ ⎤ ⎧ ⎫

Φ =⎢⎣Φ ⎥⎦ =⎨ ⎬⎩ ⎭ = (15)

則{ }η _m×1= Φ[ _P]⁻¹_{m m×} { }x_{P m×1} (16) 將 (16) 式代入 (2) 式，可得

[M_P]{ } [x_P + C_P]{ } [x_P + K_P]{ } [x_P = Φ_P] { }^−T μ_m×1 (17) 其中

[M_{P m m}] _× =[Φ_P] [^{−T ˋ}mˋ][Φ_P]⁻1 (18)

[C_{P m m}] _× = Φ[ _P] [^{−T ˋ}cˋ][Φ_P]⁻1 (19)

[K_{P m m}] _× = Φ[ _P] [^{−T ˋ}kˋ][Φ_P]⁻1 (20)

雖然 (17) 式 {xP} 與 (6) 式 {xa} 反應不同，但均由 相同之模態方程式 (2) 式出發。由 (15) 式可知，因 (15) 式 [Φj] 與 (11) 式之 [Φj] 相同，所以虛擬模態振形法在 接點自由度 {xj} 獲得之反應 (FRF) 相同。

虛擬模態振形法應用此概念，推導出接點處的模態矩 陣 [Φj]，其餘部分 [Φb] 可以任意搭配。但注意不可使模 態 向 量 形 成 線 性 相 依 (linear dependence) 。 因 為 推 導 [MP]、[CP]、[KP] 時，須使用 [ΦP]⁻¹。利用此虛擬模態矩 陣 [ΦP] 及模態參數mr，cr，kr，r = 1 … m，即可反推結 構虛擬矩陣 [MP]、[CP]、[KP]。

三、推導虛擬模態向量

虛擬模態振形法僅需在母結構與子結構接點處量測 其FRF，即可推導出接點處的模態矩陣 [Φj]。圖 1 為 2D 樑結構，兩端邊界條件為free-free。圖 2 為子結構接點自 由度示意圖。子結構邊界條件為 free-free。子結構每個節 點有兩個自由度 (y 與θ_z兩個方向)，接點為節點 4，9。子 結構FRF 包含剛體模態與變形模態。以下推導過程，子結 構模態以2 個剛體模態加上 4 個變形模態為例，合計 6 個 模態 (m = 6)。若多於 6 個模態的情況可依此類推。

由於本例子結構為中間段，左右各搭接一個母結構，

子結構接點有兩個，所以本例接點自由度為j = 4，自由度

圖1 範例桿件示意圖

圖2 範例桿件，子結構接點自由度示意圖

號碼設為1，2，5，6。內部之虛擬自由度號碼設為 3，4。

接點之 [Φj] 和 [Φb] 可表示為

11 12 16

21 22 26

51 52 56

61 62 66 4 6

[ _j]

φ φ φ

φ φ φ

φ φ φ

φ φ φ _×

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

Φ =⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

"

"

"

"

(21)

31 32 36

41 42 46 2 6

[ _b] φ φ φ

φ φ φ _×

⎡ ⎤

Φ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

"

" (22)

設第1，2 模態為剛體模態，則剛體模態矩陣 [Φj]rigid， 可表示為

11 12

21 22

51 52

61 62 4 2

[ _{j rigid}]

φ φ φ φ φ φ

φ φ _×

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥ Φ =⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(23)

FRF 的型式為加速度與作用力之間關係，可得

2

( ) 2 2

1

( )

2

N

i ir kr

ik A

k r r r r r

A H

F m i

φ φ

ω ξ ω

=

= = −Ω

⎡ − Ω + Ω ⎤

⎣ ⎦

∑ ⁽²⁴⁾

其中Ai為自由度i 之加速度，Fk為自由度k 之受力，

下標 (A) 代表 FRF 為 Accelerance 型式。φ_ir，φ_kr為第r 模 態向量第i，k 之分量，Ω 為轉速。

當子結構邊界條件為free-free 時，會有 2 個剛體模態 (ω₁ = ω₂ = 0) 的產生。以兩個剛體模態的自然頻率為零 (ω₁ = ω₂ = 0) 代入 (24) 式可得

1 1 2 2

( )

1 2

6 2

2 2

3

( )

( ) 2

i i k i k

ik A k

ir kr

r r r r r

A H

F m m

m i

φ φ φ φ

φ φ

ω ξ ω

=

= Ω = +

+ −Ω

⎡ − Ω + Ω ⎤

⎣ ⎦

∑

(25)

透過實驗方式可取得4 條 FRF，令其為 H11(A)、H21(A)、

H51(A)、H61(A)。求解剛體模態時，(25) 式變形模態分項為

零。重新整理 (25) 式，可得

2 2

11( )_A(0) 11 12

H =φ +φ (26)

21( )_A(0) 21 11 22 12

H =φ φ +φ φ (27)

51( )_A(0) 51 11 52 12

H =φ φ +φ φ (28)

61( )_A(0) 61 11 62 12

H =φ φ +φ φ (29) (26)-(29) 式有 8 個未知數，4 條方程式。未知數多於 方程式，無法求解。

根據剛體模態的特性可得知，平移模態節點位移相等 且方向相同 (φ₁₁ = φ₅₁)，旋轉角度為零 (φ₂₁ = φ₆₁ = 0)；而 旋轉模態兩端節點位移相等且方向相反 (φ₁₂ = −φ₅₂)，旋轉 角度相等 (φ₂₂ = φ₆₂)。透過此特性，重新改寫(26)-(29)式，

可得

2 2

11( )_A(0) 11 12

H =φ +φ (30)

2 2

51( )_A(0) 11 12

H =φ −φ (31)

因為φ₂₁ = φ₆₁ = 0，φ₂₂ = φ₆₂，所以

21( )_A(0) 61( )_A(0) 22 12

H =H =φ φ (32)

由 (30)~(32) 式依序可解出φ₁₁、φ₂₁、φ₅₁、φ₆₁、φ₁₂、φ₂₂、 φ₅₂、φ₆₂：

11( ) 31( )

11 2

A A

H H

φ = ⁺ (33)

21 0

φ = (34)

51 11

φ =φ (35)

61 0

φ = (36)

2 12 H11( )_A ( )11

φ = − φ (37)

22 H21( )_A / 12

φ = φ (38)

52 12

φ = − (39) φ

62 22

φ =φ (40)

求解變形模態矩陣的部分，

13 14 15 16

23 24 25 26

53 54 55 56

63 64 65 66 4 4

[ _{j deform}]

φ φ φ φ

φ φ φ φ

φ φ φ φ

φ φ φ φ _×

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

Φ =⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

本文以Mayes 方法[16]求解接點模態矩陣 [Φj]deform， 由 (24) 式出發，本例取 4 個變形模態，4 條 FRF 方程式 (H11(A)、H21(A)、H51(A)、H61(A))：

6 2

( ) 2 2

3

( )

( ) 2

ir kr ik A

r r r r r

H m i

φ φ

ω ξ ω

=

Ω = −Ω

⎡ − Ω + Ω ⎤

⎣ ⎦

∑ ⁽⁴¹⁾

Mayes 假設模態向量分量φ_ir，φ_kr為實數，因為共振點 FRF 之訊噪比最佳，故選取共振時 (即Ω = ω_j) FRF 值之虛 部 (即 (41) 式左側虛數部分，imag{Hik(A)(ω_j)})，再將 (41) 式右側部分處理如下：

令mr = 1，使 {φ_r} 為正規化。

, , 3 6

ik r ir kr

Y =φ φ r= " (42)

2

2 2

( ) , 3 6

r 2

r r r

i r

ψ ω ξ ω

Ω = −Ω =

− Ω + Ω " (43)

由 (41) (43) 式可知，Hik與ψr為複數[16]。當Ω = ωj，j = 3 … 6 (共振點) 時，由 (41)-(43) 式可得

( ) 3 3 3 6 3 { }

, 4 1

( ) 6 4 1 3 6 6 6 4 4

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

ik A

ik r ik A

H

imag imag Y

H

ω ψ ω ψ ω

ω _× ψ ω ψ ω _× ^×

⎧ ⎫ ⎡ ⎤

⎪ ⎪ = ⎢ ⎥

⎨ ⎬ ⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎢⎣ ⎥⎦

⎩ ⎭

"

# # % #

"

(44)

其中未知數為{Yik, r}4 × 1。(44)式中ψr(ωj), r = 3 … 6, j = 3 … 6 均為已知，可由 FRF 以單自由度 (SDOF) 或多自由度 (MDOF) curve fitting 及交叉比較的方式求得ωr和ξr [4]，代 入 (43) 式求得。

由 (44) 式求得 Y_ik，當Ω = ωr，r = 3 … 6 (共振點) 時，

可得

2

11 1r

Y =φ (45)

21 2r 1r

Y =φ φ (46)

51 5r 1r

Y =φ φ (47)

61 6r 1r

Y =φ φ (48)

例如當在第一個變形模態時 (r = 3)，可求得φ13、φ23、 φ53、φ63：

13 Y11,3

φ = (49)

23 Y21,3/ 13

φ = φ (50)

53 Y51,3/ 13

φ = φ (51)

63 Y61,3/ 13

φ = φ (52)

表一 桿件材料性質

Elastic modulus (N/m²) 6.128 × 10¹⁰ Poisson’s ratio 0.33

Density (kg/m³) 2648 Modal damping ratio 3 5.622 × 10⁻³

Modal damping ratio 4 2.687 × 10⁻³ Modal damping ratio 5 2.312 × 10⁻³ Modal damping ratio 6 1.829 × 10⁻³

圖3 桿件尺寸圖。桿件 A 為整體結構，桿件 B 為子結構

其餘模態可依 (49)-(52) 式類推。模態參數φ23、φ53、φ63

正負號跟隨φ13調整，所以模態向量正負號比例皆為正確。

本例只得到各模態向量接點處共4 個模態向量元素 的模態矩陣 [Φj]_{4 × m}，缺少的模態矩陣 [Φb]_{2 × m}可以任 意 搭 配，但注意不可使模態向量形成線性相依 (linear dependence)。

四、實驗結果

本文以實驗驗證虛擬模態振形法理論。實驗以範例桿 件為藍圖，製作出真實的桿件，除了整體結構之外，另外 製作了一根獨立的子結構，圖3 為實驗之尺寸示意圖。桿 件之材料為鋁合金 (6061)，以電子秤取得結構之重量後，

除以實際量測尺寸，可得結構密度。計算出密度後，即可 校正楊氏係數，表一為校正後之材料性質與各模態之阻尼 參數。

本實驗使用模態測試 (modal testing) 之衝擊測試法 (impact tests) 來取得 FRF，本實驗使用的 DACTRON Photon-100 頻譜分析儀，取樣速率為 51200 Hz。加速度規 為PCB 352C22，其靈敏度為 9.56 mV/g，質量為 0.5 g。衝 擊鎚為PCB 086C01，其靈敏度為 10.9 mV/N。

表二 子結構之虛擬模態矩陣 mode

dof 1 (rigid body) 2 (rigid body) 3 4 5 6

y4 2.4467 -4.0113 4.4555 4.2050 3.9421 3.6274 θ4 0.0000 21.077 -62.332 -94.696 -128.00 -180.35 Pseudo 0.6068 0.7095 0.1509 0.8216 0.7271 0.6946 Pseudo 0.4860 0.4289 0.6979 0.6449 0.3093 0.6213 y9 2.4467 4.0113 4.4555 -4.2053 3.9424 -3.6277 θ₄ 0.0000 21.077 62.333 -94.701 128.01 -180.36

圖4 模態測試之衝擊測試法

圖5 實驗設備示意圖

本實驗之桿件以橡皮筋懸吊在角鋼架上，如圖4 所示，

邊界條件為free-free。本實驗之橡皮筋相當「軟」，以目測 其振動頻率應在1 Hz 左右 (≦1 Hz)，而本文之子結構其 第一變形模態為 393.57 Hz，整體結構之第一變形模態為 110.64 Hz，故橡皮筋不影響結構之變形模態。實驗以衝擊 測試法求得FRF，圖 5 為實驗之示意圖。在子結構節點 4 處以衝擊鎚作為激振方式，並以加速度規在節點4 處和節 點9 處量取加速度反應，即可得到 2 條 FRF (H_{y4 – y4(A)}、 H_{y9 – y4(A)})。

由於每個節點自由度為y 與θ_z兩個方向，必須取得θ_z 自由度的FRF (angular accelerance)。本文以近似的方式求 得α_z

j i

z x

y y α = d⁻

(53)

圖6 實驗與 FEM 比較，子結構 (Hθ4 – y4(A)) 振幅相位圖

其中ÿj為量測點j 之 FRF，ÿi為量測點i 之 FRF，dx為量測

點i 與量測點 j 之軸向距離。以此近似的方式，即可得到 2

條的旋轉FRF (H_{θ4 – y4(A)}、H_{θ9 – y4(A)})。為了證實近似方式可 行，以FEM 建立子結構模型並計算其旋轉 FRF。圖 6 為 子結構FRF (H_{θ4 – y4(A)})，實驗與 FEM 結果比較，兩者非常 接近，證實此近似方式可行。

本實驗頻寬選擇4000 Hz，模態數選取前 6 個模態，

表二為虛擬模態矩陣 [ΦP]6 × 6，前兩個模態為剛體模態矩 陣 [Φj]rigid，粗框內為接點處之變形模態矩陣 [Φj]4 × 4。

圖7 為 PMSM 所建立子結構 [MP]、[CP]、[KP] 在接 點處之FRF (Hy4 – y4(A)) 與實驗比較，FRF 皆非常接近，證 實PMSM 建模精確度很高。表三為自然頻率比較，PMSM 根據實驗結果建立子結構 [MP]、[CP]、[KP]，與實驗結果 比較，自然頻率完全沒有誤差。

將PMSM 所建立子結構 [MP]、[CP]、[KP] 矩陣與 FEM 所建立之母結構 [M]、[C]、[K] 矩陣在接點處結合，與實 驗FRF 比較。圖 8 為整體結構節點 12 處之 FRF (Hy12 – y1(A)) 比較，在節點12 處量測 FRF 之原因為，模態測試節點 1 發出震波信號，在節點12 以加速規量測，震波即能完整傳 遞整體結構，可確定母結構是否受到子結構之動態影響。

表三 虛擬子結構自然頻率與實驗比較

(單位：Hz)

mode EXP PMSM

1 0.0000 0.0000 (0.000%) 2 0.0000 0.0000 (0.000%) 3 393.57 393.57 (0.000%) 4 1078.6 1078.6 (0.000%) 5 2096.6 2096.6 (0.000%) 6 3429.2 3429.2 (0.000%)

圖7 桿件 B，子結構(Hy4 – y4(A))振幅相位圖

圖8 桿件 A，整體結構(Hy12 – y1(A))振幅相位圖

表四為自然頻率比較，比較結果誤差大致良好，最大誤差 為第11 個模態，誤差為 6.724%。

由此結果可得知，PMSM 具備足夠之強健性可應用在 真實結構上。本實驗選擇頻寬為4000 HZ，子結構模態數

表四 虛擬整體結構自然頻率與實驗比較

(單位：Hz) mode EXP PMSM

1 0.0000 0.0017 (0.000%) 2 0.0000 0.0027 (0.000%) 3 110.64 111.83 (1.071%) 4 210.12 212.75 (1.251%) 5 400.82 413.89 (3.260%) 6 727.02 751.00 (3.298%) 7 1037.0 1101.5 (6.222%) 8 1375.4 1387.4 (0.874%) 9 1920.0 1949.2 (1.520%) 10 2522.1 2622.4 (3.977%) 11 3000.7 3202.5 (6.724%) 12 3629.4 3693.2 (1.757%)

選取前6 個模態，而真實結構之模態數其實為無限多個。

要提升PMSM 之精確度，可提升實驗設備之有效頻寬，並 增加實驗所選取之模態數目。

五、結 論

一般做大型結構之建模，模態實驗常因子結構複雜，

不易安置感應器，無法取得完整的模態；以有限元素法建 模則因元素過多造成計算費時且不準確等缺點。本文提出 虛擬模態振形法 (PMSM) 可有效解決大型結構建模之缺 點，並且易與有限元素分析軟體結合，以利後續分析。

本文以 2D 的有限元素樑結構為範例推導理論。FRF 以accelerance 的方式呈現，可有效解決剛體模態的問題，

並可應用於多接點之狀況。本文以實體桿件實驗來驗證理 論。PMSM 與實驗結果比較，FRF 相當接近，證實本法具 有足夠之強健性可應用於真實結構上。

符號索引

η 模態座標

ξ_r 阻尼比

ω_r 自然頻率

μ_r 模態力

mr 模態質量 cr 模態阻尼 kr 模態勁度 xa 空間座標 [Φ] 模態矩陣

[^ˋm_ˋ] 對角元素為mr，其餘元素為零 [^ˋc_ˋ] 對角元素為cr，其餘元素為零

[^ˋk_ˋ] 對角元素為kr，其餘元素為零 [MR*] 凝縮後之質量矩陣

[CR*] 凝縮後之阻尼矩陣 [KR*] 凝縮後之勁度矩陣 [MP] PMSM 所反推之質量矩陣 [CP] PMSM 所反推之阻尼矩陣 [KP] PMSM 所反推之勁度矩陣

上標

. 對時間一次微分

.. 對時間二次微分 下標

r 第r 個模態

R 凝縮

P PMSM j 接點自由度 int 內部自由度 b 虛擬自由度

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2010 年 09 月 14 日 收稿 2010 年 09 月 15 日 初審 2010 年 12 月 17 日 複審 2010 年 12 月 27 日 接受