線性代數與數論
余文卿
使用代數的語言, 線性代數即是探討向 量空間及上面的同態 (homomorphisms), 構成向量空間的主體只是一加法交換群, 其 元素通稱為向量, 而副體是一代數體, 通常是 複數體 C 或其子體 R 或 Q, 有時也可能是 有限體; 體中的元素通稱為純量; 純量乘向量 得出向量, 這乘法稱為純量乘法。 而向量空間 即是一具有純量乘法的加法交換群。
向量空間中較重要的同態即是一般所稱 的線性轉換, 即對所有向量 v1, v2 以及純量 滿足
L(αv1+ βv2) = αL(v1) + βL(v2)。
當這向量空間的維數是有限時, 取定一特殊 的基底 u1, u2, . . . , un; 若
L(ui) =
n
X
j=1
aijuj, i = 1, 2, . . . , n.
則 L 對映一 n × n 方陣 A = [aij]1≤i,j≤n; 變換到另一組基底 w1, w2, . . . , wn,
wj =
n
X
k=1
pjkuk j = 1, 2, . . . , n 定 P = [pjk], 則 L 所對應的方陣是 P AP−1。
一向量空間中最重要的代數運算除向 量加法以及純量乘法外, 就算內積(inner procuct) 了。 內積把兩個向量映到純量, 是 一雙線性函數。 以 (v1, v2) 表示兩向量 v1 與 v2 的內積, 則對任意純量 α, β,
< αu + βv, w > = α < u, w > +β < v, w >,
< u, αv + βw > = α < u, v > + ¯¯ β < u, w > .
利 用 向 量 的 內 積 以 及 有 名 的 Cauchy- Schwartz 不等式
| < u, v > |2 ≤< u, u > < v, v >
可定出兩向量 u, v 的夾角 θ 為
cos θ =< u, v > / < u, u >1/2< v, v >1/2 因而兩向量垂直的充要條件是內積為零。
其實, 大部份的線性代數理論已見於高 中的數學課程, 二維與三維向量空間見於高 中的數學課程; 二維與三維向量空間見於高 二的解析幾何學中, 矩陣與行列式的理論則 見於高三理科數學。 當然, 這基礎性的代數理 論也引用於大學的相關課程。 數論是代數的 一主要分支, 自然處處可看到線性代數的痕
1
跡, 底下我們就從線性代數出發, 來引導出兩 個數論上的重要主題。
A. Bernoulli 多項式
考慮定義在 [0, 1] 的平方可積分函數所 形成的函數空間 L2([0, 1]), 其內積定義是
< f, g >=
Z
10 f (x)g(x)dx。
在這內積下, L2([0, 1]) 構成 一 Hilbert 空 間, 亦即 complete inner product space。
在 L2([0, 1]) 中, 考慮
S = {1, x, x2, . . . , xn, . . .}.
S 是由 x 之所有單項式所集的集合, 這集合 並非一垂直集合, 因
< xi, xj >=
Z
10 xi+jdx = 1
i + j + 1 6= 0.
但 Gram-Schmidt 步驟保證我們可以從 S 建構另一垂直集合 T = {B0(x), B1(x), . . ., Bn(x), . . .} 使得 Bn(x) 的次數是 n 且其領 導係數是 1; 其建構方法如下:
B0(x) = 1,
B1(x) = x− < x, 1 >= x − 1 2, B2(x) = x2− B1(x)
< B1, B1 > < x2, B1(x) >
− < x2, 1 >
= x2− x +1 6,
由這樣導出的一系列多項式 B0, B1(x), . . . Bn(x), . . ., 即是數論上有名的 Bernoulli 多
項式。 在數論上, 這些多項式是由一特殊函數 的級數展開而得出, 即
text et− 1 =
∞
X
n=0
Bn(x)tn
n! , |t| < 2π.
若先定 Bernoulli 數為 t
et− 1 =
∞
X
n=0
Bntn
n! , |t| < 2π.
則
Bn(x) =
n
X
k=0
n k
!
Bkxn−k
這的確是領導係數是 1 的 n 次多項式, 而 Bn(x) 的常數項 Bn(0) = Bn。
Bernoulli數與 Bernoulli 多項式在數 論上出盡鋒頭; 早 在 18世 紀 中 葉, Eu- ler 即 能 用 Bernoulli 數表示出 Riemann Zeta函數在偶數的取值。 Riemann Zeta 函 數的定義是
ς(s) =
∞
X
n=1
1
ns, Re s > 1.
Euler所得到的式子是
ς(2m) = (−1)m−1(2π)2mB2m
2(2m)! , 特別是
1 + 1 22 + 1
32 + · · · + 1
n2 + · · · = π2 6 , 1 + 1
24 + 1
34 + · · · + 1
n4 + · · · = π4 90. Bernoulli數也自然出現在古 典的 Poisson Maclaurin 求和公式裡: 若 f ∈ S([0, ∞)) 則
∞
X
n=1
f (n) =
Z
∞0 f (x)dx+
∞
X
r=0
(−1)rBr+1
(r + 1)! f(r)(0) 這裡 S([0, ∞)) 表示由滿足對所有整數 n,
λ→∞lim λn|f(r)(λ)| = 0
的所有無窮可微分之函數 f 所構成的函數空 間。 另一方面, Bernoulli多項式也是一些級 數的取值:
∞
X
n=1
cos 2πnx
(2πn)2m = (−1)m−1B2m(x) 2(2m)! ,
|x| < 1, m ≥ 1.
∞
X
n=1
sin 2πnx
(2πn)2m+1 = (−1)m+1B2m+1(x) 2(2m)! ,
|x| < 1, m ≥ 0.
當然從上面的表現式, 可很快看出 Bernoulli 多項式彼此之間的垂直性, 而這又回到了線 性代數。
B. 二階方陣與模型群
在線性代數中, 每一 Rn 到本身的線 性轉換都可表為 n × n 的實方陣 A = [aij]1≤i,j≤n 而這線性轉換可逆的充要條件是 det A 6= 0。 現考慮行列式值是 1 的 2 × 2 實方陣
SL2(R)=
("
a b c d
#
a, b, c, d ∈ R, ad−bc=1
)
SL2(R) 構成一乘法群, 而稱為特別線性群, 其子群
SL2(Z)=
("
a b c d
#
a, b, c, d ∈ Z, ad−bc=1
)
在數論上被稱為模型群(modular group)。
這群的生成元是 S =
"
0 1
−1 0
#
與 T =
"
1 0 0 1
#
模型群及其子群在模型式理論上扮演了極其 重要的角色。 現舉出其中之一。
對任意複數平面上的方格點
L = {uw1+ vw2|u, v ∈ Z} = Zw1+Zw2, 其中 w1, w2, 0 在複數平面上不共線且 Im w1/w2 > 0。 在
σ :
(
w1 −→ aw1+bw2w2 −→ cw1+dw2 ,
"
a b c d
#
∈ SL2(Z) 的模型變換下, 很明顯有 σ(L) = L 且 σ(0) = 0, 其逆轉換是
σ−1 :
(
w1 −→ dw1− bw2, w2 −→ −cw1+ aw2. 因而函數Gk(L) = Gk(w1, w2) =
X
λ∈L,λ6=0
λ−k , k ≥ 4 是偶數
滿足對所有模型轉換 σ
Gk(σ(L)) = Gk(L)。
亦即對任意
"
a b c d
#
∈ SL2(Z),
Gk(aw1+ bw2, cw1+ dw2) = Gk(w1, w2)。
現令 z = w1/w2 且 Gk(z) = w2kGk(w1, w2)
=
X
(c,d)∈Z2−(0,0)
(cz + d)−k
則有 Gk
az + b cz + d
!
= (cz + d)kGk(z)。
這 Gk(z) 即是權為 k 的模型式, 被稱為 Eisenstin 級數。
利用複數平面上的同一方格點 L 也可 建構另一有名的雙週期函數 − Weierstrass
℘− 函數
℘(z, L) = 1
z2 +
X
λ∈L,λ6=0
"
1
(z − λ)2 − 1 λ2
#
利用 |z| < λ 時, 1
(z − λ)2 = 1 λ2
"
1 (1 − z/λ)2
#
= 1
λ2 1 + 2
z λ+ 3
z λ 2+ · · · + n
z λ n−1+ · · ·
!
,
得出 ℘(z, L) 在 z = 0 附近的冪級數展開式 為
℘(z, L) = 1
z2 + 3G4(L)z2 + 5G6(L)z4 +· · ·+(2n−1)G2n(L)z2n−2+· · · ,
設 X = ℘(z, L), Y = ℘′(z, L) 注意到
F (z) = Y2−(4X3−60 G4(L)X−140 G6(L)) 在 z = 0 附近的展開式中不再含有 z 的負 次項, 因而是 z 的解析函數, 而 F (z) 又是 一雙週期函數 故必是一全純函數, 其唯一可 能是常函數。 由此得出
Y2 = 4X3− 60 G4(L)X − 140 G6(L)。
上面方程式定義一同構於 C/L 的橢圓曲線。
橢 圓 曲 線 的 理 論 因 Wiles 聲 明 證 明 Taniyama-Shimura-Weil猜測而再度 被炒熱, 這猜測斷言所有的半穩定橢圓曲線
都是模型曲線。 若這猜測成立, 則Fermat 最 後定理也跟著成立, 對於 Fermat 最後定理 的新近發展, 請參考 [1,2,3]。
對於給定的橢圓曲線
E : y2 = x3+ ax2+ bx + c, a, b, c ∈ Q, 如何分辨 E 是否是模型曲線呢? 方法之一是 考慮這橢圓曲線的 Hasse-Weil L-函數, 這 是一具有無窮乘積的 Zeta 函數, 若這函數 對應到一模型式的 Zeta 函數, 則稱這曲線 是一模型曲線。 底下我們說明模型式的 Zeta 函數以及 Hasse-Weil L-函數的建構方法。
一模型式 f (z) 滿足轉換式 f az+b
cz+d
!
=(cz+d)kf (z),
"
a b c d
#
∈ SL2(Z) 特別是 f (z + 1) = f (z), 故 f 是一特別的 週期函數, 而有 Fourier 展開式
f (z) =
∞
X
n=−∞
ane2πinz。
實際上, Fourier 係數 an 在 n < 0 時皆為 零。 即 f 的 Fourier 展開式形式是
f (z) =
∞
X
n=0
ane2πinz, 定義 f 所對應的 Zeta 函數是
Z(f ; s) =
∞
X
n=1
ann−s, 如以 Gk(z) 為例, 其 Fourier 展開式是
Gk(z) = −Bk
2k +
∞
X
n=1
X
d|n
dk−1
e2πinz, 而所對應的 Zeta 函數是∞
X
n=1
X
d|n
dk−1
n−s= ζ(s)ζ(s − k + 1)。另一方面, 對任意質數 p 以及正整數 r, 以 Nr 表示方程式 y2 = x3+ ax2+ bx + c 在有限體 Fpr 中解的個數, 這裡 Fpr 表示具 有 pr 個元素的有限體。 定義
Z(E/Ff; T ) = exp
∞
X
r=1
Nr
Tr r
!
, 亦即
d
dTZ(E/Fp; T ) =Z(E/Fp; T )
∞
X
r=1
NrTr−1
!
Z(E/Fr; T ) 是 T 的有理函數, 對幾乎所有 的質數 p,
Z(E/Fp; T ) = 1 − aE,pT + pT2 (1 − T )(1 − pT ) 而橢圓曲線 E 的 Hasse-Weil L-函數即定 義為
Y
p|NE
(1−aE,pp−s)−1
Y
p†NE
(1−aE,pp−s+p1−2s)−1
其中 NE 是橢圓曲線 E 的 conductor。
注意到 Hasse-Weil L-函數可表現為無 窮乘積, 但模型式的 Zeta 函數則不一定可 表現為無窮乘積, 其可表為無窮乘積的充要 條件是這模型式是 Hecke 算子的共同特徵函 數。 這裡的 Hecke 算子把權為 k 的模型式映 到權為 k 的模型式, 定義是
T (n)f (z)=nk−1
X
a≥1,ad=n
X
0≤b<d
d−kf az+b d
!
若存在有一複數 λ(n) 使得對所有正整數 n, T (n)f = λ(n)f,
則稱 f 是一共同特徵函數, 限制 f 的第一個 Fourier 係數是 1 時, 則 f 所對應的 Zeta 函數是
Y
p
(1 − app−s+ pk−1−2s)−1
設 p 是大於3的質數且設 Fermat 方程 式 xp+yp+zp = 0 有不全為零的非顯然解。
取一組原始解 (a, b, c), 定 A = ap, B = bp 且 C = cp, 則橢圓曲線
EA,B : y2 = x(x − A)(x + B) 是 一 半 穩 定 的 橢 圓 曲 線, 稱 為 Frey 曲線, 若 Taniyani-Shinura-Weil 猜 測成立, 則 EA,B 背後有一權為 2 的模型式, 使得EA,B 的 Hasse-Weil L-函數與這模型 式的 Zeta 函數一樣, 但模型式的理論專家 告訴我們根本沒有這樣的模型式, 這就推出 Fermat 最後定理成立。
參考資料
1. 余文卿, 費馬最後定理, 數學傳播 70, p.32- 41, 1994。
2. 李文卿, 費馬最後定理: A.Wiles 的解決方 法, 數學傳播 (70), p.42-66, 1994。
3. 余文卿, 費馬最後定理的過去, 現在與未來, 自然科學簡訊, p.19-21, 1995。
4. Neal Koblitz, Introduction to elliptic curver and modular forms, Springer- Verlag, 1984.
5. Richard O. Hill, Jr, Elementary linear algeba with applications Acalemic, Press, 1991.
—本文作者任教於國立中正大學數學系—
