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線性代數五講一一

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(1)

線性代數五講一一

第四講 主理想整環上的模及其分解

龔 昇 · 張德健

4.1. 環上的模的基本概念

A. 在第二講及第三講中, 我們討論了向量空間及其上線性變換, 在這一講及下一講中將 從模的觀點來重新認識之, 這是本書的主要部份, 在這一講中, 將介紹模的定義和基本性質, 尤 其是在主理想整環上的模及其分解。

若 V 體 F 上的一個向量空間, T ∈ L(V)。 對 F[x] 中任一多項式 p(x), 對任意 ~v ∈ V, 可定義

p(x) ~v = p(T )(~v),

這就是我們要討論作用在 V 上的線性算子。 顯然對任意 r(x), s(x) ∈ F[x], ~u, ~v ∈ V 有 r(x) (~u + ~v) = r(x) ~u + r(x) ~v,

(r(x) + s(x)) ~u = r(x) ~u + s(x) ~u, (r(x) s(x)) ~u = r(x) (s(x) ~u),

1 ~u = ~u,

等等。 但是 F[x] 不是體而是環, 所以 F[x] 中元素對 V 作純量乘積, V 不能成為一個向量空 間。 於是引入了比向量空間更為一般的概念 : 模。

定義4.1.1: 若 R 是有單位元的交換環, 其元素稱為純量 (scalar)。 一個 R−模 (R−

module), 或 R 上的一個模 (a module over R) 是一個非空集合 M, 有運算加法, 記作 +, 對 (~u, ~v) ∈ M × M, 有 ~u + ~v ∈ M; 另一個是 R 與 M 的運算是純量乘積, 用毗連來表示, 對 (r, ~v) ∈ R × M, 有 r ~v ∈ M, 而且有

1. M 對加法而言是 Abel 群;

2. 對所有 r, s ∈ R, ~u, ~v ∈ M 有

25

(2)

a. (分配律) : r (~u + ~v) = r ~u + r ~v, (r + s) ~u = r ~u + s ~v;

b. (結合律) : (r s) ~u = r (s ~u), c. 1 ~u = ~u.

顯然當 R 為體, 則模為向量空間, 即體上的模就是向量空間。當 R = Z (整數環), 則 Z−

模就是 Abel 群, 故模也是 Abel 群的概念之擴充。

特別重要的是在第一講開始就說到的 R = F[x], 若 F 是體, 則由定理 1.2.1, F[x] 是主 理想整環, 於是可以定義 F[x]− 模, 這是我們今後要主要討論的對象。

若 R 是環, 則所有 m × n 的矩陣的集合 Mm,n(R) 是一個 R− 模, 其加法與數乘就是 矩陣的加法與數乘。 當 R = F[x] 時, Mm,n(F[x]) 是矩陣元素全為多項式的矩陣的全體, 它 成為一個 F[x]− 模。

另一個重要的模式環 R 自己可以成為 R− 模。 若 R 有單位元素的交換環, 定義數乘為 環乘法, 這就是成為一個 R− 模, 我們今後會用到這個模。

在下面所討論的線性算子 T ∈ L(V) 作用在向量空間 V 上時, V 可以看成 F 上的一個 向量空間, 也可以看成在 F[x] 上的模。

B. 一些向量空間中的概念可以推廣到模上。 例如我們可定義 R− 模 M 的子模如下 : 若 S 是 R− 模 M 的一個部分集合, 本身是一個 R− 模, 稱 S 為 M 的子模, S 上的 運算就是 M 的運算在 S 上的限制。 不難證明

R− 模 M 的一個非空部分集合 S 成為子模的充分必要條件為對任意 r, s ∈ R, ~u, ~v ∈ S 有 r ~u + s ~v ∈ S。

若 S1, S2 是 M 的子模, 則 S1 ∩ S2

S1 + S2 = ~w1 + ~w2 : ~w1 ∈ S1, ~w2 ∈ S2

也是 M 的子模。

c. 有單位元的交換環 R 就是 R 自己上面的模, 則 R− 模 R 的子模就是環 R 的理想。

由子模的概念, 可以定義模的直和 : 若 M 是 R− 模, 稱 M 是子模 S1, . . . , Sn 的直和 (direct sum), 若對每個 ~v ∈ M 可以唯一地(不計前後次序) 寫成是子模 Sj 中元素之和。 即 對任意 ~v ∈ M, 有 ~vj ∈ Sj, j = 1, . . . , n 使得

~v = ~v1+ · · · + ~vn=

n

X

j=1

~vj. 並且若還有 ~wj ∈ Sj, j = 1, . . . , n 使得 ~v = Pn

j=1w~j, 則經過適當排列有 ~wj = ~vj, j = 1, . . . , n。

當 M 是子模 S1, . . . , Sn 的直和, 寫成

M = S1⊕ S2 ⊕ . . . ⊕ Sn.

(3)

若 M = S ⊕ Sc, 則 Sc 為 S 在 M 中的補集 (complement)。 顯然, M 是子模 S1, . . . , Sn

的直和若且唯若 M = S1+ S2+ · · · + Sn 及對每一個 j = 1, . . . , n, 有 Sj ∩  X

k6=j

Sk

= {~0}.

可以定義生成集 (spanning set)如下 : 若 M 是 R− 模, S 是一個部分集合, 由 S 生成 的 (spanned or generated) 子模為 S 中元素的所有的 R− 線性組合, 即

hSi = span(S) =r1~v1+ · · · + rn~vn : rj ∈ R, ~vj ∈ S, j = 1, . . . , n .

M 中的一個部分集合 S 稱為生成 (spanned or generated) M, 若 M = hSi, 即每一個

~v ∈ M, 可寫成

~v =

n

X

j=1

rj~vj,

這裡 r1, . . . , rn ∈ R, ~v1, . . . , ~vn ∈ S。 特別由一個元素生成的子模, 即 h~vi = R ~v = {r ~v : r ∈ R}, ~v ∈ M, 稱為由 ~v 生成的循環子模 (cyclic submodule)。 這是一種十分重要的子 模, 今後要不斷出現。 如果 R− 模 M 可以由有限集合生成, 則稱 M 是有限生成的 (finitely generated)。

C. 同樣可以在模中定義部分集合的 R− 線性獨立、 R− 線性相依及 R− 基底。 若 S 是 M 的部分集合, 稱 S 為線性獨立的 (linearly independent), 若對任意 r1, . . . , rk ∈ R,

~v1, . . . , ~vk ∈ S, 下面的齊性方程式

r1~v1+ r1~v1+ · · · + rk~vk= ~0

有唯一的解 r1 = · · · = rk= 0。 若集合 S 不是線性獨立的, 則稱為線性相依。

若 M 是 R− 模, M 的部分集合 B 稱為 M 的基底 (basis), 若 B 線性獨立且生成 M。

由此易見

a. 模 M 的部分集合 B 是一組基底若且唯若對每個 ~v ∈ M 有唯一的部分集合 {~v1, . . .,

~vn} 及非零純量 α1, . . . , αn ∈ R, 使得

~v =

n

X

j=1

αj~vj.

b. 若 B 是 M 的基底, 則 B 是 M 的極小生成集合, 是極大線性獨立集合。

對於向量空間, 有線性變換; 對於模則有同態的概念。

(4)

定義4.1.2: 若 M, N 為 R− 模, 映射 T : M → N 稱為 R− 同態 (homomorphism), 若對所有 r, s ∈ R, ~u, ~v ∈ M, 有

T (r ~u + s ~v) = r T (~u) + s T (~v).

所有從 M 到 N 的 R− 同態記作 HomR(M, N)。

顯然 R− 同態是線性變換的推廣。 我們稱 M 到 M 的 R− 同態為自同態 (endomor- phism); 稱單射的同態為單同態 (monomorphism); 稱滿射的同態為滿同態 (epimorphism);

稱雙射的同態為同構 (isomorphism)。

若 T ∈ HomR(M, N), 定義 T 的核與像為

ker(T ) = {~v ∈ M : T (~v) = ~0}, Im(T ) = { ~w ∈ N : ∃~v ∈ M, such that T (~v) = ~w}, 它們分別是 M 及 N 的子模。

由於不是所有的模都有 R− 基底, 故有以下的定義 :

定義4.1.3: R− 模 M 稱為自由的 (free), 若 M 有 R− 基底。 若 B 是 M 的基底, 稱 M 在 B 上自由。 M 的基底的基數 (cardinality) 稱為 M 的秩 (rank), 記作 rank(M)。

下來證明這樣的定義是有意義的

D. 若 M 是 R− 模, S 是它的子模, 稱

~v + S = {~v + ~s : ~s ∈ S}, ~v ∈ M

為 S 在 M 中的一個陪集, 所有 S 在 M 中的陪集作成的集合記作 M/S。 這是一個 R− 模, 其運算定義為

(~v + S) + (~u + S) = ~v + ~u + S, r (~v + S) = r ~v + S,

而 M/S 的零元素為 ~s + S = ~0 + S = S。 這個 R− 模稱為 M 關於 S 的商模 (quotient module)。

現在來證明: 若 M 是自由模, 則 M 的任意兩個基底有相同的基數。 有了這個結果, 自由 模 M 的秩才有意義。 為此, 要建立一些環的結果。

若 R 是有單位元素的交換環, Q 是 R 的理想, Q 在 R 中的陪集的集合 R/Q 作為一 個環, 稱為 R 關於 Q 的 商環 (quotient ring), 其加法與乘法定義為

(a + Q) + (b + Q) = a + b + Q, (a + Q) (b + Q) = ab + Q, ∀ a, b ∈ R

(5)

要證明乘法有意義, 就要證明

b + Q = b+ Q ⇒ ab + Q = ab+ Q, 也就是

b − b ∈ Q ⇒ a (b − b) ∈ Q,

由於 Q 是理想, 故上式成立。 現在我們來證明下面的結果, 以說明極大理想的重要性。

引理 4.1.1: 若 R 是有單位元素的交換環, 商環 R/Q 是體若且唯若當 Q 是極大理想 (即不存在 R 的理想 I, 使得 Q ( I ( R)。

證明: 若 R/Q 是體, 且 Q 不是極大理想, 則存在理想 I 滿足 Q ( I ( R。 設 i ∈ I − Q, 考慮由 i 及 Q 生成的理想 :

K = hi, Qi ⊆ I.

由於 i 6∈ Q, 故 i + Q 6= 0。 由於 R/Q 是體, 故 i + Q 有反元素存在, 稱之為 i + Q, 即 (i + Q) (i+ Q) = i i+ Q = 1 + Q.

所以 1 − i i ∈ Q ⊆ K。 但 i i ∈ K, 故 1 ∈ K, 這便導出故 K = R。 但 K ⊆ I, I 是 R 的真部分集合, 這個矛盾導出 Q 是極大理想。

反之, 若 Q 是極大理想, 0 6= r + Q, 則 r 6∈ Q, 故 I = hr, Qi 是嚴格地包含 Q。 因為 Q 是極大理想, 故 I = R。 這導出 1 ∈ I, 故有 s ∈ R 使得 1 = sr + i 對某個 i ∈ Q 成立。

(s + Q) (r + Q) = sr + Q = (1 − i) + Q = 1 + Q.

即 (r + Q)−1 = s + Q。 所以 R/Q 是體。 定理因而證畢。

引理4.1.2: 任意有單位元的交換環 R 一定有極大理想。

證明: 若 R 不是零環, 則一定有真理想, 例如 {0}。 若 I 為 R 所有真理想的集合, 則 I 為非空集合, 若

Q1 ⊂ Q1 ⊂ . . .

是 R 中真理想鏈, 則 I = ∪jQj 也是一個理想。 因為 1 6∈ I, 故 I ∈ I。 因此 I 中任何鏈 都有上界, 由 Zorn 引理, I 有極大元素 (對照 2.1 節中向量空間與其基底存在1性的證明)。 這 證明了 R 有極大理想, 引理證畢。

定理4.1.1: 若 M 是自由 R− 模, 則 M 的任意二個基底有相同的基數。

(6)

證明: 由引理 4.1.2, R 有極大理想 Q, 再由引理 4.1.1 知 R/Q 是一個體。 令 Q M =a1~v1+ · · · + an~vn: aj ∈ Q, ~vj ∈ M, j = 1, . . . , n ,

則 Q M 是 M 的一個子模, 稱為商模 M/Q M。 現在來證明 M/Q M 是體 R/Q 上的一個 向量空間, 為此定義其數乘為

(r + Q)(~u + Q M) = r ~u + Q M,

這裡 r ∈ R 及 ~u ∈ M。 我們先要驗證這樣定義的數乘是有意義的, 換句話說, 我們要證明若 r r ∈ R, ~u ~u ∈ M, 且

r + Q = r+ Q, 及

~u + Q M = ~u+ Q M 則

r ~u + Q M = r~u+ Q M.

也就是要證明若 r − r ∈ Q, ~u − ~u ∈ Q M, 則 r ~u − r~u ∈ Q M。

由於 r − r ∈ Q, ~u − ~u ∈ Q M, 則 (r − r) ~u ∈ Q M 及 r (~u − ~u) ∈ Q M。 於是 (r − r) ~u+ r (~u − ~u) = r ~u − r~u ∈ Q M.

因此, 這樣定義的數乘是有意義的。 可以直接驗證 : 這樣定義的數乘滿足在定義 1.3.1(向量空 間的定義) 中數乘滿足的四個條件, 而 M/Q M 顯然對加法成 Abel 群。 故 M/Q M 的確是 體 R/Q 上的一個向量空間。

若 B 是自由 R− 模 M 上的一組基底, 且 ~bj, ~bk ∈ B, j 6= k, 則 ~bj+Q M 與 ~bk+Q M 是不相同的。 這可證明如下: 若

~bj+ Q M = ~bk+ Q M, j 6= k 成立, 則 ~bj − ~bk ∈ Q M, 故

~bj − ~bk = a1~v1+ · + an~vn,

這裡 ak ∈ Q, ~vk ∈ M, k = 1, . . . , n。 由於每個 ~vk 都是 B 中元素的線性組合。 假設 ~vk

~bj 的係數為 αk, 比較上式兩邊的 ~bj 係數, 得到

1 = a1α1+ · + anαn,

(7)

而 αk+ Q, k = 1, . . . , n, 故上式右邊屬於 Q, 即 1 ∈ Q, 這與 Q 是極大理想互相矛盾。 所 以, 當 j 6= k, ~bj+ Q M 與 ~bk+ Q M 是不相同的。 因此

B =~b + Q M : ~b ∈ B 與 M 的基底 B 有相同的基數。

繼續來證明 B 是 R/Q 上的一個向量空間 M/Q M 的一組基底。 由於 B 生成 M, 故 B 生成 M/Q M。 要先證 B 線性獨立。 若

n

X

j=1

j + Q) (~bj + Q M) = ~0,

則 Pn

j=1j~bj + Q M) = ~0, 也就是Pn

j=1 αj~bj ∈ Q M, 於是

n

X

j=1

αj~bj =

n

X

j=1

aj~bj,

這裡 aj ∈ Q, j = 1, . . . , n。 兩邊相等導出 αj ∈ Q, j = 1, . . . , n。 於是 αj + Q = 0, 即 R/Q 中的零元素, j = 1, . . . , n。 故 B 為線性獨立。 因此, B 的確是向量空間 M/Q M 的 一組基底。 而 B 的基數 = dim (M/Q M), 不依賴於 B 的選取。

定理 2.1.1告訴我們, 體 F 上兩個向量空間同構若且唯若它們的維數相同。 在模的情形, 有 如下定理。

定理4.1.2: 兩個自由 R− 模同構若且唯若它們有相同的秩。

證明:

M

N

為兩個自由

R−

模。 假設

M ≈ N

則從

M

N

的任意同構映 射

T

M

的一組基底映為

N

的一組基底。 由於

T

是雙射

,

rank(M) = rank(N)

。 反之

,

rank(M) = rank(N)

B

M

的一組基底

, C

N

的一組基底

,

則由於

B

C

的基數相同

,

故有雙射

T : B → C,

這個映射可線性擴充到整個

M

到整個

N

上的 同構

,

所以

, M ≈ N

R−

M

的秩數

n

為有限時

,

易見

M ≈ Rn

E.

由於有限生成

R−

M

的子模未必是有限生成的

,

因此

,

要討論在什麼條件下 有限生成

R−

M

的子模也是有限生成的便成為一個有趣的問題。 這個條件就是我們 下面要講的升鏈條件。

定義4.1.4: 一個 R− 模 M 稱為滿足子模的升鏈條件 (ascending chain condition), 如果對 M 的任何子模序列

S1 ⊂ S2 ⊂ S3 ⊂ · · ·

(8)

存在指標 k, 使得 Sk= Sk+1 = Sk+2 = · · · 。 子模升鏈條件記為 a.c.c.。

定理4.1.3: R− 模 M 的每個子模是有限生成的若且唯若 M 滿足子模的升鏈條件。

定理中的模稱為 Noether 模 (Noetherian module)。

證明: 若 M 的所有的子模都是有限生成, 而 M 有無窮上升子模序列 S1 ⊂ S2 ⊂ S3 ⊂ · · ·

易見 S = ∪jSj 也是 M 的子模, 故 S 也是有限生成的。 若 S = h~u1, . . . , ~uni, ~uj ∈ M, j = 1, . . . , n。 由於 ~uj ∈ S, 故有指標 kj, 使得 ~uj ∈ Skj。 令 k = max{k1, . . . , kn}, 則

~uj ∈ Sk, j = 1, . . . , n.

因此

S = h~u1, . . . , ~uni ⊂ Sk ⊂ Sk+1 ⊂ Sk+2 ⊂ · · · ⊂ S.

這表明上升子模序列 S1 ⊂ S2 ⊂ S3 ⊂ . . . 從 Sk 起是相同的。

反之, 若 M 滿足子模的升鏈條件且 S 是 M 的子模。 取 ~u1 ∈ S, 考慮子模 S1 = h~u1i ⊂ S, 若 S1 = S, 則 S 就是有限生成。 若 S1 6= S, 於是有 ~u2 ∈ S \ S1。 令 S2 = h~u1, ~u2i。 若 S2 = S, 則 S 就是有限生成。 若 S2 6= S, 於是有 ~u3 ∈ S \ S2。考慮子模 S3 = h~u1, ~u2~u3i。

一直這樣進行下去, 就得到一個子模上升鏈

h~u1i ⊂ h~u1, ~u2i ⊂ h~u1, ~u2~u3i ⊂ · · · S.

如果這樣的子模沒有一個等於 S, 就得到一個子模的無窮上升序列, 前一個為後一個所真包含, 這與 M 滿足子模的升鏈條件相互矛盾。 故有某個 n, 使得 S = h~u1, . . . ~uni, 換句話說, S 是 有限生成。 定理因而證畢。

由於環 R 是自己上的模, 且模 R 的子模就是環 R 的理想, 故定義 4.1.4及定理 4.1.3成 為如下定義:

定義4.1.5: 環 R 成為滿足理想的升鏈條件, 若對 R 的任意上升理想序列 Q1 ⊂ Q2 ⊂ Q3 ⊂ · · ·

一定存在指標 k, 使得 Qk = Qk+1 = Qk+2 = · · · 。 在 1.2節中證明了主理想環一定滿足升鏈條件。

定理4.1.4: 環 R 的每個理想是有限生成若且唯若 R 滿足理想的升鏈條件。

(9)

定理中的環成為Noether 環 (Noetherian ring)。 下面要證明一條重要的定理。

定理4.1.5: 若 R 是 Noether 環, 則任意有限生成的 R− 模是 Noether 模。

這條定理說, 若 R 是 Noether 環, 即每個理想是有限生成的, 則有限生成的 R− 模的每 個子模也是有限生成的。 這就給出了條件使有限生成的子模依然是有限生成的。

證明: 若 M 是有限生成的 R− 模, M = h~u1, . . . ~uni。 考慮滿射同態 T : Rn → M 定義為

T (α1, α2, . . . , αn) =

n

X

j=1

αj~uj, αj ∈ R, j = 1, . . . , n.

若 S 是 M 的一個子模, 則

T−1(S) =~α = (α1, α2, . . . , αn) ∈ Rn: T (~α) ∈ S

是 Rn 的一個子模, 且 T (T−1(S)) = S。 假設 Rn 只有有限生成子模, 則 T−1(S) 是有限生 成的, T−1(S) = h~β1, ~β2, . . . , ~βki。 於是若 ~w ∈ S, 則有 ~β ∈ T−1(S), 使得 ~w = T (~β)。 由於

β = γ~ 1β~1+ γ2β~2+ · · · + γkβ~k, γj ∈ R, j = 1, . . . , k, 故

~

w = T (~β) = γ1T (~β1) + γ2T (~β2) + · · · + γkT (~βk).

於是 S 由 {T (~β1), T (~β2), . . . , T (~βk)} 所有限生成。 所以餘下要證明的只是 Rn 的每一個子 模都是有限生成的。

當 n = 1 時這是對的, 因為 R 是 Noether 環。 假設對所有 1 ≤ k < n, Rk 只有有限 生成的子模; 若 S 是 Rn 的子模, 令

S1 =~α ∈ S : ~α = (s1, s2, . . . , sn−1, 0), sj ∈ R 及

S2 =(0, 0, . . . , 0, sn), (s1, s2, . . . , sn−1, sn) ∈ S, s1, . . . , sn∈ R

於是 S1 同構於 Rn−1 的一個子模 (只要將 S1 的每個元素的最後一個座標去掉)。 由數學歸納 法的假設, S1 是有限生成的。 令 S1 = hBi, 而 B = {~ν1, . . . , ~νk}, 0 ≤ k ≤ n − 1 (若 S1

為空集合, 則 B 為空集合而 k = 0)。

同樣 S2 同構於 R 的一個子模 (即理想), 因此是有限生成的。 若 S2 是平凡的, 則 S 的每 個元素的最後一個座標為 0, 故 S = S1 是有限生成的。 若 S2 是非平凡的, 而由 (0, 0, . . . , 0, bn), bn 6= 0 所生成; 在 S 中有 ~b = (b1, b2, . . . , bn−1, bn) ∈ S, 則 B = {~b} ∪ B 生

(10)

成 S。 這是因為 : 若 ~α = (s1, . . . , sn) ∈ S, 則 (0, . . . , 0, sn) ∈ S2, 故有 γ ∈ R, 使得 (0, . . . , 0, sn) = γ(0, . . . , 0, bn), 即 sn= γbn, 因此 ~α − γ~b ∈ S1, 於是 ~α ∈ γ~b + S1, 這就 是 B 生成 S。 定理因而證畢。

因為定理 4.1.5的關係, 導致我們去研究那些環是 Noether 環。

我們在此證明: 有單位元的交換環 R 是體若且唯若當它只有理想 {0} 及 R, 而無其它理 想。 因此, 由定理 4.1.4, 體當然是 Noether 的, 當 R 是主理想整環時, 由於所有的理想都是主 理想; 因此, 主理想整環也是 Noether 的。 下面給出十分重要的 Hilbert 定理。 這是一個十分 有用的基本定理。

定理4.1.6 (Hilbert 基本定理): 若環 R 是 Noether 環, 則多項式環 R[x] 也是 Noether 環。

證明: 要證的是 R[x] 的任意一個理想 Q 是有限生成的。 令 Lj 為 Q 中所有 j 次多項 式最高項的係數及 R 中的零元素所成的集合, j = 0, 1, . . .。 不難看出 Lj 都是 R 的理想, 這 是因為對 a, b ∈ Lj, a 6= 0, b 6= 0, 存在 j 次多項式

f (x) = a xj+ · · · ∈ Q, g(x) = b xj + · · · ∈ Q.

於是

f (x) − g(x) = (a − b) xj + · · ·

必屬於 Q。 若 a − b 6= 0, 則 a − b ∈ Lj; 若 a − b = 0, 但由於 0 ∈ Lj, 則必有 a − b ∈ Lj。 對於任一個 c ∈ R, c f (x) = c a xj+ · · · ∈ Q。 若 c a 6= 0, 則 c a ∈ Lj; 若 c a = 0, 但由於 0 ∈ Lj, 則必有 c a ∈ Lj; 所以 Lj 是 R 中的一個理想。 若 f (x) = a xj + · · · ∈ Q, 由於 Q 是 R[x] 的一個理想,

x f (x) = a xj+1+ · · · ∈ Q.

因此, 若 a ∈ Lj, 則 a ∈ Lj+1, 於是得到一個理想升鏈 L0 ⊆ L1 ⊆ L2 ⊆ · · · . 因為 R 是 Noether 環, 故存在 d 使得

Ld = Ld+1 = Ld+2 = · · · = L.

其中 L = ∪j≥0Lj。 因為 R 是 Noether 環, 所以每個 Lj, j = 0, 1, . . . , d 都是有限生成 的。 設 Lj = ha(1)j , . . . , a(kj j)i, j = 0, 1, . . . , d。 從而由 Lj 的定義知道, 有 Q 的多項式 fj(1), . . . , fj(kj), 使得 fj(ℓ) 的首項係數為 a(ℓ)j , ℓ = 1, . . . , kj

(11)

我們可以證明: S = {f0(1), . . . , f0(k0), f1(1), . . . , f1(k1), . . . , fd(1), . . . , fd(kd)} 是理想 Q 的 生成集。

為此, 設 f ∈ Q, deg(f ) = n。 對 n 用數學歸納法。 若 n < d, 則 an =P

1≤i≤kn ria(i)n , ri ∈ R。 於是多項式

h = f − X

1≤i≤kn

rifn(i)

的次數小於 n, 從而由數學歸納法的假設知 h 可由 S 中的元素生成, 進而 f 可由 S 中的元素 生成。

若 n ≥ d, 則 an ∈ Ln= Ld, 故 an=P

1≤i≤kd ria(i)d , ri ∈ R。 於是多項式 h = f − X

1≤i≤kd

rixn−dfd(i)

的次數小於 n, 從而由數學歸納法的假設知 h 可由 S 中的元素生成, 進而 f 可由 S 中的元素 生成。 定理因而證畢。

4.2. 主理想整環上的模

A.在上一節中給出了有單位元的交換環 R 上的模的定義以及它的一些性質。 當環 R 為 體時, 模就是向量空間, 至於向量空間中的部分基本概念與定理, 有些可以移植到模上來。 例如 子空間、 商空間、 直和、 生成集合、 線性獨立、 基底、 維數、 線性變換、 核與像等等, 到了模理論 中有相對應的名詞與定義。 例如, 與子空間、 商空間、 維數與線性變換相對應的為子模、 商模、

秩與模同態等。 但是模與向量空間, 從表面上看, 只是建立在環與體上的差別, 但相互之間卻存 在著本質上的差異。 這裡舉出一些事實, 而不加以證明。

1. 存在這樣的模, 它沒有線性獨立的元素。 當然就沒有基底。 這就是為什麼要引入自由模的原 因。

2. 存在這樣的模, 它的子模無補集。

3. 存在這樣的有限生成模, 其子模不是有限生成的。 這就是為什麼引入 Noether 模的原因。

4. 存在這樣的模, 它的線性相依集合 S 中的任一元素不能用 S 中其它元素的線性組合來表 示。

5. 存在這樣的模, 其極小生成集合不是模的基底, 其極大線性獨立集合不是模的基底。

6. 存在這樣的自由模, 其子模不自由, 其商模不自由。

7. 若 V 是體 F 上的向量空間, α ∈ F, ~v ∈ V, α 6= 0 及 ~v 6= ~0, 則 α ~v 6= ~0。 但在模的情形, 這不再永遠成立。

(12)

8. 存在這樣的自由模, 有線性獨立集合不包在基底中, 有生成集合不包有基底。

由於在一般的有單位元的交換環 R 上的模有種種不很理想的性質, 這才導致了我們專門 來討論主理想環上的模的理論。 這是因為主理想環有很多很好的性質, 這就導出了在其上的模 也有很多很好的性質, 因而情況大為改觀。 例如上述 (6) 中, 在主理想整環上自由模的子模也 是自由的, 等等。 這一講中針對著理想整環上的模進行研究之後, 在下一講中以此來考慮向量空 間中的一些問題, 我們便可以得到一系列重要的結果。

B. 現在我們來證明下面的定理 :

定理4.2.1: 主理想整環 R 上自由模 M 的任意子模 S 也是自由的, 且 rank(S) ≤ rank(M)。

證明: 我們只證明模的秩是有限的情形, 儘管秩為無限時這也成立。 由定理 4.1.2 知, 若 rank(M) = n, 則 M ≈ Rn。 因此, 我們直接來討論 Rn 即可。 現在對 n 用數學歸納法。

當 n = 1 時, M = R, R 的任意子模 S 就是 R 的理想。 由於 R 是主理想環, 即 S = hai。 設 S 6= {0}。 因 R 是整環, 故對所有 r 6= 0, 我們知道 ra 6= 0。 因此, 映射

σ : R → S, σ(r) = ra 是 R 到 S 的同構, 故 S 是自由的。

假設當 k < n 時, Rk 的子模是自由的。 令 S 是 Rk 的一個子模。 考慮 S1 = {α ∈ S : s1, . . . , sn−1 ∈ R, α = (s1, . . . , sn−1, 0)}

S2 = {(0, . . . , 0, sn) : s1, . . . , sn−1 ∈ R, α = (s1, . . . , sn−1, sn) ∈ S}.

因為 S1 同構於 Rn−1 的一個部分集合, 由數學歸納法的假設, 這是自由的。 設 B = {α1, . . ., αk} 是 S1 的基底, 其中 k ≤ n − 1 (若 S1 是平凡的, 則 B 是空集合)。

同樣, S2 同構於 R 的一個子模 (理想)。 若 S2 是平凡的, 則 S 中每個元素的最後座標 是 0, 故 S = S1 是自由的。 若 S2 非平凡, 則有秩 1, 基底為 {(0, . . . , 0, tn), tn 6= 0}, 且 β = (t1, . . . , tn−1, tn) ∈ S。 現在我們來證明 B = {β} ∪ B 是 S 的基底。 先證 B 是線性 獨立的。 若有 b, a1, . . . , ak ∈ R 使得

b β + a1α1+ · · · + akαk = 0, 則

b β = − a1α1+ · · · + akαk.

(13)

比較兩邊的最後座標, 我們得到 b tn = 0, 所以 b = 0。 而由 α1, . . . , αk 的線性獨立導出 aj = 0, j = 1, . . . , k, 故 B 是線性獨立的。 其次, 若 α = (s1, . . . , sn) ∈ S, 則 (0, . . . , 0, sn) ∈ S2, 所以 (0, . . . , 0, sn) = b (0, . . . , 0, tn), b ∈ R, 即 sn = b tn。 於是 α − b β ∈ S1, 也就是 α = b β + S1, 因此 B 生成 S; 故 S 是自由的。 這就證明了定理。

在 A 的第 7 點中我們提到, 體 F 上的向量空間 V, 若 a 6= 0, a ∈ F, ~v 6= ~0, ~v ∈ V, 則 a ~v 6= ~0, 但在模的情形, 這不一定成立。 於是有下面的定義 :

定義4.2.1: 若 R 是整環, M 是 R 的模。 對 v ∈ M, 如果有非零的 a ∈ R 使得 a v = 0, 則稱 v 是 M 的一個撓元素 (torsion element)。 一個模如果不包含撓元素則稱為 無 撓的 (torsion free)。 如果模的所有元素是撓元素, 則稱 M 是 撓模 (torsion module)。

若 M 為模, 其所有撓元素所組成的集合記作 Mtor, 不難看出這是 M 的一個子模, 且 M/Mtor 是一個無撓模。 這可證明如下 : 若 a, b ∈ Mtor, 則有 α, β ∈ R, α 6= 0 及 β 6= 0 使得 α a = 0 及 β b = 0。 於是對任意的 r, s ∈ R, 我們有 α β (r a + s b) = 0, 即 r a + s b ∈ Mtor。 由 4.1 節第 2 項中 (1) 知, Mtor 是一個子模。 現在我們再證 M/Mtor

是一個無撓模。 若 a + Mtor 是 M/Mtor 中的一個撓元素, 則存在 r ∈ R, r 6= 0, 使得 r(a + Mtor) = 0, 即 ra ∈ Mtor 。 於是有 s ∈ R, s 6= 0, 使得 s(r a) = (s r) a = 0, 且 s r 6= 0, 故 a ∈ Mtor, 於是 M/Mtor 中的撓元素是零, 即 M/Mtor 為無撓模。

其次, 不難看出主理想整環上任意自由模是無撓的, 但反之不真; 不過我們有如下的定理。

定理4.2.2: 主理想整環上模 M 如果是無撓的, 且是有限生成的, 則模是自由的。

證明: 由於 M 是有限生成的, 故有 ~0 6= ~vj ∈ M, j = 1, . . . , n, 使得 M = h~v1, . . . , ~vni。

在這些生成元素中取極大線性獨立部分集合 S = {~u1, . . . , ~uk}, 將 M 的生成元素重新寫成 M = h~u1, . . . , ~uk, ~v1, . . . , ~vn−ki.

於是對每個 ~vi, i = 1, . . . , n − k, 集合 {~u1, . . . , ~uk, ~vj} 是線性相依的。 所以對每個 ~vi, 存在 0 6= αi 及 β1(i), . . . , βk(i) 使得

αi~vi+ β1(i)~u1+ · · · + βk(i)~uk = ~0.

令 α = α1· · · αn−k, 則 α ~vi ∈ span(S), i = 1, . . . , n − k。 於是 α M = {α ~v : ~v ∈ M}

是 span(S) 的一個子模。 但 span(S) 是自由模, 其基底為 S, 故由定理 4.2.1, α M 也是自由 的。 考慮映射

Φ (~v) = α ~v

(14)

是一個映成同態, 由於 M 是無撓的, 所以 Φ 也是一對一的, 所以 M ≈ α M, 故得知 M 是 自由的, 定理因而證畢。

4.3. 主理想整環上的有限生成模的分解定理

有了以前這些準備之後, 要進入本講的主題, 給出主理想整環上有限生成模的分解定理。

這需要三個步驟來建立起這些重要的定理。

1. 第一步, 將主理想整環上有限生成模分解為撓模與自由模之直和。

定理4.3.1: 若 M 是主理想整環 R 上的有限生成模, 則 M = Mtor⊕ Mf ree,

這裡 Mf ree 是一個自由 R− 模。 並且這種分解是唯一的, 即若還有分解 M = T ⊕ N, 其中

T 是 M 的無撓子模, N 是 M 的自由子模, 則 T ≡ Mtor, N ≡ Mf ree

證明: 由於商模 M/Mtor 是無撓的以及當 M 是有限生成時, M/Mtor 也是有限生成的, 故由定理 4.2.2知 M/Mtor 是自由模。

有了定理 4.3.1 要討論主理想整環有限生成模的分解, 只要討論主理想整環上有限生成撓 模的分解。

2. 第二步, 將主理想整環上有限生成撓模分解為准素子模的直和。 在 2.2 節中, 我們曾引 入了向量空間零化子的概念。 現將此概念擴充到模上。

定義4.3.1: 若 M 是一個 R− 模, v ∈ M 的零化子 為 ann(v) =r ∈ R : rv = 0 , M 的 零化子為

ann(M) = r ∈ R : rM = {0} , 這裡 rM =rv : v ∈ M .

顯然 ann(v) 及 ann(M) 是 R 中的裡想。

若 M 是主理想整環上有限生成的撓模, ann(v) 生成元稱為 v 的 階 (order), ann(M) 的 生成元稱為 M 的階。 顯然, 若 µ, ν 是 M (或 v ∈ M) 的兩個階, 則它們是相伴的 (associate), 即存在某個可逆元 u ∈ R 使得

ann(M) = hµi = hνi ⇒ µ = uν.

(15)

故 M 的階, 除去乘以可逆元外, 是唯一確定的。 µ, ν 除去乘以可逆元外, 由定理 1.2.3 有相同 的素元 (prime element) 乘積分解。

定義4.3.2: 模 M 稱為准素模 (prime module), 若其零化子為 ann(M) = hpei。 這裡 p 是素元, e ∈ N。 換句話說, 若 M 的階是某個素元的正次方, 則 M 是一個准素模。

顯然, 主理想整環上有限生成的撓模 M 是一個准素模若且唯若當 M 中每個元素的階是 一個固定的素元的冪。

分解定理的第二步是將撓模 M 分解為准素子模的直和。

定理4.3.2 (准素模唯一分解定理): 若 M 是一個主理想整環上非零有限生成的撓模, 階為 µ = pe11· · · penn,

這裡 pj, j = 1, . . . , n, 為互不相伴的素元, 則 M 可分解為直和 M = Mp1 ⊕ · · · ⊕ Mpn, 這裡

Mpj =v ∈ M : pejjv = 0

為准素子模, 階為 pejj, j = 1, . . . , n。 尤有進者, 這樣的分解是唯一的, 也就是說, 若還有分解 M = N1⊕ · · · ⊕ Nm,

其中 Nk 是階為 qkfk 的准素模, 則 m = n, 且可適當安排下標 j 使得 Nj = Mpj, qj 與 pj 相 伴, ej = fj, j = 1, . . . , n。

證明: 假設 µ = pq, 且 p, q 的最大公因子 gcd(p, q) = 1。 考慮集合 Mp =v ∈ M : pv = 0 ,

以及

Mq =v ∈ M : qv = 0 .

我們現在要證明 M = Mp⊕ Mq 以及 Mp 與 Mq 分別有零化子 hpi 與 hqi。

由於 p 與 q 互質, 所以理想 hp, qi 由 gcd(p, q) = 1 生成 (證明與命題 1.2.1 之證明相 同), 故 1 ∈ hp, qi。 因此存在 a, b ∈ R 使得

ap + bq = 1.

(16)

若 v ∈ Mp⊕ Mq, 則 pv = qv = 0。 故

v = 1 · v = (ap + bq) · v = 0.

因此, Mp∩ Mq = {0}。

對任意 v ∈ M, 我們有

v = 1 · v = apv + bqv,

而 q(apv) = a(pq)v = aµv = 0, 故 apv ∈ Mq; 同樣 bqv ∈ Mp。 因此, M = Mp ⊕ Mq。 若 rMp = 0, 則對任意 v = v1 + v2 ∈ Mp⊕ Mq= M, 有

rqv = rq · (v1+ v2) = rqv1+ rqv2 = 0, 因此, rq ∈ ann(M); 這導出 µ = pq

rq, 即 p

r。 這說明 ann(Mp) = hpi。 同理可證 ann(Mq) = hqi。

若 µ 是素元的乘積

µ = pe11· · · penn, 由上面的證明知道有 M = Mpe1

1 ⊕ N, 這裡 N 為具有零化子 hµ/pe11i 的子模; 重複這個步 驟, 記 Mpej

j 為 Mpj, j = 1, . . . , n, 就得到定理中的分解。

至於分解的唯一性, 注意到由 M = N1⊕ N2⊕ · · · ⊕ Nm 知 ann(M) = hqf11, . . . , qnfni, 因此 q1f1· · · qnfn 與 pe11· · · penn 相伴。 由定理 1.2.3, 知 R 是唯一因子分解環, 所以 n = m, 且 可適當安排下標 j 使得 Nj = Mpj, qj 與 pj 相伴, ej = fj, j = 1, . . . , n, 從而

Nj =v ∈ M : qjfjv = 0 = v ∈ M : pejjv = 0 = Mpj, j = 1, . . . , n, 定理的證明於是完畢。

3. 第三步由定理4.3.2知, 下一步就應該對定理4.3.2中那些准素子模 Mpj, j = 1, . . . , n, 進行分解。

定理4.3.3 (循環分解定理): 若 M 是主理想整環 R 上非零准素有限生成撓模, 其階為 pe, 則 M 可分解為循環子模的直和:

M = C1⊕ · · · ⊕ Cn. (4.3.1) Cj 為有階 pej 的循環子模, j = 1, . . . , n, 且滿足

e = e1 ≥ e2 ≥ . . . ≥ en ≥ 1,

(17)

或等價於

p

pen, pen

pen−1, . . . , pe2

pe1. (4.3.2) 證明: 先來證明在 M 中一定存在一個元素 v1, 使得

ann(v1) = ann(M) = hpei.

如果這樣的 v ∈ M 不存在, 那麼對所有的 ann(v) = hpki, 而 k < e。 故 pe−1 ∈ ann(M), 這導出 pe

pe1 , 因而矛盾。

如果能證循環子模 hv1i 是 M 分解中的一個被加項, 即

M = hv1i ⊕ S1, (4.3.3) 這裡 S1 是 M 中的某個子模, 於是 S1 也是一個在 R 上的有限生成准素撓模, 以至可以重複 這個步驟, 得到

M = hv1i ⊕ hv2i ⊕ S2.

這裡 ann(v2) = hpe2i, 而 e2 ≤ e1。這樣一直進行下去, 我們便得到一個上升子模序列 hv1i ⊂ hv1i ⊕ hv2i ⊂ . . . .

由於 R 是主理想整環, 故 R 是 Noether 環。 由於 M 是有限生成的, 根據定理 4.1.5, M 是 Noether 模, 由定理 4.1.4, M 滿足升鏈條件, 於是上述子模鏈到有限步停止。 這就證明了 M 可以分解為循環子模 hvji, j = 1, . . . , n 的直和, 其相應的階為 pej, j = 1, . . . , n, 且 e = ej ≥ e2 ≥ · · · ≥ en ≥ 1。 現在來證明 M 可以分解為 M = hv1i ⊕ S1。 由於 M 是 有限生成的, 故有 M = hv1, u1, . . . , uki。 對 k 進行歸納法。 若 k = 0, 則只要令 S1 = {0}

即可; 若結論對 k 成立, 設

M = hv1, u1, . . . , uk, ui.

由歸納法的假設

hv1, u1, . . . , uki = hv1i ⊕ S0. 而 S0 是一個子模。

將 u − αv1, α ∈ R 替代 u, 不會影響生成模 M, 即

hv1, u1, . . . , uk, u − αv1i = hv1, u1, . . . , uk, ui = M.

於是可以找到 α ∈ R 使得

hv1i ∩ hu − αv1, S0i = {0},

(18)

這樣就得到

M = hv1i ⊕ hu − αv1, S0i = hv1i ⊕ S1.

我們令 S1 = hu − αv1, S0i 就可以了。 hu − αv1, S0i 中的元素形為 r(u − αv1) + s0, 於是 hv1i ∩ hu − αv1, S0i = {0}, 等價於對任何 r ∈ R, s0 ∈ S0, 有

r(u − αv1) + s0 ∈ hv1i ⇒ r(u − αv1) + s0 = 0, 這也等價於

r(u − αv1) + s0 ∈ hv1i ⊕ S0 ⇒ r(u − αv1) ∈ S0. 即

ru ∈ hv1i ⊕ S1 ⇒ r(u − αv1) ∈ S0, (4.3.4) 不難證明

I =r ∈ R : ru ∈ hv1i ⊕ S0

是 R 的一個理想, 故為主理想, 因此, I = hai。 但是

peu = 0 ∈ hv1i ⊕ S0, 故 pe ∈ hai, 這導出 a

pe, 所以我們有 f ≤ e, 使得 a = pf。 於是存在 q ∈ R 對下式成立 : ru ∈ hv1i ⊕ S0 ⇒ r ∈ I ⇒ r = qpf,

因此

r(u − αv1) = qpf(u − αv1).

所以我們可以找到 α ∈ R 使得

pf(u − αv1) ∈ S0, (4.3.5) 則 (4.3.4)得證。 由於 pf ∈ I, 所以 pfu ∈ hv1i ⊕ S0 可寫為

pfu = tv1+ s0, (4.3.6) 這裡 t ∈ R, s0 ∈ S0。 於是 (4.3.5)成為

tv1+ s0− αpfv1 ∈ S0 ⇒ (t − αpf)v1 ∈ S0. 上式成立若且唯若 t − αpf = 0, 即若且唯若 pf

t。

(19)

由 (4.3.6), 我們得到

0 = pe−fpfu = pe−ftv1 + pe−fs0. 由於 hv1i ∩ S0 = {0}, 故 pe−ftv1 = 0。 由於 v1 的階為 pe, 所以 pe

pe−ft, 也就是 pe t, 這 正是我們所需要的。 於是 (4.3.3)得證, 從而 (4.3.1)得證。

式子 (4.3.2)可由 (4.3.1)推導出來。 事實上, 由於

pe ∈ ann(M) ⊂ ann(Cj), j = 1, . . . , n, 故若 ann(Cj) = hαji, 則 αj

pe。 於是 αj = pej, ej ≤ e, j = 1, . . . , n。 對 ej 排列, 我們便 得到 (4.3.2)。 定理因而證畢。

從證明的過程來看, 可以看出這樣的分解不是唯一的。 雖然如此, 除去乘上可逆元, 階 pej 是唯一決定的。 素元 p 也是唯一決定的。 因為它要除盡 M 的階 pe。 於是我們有如下的唯一性 定理。

定理4.3.4 (循環分解唯一定理): 若 M 是主理想整環 R 上一個非零的有限生成撓模, 其 階為 pe。若 M 可分解為

M = C1⊕ C2⊕ · · · ⊕ Cn,

這裡 Cj 是階為 pej 的非零循環子模, 且 e1 ≥ e2 ≥ . . . ≥ en ≥ 1。

若 M 還可分解為

M = D1⊕ D2⊕ · · · ⊕ Dm,

這裡 Dj 是階為 pfj 的非零循環子模, 且 f1 ≥ f2 ≥ . . . ≥ fm ≥ 1, 則 m = n 及 e1 = f1, e2 = f2, . . . , en = fn.

為了證明這個唯一性定理, 我們要用到以下這些易證的結果。 設 R 是主理想整環

(1) 在 2.3 節中第三條關於向量空間的同構定理都可以推廣到主理想整環 R 上的 R− 模中來。

例如 : R− 模中的第一同構定理為 : 若 M 與 N 為主理想整環 R 上的兩個 R− 模, 映 射 τ ∈ HomR(M, N), 則

M/ker(τ ) ≈ Im(τ ).

(2) 若 hvi 是一循環 R 模, ann(v) = hai, 則映射

τ : R → hvi, τ (r) = rv, r ∈ R

(20)

是滿射同態, 其核為 hai, 故由 (1) 中的第一同構定理, 我們有 hvi ≈ R/hai.

若 a 是素元, 則 hai 是 R 中極大理想, 故由引理 4.1.1, R/hai 是一個域。

(3) 若 p ∈ R 是素元, M 是這樣的一個 R− 模, 使得 pM = {0}, 則 M 是 R/hpi 上的一 個向量空間, 其數乘定義為 : 對所有 v ∈ M,

(r + hpi) · v = rv.

(4) 若 p ∈ R 是素元, 對於 R− 模 M 的任意子模 S, 集合 S(p) =v ∈ S : pv = 0 是 M 的一個子模。 若 M = S ⊕ T , 則 M(p) = S(p)⊕ T(p)

定理4.3.4 的證明: 先證 m = n。 由 (4), 我們知道 M(p) = C1(p)⊕ · · · ⊕ Cn(p)

M(p) = D1(p)⊕ · · · ⊕ Dm(p).

由於 pM(p) = {0}, 故由(3), M(p) 是 R/hpi 上的一個向量空間。 由於 Cj(p) 及 Dk(p), j = 1, . . . , n, k = 1, . . . , m 均為 M(p) 循環子模, 故 Cj(p) 及 Dk(p), j = 1, . . . , n, k = 1, . . . , m 均為 M(p) 這個向量空間的一維向量子空間, 所以 m = n。

再證 ej = fj, j = 1, . . . , n。 對 e1 進行數學歸納法。 設 e1 = 1, 則所有的 ej = 1, j = 1, . . . , n, 故 pM = {0}。 這樣所有的 fj = 1, j = 1, . . . , n, 因為若 fj > 1, 而 D1 = hwi, 則 pw 6= 0, 則為矛盾。 若結論對 e1 ≤ k − 1 都成立, 來證明當 e1 = k 時結論 也成立。 假設

(e1, . . . , en) = (e1, . . . , es, 1, . . . , 1), es > 1 及

(f1, . . . , fn) = (f1, . . . , ft, 1, . . . , 1), ft > 1 則

pM = pC1⊕ · · · ⊕ pCs

pM = pD1⊕ · · · ⊕ pDt.

(21)

易見 pCj 是 M 的循環子模及 ann(pCj) = hpej−1i。 這是因為, 若 Cj = hvji, 則 pCj =pc : c ∈ Cj = prvj : r ∈ R = r(pvj) : c ∈ R = hpvji,

而 pvj 的階為 pej−1。 同樣 pDj 是 M 的循環子模及 ann(pDj) = hpfj−1i。 特別 ann(pC1) = hpe1−1i, 由數學歸納法我們知道

s = t, e1 = f1, . . . , es = fs. 定理因而得證。

4. 總結以上的三步, 我們得到下面三個結論 :

(1) 先將主理想整環 R 上的有限生成模分解為撓模與自由模之直和 (定理 4.3.1), 即 M = Mtor ⊕ Mf ree,

這裡 Mf ree 為 M 為一個自由模, 而 Mtor 為 M 中所有撓元所組成的撓模。

(2) 若 Mtor 的階為

µ = pe11 . . . penn,

這裡 pj, j = 1, . . . , n, 是互不相伴的素元, 則有准素分解 (定理 4.3.2), 即 Mtor = Mp1 ⊕ · · · ⊕ Mpn,

這裡 Mpj, j = 1, . . . , n, 為准素模, 其階為 pej。 於是 M 有下列之分解 M = Mp1 ⊕ · · · ⊕ Mpn⊕ Mf ree.

(3) 由定理 4.3.3, 再將准素模 Mpj, j = 1, . . . , n, 分解為循環子模的直和。 歸納起來有這樣重 要的兩個不同形式的定理。

定理4.3.5 (主理想整環上有限生成模的循環分解定理–初等因子形式): 若 M 是主理想整 環上 R 上的一個非零有限生成模, 則

M = Mtor⊕ Mf ree,

這裡 Mtor 為 M 中所有撓元所組成的集合, 而 Mtor 為 M 中一個自由模, 其秩由模 M 唯一 決定。 若 Mtor 有階為

µ = pe11 . . . penn,

(22)

這裡 pj, j = 1, . . . , n, 是互不相伴的素元, 則

Mtor = Mp1 ⊕ · · · ⊕ Mpn, 這裡

Mpj =v ∈ M : pejv = 0 是准素模, 其階為 pej。 每個 Mpj 可以分解為循環子模的直和

Mpj = Cj,1⊕ · · · ⊕ Cj,kj, 而 Cj,ℓ 的階為 pejj,ℓ, ℓ = 1, . . . , kj, 且

ej ≥ ej,1 ≥ ej,2 ≥ · · · ej,kj ≥ 1, j = 1, . . . , n.

將 M 的循環子模直和項 Cj,ℓ 的階 pejj,ℓ, ℓ = 1, . . . , kj, j = 1, . . . , n, 稱為 M 的 初等因子 (elementary divisors)。 除了乘以可逆元外, M 的初等因子由模 M 唯一決定。 最終得到 M 可以分解為循環子模及一個自由模的直和

M = C1,1⊕ · · · ⊕ C1,k1 ⊕ · · · ⊕ Cn,1⊕ · · · ⊕ Cn,kn ⊕ Mf ree. (4.3.7) 定理 4.3.5的分解前面已證完。 下面說明一下初等因子的唯一性。 根據定理 4.3.1中的唯一 性部份, 不妨設 Mf ree = {0}, 令

Dj = Dj,1⊕ · · · ⊕ Dj,ℓk,

k = 1, . . . , m。 則 Dj,ℓk 是階為 qjfj,ℓk 的准素模。 於是 M 有如下兩種准素分解 M = D1⊕ · · · ⊕ Dm = Mp1 ⊕ · · · ⊕ Mpn.

故由定理 4.3.2的唯一性部份知道 m = n, 且不妨假設 Dj = Mpj, j = 1, . . . , n, 從而 pj 與 qj 相伴。 再由定理 4.3.4知道 kj = ℓj, fj,ℓ = ej,ℓ, j = 1, . . . , n, ℓ = 1, . . . , kj。 就證明了分 解的唯一性, 即 M 的初等因子是由 M 唯一確定的。

這種分解還可以寫成另一種形式。 設 S 與 T 是 M 的循環子模。 若 ann(S) = hai 及 ann(T ) = hbi, 且 S ∩ T = {0}, 於是 S ⊕ T 也是一個子模, 且

ann(S ⊕ T ) = habi.

在 (4.3.7)中, 記

D1 = C1,1⊕ · · · ⊕ Cn,1,

(23)

則 D1 是一個循環子模, 其階為

q1 =

n

Y

j=1

pj,1j . 類似可以定義 D2, . . . , Dm, 這裡 m = max

j (kj)。 於是我們有另一個形式的分解定理。

定理4.3.6 (主理想整環上有限生成模的循環分解定理–不變因子形式): 若 M 是主理想整 環上一個有限生成模, 則

M = D1⊕ · · · ⊕ Dm⊕ Mf ree,

這裡 Mf ree 為 M 為一個自由模, 而 Dj 是 M 的循環子模, 其階為 qj, j = 1, . . . , m, 而且 qm

qm−1, qm−1

qm−2, . . . q2

q1.

純量 qj, j = 1, . . . , m, 稱為 M 的不變因子 (invariant factor)。 由定理 4.3.5 的初等因子的 唯一性部份容易看出除去乘以可逆元, 這些不變因子由 M 所唯一決定, Mf ree 的秩由 M 所 唯一決定。

—本文作者龔昇任教於中國科技大學; 張德健任教於美國 Georgetown University 數學系—

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摘錄自劉太平序

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