教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
訊號與系統
1
『訊號與系統』課程目錄
第一章 訊號與系統簡介
第二章 連續時間訊號在時域的表示 第三章 連續時間系統之時域分析
第四章 連續時間週期訊號之頻域分析－傅立葉級數 第五章 連續時間訊號之頻域分析－傅立葉轉換
第六章 連續時間系統之頻域分析與應用 第七章 取樣理論
教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
第四章 連續時間週期訊號之頻域分析
－傅立葉級數
3
本章綱要
4.1 訊號的不同表示方式
－訊號分解
－時域與頻域 4.2 訊號頻譜
－單邊頻譜
－雙邊頻譜
－訊號頻寬
4.3 三角傅立葉級數
－三角傅立葉級數的係數
－三角傅立葉級數第二式
－三角傅立葉級數的特性 4.4 指數傅立葉級數
－指數傅立葉級數的係數
－指數傅立葉級數係數的對稱性
－指數傅立葉級數係數的變換
教育部資通訊科技人才培育先導型計畫
本章綱要
4.5 週期訊號的功率分析
4.6 指數傅立葉級數的數值運算 4.7非週期訊號與傅立葉級數
第四章 傅立葉級數 5
本章綱要
4.1 訊號的不同表示方式
－訊號分解
－時域與頻域 4.2 訊號頻譜
－單邊頻譜
－雙邊頻譜
－訊號頻寬
4.3 三角傅立葉級數
－三角傅立葉級數的係數
－三角傅立葉級數第二式
－三角傅立葉級數的特性 4.4 指數傅立葉級數
－指數傅立葉級數的係數
－指數傅立葉級數係數的對稱性
－指數傅立葉級數係數的變換
教育部資通訊科技人才培育先導型計畫
本章綱要
4.5 週期訊號的功率分析
4.6 指數傅立葉級數的數值運算
4.7非週期訊號與傅立葉級數
第四章 傅立葉級數 7
z
線性系統對輸入訊號的響應滿足重疊原理。z
計算線性系統對任意輸入訊號 的響應：(1)將輸入訊號 分解成
(2)分別求出系統對 之響應
訊號分解
) x (t )
x (t
) ( )
( )
( )
( t x
1t x
2t x t
x = + + +
n) ( , ), ( ),
(
21
t x t x t
x
ny
1( t ), y
2( t ), , y
n( t )
) (
)
(
11
t y t
x LTI
) (
)
(
22
t y t
x LTI
) (
)
( t y t
x
nLTI
n教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
(3)系統的輸出
y ( t ) = y
1( t ) + y
2( t ) + + y
n( t )
。z此外，訊號的分解可將訊號表示成個别具有重要特性之子訊號的和。
) LTI
( )
( )
( )
( t x
1t x
2t x t
x = + + +
ny ( t ) = y
1( t ) + y
2( t ) + + y
n( t )
9
訊號分解(續)
範例4.1
©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nded., John Wiley & Sons, 1998.
由上圖， 。其中(a) 為 的平均值(b) 為 非零部分的斜率。
) ( )
( )
( t w
1t w
2t
w = + w
1( t ) w (t ) w
2( t ) w (t )
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時域v.s.頻域
z
訊號z
上圖為 之時域表示，圖中橫軸表示時間3 ] )
2 ( 2 cos[
75 . 0 4 ]
) 1 ( 2 cos[
2 )
( t = π t − π + π t − π
v
) v (t
11
©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nded., John Wiley & Sons, 1998.
時域v.s.頻域(續)
z
觀察式子z
可知，此訊號將由底下六個參數完全決定：z
故訊號 可由 A(f) 及Ph(f) 兩個頻率( f )的函數來表示，此 A(f)及Ph(f) 即 為 在頻域的表示。3 ] )
2 ( 2 cos[
75 . 0 4 ]
) 1 ( 2 cos[
2 )
( t = π t − π + π t − π
v
頻率(frequency) f 1Hz 2Hz 振幅(amplitude)(恆正) A(f) 2 0.75 相角(phase) Ph(f)
4
−
π
3
−
π
)
v (t
)
v (t
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時域v.s.頻域(續)
z
由 的頻域表示 可知，訊號 只在1Hz及2Hz的頻域上有能量。此一資 訊無法直接由 的時域表示中獲得。z
相反的，由 的時域表示中可知訊號的最大值與最小值。但由頻域表示 中不容易獲得此一資訊。
z
總之，無論是時域或頻域的表示法均可完全決定一個訊號。然不同的表示法 會突顯出訊號不同之特性。唯有熟悉此兩種不同表示法才可有效率的對訊號 做處理。) v (t )
v (t ) v (t )
v (t
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本章綱要
4.1 訊號的不同表示方式
－訊號分解
－時域與頻域 4.2 訊號頻譜
－單邊頻譜
－雙邊頻譜
－訊號頻寬
4.3 三角傅立葉級數
－三角傅立葉級數的係數
－三角傅立葉級數第二式
－三角傅立葉級數的特性 4.4 指數傅立葉級數
－指數傅立葉級數的係數
－指數傅立葉級數係數的對稱性
－指數傅立葉級數係數的變換
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本章綱要
4.5 週期訊號的功率分析
4.6 指數傅立葉級數的數值運算
4.7非週期訊號與傅立葉級數
第四章 傅立葉級數 15
訊號頻譜(spectrum)
z
頻譜：訊號在頻域的表示稱為頻譜。分為振幅頻譜(amplitude spectrum) A(f) 與相位頻譜(phase spectrum) Ph(f)兩部份。)]
3 (
) 10 ( 2 cos[
3 )
( t = π t − π
x
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訊號頻譜(spectrum)(續)
z
線頻譜(line spectra) ：當A(f) 與Ph(f) 為離散頻率(discrete-frequency)函數時，此類頻譜稱 為線頻譜。(如上頁圖例) 。
z
單邊頻譜(single-sided spectra) ：當A(f) 與Ph(f)兩頻譜只存在 f >0的部份。稱為單邊頻譜。(如上頁 圖例)。
17
範例4.2
請繪出弦波訊號 的單邊頻譜。
【解】此訊號之振幅大小為3、頻率為1000Hz相位為 。
) 6 / 2000
cos(
3 )
( t = π t + π x
6
π
/弦波訊號的單邊頻譜
©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，
範例4.3
請繪出弦波訊號 的單邊頻譜。
【解】(1)訊號的振幅大 小要為正值，因此將訊號表示式改寫成：
或
) 6 / 2000
cos(
3 )
( t = − π t + π x
) 6 / 7 2000
cos(
3
) 6
/ 2000
cos(
3
) 6 / 2000
cos(
3 )
(
π π
π π
π
π π
+
=
+ +
=
+
−
=
t t
t t
x
) 6 / 5 2000
cos(
3
) 6
/ 2000
cos(
3
) 6 / 2000
cos(
3 )
(
π π
π π
π
π π
−
=
− +
=
+
−
=
t t
t t
x
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範例4.3(續)
(2)訊號 之振幅大小為3、頻率為1000Hz以及相位為 或 ， 下圖顯示這兩種頻譜。
6 /
7
π
−5π
/6) x (t
弦波訊號的單邊頻譜
20
©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書
局，2007。
注意：此兩種表示其數學上完全相等
教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
範例4.4
請繪出下列訊號的單邊頻譜。
【解】改寫訊號表示式
訊號由三個餘弦訊號組合而成，振幅大小分別為3、2與4；頻率分別為 1000、1500與2000 Hz；以及相位分別為0、 與 。
) 4 / 4000
cos(
4 ) 3000 sin(
2 ) 2000 cos(
3 )
( t = π t + π t + π t + π
x
) 4 / 4000
cos(
4 ) 2 / 3000
( 2
) 2000 cos(
3
) 4 / 4000
cos(
4 ) 3000 sin(
2 ) 2000 cos(
3 )
(
π π
π π
π
π π
π π
+ +
− +
=
+ +
+
=
t t
t
t t
t t
x
2 π /
− π / 4
cos
21
範例4.4(續)
訊號的單邊頻譜
範例4.5
請繪出訊號 單邊頻譜。
【解】訊號可改寫成 ，表
示成由二個餘弦訊號組合而成，但其頻率皆為1000 Hz，因此必須合併。
注意到 為非線性函數，二個餘弦的振幅大小與相位無法直接相 加，因此將訊號表示式改寫成：
) 2000 sin(
4 ) 2000 cos(
3 )
( t t t
x = π + π
) 2 / 2000
cos(
4 ) 2000 cos(
3 )
( t = π t + π t − π
x cos(⋅ )
3 tan 4
), 2000
cos(
5
] sin ) 2000 sin(
cos ) 2000 [cos(
5
] 4 3
) 4 2000 sin(
4 3
) 3 2000 [cos(
4 3
) 2000 sin(
4 ) 2000 cos(
3 )
(
1
2 2
2 2
2 2
=
−−
=
+
=
+ + + +
=
+
=
φ φ
π
φ π
φ π
π π
π π
t
t t
t t
t t
t
x
教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
範例4.5(續)
訊號的單邊頻譜
24
©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，
2007。
範例4.6
請繪出以下訊號的單邊頻譜
【解】(1)可將訊號表示式改寫成
) 6000 sin(
) 6000 cos(
) 4 / 4000
cos(
4 ) 3000 sin(
2 ) 1000 cos(
3 )
(
t t
t t
t t
x
π π
π π
π π
− +
+
−
−
=
) 4 / 6000
cos(
2
) 4 / 5 4000
cos(
4 ) 2 / 3000
cos(
2 ) 1000 cos(
3
) 6000 sin(
) 6000 cos(
) 4 / 4000
cos(
4 ) 3000 sin(
2 ) 1000 cos(
3 )
(
π π
π π
π π
π
π π
π π
π π
+ +
+ +
+ +
=
− +
+
−
−
=
t
t t
t
t t
t t
t t
x
範例4.6(續)
(2)由改寫後的訊號表示式可知是由4個餘弦訊號組合而成，其振幅大小分別 為3、2、4與 ；而其頻率分別為500、1500、2000 Hz與3000 Hz；以及 其相位分別為0、 、 與 。
2
2
π / 5 π / 4 π / 4
訊號的單邊頻譜
