Heap/Flood Fill/Basic Graph
2019/03/30
Lecture By zolution
Credit by qazwsxedcrfvtg14
Before We Start Before We Start
• 今天會有大量的討論時間
• 不是競賽導向的題目
• Brainstorming
• 找好你的 partner ， 2-3 人一組
Heap
課程影片課程影片
• 看了嗎 ?
• Q&A
Heap 小知識 Heap 小知識
世界上的 Heap 有很多種
• 影片中介紹的 Binary heap
• Binomial heap
• Pairing heap
• Thin heap
• Fibonacci heap
• ……
Heap 小知識 Heap 小知識
• 為什麼會有這麼多種 Heap?
• 有的常數比較小
• 有的可以 O(1) 插入
• 有的可以 O(1) 刪除
• 有的可以 O(logN) 合併 ??
• 有的可以 O(1) 合併 ??!!
• 因為礙於篇幅，有興趣請自行上網查詢資料 :P
Heap 合併
I have a heap.
I have another heap.
Uhh!
A bigger heap!
Heap 合併 Heap 合併
• Heap 合併是什麼 ?
• 簡單來說就是把兩個 Heap 變成一個 Heap
模擬情況模擬情況
• 現在有 N 個 Heap ，有三種操作
• 把一個元素 Push 進其中一個 Heap
• 從一個 Heap 中 Pop 元素
• 合併兩個 Heap
• 假設總操作數最多 Q 次，總元素數最多為 N
Heap 合併 Heap 合併
• 先不管複雜度，來想個最天真的作法吧 ~
• Push 和 Pop 就照一般的做法做
• 合併呢 ?
• 開一個新的 Heap ，把原先兩個 Heap 的元素一個一個的 push 進 去
• 複雜度 O(Q*NlogN)
Heap 合併 Heap 合併
• 那我們換一種方式
• 把其中一個 Heap 的元素一個一個的 push 進另外一個 Heap
• 複雜度 ?
• O(Q*NlogN)
Heap 合併 Heap 合併
• 那…如果我們把比較小的 Heap 慢慢加到另外一個 Heap 中呢 ?
• 複雜度 ?
• O(Q*NlogN)…?
• O(Nlog^2(N)+QlogN) ??!!
• 啟發式合併 !
• 考慮對於每一個元素，它每次被併入一個新的集合，它所處集合的大小至少 是原來的兩倍。所以對每個元素至多進行 logN 次合併操作，總複雜度 N*log N*logN
魔法魔法
• 幾個在 C++ 中關於 Heap 的魔法
• 白魔法
• std::priority_queue
• 黑魔法
• __gnu_pbds::priority_queue
• 能善用魔法是好事，但是要注意別走火入魔了 !
std::priority_queue std::priority_queue
• #include <queue>
• std::priority_queue<int> pque;
• priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > lque
Discussion Discussion
• Insertion of Heap: O(logN)
• 所以 Build a heap of N element: O(NlogN)
• 很合理啊？！！！
• 其實這個 bound 不夠緊，可以壓到 O(N)
• HOW?
•
Flood fill
課程影片課程影片
• Q&A
淹水淹水
• 模擬「淹水」的過程很麻煩，幾個方向就要寫幾個很大串的 if
，怎麼辦？
• 提示：有沒有發現所有的 if 其實都長得很像？
淹水淹水
int dx[4]=[-1,0,0,1];
int dy[4]=[0,-1,1,0];
for(int i=0;i<4;i++)
if(check(x+dx[i],y+dy[i]))
queue.push(x+dx[i],y+dy[i]);
想一想想一想
• 可不可以用 DFS 來做例題一 ( 染色問題 ) ？
• 可不可以用 DFS 來做例題二 ( 喵喵抓老鼠 ) ？
• 有沒有什麼壞處？
• 複雜度是多少呢？
• 如果題目是，每個格子都有一個高度值，高度值低於一定程度就 會淹水，請問到最後會有幾塊水窪 ?
• 用 BFS 可以做嗎 ?
• 用 DFS 可以做嗎 ?
A* Search
Credit to Theory of Computer Games, 2018 Fall
A*A*
• A-star Algorithm
• 估算最好的選擇會是哪一個 state ，就先搜他
• BFS with Heap!
• f(x) = g(x) + h(x)
• f(x): Evaluation Function( 評價 )
• g(x): Cost Function( 實際已花費 )
• h(x): Heuristic Function( 估算未來需要多少 Cost)
Normal BFS Normal BFS
A*A*
A*A*
• 常在爆搜的情境下用到
• 節省不必要，偏差的 State ，先搜最有可能的 State
• 走迷宮：會 Prefer 往終點方向的 State
• 下棋：會 Prefer 己方子力大的 State
• 解 Puzzle ： Prefer 靠近解答的 Move
• f(x) = g(x) + h(x)
• f(x): Evaluation Function( 評價 )
• g(x): Cost Function( 實際已花費 )
• h(x): Heuristic Function( 估算未來需要多少 Cost)
Heuristic Function Heuristic Function
• 想一想，走迷宮的時候你會怎麼設計 Heuristic Function?
• 歐幾里德距離？
• 曼哈頓距離？
• 當 h(x) 等於 0 時，等同 BFS
• 那 DFS 呢？
• f(x) = g(x) + h(x)
• f(x): Evaluation Function( 評價 )
• g(x): Cost Function( 實際已花費 )
• h(x): Heuristic Function( 估算未來需要多少 Cost)
Discussion Discussion
• A* 一定會找到最佳解嗎？有條件限制嗎？
• f(x) = g(x) + h(x)
• f(x): Evaluation Function( 評價 )
• g(x): Cost Function( 實際已花費 )
• h(x): Heuristic Function( 估算未來需要多少 Cost)
Admissible Heuristic Admissible Heuristic
• Admissible Heuristic: Never “Overestimate”
• 不高估的狀況下， f(x) 永遠不會比真實需要的最小值還大
• 根據 Min-Heap ，這個點一定會被搜到，且是最佳解
• We need a lower bound estimation that is as large as possible (T.S. Hsu, 2018)
• f(x) = g(x) + h(x)
Discussion Discussion
• Consider Sokoban Game 倉庫番
• 請與你的組員設計一個 Heuristic Function ，估算還需要多少 C ost 才能將箱子推到終點
• f(x) = g(x) + h(x)
• f(x): Evaluation Function( 評價 )
• g(x): Cost Function( 實際已花費 )
• h(x): Heuristic Function( 估算未來需要多少 Cost)
Discussion Discussion
• Consider Sokoban Game 倉庫番
• 請與你的組員設計一個 Heuristic Function ，估算還需要多少 C ost 才能將箱子推到終點
• 有沒有一些狀態可以事先剪枝的？
A*A*
• 優缺點節省不必要，偏差的 State ，先搜最有可能的 State
• 走迷宮：會 Prefer 往終點方向的 State
• 下棋：會 Prefer 己方子力大的 State
• f(x) = g(x) + h(x)
• f(x): Evaluation Function( 評價 )
• g(x): Cost Function( 實際已花費 )
• h(x): Heuristic Function( 估算未來需要多少 Cost)
Discussion Discussion
• A* 一定會找到最佳解嗎？有條件限制嗎？
• f(x) = g(x) + h(x)
• f(x): Evaluation Function( 評價 )
• g(x): Cost Function( 實際已花費 )
• h(x): Heuristic Function( 估算未來需要多少 Cost)
Graph
課程影片課程影片
• Q&A
存圖存圖
• 當我們需要動態加邊的時候，該怎麼做 ?
• 當我們需要刪邊的時候，該怎麼做 ?
• 還有很多有趣的存圖方式 !
• 其實應該算是原本那兩種的變種
存圖存圖
• 相鄰串列
• 相鄰矩陣
比較比較
• 相鄰矩陣
• 空間複雜度： O(V2)
• 查詢兩個點之間是否有邊： O(1)
• 遍歷一個點 v 周圍的邊： O(V)
• 增加一條邊： O(1)
• 刪除一條邊： O(1)
• 相鄰串列
• 空間複雜度： O(V+E)
• 查詢兩個點之間是否有邊： O(degree(V))
• 遍歷一個點 v 周圍的邊： O(degree(V))
• 增加一條邊： O(1)
• 刪除一條邊： O(degree(V))
想想看想想看
• 給你一張有向圖，要怎麼知道這張圖上面有沒有環 ?
• DFS?
• BFS?
想想看想想看
• 現在有一個工廠，裡面有很多台機器，有些機器所生產 的東西可能會依賴於其他機器，但是保證不會循環。
• 問 : 找出一個機器的執行順序使得過程中不會有機器依 賴於還沒執行過的機器。
• 拓樸排序 !
• 有向無環圖 (DAG)
Alice and Bob Alice and Bob
• 有一個遊戲， Alice 跟 Bob 要有限度的心電感應。
• Alice 跟 Bob 可以事前溝通，他們也知道每一回合的形式。
• 主持人會公開 N ，代表圖中有 N 個點。
• Alice 會看到主持人的圖， Bob 則看不到
Alice and Bob Alice and Bob
• 有一個遊戲， Alice 跟 Bob 要有限度的心電感應。
• Alice 跟 Bob 可以事前溝通，他們也知道每一回合的形式。
• 主持人會公開 N ，代表圖中有 N 個點。
• Alice 會看到主持人的圖， Bob 則看不到
• ROUND 1: 主持人給定一張圖， Alice 可以傳一個 N^2 個字元 的 0/1 字串給 Bob ，而 Bob 必須要還原出主持人的圖
Alice and Bob Alice and Bob
• 有一個遊戲， Alice 跟 Bob 要有限度的心電感應。
• Alice 跟 Bob 可以事前溝通，他們也知道每一回合的形式。
• 主持人會公開 N ，代表圖中有 N 個點。
• Alice 會看到主持人的圖， Bob 則看不到
• ROUND 2: 主持人給定一棵樹， Alice 可以傳一個 NlgN 個字元 的 0/1 字串給 Bob ，而 Bob 必須要還原出主持人的樹
Alice and Bob Alice and Bob
• 有一個遊戲， Alice 跟 Bob 要有限度的心電感應。
• Alice 跟 Bob 可以事前溝通，他們也知道每一回合的形式。
• 主持人會公開 N ，代表圖中有 N 個點。
• Alice 會看到主持人的圖， Bob 則看不到
• ROUND 3: 主持人給定一棵樹， Alice 可以傳一個 2N 個字元的 0/1 字串給 Bob ，而 Bob 必須要還原出主持人的樹的長相
