Heap/Flood Fill/Basic Graph
2021/03/20
Lecture By lawfung
目錄 目錄
• 合併 Heap
• Heap 黑魔法
• 建立 Heap 的時間複雜度
• 左偏樹
• 思考題
• Number of binary tree
Heap
Heap 小知識 Heap 小知識
世界上的 Heap 有很多種
• 影片中介紹的 Binary heap
• Binomial heap
• Pairing heap
• Thin heap
• Fibonacci heap
• ……
Heap 小知識 Heap 小知識
• 為什麼會有這麼多種 Heap?
• 有的常數比較小
• 有的可以 O(1) 插入
• 有的可以 O(1) 刪除
• 有的可以 O(logN) 合併 ??
• 有的可以 O(1) 合併 ??!!
• 有興趣請自行上網查詢資料
Heap 合併
Heap 合併 Heap 合併
• Heap 合併是什麼 ?
• 簡單來說就是把兩個 Heap 變成一個 Heap
模擬情況 模擬情況
• 現在有 N 個 Heap ，有三種操作
• Push : 把一個元素放進其中一個 Heap
• Pop : 從一個 Heap 中取出最小的元素
• Merge : 合併兩個 Heap
• 假設總操作數最多 Q 次，其中 Push 最多 N 次
Heap 合併 Heap 合併
• 先不管複雜度，來想個最天真的作法吧 ~
• Push 和 Pop 就照一般的做法做
• 合併呢 ?
• 開一個新的 Heap ，把原先兩個 Heap 的元素一個一個的 push 進 去
• 複雜度 O(Q*NlogN)
Heap 合併 Heap 合併
• 那我們換一種方式
• 把其中一個 Heap 的元素一個一個的 push 進另外一個 Heap
• 複雜度 ?
• O(Q*NlogN)
Heap 合併 Heap 合併
• 那…如果我們把比較小的 Heap 慢慢加到另外一個 Heap 中呢 ?
• 複雜度 ?
• O(Q*NlogN)…?
• O(Nlog^2(N)+QlogN) ??!!
• 啟發式合併 !
• 考慮對於每一個元素，它每次被併入一個新的集合，它所處集合的大小至少 是原來的兩倍。所以對每個元素至多進行 logN 次合併操作，總複雜度 N*log N*logN
示意圖 示意圖
黑色 : 需要拿出再放入其他 Heap
紅色 : 當今在的 Heap 被使用為合併後的 Heap
魔法 魔法
• 幾個在 C++ 中關於 Heap 的魔法
• STL
• std::priority_queue
• 黑魔法
• __gnu_pbds::priority_queue
std::priority_queue std::priority_queue
• #include <queue>
• std::priority_queue<int> pque;
• priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > lque
__gnu_pbds::priority_queue __gnu_pbds::priority_queue
• #include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
• __gnu_pbds::priority_queue<int> pque;
• priority_queue<int, greater<int> > lque
• h1.join(h2);
Building Heap Building Heap
• 如果一開始就已經有所有元素了，要建造出一個 Heap
• Insertion of Heap: O(logN)
• 所以 Build a heap of N element: O(NlogN)
• 其實這個 bound 不夠緊，可以壓到 O(N)
• https://www.geeksforgeeks.org/time-complexity-of-building-a-heap/
作法 作法
• 從底層往上，將小的子 Heap 建好後，再將大 Heap 也完成。
• 接下來是要證明複雜度是 O(N)
•
• 然後使用公式 at x=
•
示意圖 示意圖
Height Count
3 1
2 2
1 3
0 8
Leftist Tree
為什麼要左偏樹 為什麼要左偏樹
• 可合併堆
• 雖然其實黑魔法也可以
• 合併多快
• O(log(N)+log(M))
定義 定義
• 外節點 :
• 二元樹中，如果 X 的左子樹是空的，
我們就視為 X 的左兒子接了一個外節點。
• 右子樹亦然
S-value S-value
• 也叫做 rank ( 秩 )
• S(X) 定義為距離 X 最近的外節點的距離
• 重要性質 :
• 一棵樹至少有 個點
• 證明 :
• 至少有 1 個點的 S-value 是 s(root)
• 至少有 2 個點的 S-value 是 s(root)-1
• ……
•
左偏樹 左偏樹
1. 它是一顆二元樹 ( 堆的性質 )
2. 每個節點的數值不大於其父親之值 ( 堆的性質 )
3. 對於每個點，右子樹的 S-value 不大於左子樹的 S-value
• 因此才叫做左偏
• 根據這個性質，左偏樹上的 S-value ，等於一直往右小孩走，走到外節 點的距離。
示意圖 示意圖
右邊很短 ! 右邊很短 !
• 也就是 O(log N)
• 左偏樹上的 S-value ，等於一直往右小孩走，走到外節點的距離
。
• 所以右邊很短 !
• 這讓我們想往右邊合併去
•
操作 操作
1. 合併兩棵左偏樹
2. 插入
• 把新節點視為一棵樹，將兩棵樹合併
3. 刪除最小值
• 將根刪除，把左右子樹合併
合併 合併
• 合併 兩棵左偏樹 ( 假設的根較小 )
1. 將的根保持為新左偏樹的根，的右子樹和遞迴合併
2. 檢查是否還符合左偏樹性質
( 右子樹的 S-value 不大於左子樹的 S-value) ， 若否，交換左右子樹
•
為什麼很快 為什麼很快
• 令為需要合併的兩棵左偏樹的 S-value 和
• K 一開始是 O(log(N)+log(M))
• 每次遞迴下去一次， K 就會減少 1
• 所以複雜度是 O(log(N)+log(M))
•
練習題 練習題
• https://tioj.ck.tp.edu.tw/problems/1429
• 可以用啟發式合併
• 可以用左偏樹
• 可以用黑魔法
• 本人實測
• 左偏樹最快
• 黑魔法次之
• 啟發式合併最慢
• 但是其實也沒差多少 XD
Flood fill
淹水 淹水
• 模擬「淹水」的過程很麻煩，幾個方向就要寫幾個很大串的 if
，怎麼辦？
• 提示：有沒有發現所有的 if 其實都長得很像？
淹水 淹水
int dx[4] = [-1,0,0,1];
int dy[4] = [0,-1,1,0];
for(int i = 0 ; i < 4; i++)
if(check(x + dx[i], y + dy[i]))
queue.push(x + dx[i], y + dy[i]);
Graph
存圖 存圖
• 當我們需要動態加邊的時候，該怎麼做 ?
• 當我們需要刪邊的時候，該怎麼做 ?
• 還有很多有趣的存圖方式 !
• 其實應該算是原本那兩種的變種
• 其實也沒有很有趣
存圖 存圖
• 相鄰串列
• 相鄰矩陣
• 二元搜尋樹
比較 比較
• 相鄰矩陣
• 空間複雜度： O(V2)
• 查詢兩個點之間是否有邊： O(1)
• 遍歷一個點 v 周圍的邊： O(V)
• 增加一條邊： O(1)
• 刪除一條邊： O(1)
• 相鄰串列
• 空間複雜度： O(V+E)
• 查詢兩個點之間是否有邊： O(deg)
• 遍歷一個點 v 周圍的邊： O(deg)
• 增加一條邊： O(1)
• 刪除一條邊： O(deg)
比較 比較
• 二元搜尋樹
• 空間複雜度： O(V+E)
• 查詢兩個點之間是否有邊： O(log(deg))
• 遍歷一個點 v 周圍的邊： O(deg)
• 增加一條邊： O(log(deg))
• 刪除一條邊： O(log(deg))
• 通常會使用相鄰串列
• 點數很少時會使用相鄰矩陣
• 特殊需求時 (?) 會使用二元搜尋樹
用不太到的思考題
Alice and Bob Alice and Bob
• 有一個遊戲， Alice 跟 Bob 要有限度的心電感應。
• Alice 跟 Bob 可以事前溝通，他們也知道每一回合的形式。
• 主持人會公開 N ，代表圖中有 N 個點。
• Alice 會看到主持人的圖， Bob 則看不到
Alice and Bob Alice and Bob
• 有一個遊戲， Alice 跟 Bob 要有限度的心電感應。
• Alice 跟 Bob 可以事前溝通，他們也知道每一回合的形式。
• 主持人會公開 N ，代表圖中有 N 個點。
• Alice 會看到主持人的圖， Bob 則看不到
• ROUND 1: 主持人給定一張圖， Alice 可以傳一個個字元的 0/
1 字串給 Bob ，而 Bob 必須要還原出主持人的圖
•
Alice and Bob Alice and Bob
• 有一個遊戲， Alice 跟 Bob 要有限度的心電感應。
• Alice 跟 Bob 可以事前溝通，他們也知道每一回合的形式。
• 主持人會公開 N ，代表圖中有 N 個點。
• Alice 會看到主持人的圖， Bob 則看不到
• ROUND 2: 主持人給定一棵樹， Alice 可以傳一個個字元的 0/
1 字串給 Bob ，而 Bob 必須要還原出主持人的樹
•
Alice and Bob Alice and Bob
• 有一個遊戲， Alice 跟 Bob 要有限度的心電感應。
• Alice 跟 Bob 可以事前溝通，他們也知道每一回合的形式。
• 主持人會公開 N ，代表圖中有 N 個點。
• Alice 會看到主持人的圖， Bob 則看不到
• ROUND 3: 主持人給定一棵樹， Alice 可以傳一個個字元的 0/
1 字串給 Bob ，而 Bob 必須要還原出主持人的樹的長相
•
Number of binary tree
想想看 想想看
• 今天給你 N 個相異元素，要求你用這些元素做出一個 Heap
• 這個 Heap 必須是 binary tree
• 但是不必是 complete binary tree
• 這是合法的
• 請問可以做出幾種 Heap
• 答案 為甚麼呢 ?
•
想想看 想想看
• 今天給你 N 個相異元素，要求你用這些元素做出一個 BST (binary search tree)
• 請問可以做出幾種 BST
• 卡塔蘭數
• 有興趣請自行上網搜尋
