行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
旋轉圓盤承受固定位置之隨機邊緣負荷之動態穩定性研究
計畫類別： 個別型計畫
計畫編號： NSC91-2212-E-011-029-
執行期間： 91 年 08 月 01 日至 92 年 07 月 31 日 執行單位： 國立臺灣科技大學機械工程系
計畫主持人： 楊條和
計畫參與人員： 陳銘賢 劉景峰
報告類型： 精簡報告
處理方式： 本計畫可公開查詢
中 華 民 國 92 年 10 月 16 日
行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告
旋轉圓盤承受固定位置之隨機邊緣負荷之動態穩定性研究 Dynamics Stability of Spinning Disks Subjected to Space-Fixed
Random Edge Load
計畫類別： 個別型計畫
計畫編號： NSC 91-2212-E-011-029
執行期間： 91 年 8 月 1 日至 92 年 7 月 31 日
計畫主持人： 楊條和教授 國立台灣科技大學 機械系 計畫參與人員： 陳銘賢 國立台灣科技大學 機械系 劉景峰 國立台灣科技大學 機械系
本成果報告包括以下應繳交之附件：
□赴國外出差或研習心得報告一份 □赴大陸地區出差或研習心得報告一份
□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份 □國際合作研究計畫國外研究報告書一份
執行單位：國立台灣科技大學機械系
中 華 民 國 92 年 10 月 18 日
旋轉圓盤承受固定位置之隨機邊緣負荷之動態穩定性研究
Dynamics Stability of Spinning Disks Subjected to Space-Fixed Random Edge Load
計畫編號： NSC 91-2212-E-011-029
執行期間： 91 年 8 月 1 日至 92 年 7 月 31 日
計畫主持人： 楊條和教授 國立台灣科技大學 機械系 計畫參與人員： 陳銘賢 國立台灣科技大學 機械系 劉景峰 國立台灣科技大學 機械系
一、中文摘要
本計劃研究一旋轉圓盤承受固定位置之隨機邊緣負荷之動態穩定性。在此研 究中，隨機邊緣負荷為一集中之共平面力，它由一靜態力加上一零平均值之微 小，弱穩態(weakly stationary)隨機程序所組成。因為此一固定位置之隨機邊緣負 荷 ， 旋 轉 圓 盤 在某 些情 況 下 可 能 發 生隨 機參 數 性 不 穩 定 (parametric random instability)。計劃中先進行應力分析，以決定因邊緣負荷所產生之應力分佈，接 著 以 有 限 元 素 法 將 系 統 之 統 御 方 程 式 離 散 化 ， 再 以 統 計 平 均 法 (stochastic averaging method)導出在各種共振頻率組合下，系統響應之伊東方程式(Ito’s equations)，最後從系統響應之伊東方程式求得系統一階力矩及二階力矩之穩定 性。
關鍵詞：旋轉圓盤，固定位置邊緣負荷，隨機參數性不穩定，統計平均法 Abstract
This project investigates the dynamic stability of spinning disks subjected to space-fixed random edge loads. In this study, the random edge load is a concentrated in-plane force and is characterized as the sum of a static force and a small, weakly stationary process with a zero mean. Due to this space-fixed random edge load, the spinning disk may experience parametric random instability under certain situations. First, a stress analysis is conducted to determine the stress
discretized by the finite element formulation. The method of stochastic averaging is then adopted to derive Ito’s equations for the system response under different resonant frequency combinations. Finally, the first- and second- moment stability conditions of the spinning disk are obtained.
Keywords: spinning disk, space-fixed edge load, parametric random instability, stochastic averaging method.
二、緣由與目的
旋轉圓盤在機械工程中使用非常廣泛，從圓鋸片、渦輪機轉盤到電腦磁碟 片、光碟片等等，均為旋轉圓盤。因此有關旋轉圓盤之振動與穩定性，從 20 年 代迄今一直受到研究者的關注【1】，早期的研究旨在探討旋轉圓盤的自然頻率及 系統各參數對旋轉圓盤臨界轉速之影響【2】，60 年代的研究重點在於旋轉圓盤 在超臨界轉速下之不穩定響應【3,4】，80 年代因電腦之快速發展，研究者開始探 討承受靜止負荷系統之旋轉圓盤之穩定性。
Iwan 和 Moeller【5】最早研究旋轉圓盤承受靜止負荷系統的問題，在此文 中靜止的負荷系統是由一個質點、一個彈簧和一個阻尼所組成，作用在圓盤的側 向。Ono et al. 【6】延續 Iwan 和 Moeller 的研究在靜止負荷系統中加入俯仰元 件(pitching element)並考慮旋轉圓盤和靜態負荷系統間之摩擦，接著 Chen【7】
探討一承受靜止集中邊界負荷之旋轉圓盤之自然頻率及穩定性，結果發現在臨界 轉速之下，邊界壓負荷會造成挫曲不穩定，而在臨界轉速以上，邊界壓負荷會造 成顫動不穩定。隨後 Chen【8】又研究承受一固定邊界振盪負荷之旋轉圓盤之參 數性共振問題，研究顯示，當兩模態同為反射模態或同為非反射模態時，會產生 和式組合共振，而當其一為反射模態，另一為非反射模態時會發生差式組合共 振。在此同時，Shen 和 Song【9】亦獨立探討承受靜止共平面邊界負荷之旋轉圓 盤之自然振動及穩定性,在此文中,首先將 Chen【7】所示之運動方程式，在空間 固定座標系統中離散化成一組耦合的常係數二階微分方程，然後將固定座標系統 轉換到固定在圓盤上之旋轉座標系統，而得到一組耦合的變係數微分方程，此變 係數微分方程在某些情況下會產生參數性不穩定現象。
三、研究方法
考慮一轉速為Ω之旋轉同心圓板，其內緣為夾持邊界，在外緣上承受一固定 位置之隨機負荷 ，如圖 1 所示。 對於固定在圓板上之旋轉座標(r,θ)而言，圓 板的運動方程式可寫成
∂
∂
∂
= ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∇ r
r w r h r t h w t c w w
D 2 rr*
2
4 ρ 1 σ
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂ + ∂
σ θ θ σ
σθθ θ w
r r w r h r w
r rr r
~ 1 ~
1
2 2
* 2
( )
r b w w r
r r w
r r ∂
− ∂
∂ + ∂
∂
∂
∂
+ ∂ δ
σ θ θ σ~θ 1~θθ 1
( ) ( )
r b w r n t
f ∂
− ∂ +
Ω
−
+ θ 2 π δ ---(1)
上式中，h 為圓板厚度，ρ為質量密度，c 黏滯阻尼係數， D 為圓板抗彎強度，
上式中，
∇4為雙調和運算子(biharmonic operator)，w 為側向位移，σrr* 和σθθ* 為離心力所 產生的起始應力， σ~ 、rr σ~ 和θθ σ~ 為固定位置之邊緣負荷所產生之起始應力。 rθ
圓板的邊界條件
在內緣 r = a， =0
∂
=∂ r
w w ---(2a,b) 在外緣 r = b， 1 0
2 2 2
2 =
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
θ
υ w
r r w r r
w ---(2c)
∂
∂
∂ + −
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
∂
∂
2 3 2 2 2 2 2
2 1 1 1
θ υ
θ r
w r
w r r w r r
w
r 1 0
2
2 =
∂
− ∂ θ
w r
---(2d) 上式中， v 為蒲松比(Poisson ratio)。
假設(1)式之解為
(r t)=∑Mm=[Am( )r t m +Bm( )r t m ]
w ,θ, 0 , cos θ , sin θ
---(3)
將上式代入(1)式可得到一組包含 Am和 Bm之聯立偏微分方程式，接著 令
~ ~ m T
m u
A =φ
~ ~ m T
m v
B =φ ---(4) 在此
~
φ為形狀函數向量,
~
u 和 m
~
v 為節點參數向量。 m
利用有限元素之公式化可得到下述離散系統之方程式
[ ] [ ] [ ]M u~&&+ C u~&+
{
Ke +Ω2[ ]Kr + f( )t ∑∞=0([ ]K cospΩt+[ ]K sinpΩt)}
u~=0~p cp sp
---(5)
上式中，[ ]M 為質量矩陣，[ ]C 為阻尼矩陣，[ ]Ke 為彈性勁度矩陣，
[ ]Kr 為旋轉勁度矩陣,
[ ]
Kcp 和[ ]
Ksp 為固定位置之邊緣負荷所產生之受力矩陣,u~為所有u~ 和m v~ 所組成之行矩陣，上標點代表對時間之微分。 m 接著，引進一線性轉換，
[ ]
~ Pη~
u = ---(6)
上式中，[P]為(5)式所對應的無阻尼，自由系統之右模態矩陣，即
[ ] [ ][ ] [ ]Q T M P = I 且[ ] [ ]QT
[ (
Ke +Ω2[ ]Kr) ]
[ ]P =[ ]
\ω\2在此[ ]I 為單元矩陣(identity matrix)，
[ ]
\ω\2 為對角矩陣，[ ]Q 為左模態矩陣, 將(6) 式代入(5)式中，再將(5)式前乘[ ]Q T，可得到下式：[ ] [ ]
~
\
\
~ 2
\
\
~
2ςω η η
ω
η&&+ =− &
( )∑∞=
( [ ]
Ω +[ ]
Ω)
− 0
~
sin
p Gp cosp t Hp p t
t
f η---(7)
[
\]
=[ ] [ ] [ ]Q T C P\2ςω ,
[ ]
G [ ]Q[ ]
Kcp [ ]PT
p = ,
[ ]
H [ ]Q[ ]
Ksp [ ]PT
p =
(7)式可改寫成
n n n n
n
n ω η ς ω η
η&& + 2 =−2 &
( ) p ( ) j
N j
p nj p
nj p t h p t
g t
f ∑ ∑∞= = Ω + Ω η
− 0 1 cos sin ---(8) 上 式 中ηn為η之第 n 個元素，ωn2和2ςnωn為
[ ]
\ω\2 和[
\2ςω\]
之第 n 個對角元素,g 和njpp
h 為nj
[ ]
Gp 和[ ]
Hp 之第 n-j 個元素。令η κrτ r iκrτ i
r
r =z e +z e− , 及 ητr iκr
(
reiκrτ re iκrτ)
d
d = z −z − ---(9)可得到
=0 + −κτ
τ κ
τ
τ r r
r i r i
d e e d
d
dz z
----(10) 上式中τ =Ωt , κ ω ( −ελ)
= Ωr 1
r
在此ε為一微小參數，λ為偏調參數(detuning parameter) ,將(9)式代入(8)式，並與 (10)聯立，可解得
(
n n i)
n n ( nn n
e n
i z z z
z + − Ω
= Ω
′ ω ελ −2κτ εςˆ ω ) ( ) ∑ ∑∞= = ({
−
+ Ω
− 2 21 0 0
4 ˆ
p N j
p nj n
i
n f g
e n
ω ε τ
τ
z κ
)} j i(k k p)τ ( njp njp) j i(k k p)τ
p nj
n j n
j g ih z e
e z
ih − + + + − + −
+
(
−gnjp +ihnjp)
zjei(kj kn p) +(
−gnjp+ − − τ
)
z e ( )τ } O( )
ε2ihnjp j ikj kn p +
+ − + + ---(11)
上式中ε =ςˆn ςn , ε12 fˆ( ) ( )τ = f τ 。
(11)式可利用統計平均法(method of stochastic averaging) 求得z 在各種共振頻率n
組合 p
ωn
≈ 2
Ω ,
p
n
m ω
≈ω +
Ω 及
p
n
m ω
≈ω −
Ω 下之伊東方程式(Ito equation)。利用伊 東方程式可求得系統一階力矩及二階力矩方程式。由一階及二階力矩方程式，可 得到系統之一階及二階力矩穩定條件。
四、結果與討論
圖二顯示邊緣負荷角度對旋轉圓盤第一力矩不穩定區堿之影響。圖( )a 作用力
角度為0 ，即為徑向力。圖o ( )c 之作用力角度為90 , 即為切向力。圖中之不穩定o 區為不穩定邊界所包圍的區堿，由圖二可發現不穩定區只發生在主共振ω1處及 和式組合共振( )
3
0
3 ω
ω + 、( )
3
1
2 ω
ω + 、( )
4
1
3 ω
ω + 及( )
5
2
3 ω
ω + 等處，並沒有差式組 合共振。隨著作用力角度之增大，不穩定區之位置並沒有改變，但其大小卻隨之 增大，亦即系統愈不穩定。
五、參考文獻
1. Mote, C. D., Jr. and Szymani, R., 1978,’’Circular Saw Vibration Research,’’ The Shock and Vibration Digest, Vol. 10,No.6, pp. 15-30.
2. Lamb, H. and Southwell, R. v., 1921,’’The Vibration of Spinning Disk,’’
Proceedings of Royal Society, Vol.99, pp. 272-280.
3. Nowinski, J. L. 1964,’’Nonlinear Transverse Vibration of a Spinning Disk,’’
Journal of Applied Mechanics, Vol.31, pp. 72-78.
4. Advawi, S. H. and Bulkeley, P. Z., 1969,’’Nonlinear Transverse Vibration and
Waves in Spinning Membrane Discs,’’ International Journal of Non-Linear Mechanics, Vol. 4,pp. 123-127.
5. Iwan, W. D. and Moeller, T. L., 1976, ’’ The stability of a Spinning Elastic Disk with a Transverse Load System,’’ Journal of Applied Mechanics, Vol.43, pp.
485-490.
6. Ono, K., Chen, J. S. and Bogy, D. B., 1991,’’Stability Analysis of the Head-Disk interface in a Hexible Disk Drive,’’ Journal of Applied Mechanics, Vol.58, pp.
1005-1014.
7. Chen, J. S., 1994,’’Stability Analysis of a Spinning Elastic Disk Under a Stationary Concentrated Edge Load,’’ Journal of Applied Mechanics, Vol.61, pp.
788-792.
8. Chen, J. S., 1997,’’Parametric Resonance of a Spinning Disk Under Space Fixed Pulsating Edge Loads,’’ Journal of Applied Mechanics, Vol. 64, pp. 139-143.
9. Shen, I. Y. and Song, Y., 1996,’’Stability and Vibration of a Rotating Circular Plate Subjected to Stationary In-Plane Edge Loads,’’ Journal of Applied Mechanics, Vol. 63,pp. 121-127.
圖一、旋轉圓盤承受固定位置之隨 機邊緣負荷之示意圖
ε
Ω~
(a) Φ=0o
圖二、邊緣負荷作用角度對旋轉圓
的第一力矩不穩定區域之影 響
六、計畫成果自評
本計劃之研究內容為旋轉圓盤承受固定位置之隨機邊緣負荷之動態穩定性 研究與原計劃完全相符。計畫成果包含:1.建立旋轉圓盤承受固定位置之隨機邊緣 負荷之動態穩定性分析方法; 2.探討系統各參數對旋轉圓盤承受固定位置之隨機 邊緣負荷之動態穩定性之影響; 3.培育從事旋轉圓盤及隨機邊緣負荷之動態穩定 性參數性激振系統分析之研究人才。本計劃之研究成果具有學術參考價值，適合 發表在振動相關的國內外學術期刊上。本計畫的主要發展現有:
(1)系統之不穩定區域只發生在主共振及和式組合共振處，不會發生在差式組合 共振處。
(2)邊緣負荷之平均值增大或圓盤內外徑減小，系統之自然頻率會降低因此系統 不穩定區會往低頻移動。
(3)邊緣負荷角度增大，系統不穩定區隨之擴大，但不穩定區開始發生的轉速不
ε
ε
(c) ΦΩ~=90o
v=0.27; =0.5 b
a ; α =0.05;S=0.00005
Ω~
(b) Φ=45o
會隨著作用力角度變化而改變。
(4)圓板阻尼增大，系統不穩定區會向上退縮，邊緣負荷之頻譜密度增大，系統 不穩定區會擴大。
