-傅立葉級數

33  Download (0)

Full text

(1)

教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數

訊號與系統

1

(2)

『訊號與系統』課程目錄

第一章 訊號與系統簡介

第二章 連續時間訊號在時域的表示 第三章 連續時間系統之時域分析

第四章 連續時間週期訊號之頻域分析-傅立葉級數 第五章 連續時間訊號之頻域分析-傅立葉轉換

第六章 連續時間系統之頻域分析與應用 第七章 取樣理論

(3)

教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數

第四章 連續時間週期訊號之頻域分析

-傅立葉級數

3

(4)

本章綱要

4.1 訊號的不同表示方式

-訊號分解

-時域與頻域 4.2 訊號頻譜

-單邊頻譜

-雙邊頻譜

-訊號頻寬

4.3 三角傅立葉級數

-三角傅立葉級數的係數

-三角傅立葉級數第二式

-三角傅立葉級數的特性 4.4 指數傅立葉級數

-指數傅立葉級數的係數

-指數傅立葉級數係數的對稱性

-指數傅立葉級數係數的變換

(5)

教育部資通訊科技人才培育先導型計畫

本章綱要

4.5 週期訊號的功率分析

4.6 指數傅立葉級數的數值運算 4.7非週期訊號與傅立葉級數

第四章 傅立葉級數 5

(6)

本章綱要

4.1 訊號的不同表示方式

-訊號分解

-時域與頻域 4.2 訊號頻譜

-單邊頻譜

-雙邊頻譜

-訊號頻寬

4.3 三角傅立葉級數

-三角傅立葉級數的係數

-三角傅立葉級數第二式

-三角傅立葉級數的特性 4.4 指數傅立葉級數

-指數傅立葉級數的係數

-指數傅立葉級數係數的對稱性

-指數傅立葉級數係數的變換

(7)

教育部資通訊科技人才培育先導型計畫

本章綱要

4.5 週期訊號的功率分析

4.6 指數傅立葉級數的數值運算

4.7非週期訊號與傅立葉級數

第四章 傅立葉級數 7

(8)

z

線性系統對輸入訊號的響應滿足重疊原理。

z

計算線性系統對任意輸入訊號 的響應:

(1)將輸入訊號 分解成

(2)分別求出系統對 之響應

訊號分解

) x (t )

x (t

) ( )

( )

( )

( t x

1

t x

2

t x t

x = + + +

n

) ( , ), ( ),

(

2

1

t x t x t

x

n

y

1

( t ), y

2

( t ), , y

n

( t )

) (

)

(

1

1

t y t

x LTI

) (

)

(

2

2

t y t

x LTI

) (

)

( t y t

x

n

LTI

n

(9)

教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數

(3)系統的輸出

y ( t ) = y

1

( t ) + y

2

( t ) + + y

n

( t )

z此外,訊號的分解可將訊號表示成個别具有重要特性之子訊號的和。

) LTI

( )

( )

( )

( t x

1

t x

2

t x t

x = + + +

n

y ( t ) = y

1

( t ) + y

2

( t ) + + y

n

( t )

9

訊號分解(續)

(10)

範例4.1

©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nded., John Wiley & Sons, 1998.

由上圖, 。其中(a) 為 的平均值(b) 為 非零部分的斜率。

) ( )

( )

( t w

1

t w

2

t

w = + w

1

( t ) w (t ) w

2

( t ) w (t )

(11)

教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數

時域v.s.頻域

z

訊號

z

上圖為 之時域表示,圖中橫軸表示時間

3 ] )

2 ( 2 cos[

75 . 0 4 ]

) 1 ( 2 cos[

2 )

( t = π t − π + π t − π

v

) v (t

11

©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nded., John Wiley & Sons, 1998.

(12)

時域v.s.頻域(續)

z

觀察式子

z

可知,此訊號將由底下六個參數完全決定:

z

故訊號 可由 A(f) 及Ph(f) 兩個頻率( f )的函數來表示,此 A(f)及Ph(f) 即 為 在頻域的表示。

3 ] )

2 ( 2 cos[

75 . 0 4 ]

) 1 ( 2 cos[

2 )

( t = π t − π + π t − π

v

頻率(frequency) f 1Hz 2Hz 振幅(amplitude)(恆正) A(f) 2 0.75 相角(phase) Ph(f)

4

π

3

π

)

v (t

)

v (t

(13)

教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數

時域v.s.頻域(續)

z

由 的頻域表示 可知,訊號 只在1Hz及2Hz的頻域上有能量。此一資 訊無法直接由 的時域表示中獲得。

z

相反的,由 的時域表示中可知訊號的最大值與最小值。

但由頻域表示 中不容易獲得此一資訊。

z

總之,無論是時域或頻域的表示法均可完全決定一個訊號。然不同的表示法 會突顯出訊號不同之特性。唯有熟悉此兩種不同表示法才可有效率的對訊號 做處理。

) v (t )

v (t ) v (t )

v (t

13

(14)

本章綱要

4.1 訊號的不同表示方式

-訊號分解

-時域與頻域 4.2 訊號頻譜

-單邊頻譜

-雙邊頻譜

-訊號頻寬

4.3 三角傅立葉級數

-三角傅立葉級數的係數

-三角傅立葉級數第二式

-三角傅立葉級數的特性 4.4 指數傅立葉級數

-指數傅立葉級數的係數

-指數傅立葉級數係數的對稱性

-指數傅立葉級數係數的變換

(15)

教育部資通訊科技人才培育先導型計畫

本章綱要

4.5 週期訊號的功率分析

4.6 指數傅立葉級數的數值運算

4.7非週期訊號與傅立葉級數

第四章 傅立葉級數 15

(16)

訊號頻譜(spectrum)

z

頻譜:訊號在頻域的表示稱為頻譜。分為振幅頻譜(amplitude spectrum) A(f) 與相位頻譜(phase spectrum) Ph(f)兩部份。

)]

3 (

) 10 ( 2 cos[

3 )

( t = π t − π

x

(17)

教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數

訊號頻譜(spectrum)(續)

z

線頻譜(line spectra) :

當A(f) 與Ph(f) 為離散頻率(discrete-frequency)函數時,此類頻譜稱 為線頻譜。(如上頁圖例) 。

z

單邊頻譜(single-sided spectra) :

當A(f) 與Ph(f)兩頻譜只存在 f >0的部份。稱為單邊頻譜。(如上頁 圖例)。

17

(18)

範例4.2

請繪出弦波訊號 的單邊頻譜。

【解】此訊號之振幅大小為3、頻率為1000Hz相位為 。

) 6 / 2000

cos(

3 )

( t = π t + π x

6

π

/

弦波訊號的單邊頻譜

©余兆棠、李志鵬,信號與系統, 滄海書局,

(19)
(20)

範例4.3

請繪出弦波訊號 的單邊頻譜。

【解】(1)訊號的振幅大 小要為正值,因此將訊號表示式改寫成:

) 6 / 2000

cos(

3 )

( t = − π t + π x

) 6 / 7 2000

cos(

3

) 6

/ 2000

cos(

3

) 6 / 2000

cos(

3 )

(

π π

π π

π

π π

+

=

+ +

=

+

=

t t

t t

x

) 6 / 5 2000

cos(

3

) 6

/ 2000

cos(

3

) 6 / 2000

cos(

3 )

(

π π

π π

π

π π

=

− +

=

+

=

t t

t t

x

(21)

教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數

範例4.3(續)

(2)訊號 之振幅大小為3、頻率為1000Hz以及相位為 或 , 下圖顯示這兩種頻譜。

6 /

7

π

−5

π

/6

) x (t

弦波訊號的單邊頻譜

20

©余兆棠、李志鵬,信號與系統, 滄海書

局,2007。

注意:此兩種表示其數學上完全相等

(22)
(23)

教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數

範例4.4

請繪出下列訊號的單邊頻譜。

【解】改寫訊號表示式

訊號由三個餘弦訊號組合而成,振幅大小分別為3、2與4;頻率分別為 1000、1500與2000 Hz;以及相位分別為0、 與 。

) 4 / 4000

cos(

4 ) 3000 sin(

2 ) 2000 cos(

3 )

( t = π t + π t + π t + π

x

) 4 / 4000

cos(

4 ) 2 / 3000

( 2

) 2000 cos(

3

) 4 / 4000

cos(

4 ) 3000 sin(

2 ) 2000 cos(

3 )

(

π π

π π

π

π π

π π

+ +

− +

=

+ +

+

=

t t

t

t t

t t

x

2 π /

− π / 4

cos

21

(24)

範例4.4(續)

訊號的單邊頻譜

(25)
(26)

範例4.5

請繪出訊號 單邊頻譜。

【解】訊號可改寫成 ,表

示成由二個餘弦訊號組合而成,但其頻率皆為1000 Hz,因此必須合併。

注意到 為非線性函數,二個餘弦的振幅大小與相位無法直接相 加,因此將訊號表示式改寫成:

) 2000 sin(

4 ) 2000 cos(

3 )

( t t t

x = π + π

) 2 / 2000

cos(

4 ) 2000 cos(

3 )

( t = π t + π t − π

x cos(⋅ )

3 tan 4

), 2000

cos(

5

] sin ) 2000 sin(

cos ) 2000 [cos(

5

] 4 3

) 4 2000 sin(

4 3

) 3 2000 [cos(

4 3

) 2000 sin(

4 ) 2000 cos(

3 )

(

1

2 2

2 2

2 2

=

=

+

=

+ + + +

=

+

=

φ φ

π

φ π

φ π

π π

π π

t

t t

t t

t t

t

x

(27)

教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數

範例4.5(續)

訊號的單邊頻譜

24

©余兆棠、李志鵬,信號與系統, 滄海書局,

2007。

(28)

範例4.6

請繪出以下訊號的單邊頻譜

【解】(1)可將訊號表示式改寫成

) 6000 sin(

) 6000 cos(

) 4 / 4000

cos(

4 ) 3000 sin(

2 ) 1000 cos(

3 )

(

t t

t t

t t

x

π π

π π

π π

− +

+

=

) 4 / 6000

cos(

2

) 4 / 5 4000

cos(

4 ) 2 / 3000

cos(

2 ) 1000 cos(

3

) 6000 sin(

) 6000 cos(

) 4 / 4000

cos(

4 ) 3000 sin(

2 ) 1000 cos(

3 )

(

π π

π π

π π

π

π π

π π

π π

+ +

+ +

+ +

=

− +

+

=

t

t t

t

t t

t t

t t

x

(29)
(30)

範例4.6(續)

(2)由改寫後的訊號表示式可知是由4個餘弦訊號組合而成,其振幅大小分別 為3、2、4與 ;而其頻率分別為500、1500、2000 Hz與3000 Hz;以及 其相位分別為0、 、 與 。

2

2

π / 5 π / 4 π / 4

訊號的單邊頻譜

(31)
(32)
(33)

Figure

Updating...

References

Related subjects :