by music960633 Graph

(1)

Graph

by music960633

(2)

課程內容

• 1. 介紹、定義

• 2. 如何存圖

• 3. 圖上DFS、BFS

• 4. 連通塊數量

• 5. 二分圖判定

(3)

介紹、定義

• 基本元素：點和邊

• 點(vertex)

• 邊(edge)

• 圖：點的集合+邊的集合

(4)

介紹、定義

• 有向邊、無向邊

• 有向圖(directed graph)、無向圖(undirected graph)

(5)

介紹、定義

• 重邊

• 自環

(6)

介紹、定義

• 度(degree)：和一個點v有相關的邊的數量

• 入度(in-degree)：終點為v的邊數

• 出度(out-degree)：起點為v的邊數

1 2

4 3

5

6 7

9 8

10

(7)

介紹、定義

• 路徑：由頭尾相連的邊組合而成的集合

• 路徑長：路徑上邊的數量或邊的權重總合

1 2

4 3

5

6 7

9 8

10

2 -5 3

-1

5 4

(8)

介紹、定義

• 環：起點和終點為同一點的路徑

• 如果沒特別說明，路徑也可以包含環

1 2

4 3

5

6 7

9 8

10

2 -5 3

-1

5 4

(9)

介紹、定義

• 連通圖：圖上任相異兩點間必存在一條路徑

1 2

4 3

5

6 7

9 8

10

(10)

如何存圖

• 當然可以像之前學過的linked list，將一個vertex視為一個node，並用指標記錄和該點相鄰的點

• 缺點：實做不方便

• 無向邊可想成兩條相反的有向邊

(11)

如何存圖

• 方法一：相鄰矩陣(adjacent matrix)

• 無向圖

1 2

4 3

5

1 2 3 4 5

1 0 1 1 0 0

2 1 0 0 1 0

3 1 0 0 1 1

4 0 1 1 0 1

5 0 0 1 1 0

(12)

如何存圖

• 有向圖

1 2

4 3

5

1 2 3 4 5

1 0 1 0 0 0

2 0 0 0 1 0

3 1 0 0 0 1

4 0 0 1 0 1

5 0 0 0 0 0

(13)

如何存圖

• 有向圖+邊有權重

1 2

4 3

5 2 -5 3

-1

5 4

1 2 3 4 5

1 ? 2 ? ? ?

2 ? ? ? 3 ?

3 -5 ? ? ? 4

4 ? ? -1 ? 5

5 ? ? ? ? ?

(14)

1 2 3

2 1 4

3 1 4 5

4 2 3 5

5 3 4

如何存圖

• 方法二：相鄰串列(adjacent list)

• 無向圖

1 2

4 3

5

(15)

1 2

2 4

3 1 5

4 3 5

5

如何存圖

• 有向圖

1 2

4 3

5

(16)

1 (2,2) 2 (4,3)

3 (1,-5) (5,4) 4 (3,-1) (5,5) 5

如何存圖

• 有向圖+邊有權重

1 2

4 3

5 2 -5 3

-1

5 4

(17)

如何存圖

• 比較

• 相鄰矩陣

• 空間複雜度：O(V²)

• 查詢兩個點之間是否有邊：O(1)

• 遍歷一個點v周圍的邊：O(V)

• 相鄰串列

• 空間複雜度：O(E)

• 查詢兩個點之間是否有邊：O(degree(v))

• 遍歷一個點v周圍的邊：O(degree(v))

(18)

圖上DFS、BFS

• 如果你對tree的DFS、BFS了解了話應該很快可以上手

• DFS：

1 2 3 4 5

1 0 1 1 0 0

2 1 0 0 1 0

3 1 0 0 1 1

4 0 1 1 0 1

5 0 0 1 1 0

1 2

4 3

5

(19)

圖上DFS、BFS

• DFS：

1 2 3 4 5

1 0 1 1 0 0

2 1 0 0 1 0

3 1 0 0 1 1

4 0 1 1 0 1

5 0 0 1 1 0

1 2

4 3

5

(20)

圖上DFS、BFS

• DFS：

1 2 3 4 5

1 0 1 1 0 0

2 1 0 0 1 0

3 1 0 0 1 1

4 0 1 1 0 1

5 0 0 1 1 0

1 2

4 3

5

(21)

圖上DFS、BFS

• DFS：

1 2 3 4 5

1 0 1 1 0 0

2 1 0 0 1 0

3 1 0 0 1 1

4 0 1 1 0 1

5 0 0 1 1 0

1 2

4 3

5

(22)

圖上DFS、BFS

• DFS：

1 2 3 4 5

1 0 1 1 0 0

2 1 0 0 1 0

3 1 0 0 1 1

4 0 1 1 0 1

5 0 0 1 1 0

1 2

4 3

5

(23)

圖上DFS、BFS

• DFS：

1 2 3 4 5

1 0 1 1 0 0

2 1 0 0 1 0

3 1 0 0 1 1

4 0 1 1 0 1

5 0 0 1 1 0

1 2

4 3

5

(24)

圖上DFS、BFS

• DFS：

1 2 3 4 5

1 0 1 1 0 0

2 1 0 0 1 0

3 1 0 0 1 1

4 0 1 1 0 1

5 0 0 1 1 0

1 2

4 3

5

(25)

圖上DFS、BFS

• DFS：

1 2 3 4 5

1 0 1 1 0 0

2 1 0 0 1 0

3 1 0 0 1 1

4 0 1 1 0 1

5 0 0 1 1 0

1 2

4 3

5

(26)

圖上DFS、BFS

• DFS：

1 2 3 4 5

1 0 1 1 0 0

2 1 0 0 1 0

3 1 0 0 1 1

4 0 1 1 0 1

5 0 0 1 1 0

1 2

4 3

5

(27)

圖上DFS、BFS

• DFS：

1 2 3 4 5

1 0 1 1 0 0

2 1 0 0 1 0

3 1 0 0 1 1

4 0 1 1 0 1

5 0 0 1 1 0

1 2

4 3

5

(28)

圖上DFS、BFS

• DFS：

1 2 3 4 5

1 0 1 1 0 0

2 1 0 0 1 0

3 1 0 0 1 1

4 0 1 1 0 1

5 0 0 1 1 0

1 2

4 3

5

(29)

圖上DFS、BFS

• DFS：

1 2 3 4 5

1 0 1 1 0 0

2 1 0 0 1 0

3 1 0 0 1 1

4 0 1 1 0 1

5 0 0 1 1 0

1 2

4 3

5

(30)

圖上DFS、BFS

• DFS：

1 2 3 4 5

1 0 1 1 0 0

2 1 0 0 1 0

3 1 0 0 1 1

4 0 1 1 0 1

5 0 0 1 1 0

1 2

4 3

5

(31)

圖上DFS、BFS

• DFS：

1 2 3 4 5

1 0 1 1 0 0

2 1 0 0 1 0

3 1 0 0 1 1

4 0 1 1 0 1

5 0 0 1 1 0

1 2

4 3

5

(32)

圖上DFS、BFS

• DFS、BFS注意事項

• 1. 要記錄一個點是否被拜訪過，以免重複拜訪

• 2. 走訪前記得判斷是否拜訪過

• 3. 走訪後記得將該點設為已經拜訪過

• 很多RE、TLE就是沒注意這些而造成的！

(33)

連通塊數量

• 如何判定一張無向圖中有幾個連通塊呢？

(34)

連通塊數量

• 注意到：做完一次DFS後，所有在同一個連通塊中的點都會被拜訪到，不在同一個連通塊中就不會被拜訪到

• 計算做了幾次DFS後全部的點都被拜訪到就好了！

(35)

二分圖判定

• 二分圖：一個無向圖中的點可以被分成兩個集合，使得同集合內的點互不相鄰

• 黑白染色：將圖上的點塗成黑或白，使得每條邊的兩端必不同色

(36)

二分圖判定

• 如何判定一個無向圖是否為二分圖呢？

• 1. 隨便找一個點，塗上黑或白

• 2. 從這一點DFS、BFS，並將相鄰的點塗上相異的顏色

• 3. 如果塗色過程發生矛盾，則不是二分圖，否則就是二分圖

(37)

二分圖判定

(38)

二分圖判定

(39)

二分圖判定

(40)

二分圖判定

(41)

二分圖判定

OK

(42)

二分圖判定

(43)

二分圖判定

(44)

二分圖判定

not OK!!!

(45)

結語

• 圖論很重要，很多看起來跟圖論沒關係的問題其實可以轉成圖論來解，因此基本的DFS、BFS一定要熟

• 很多圖上的問題都可以只靠DFS、BFS做出來

• 大家加油！