1. Fourier 級數在非週期函數之應用 2. L→ ∞時，Fourier 級數→Fourier 積分
週期函數
非週期函數 偶函數
沒有L
振幅譜
L→ ∞， f x( )為非週期函數 24
= 23
= 22
=
振幅的個數
半波有7(24 1− −1)個振幅 當L 增加，振幅愈來愈密集，但其值變小
2 sin 2 2
( 0), ,
n n
n n
n n
if wn
w w
a L w L w
L so if a
= L
↑
≈ ≈
→ ↓
0, ,
n n
a a b 代入
,
L d
L
ω π ω
→ ∞ Δ = → 1.
2.
3. 0 0
( )
n
n L
n L
w
L
L
π
ω π π
→ ∞
Δ →
→ ∞
=
，造成 積分非級數；
為任意值，
而不是 的整數倍，
即 。
= ，使無窮 級數變成
可以為非整數
的積分
0(
因L→ ∞)
, ( )
L→ ∞ 導致f x 為非週期函數 絕對可積分
重要公式！
非週期函數
(公式要背清楚)
非週期函數
1 x 1
→ − < <
1, 1
x x
→ > < −
0
cos sin
2 ( )
t d f x
ω ω ω π ω
→
∫
∞ =( ) 1 ( ) 1
2 ( ) 0 f x f x f x
=
=
= (1 ) 1
(1 ) 0 1 0 1
(1) ( )
2 2
f f f
− = + =
= + = 取平均值
不連續因子
0
0
2 1 sin (0) 1
sin 2
f d
d
π ω ω ω
π ω ω
ω
∞
∞
= = ×
=
∫
∫
故 正弦積分
(8*) (8) u→ ∞
式為 式的極限值
∞以 取代，可得a 到近似的結果
被積函數sin
ω ω
0
sin
u
ω ω
d∫ ω
0
sin d 2
ω ω π ω
∞ =
∫
f(x)為非週期函數
偶函數
奇函數
( ) 0 [ ( )cos ( )sin ]
1 1
( ) ( )cos ( ) ( )sin
f x A t B t dt
A f v vdv
Fouri
B e
f vdv
r
v
ω ω ω ω
ω ω ω ω
π π
∞
∞ ∞
−∞ −∞
= +
= =
∫
∫ ∫
積分
；
f(x)為奇或偶函數時，Fourier 積分的簡化....
拉氏積分
部份積分
2 2
0
0 ( k )
k ω
∞
= − − +
( ) 0 ( )cos f x =
∫
∞Aω ω ω
xd除
部份積分
2 2
0
0 ( )
k ω
ω
∞
= − − +
( ) 0 ( )sin f x =
∫
∞Bω ω ω
xd除
