與超導體有關的偏微分方程

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與超導體有關的偏微分方程

林太家

從二十世紀初開始, 物理學家發現了超導現象。當溫度降到低於臨界溫度 T

c

(約 5

^◦

k 時), 某些金屬或合金類物質的電阻會趨於零, 這類物質被稱作超導體。生活在一個充滿電器的資訊時代中, 超導體的應用已逐漸受到物理和材料科學的廣泛重視。具體而言, 它可用在大型變壓器的線圈或大型電路的製作。目前, 美、日、歐盟等先進國家都有相關的研究在進行。

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...

K H

一般導體

超導體

旋渦

註

:H

是外加磁埸

圖1

影響超導現象的一個主要因素是與物質有關的係數 K。當 K 較小時 (K < √

2), 稱為第一類(Type I) 超導體; 當 K 較大時 (K > √

2), 稱為第二類(Type II) 超導體。

對第一類超導體而言, 外加磁埸較小時會有超導現象, 而外加磁埸較大時即變為一般導體。但對第二類超導體而言, 外加磁埸的大小會產生超導、旋渦 (vortex) 以及一般導體三種現象, 如圖 1。

對第二類超導體而言, 旋渦現象是一重要的研究課題, 因為旋渦的中心是一般導體, 而中心外是超導體。根據許多實驗觀察, 多數的旋渦會互相牽引而移動, 就如同許多颱風會彼此牽引一樣。因此超導體中的旋渦現象成為一個被廣泛重視的問題。關於旋渦的詳細描述, 請參閱圖 3。

溫度和外加磁埸是兩個影響旋渦現象的主要因素。當溫度小於臨界溫度 T

c

而外加磁埸小於第一臨界磁埸 H

c

₁ 時, 麥什爾作用 (Meissner effect) 產生, 即外加磁埸的磁力線無法穿透超導體, 並且整個物質本身都充滿了超導現象。但當外加磁埸超過第一臨界磁埸 H

c

₁ 時, 物質的某處被外加磁埸的磁力線穿透並產生電阻, 而其他地方仍舊是超導無電阻。這種現象被稱為超導體的旋渦現象。若外加磁埸持續增加, 旋渦的數目會逐漸增加, 直到第二臨界磁埸 H

c

₂ 附近。當

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(2)

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數學傳播

²⁴

卷

³

期民

⁸⁹

年

⁹

月

外加磁埸達到第二臨界磁埸 H

c

₂ 時, 旋渦的數目暴增, 大量的旋渦形成了旋渦晶格 (vortex lattice)。但當外加磁埸突破第二臨界磁埸 H

c

₂ 時, 超導現象全然消失而成為一般導體。外加磁埸、溫度和旋渦的關係, 如圖 2。

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...

... ...

T H

T

c

H

c

₁

H

c

₂

麥什爾作用旋渦現象

一般導體

註

:T

是溫度

, T

c是臨界溫度

H

c₁ 第一臨界磁埸

, H

外加磁埸

H

c₂ 第二臨界磁埸

圖2

一般而言, 旋渦本身會受到一些物理因素的影響而移動, 並且各旋渦之間會彼此牽引而產生類似多體運動的情形, 這被稱為旋渦動態 (vortex dynamics)。希望藉著對旋渦動態的了解, 能找到方法來控制旋渦進而能將其固定。這在理論和應用科學上都有重要價值。

傳統上, 許多重要的物理現象都可用偏微分方程加以描述。藉著對偏微分方程的研究, 往往可提供更多的了解。對超導現象而言, 我們要引進金斯伯-藍道自由能 (Ginzburg-Landan free energy) 如下:

Z

R

²

1

2|(∇ − iA)u|

²

+ 1

4ε

²

(1 − |u|

²

)

²

+1

2|∇ × A − H|

²

(1)

其中 u 是複數值的有序參數 (order parameter), A 是二維向量的磁化能 (magnetic potential), H 是外加磁埸, ε =

_K ¹

, K 是前述的金斯伯-藍道係數 (Ginzburg-Landau parameter)。|u|

²

代表超導電子密度, 故

|u|

²

≈ 0 在旋渦中心附近而 |u|

²

≈ 1 在旋渦中心之外。

我們可從式 (1) 找到具有意義的旋渦解。由於式 (1) 的公式複雜, 故先忽略磁力的作用。一般而言, 當溫度接近臨界溫度 T

c

且外加磁埸在 H

c

₁曲線上時, 磁埸的影響可被忽略, 詳如圖2。因此金斯伯-藍道自由能便可化簡為

Z

R

²

1

2|∇u|

²

+ 1

4ε

²

(1 − |u|

²

)

²

(2) 此自由能所對應的尤拉-朗格倫局方程 (Euler-Lagrange Equation) 如下:

∆u + 1

ε

²

(1 − |u|

²

)u = 0 in

R ²

. (3) 這是一個半線性橢圓偏微分方程組 (semi- linear elliptic system), 有許多相關的數學理論已被研究。

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x y

0

|u| =1

3

|u| =1

2

|u| =2

3

圖3: |u| 的等高線

(3)

與超導體有關的偏微分方程

⁴⁵

現在我們來看一個重要的特解叫做對稱旋渦解 (symmetric vortex solution)。令 u= f (

^r _ε

)e

^iθ

, 其中 (r, θ) 是在平面上的極座標, 且 f 是一實數值函數。由式 (3) 可推導 f 滿足一常微分方程如下:

f

^′′

+1

rf

^′

− 1

r

²

f + (1 − f

²

) = 0, r >0.

(4) 從式 (4) 可得到一個特解 f 是遞增函數且滿足

f(0) = 0, f(+∞) = 1.

對稱旋渦解刻劃出旋渦的特性, 我們可利用等高線描述此解, 如圖 3。

近年來, 隨著超導體的廣泛研究, 許多非傳統超導體被發現, 如氧化銅類高溫超導體, Sr

2

R

u

O

4

以及 U P t

3

等。為描述此類超導體, 許多新的自由能被物理學家提出如 S 和 d wave 金斯伯-藍道自由能以及 p wave 金斯伯-藍道自由能等。相關的偏微分方程問題很多, 是一值得研究的領域。有志於攻讀數學和物理的同學們, 偏微分方程是你們一個好的選擇。

—本文作者任教於中正大學數學系—

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