勾股定理證明-G164

(1)

勾股定理證明-G164

【作輔助圖】

1. 以 AC 為邊長向外作正方形 ACFG ，再以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH . 2. 在 CF 上取一點U 點使得 CU BCa，以 CU 為邊長向外作正方形CUED . 3. AH 與 FG 交於T 點。

4. 過T 點作垂直 AC 的直線，交 AC 於W 點。

5. EU 與TW 交於 R 點，連 RD .

6. 過 K 點作垂直 AC 的直線，分別交 AC , AB 於V 點, X 點。

7. 過 H 點作垂直VK 的直線，交VK 於 M 點。

8. 過 A 點作垂直 HM 的直線，交 HM 於 L 點。

9. 過 B 點作垂直 AL 的直線，分別交 AL , VK 於 O 點, N 點。

10. 在VK 上取一點 Q 點使得 QK UR.

11. 過 Q 點作垂直VK 的直線，交 BK 於Y 點。

(2)

A B C

D

H K

G

F

E

M N O

L

Y Q X

V

W T

R U

S

【求證過程】

分別以直角三角形 ABC 的 AC , AB 向外作正方形 ACFG 與正方形 ABKH ，再作正 方形 CUED ，證明正方形 ABKH 所切割出的所有區塊面積總和等於正方形 CUED 的面 積加上正方形 ACFG 的面積，最後推出勾股定理的關係式。

1. 證明三角形 AHL 全等於三角形 ATG ：

設 CAB x^, CBA y^，且已知x^ y^ 90^。因為 90

HAL BAL ^ CAB BAL

        ，所以 HAL  CAB，又ALH 90^  ACB,

AH  AB，可推得

AHL ABC

   (AAS 全等).

因為GAT TAW 90^ CAB TAW，所以 GAT  CAB，又 90^o

AGT ACB

    , AG AC，可推得 ATG ABC

   (ASA 全等).

故

. AHL ATG

  

(3)

2. 證明三角形KHM 全等於三角形 ATW ：

因為 ATG  ABC，所以 AT  AB c HK，又因為 HKM  y^  TAW, 90

HMK ^ TWA

    ，所以

KHM ATW

   (AAS 全等).

3. 證明四邊形 NOLM 與四邊形TFUR 都是面積為(b a )²的正方形：

因為四邊形 NOLM 的四個角都是直角， OL ALAO AL CB  b a, LM HM HL b a，所以

 

²

NOLM b a

四邊形是面積為的正方形。

因為四邊形TFUR 的四個角都是直角，TF GFTF  b a, FU FC UC  b a，所以

 

²

TFUR b a

四邊形也是面積為的正方形。

4. 證明三角形 KBN 全等於三角形 RDE ：

因為KBN ABN 90^  CBA ABN，所以 KBN  CBA y^，又 90

KNB ^ ACB

    , KB AB，可推得 KBN ABC

   (AAS 全等).

因為EREUUR  a (b a) b CA, DE  a BC, RED90^ ACB，所以 RDE ABC

   (AAS 全等).

因此

. KBN RDE

  

5. 利用 4.證明四邊形BNQY 面積等於四邊形 DEUS 面積：

因為 KBN  RDE，所以

BNQY  YQK  DEUS  SUR

四邊形面積面積四邊形面積面積。

又因為 YKQ x^  SRU, QK UR, YQK 90^  SUR，所以 YQK SUR

   (ASA 全等), 因此

(4)

YQK SUR

 面積  面積。

故

BNQY  DEUS

四邊形面積四邊形面積。

6. 證明三角形 XNB 全等於三角形 SCD ：

因為 KBN ABC，所以 BN BC a DC，又 90

XBN CBA ^ SDC EDR

        , RDE ABC，可推得 CBA  EDR。因 為 CBA  EDR，所以 XBN  SDC，又XNB90^  SCD，因此

XNB SCD

   (ASA 全等).

7. 證明四邊形 XNOA全等於四邊形 SCWR ：

因為BXN 90^x^  y^ DSC，所以AXN 180^ y^  RSC, 90

XNO ^ SCW

    , NOA90^  CWR，因此

XNOA SCWR

四邊形與四邊形的四個內角都對應相等。

又因為 XNB  SCD，所以 XN SC，又 NO b a CW   ，因此 .

XNOA SCWR

四邊形四邊形

8. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：

ABKH AHL KHM NOLM BNQY

XNB XNOA YQK

ATG ATW TFUR DEUS

SCD

     

    

     

 

正方形面積面積面積面積面積

面積面積面積

四邊形四邊形

面積面積面積面積

四

邊形

四邊形四邊形

面積

) ( (

SCWR SUR

DEUS SCD ATG ATW

TFUR SCWR SUR

CUED ACFG

  

     

   

 



面積面積

面積面積面積面積

四邊形四邊形

正方

面

形正方形

積面積面積)

面積面積，

即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：根據魯米斯在《勾股定理》這本書中寫道，這個證明是 Richard A. Bell 在 1914 年 7 月 13 日想到的，並在 1938 年 2 月 28 日交給他。

2. 心得：此證明切割出許多區塊，但是整個證明滿直觀的，就是證明正方形 ABKH 所 切割出的所有區塊面積等於正方形 CUED 的面積加上正方形 ACFG 的面積，

(5)

便能得到三個正方形的面積關係，進而推導出勾股定理的關係式。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

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4. 補充：此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：