Chap. 4 向量分析 Vector Analysis

70  Download (0)

Full text

(1)

Chap. 4 向量分析 Vector Analysis

國立中興大學物理系林中一 編撰 March, 2017

§ 4.0 基本性質

如同在高中所學過的的,所有的物理量可以分為兩大類「純量」

(scalar) 與「向量」(vector)。雖然這兩類的量其實有更嚴格的定義,

但是目前我們可以「粗淺的」定義她們為

純量:只有大小而無方向概念的量。如溫度、質量、長度、…等。

向量:同時具有大小及方向概念的量。如速度、位置、力、…等。

純量間的運算只有的加法與乘法,作法數字的相同。向量有若干性 質,陳述如下:

1. 向量的符號通常以大寫字母上加一個箭頭

表示,例如向量A。以圖形的表現方式為一個

「有向線段」(就像「一枝箭」),其「長度」

表示其「大小」,「指向」表示該向量的「方向」。 向量A的大小通常以其絕對值| |A 或以字母A 表示。

2. 向量A若與向量B相等:A=BAB大小相同、方向一致。換 言之,將表示B的那枝「箭」不論平行的移到哪裡去,都表示向量B。 例如在台中向東 50 km/h 的速度與在金門向東 50 km/h 的速度是相同 的速度。

3. 定義「純量 c 乘以向量A」 cA≡ = Ac,若 c > 0, cAA同向; 若 c < 0, cAA反向。例如5A與 A 同向, 3A與 A 反向。

(2)

4. 向量u, v定義加法u+v可由圖形表示:就是將v的尾巴接到u的頭 後,自u的尾巴指向v的頭的「箭」就是 u v+ 。很容易看出

u+ = + 向量加法滿足「交換性」 (4-1) v v u

w v u w v u w v

u+ )+ = +( + )= + +

( 向量加法滿足「結合性」 (4-2)

5. 和向量

如上圖若有向量A,B夾角為θ(θ π≤ =180°)為之「夾角」(注意:

兩向量的夾角是將兩向量的「尾巴」放在一起後「兩箭」的夾角)。

由餘弦定理可知和向量的大小

2 2 2 2 2

2 2

| | 2 cos( ) 2 cos

| | 2 cos

A B A B AB A B AB

A B A B AB

π θ θ

θ

+ = + − − = + +

⇒ + = + + (4-3)

Ex. 1. Vector AB大小為 A=2, B =5, 兩者夾角 300,求和向量大小。

解: |A+ =B| 22 + + ⋅ ⋅52 2 2 5cos(30 )0 = 29 10 3+

6. 定義向量「- v 」表大小與v相同但方向相反的向量,由-v可定義 向量之「減法」:u− ≡ + −v u ( v).

7. A B, 的內積/純量積/點積(inner product/scalar product/dot product) cos

A B⋅ ≡ AB θ (4-4)

其中θ(θ π≤ =180°)為A B, 之「夾角」。內積又稱為純量積是因為內積 的結果為一純量,稱為「點積」因為其符號為一個「 」。⋅ (4-4)式定義

(3)

的內積是由 vector ,A B的「本質」AB和「相對關係」夾角θ 決定。

也可以看出內積是可交換的,i.e., A B⋅ = ⋅B A。 inner product 可以這麼看

A B⋅ = A B( cos )θ =( cos )A θ B (4-5) 亦即vector BA方向的「投影」Bcosθ 乘A的 大小A, or vector AB方向的「投影」Acosθ 乘

B的大小B. A B, 彼此垂直,則A B⋅ =0,這

可單純的由cos(900) = 0看出,或表示 vectors A B, 在對方方向投影皆為

0。所以向量的內積牽涉到二向量在對方方向的投影。

§ 4.1 直角座標(Cartisian coordinates, or Rectangular coordinates) 座標系的選定像是選擇劃分空間的方法,

「直角座標」的作法就是將空間分割成一個個 小立方體來標誌位置。在沿著三個相互垂直的 x, y, z,軸我們訂出三個「單位向量unit vector」

ˆ, ˆ, ˆ

x y z (也有用i j kˆ ˆ, , ˆ或e e eˆ ˆ ˆx, y, z表示,一般的

慣 例 是 ˆe 表 示 單 位 向 量) 分 別 指 向+x, +y, +z, 方 向 , 而 且 ˆ ˆ ˆ

| | |x = y| | | 1= =z 。其實所有的「無單位」且大小/長度=1的向量,都叫 做「單位向量」。

「直角座標」一個重要的性質就是, 一旦 x, y, z,軸定好之後單位 向量 ˆ ˆ ˆx y z 就被固定了,即, , x y z 為「常數向量」不會改變。一ˆ, ˆ, ˆ

個任意向量V 就可以就可以以分量的形式表出:

ˆ x ˆ y ˆ z

V =xV + yV +zV (4-6)

其中單位向量 ˆx的係數Vx稱為vector V 的x-分量(x-component), ˆy 的係數Vy稱為 y-分量, ˆz 的係數VZ稱為z-分量。分量VxVyVZ是 一個可為正、負的純量。由於 ˆ ˆ ˆx y z 彼此垂直, , ,所以

(4)

ˆ ˆx y⋅ = ⋅ = ⋅ = ( ˆ ˆ ˆy zˆ ˆ z xˆ ˆ 0 x y z, , 之正交關係 orthogonality) (4-7a) ˆ ˆx x⋅ = ⋅ = ⋅ = ( ˆ ˆ ˆy yˆ ˆ z zˆ ˆ 1 x y z, , 為歸一化向量 normalized vector) (4-7b)。 上面二式合稱x y zˆ, ˆ, ˆ之「歸一正交關係」 (orthonormality)。

所以向量V 的分量可由內積得到,i.e.,

ˆ (ˆ x ˆ y ˆ z) ˆ ˆ x ˆ ˆ y ˆ ˆ z ˆ x ˆ V x⋅ = xV + yV +zV ⋅ =x xV ⋅ +x yV ⋅ +x zV ⋅ =x V = ⋅ x VV 在 x軸的投影.

Similarly, Vy = ⋅ = ⋅V yˆ y Vˆ = V 在 y 軸上的投影.and Vz = ⋅ = ⋅V zˆ z Vˆ

V 在z 軸的投影。舉例,當向量寫為V =2xˆ+4yˆ−5zˆ時x-分量=2

=V 在x軸上的投影,y分量=4=V 在y軸上的投影,z分量=-5=V 在

z軸上的投影。當用分量表示向量時,二向量

ˆ x ˆ y ˆ z, ˆ x ˆ y ˆ z A= xA + yA + zA B= xB + yB +zB

, 1,2,3

i i

A= ⇔B A =B i= (4-8)

i.e., 若且唯若 A= ,則兩者對應的各分量相等。 B

(4-7a,b)所示的歸一正交關係有一緊緻的寫法,就是用eˆi來寫。現 在介紹一個重要的符號 δij,叫做 Kronecker Delta,定義如下:

1,

ij 0,

i j i j δ ≡ ⎨ =

⎪⎩ ≠ (4-9)

舉例來說,,或δxxyyzz = ,1 δxyyzzx = 0, δ231231 = 0,

22 11 33 1

δ =δ =δ = δstrstr =0…etc.。即腳標相同的就有值=1,腳標 不同的就不有值=0. 如此若用{ ,e e eˆ ˆ ˆ1 2, } { ;3e iˆi =1, 2, 3}來表示直角座 標的三個單位向量{ ˆx y z }, ˆ, ˆ ,則可以得到

xˆ =eˆ1, yˆ =eˆ2, zˆ= ⇒ ⋅ =eˆ3 e eˆ ˆi j δij, ,i j=1, 2, 3 (4-10) 一個式子

ˆ ˆe ei⋅ =j δij, ,i j=1, 2, 3. (4-11)

(5)

就把x y zˆ, ˆ, ˆ的正交歸一關係寫完!我們也可以用連加符號來寫向量 V = xVˆ x + yVˆ y +zVˆ z 3

, , 1

ˆ ˆ

or

i i i i

i x y z i

V e V e

= =

=

4-12

Vi為第i個方向的「分量」,eˆi表示「第i 個方向」的單位向量,是一 種i j kˆ ˆ, , ˆ更方便的寫法。所以

3 3 3

1 1 1

ˆi ˆi jˆj jˆj ˆj j ij i, 1,2,3

j j j

e V e V e V e e V δ V i

= = =

⋅ = ⋅

=

⋅ =

= = 4-13

注意到上式中的

3

1 1 2 2 3 3

1

j ij i i i

j

Vδ Vδ Vδ Vδ

=

= + +

=三項和,腳標 j 1,2,3

三個可能,但若 ji,則δij =0,只有一項當i = j,時δij =1存活下來。

i.e., ˆe Vi ⋅ =Vi, i=1, 2, 3。此處要注意,因為特定的i被用掉了,所以V 不能再用

3

1 i iˆ

i

V e

= 來表示,要換一個腳標,i.e., V

3

1 jˆj j

V e

=

對於任意的向量A B, 以分量表示:

ˆ x ˆ y ˆ z, ˆ x ˆ y ˆ z A= xA + yA +zA B= xB + yB + zB

ˆ( x x) ˆ( y y) ˆ( z z)

A B x A B y A B z A B

⇒ + = + + + + + (4-14)

* ,A B 內積

3

1

x x y y z z i i

i

A B A B A B A B A B

=

⋅ = + + =

(4-15)

Pf.

3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1

ˆi i ˆj j i (ˆ ˆi j) j i ij j i i

i j i j i j i

A B e A e B A e e B A δ B A B

= = = = = = =

⎛ ⎞

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⎜ ⎟=

⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

(4-14)式的內積由A B, 的「分量」表出,分量與座標系有絕對的關 係。(4-14)與(4-5)式的內積的定義不一樣,然結果相同,兩者的 等價可以證明如下。令ϕ為B與x-軸的夾角

A Bi i = A Bx x +A By y

(6)

cos( ) cos sin( ) sin [cos( ) cos sin( ) sin ]

cos[ ] cos

A B A B

AB AB AB

θ ϕ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ ϕ θ

= + ⋅ + + ⋅

= + + +

= + −

= Q.E.D

Ex.2 若A=3xˆ− +yˆ 2 ,z Bˆ = +xˆ 2yˆ−zˆ,判斷vector ,A B是否相互垂 直。解:(a)A B⋅ =3-2-2=-1 0≠ ,所以不相互垂直

Ex.3 If A=3xˆ− +yˆ 2 ,z Bˆ = +xˆ B yyˆ −zˆ,,find B such that AyB. 解:let A B⋅ = =3-0 B -2yB =1. y

* 向量A的大小(magnitude)由內積定義:

( )

2 2 2 2

0 ˆ ˆ ˆ

, 1

x y z i

i

A A A A A A

or A A A i j k

≡ = + + = ≥

= ⋅ = = =

(4-16)

除了避免誤解,為了方便,往後我們只用 A來表示向量A的大小i.e., A = A.

Ex.4 If A=3xˆ− +yˆ 2 ,z Bˆ = +xˆ 2yˆ−zˆ,(a)find A and B. (b) ,A B之夾角 解:(a)A= 32 + +12 22 = 14, B= 1 4 1+ + = 6。

(b)

3

1

1 cos 14 6 cos

i i i

A B A B AB θ θ

=

⋅ =

= − = = ×

1 0

cos 1.68 96.3

84 rad

θ θ

⇒ = ⇒ = ≈

* 任意非零vector向量 A ,其方向的單位向量 ˆ A

A= , (4-17) A such that A 也可以寫為

ˆ ˆi i

i

A= AA=

e A (4-18)

(7)

Ex.5 Given A=3xˆ− +yˆ 2 ,z Bˆ = +xˆ 2yˆ − find unit vector ˆ ˆzˆ, A B . ,

解:

ˆ ˆ ˆ

3 2 3 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ,

14 14 14 14

ˆ 2ˆ ˆ 1 2 1

ˆ ˆ ˆ ˆ

6 6 6 6

A x y z

A x y z

A

B x y z

B x y z

B

= = − + = − +

+ −

= = = + −

前面討論過,若θ 為 ,A B 之夾角,則 Acosθ 為 vector A 在 B 方向的 投影或稱 B 方向的分量,由內積的定義可以得到,∵|Bˆ | 1=

A B⋅ ≡ˆ A B| ˆ| cosθ = Acosθ (4-19)

Ex.6. Following ex.5 find A , which is the component of A along the B direction of B .

解:for ˆ 1 ˆ 2 ˆ 1 ˆ

6 6 6

B= x+ yz, ˆ

AB = ⋅ = ( ˆ ˆA B 3x− +y 2zˆ) 1 2 1 1

ˆ ˆ ˆ

6 x 6 y 6 z −6

⎛ ⎞

⋅⎜⎝ + − ⎟⎠= .

換言之,要找向量 A 在任意方向 u 的分量A ,就先找出 u 方向的單位u 向量 ˆe ,u Au = ⋅ 。 A eˆu

Ex. 7. 求向量B= +xˆ 2yˆ −zˆ在u = + + 方向的分量xˆ yˆ zˆ, B u 解:單位向量 ˆ ˆ ˆ ˆ

3 x y z

u + +

= , ˆ ˆ ˆ 2

ˆ (ˆ 2ˆ ˆ)

3 3

u

x y z

B = ⋅ =B u x+ y− ⋅z + + = 。 習題 1. Given A= −2xˆ+3yˆ−2 ,z Bˆ =2xˆ− −yˆ zˆ,(a) find |A|and |B . | (b) angle (A , B). (c) the component of B in the direction of A

*向量場 vector field

若在一空間的每一點都定義一個向量 A ,則稱該空間存在向量場 ( , , )

A x y z 或 ( )A r 。我們熟知的電場 ( , , )E x y z 、磁場 ( , , )B x y z 、重力場 ( , , )

g x y z 等都是向量場。向量場 ( , , )A x y z 的各分量也都是位置的函數

ˆ ˆ ˆ

( , , ) x( , , ) y( , , ) z( , , )

A x y z = A x y z x+A x y z y+A x y z z. (4-20)

要注意,除了少數特例,一般向量場的各分量,例如 x-分量 Ax並非 只是 x 的函數,而是(x,y,z)的函數。特例之一為空間中每一點(x, y, z)

(8)

皆對應一「位置向量」r =xxˆ+ yyˆ+ ,zzˆ 所以向量場 ( , , )A x y z 也可表為 ( )A r 。

Ex. 8. 給定一向量場 ( , , )A x y z = A x y z( , , )= y x2ˆ+x zy2 ˆ+xz z3ˆ,(a) find A1 and A2, which are vector A at position P1(2, 1, 5) and P2(3, 0, 1).

解:(a) A1= A (2, 1, 5)=12xˆ+(22×5)yˆ+ ×(2 5 )3 zˆ= +xˆ 20yˆ+250zˆ, A2=A(3,0,1)=0xˆ+(32×1)yˆ+ ×(3 1 )3 zˆ=9yˆ+ 3zˆ

(b) Find the unit vector rˆ1, r , and ˆ2 ˆr for position vectors of points P12 1, P2, and P P . 1 2

解:for P1, r = ˆ1 2x+ +yˆ 5zˆ ˆ1 2ˆ ˆ 5ˆ 30 x y z

r + +

⇒ =

for P2, 2 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

3 10

x z r = x+ ⇒ =z r +

P P1 2 = 12 ˆ ˆ 4ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

(3 2) (0 1) (1 5) 4

18 x y z

x y z x y z r − −

− + − + − = − − ⇒ =

Note, P P1 2 = − , but r2 r1 ˆr12 ≠ − , why? Draw a diagram. rˆ2 rˆ1 (c) Find the component of A1 along the direction of the P P1 2. 解:A r1⋅ˆ12 =(xˆ+20yˆ+250 )zˆ ⋅ ˆ ˆ 4ˆ

18 x− −y z

=1 20 1000 1019

18 18

− − = − .

3-D向量 A 的分量

A 3-D vector A is uniquely specified by given its magnetude A and direction ( ,θ ϕ 稱為

「方向角」)或者就是完整說明x,y,z 三個分量

Ax. Ay. Az),兩者轉換如下:

(9)

cos sin cos sin sin

0, 0 , 0 2

z x y

A A

A A

A A

A

θ θ ϕ θ ϕ

θ π ϕ π

=

=

=

> ≤ ≤ ≤ ≤

(4-21)

A B, 的外積/向量積/叉積(vector product/cross product) 由A B, 的本質與相對夾角定義向量外積

ˆ sin

A B× ≡nAB θ (4-22a)

其中的是一個同時垂直於A B, 的單位向量,其方向由右手定則定 之。舉例

ˆ ˆ ˆsin 90 ˆ, ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0

x y z z x z y y z x

x x y y z z

× = ° = × = − × =

× = × = × =

相互平行或反平行的二向量,外積為0,因為sin(0)=sin(1800)=0.

B

A, 的外積也有另一個等價的定義:

,

ˆ ˆ ˆ

(4 22 )

( ) (4 23)

x y z

x y z

i ijk j k

j k

x y z

A B A A A b

B B B

A B ε A B

× = −

× =

上式中的εijk稱為 Levi-Civita symbol(猶太裔義大利人,Ci 發音同 chi)。 εijk=0 若ijk中有任二數相同,例如ε211131223 =0。若 ijk 為相異的3 個數,則εijk=(-1)p, p是 ijk相鄰兩數互換成為123的「置 換數」,例如 ijk=231,則→213→123:p=2, ε231 = −( 1)2 = , 1 又如 ijk

=321則→312→132→123:p=3, 所以ε321 = −( 1)3 = −1。

(10)

Ex. 9. A= +xˆ 4yˆ+5zˆ, B=3xˆ+ zˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

1 4 5 (4 5) (15 1) (0 12) 14 12 . 3 0 1

x y z

A B× = = x − + y − +z − = − +x yz

ex. 10., A= − − +xˆ yˆ 4zˆ, B=2xˆ− − yˆ zˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

1 1 4 (1 4) (8 1) (1 2) 5 7 3 .

2 1 1

x y z

A B× = − − = x + + y − +z + = x+ y+ z

− −

由(4-21b)可以容易看出

( ) ( )

x y z

x y z

x y z

C C C

C A B A B C A A A

B B B

⋅ × = × ⋅ = (4-24)

明顯的 in general 外積不滿足交換率與結合率,

( ) ( )

A B B A B A A B C A B C

× = − × ≠ ×

× × ≠ × × (4-25)

* 兩個有用的恆等式(identity) 1. triple scalar product 純量三重積

A B C⋅( × )= ⋅C (A B× ⋅ = ⋅) B C( ×A) (4-26) 上式中的 3 項運算A B C, , 的順序是循環的(cyclic),i.e., ABC, CAB, BCA。3 項皆為以 , ,A B C 為鄰邊的平行 6 面體的體積。

Pf. 若 ,B C 夾角=ϕ ⇒ B C× =nBCˆ sinϕ, 其中BCsinϕ=以 ,B C 為兩邊的平行 四邊行面積, ˆn ⊥ ,B C 。

A n 夾角=, ˆ θ ⇒ ⋅ =A nˆ Acosθ

=垂直於 ,B C 平面的高,

A B C⋅( × )=以 , ,A B C 為鄰邊的平行

(11)

六面體的體積。由於 3 鄰邊 , ,A B C 的順序可以任選,所以體積可藉由

(4-24)式之「絕對值」算出。

Ex. 11. 一平行六面體 H 的相鄰三邊由A= +xˆ 4yˆ+5zˆ, B=3xˆ+ , zˆ 與C= −2xˆ+ − 表出,求 H 之體積yˆ zˆ V 。 H

解:let 1

2 1 1 1 4 5 18 3 0 1 C

D A

B

− −

= = = ,or 2

1 4 5

2 1 1 18 3 0 1

A

D C

B

= = − − = −

VH =D1 =|D2 | 18= 。 D 與1 D 差一個負號不令人驚奇,因為行 2 列式D 是由2 D 的第一列與第二列交換而來。 1

2. triple vector product 向量三重積

A×(B C× )=B A C( ⋅ )−C A B( ⋅ ) (4-27) 上式有一別號稱為 back-cab(回頭車) rule。先舉例說明上式成立。

Ex.12. A= +xˆ 4yˆ+5zˆ, B=3xˆ+ , zˆ C = − −xˆ yˆ 4zˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

3 0 1 (0 1) (1 12) ( 3) 13 3 . 1 1 4

x y z

B C× = = x + + y + + − = +z x yz

− − ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

( ) 1 4 5 ( 12 65) (5 3) (13 4) 77 8 9 . 1 13 3

x y z

A× B C× = = − −x +y + +z − = − x+ y+ z

ˆ ˆ 1 4 20 23 ( ) 69 23 A C⋅ = − − = − ⇒B A C⋅ = − xz

ˆ ˆ ˆ 3 5 8 ( ) 8 8 32 A B⋅ = + = ⇒C A B⋅ = xyz,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

( ) ( ) 69 23 (8 8 32 ) 77 8 9

B A C⋅ −C A B⋅ = − xzxyz = x+ y+ z. QED.

* The proof of A×(B C× )= B A C( ⋅ )−C A B( ⋅ )

Pf. Note that B C× ⊥( , )B C 平面,then (∵A× B C× )⊥(B C× ) ⇒ ×A (B C× )≡ 躺在(D B C, )平面,所以D可由 ,B C 組合,令

(12)

DBC。由於 D 也與 A 垂直,所以 0

A D⋅ = =α(A B⋅ )+β(A C⋅ )⇒

let v v A C( ), v A B( ) A C A B

α β α β

= = ⇒ = ⋅ = − ⋅

⋅ ⋅

( ) [( ) ( ) ]

D A B C αB βC v A C B A B C

∴ = × × = + = ⋅ − ⋅ v 會=1?上式對 ˆx 做內積

ˆ [ ( )] [( ) ˆ ( ) ˆ] [( ) x ( ) x] x A B C v A C B x A B C x

v A C B A B C

⋅ × × = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

= ⋅ − ⋅

由於內積與外積都是向量間的運算,所以上式左邊有

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

( )

x y z x y z

x y z x y z

x y z A x A y A z

B C B B B A B C B B B

C C C C C C

× × ×

× = ⇒ × × =

ˆ ( ˆ) ˆ ( ˆ) ˆ ( ˆ) 0 ˆ [ ( )]

z y

x y z x y z

x y z x y z

x A x x A y x A z A A

x A B C B B B B B B

C C C C C C

⋅ × ⋅ × ⋅ × −

⇒ ⋅ × × = =

上式用到 ˆ ( ˆ) 0

xA x× = ,xˆ⋅(A× yˆ)=A⋅ ×(yˆ xˆ)= − ,Az xˆ⋅(A z× ˆ)=A z⋅ ×(ˆ xˆ)= Ay 用第 3 列展開行列式得

ˆ [ ( )] ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x y y x z z x

x x x x y y z z x x x x x x

x x

x A B C C A B A B C A B C A B

C A B A B B C A C A C A B A B B A C C A

C A B B A C

⋅ × × = − ⋅ + + +

= − ⋅ + + + = − ⋅ + + ⋅ −

= − ⋅ + ⋅

1 ( ) ( ) ( )

v A B C B A C C A B

⇒ = ⇒ × × = ⋅ − ⋅ . QED

* 向量的微分元素(直角座標)

ˆ (ˆ ) [( ˆ ) ˆ ] ˆ

ˆ ˆ ˆ

,

i i i i i i i i i i

i i i i

x y x

dA d e A d e A de A e dA e dA

or dA xdA ydA zdA

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟= = + =

⎝ ⎠

= + +

∑ ∑ ∑ ∑

4-28)

(13)

上面用了直角座標最方便的性質:eˆi為常數⇒deˆi =0。舉「位置向量」

為例

2 2 2 2 2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆi i

i x y z

i

r xx yy zz dr xdx ydy zdz

dr dx dy dz

v x y z e x

dt dt dt dt

v v v x x y z v v v

= + + ⇒ = + +

⇒ = = + + =

⇒ = ⋅ = = + + = + +

(4-29)

§ 4.2 曲線座標(curvilinear coordinates) (A) 平面「極座標」polar coordinates ( , )r θ

在平面上的一點P的直角座標若為(x, y),我們可以有另一種標示法:

( , ) 0, [0, ) [0,2 ]

r P x y r r

x r

θ θ π

≡ ≥ ∈ ∞

⎧⎨

≡ ∈

由原點到 之距離,

軸到 的夾角 (4-30)

以P(r,θ)為座標表同一點P(x,y); (r,θ)稱為 P點的「極座標」。「極座 標」與「直角座標」的關係如下:

2 2

, , cos tan sin

r x y x r

y and y r

x

θ θ θ

⎧ = + ⎧ =

⎪⎨ = ⎨ =⎩

⎪⎩ (4-31)

但是(r,θ)這兩個新座標的單位向量 rˆ,θˆ 在什麼方向?我們先來回顧 一下座標軸的單位向量的「制訂標準」是

什麼?事實上,某座標的單位向量的方向 訂在「垂直於該座標『等值面』,且指向 該『座標值增長』的方向」。舉「直角座 標」為例,如右圖,由於x, y軸皆為直線

(14)

所以「等值面」都是平行的平面,所以垂直方向皆相同,也造成單位 向量x yˆ ˆ, 為常數。

由左圖可以看出,極座標裡r 的等值面是一 個圓,所以單位向量ˆr是「沿徑向向外」,但 是隨圓上θ有所變動時也隨著改變!所以ˆr

「不是一個常量」!rˆ= rˆ( )θ ,是角度θ數!

如左圖也可看出θ的等值面為直線,所以單位 向量θˆ是「沿『切線』逆時針」方向。

但如同ˆr一樣,當θ值改變時θˆ的方向 也改變了所以θˆ也「不是一個常量」!

) ˆ( ˆ θ θ

θ = 也是角度θ 的函數!可以看出 固定θ時ˆr⊥θˆ,但是她們都與「角座標」θ有關。由於她們的指向,

有時ˆr被稱為「沿徑向」之單位向量,θˆ被稱為

「沿切線」之單位向量。極座標和直角座標還 有一個很大的差別,就是直角座標的x, y, z的 因次都是「長度」,所以當座標改變時dx, dy, dz 就是「長度」的改變。然而極座標的r有長度因 次所以dr是長度,但是θ只是一個數字,而非長度!所以當θ改變時

dθ 並不代表一個長度的變化。dθ 造成的長度變化寫為 d θ =h dθ θ (4-32)

其中的係數hθ稱為「度量係數」(metric coefficient),很顯然這裡的hθ 必須具有長度的因次。「長度」之所以重要,是因為位移是長度!各個 座標的度量係數我們會在後面仔細討論。

座標系的選用以方便為準,系統的對稱性是重要的考量。所以有 立方對稱的系統通常用直角座標,而有圓對稱的系統則用極座標。

(15)

Ex.13. 半徑 5、圓心在原點的圓方程式,在直角座標為x2 + y2 =52, 但是在極座標就是r=5而已。

* 位置、位移、速度、與加速度 直角座標的描述很簡單

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ r xx yy

r xx yy

dr dxx dyy

= + Δ = Δ + Δ

= +

位置 位移 位移元素

(4-33)

2 2

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

( )

ˆ ˆ ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ

( )

x y

dr dx dy

v t x y xx yy v x v y

dt dt dt dv t dxx dyy

dv dx dy d x d y

a t i j i j

dt dt dt dt dt

⇒ = = + = + = +

⇒ = +

⇒ = = + = +

瞬時速度 速度變化元素 瞬時加速度

(4-34)

在極座標由於單位向量ˆr,θˆ不再是常數⇒drˆ≠0, dθˆ≠ !所以 0 ˆ

ˆ ˆ ( )

ˆ ˆ r rr

r r r r r dr drr rdr

=

Δ = Δ + Δ

⇒ = +

位置 位移

位移元素

(4-35)

現在有一個問題:drˆ=?由下圖 ˆr 的變化由 dθ而來

ˆ ˆ( ) ˆ ˆ( ) ˆ( ) ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

0 ( ) / /

ˆ ˆ

r r dr r d r

dr r d d

d dr r dr

dr d

θ θ θ θ

θ θ

θ θ θ

θθ

= ⇒ = + −

= =

→ ⇒ ⊥ ⇒

⇒ =

∵ (4-36)

(16)

所以微分的位移為 ˆ ˆ

dr =drr+rdθθ (4-37)

上式的幾何意義很清楚,dr 的 r 分量 dr 就是「沿 ˆr 方向的長度變化」,而θ 分量 rdθ 就是「沿θˆ方 向的長度變化」而已。或者也可以這麼看,dr 是 一個位移向量,在平面上有 r 和θ 兩個分量,所以dr =d rrˆ+d θθˆ, α 為在 ˆr 方向的長度變化,β 為在 ˆθ 方向的長度變化,所以d r =dr

d θ =rdθ。這種分析方法可以用在各種座標系,這裡也可以看出,

和(4-32)式角度變化 dθ造成的長度變化 d θ =h dθ θ 相比,可以得出 θ 的度量係數 hθ = 。與直角座標比較r dr =dxxˆ+dyyˆ, dx 與 dy 不也就 是 dr 在 x 與 y 方向的長度變化嗎!

Now 速度

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ rˆ

dr dr d

v r r

dt dt dt rr r v r vθ

θ θ

θθ θ

= = +

= + ≡ +

(4-38)

其中 d

dt

θ = θ = 亦稱為「角速度」。 ω

Ex.14. 圓周運動因為只有切線速度,所以由(4-38)式

ˆ ˆ

0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

( ) ( ) = ( ) ( ) ( 0)

r R r v r R

dv dr r d r d r d r d dr

θθ ωθ

θθ θ θ θ θ θ θ θ θ

= ⇒ = ⇒ = =

⇒ = + + + =

( 切線速度)

(4-39) 這裡又冒出個問題:

ˆ ?

dθ = 由左圖 ˆ ˆ

ˆ ˆ 0

d d d

d d

θ θ θ θ

θ θ θ

= =

→ ⇒ ⊥

(17)

ˆ/ / ˆ

ˆ ˆ

d r

d d r

θ

θ θ

⇒ −

⇒ = − (4-40)

2

2

ˆ ˆ

( ) ( ) ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

( ) ( ) ˆ ˆ

, ( ) ( )

r

dv r d r r d

dv d d

a r r r

dt dt dt

a r r r a r a

or a r r r

θ

θ θ θ θ

θ θ

θ θ

θ θ θ θ

ω α θ

⇒ = − +

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⇒ = = −⎜⎝ ⎟⎠ +⎜⎝ ⎟⎠

⇒ = − + ≡ +

= − +

(4-41)

上式即為圓周運動的加速度,其中的第一項

2

2ˆ ˆ

r

a r r v r

ω r

= − = :向心加速度 (4-42a) with α θ= 可以認出是角加速,第二項

aθ =rαθˆ:切線加速度。 (4-42b)

如進一步簡化為「等速圓周運動」⇒ω =θ =constant⇒θ =α =0⇒切線 加速消失,那麼加速度就只剩下了熟知的向心加速度

2 r ˆ

a v r

r

= − 了。

若考慮一般的情況dr0,可以導出用極座標表示的加速度為

2

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ

( ) (2 )

dv dr r r d dr r d r d

a dv r r r r r

dt

θ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + + +

⇒ = = − + + (4-43) 看起來有點繁,但是在有圓形對稱的系統,極座標會表現得更清楚。

* 面積微分元素

直角座標把平面分割成一個個的 小方塊,也就是依照「x 與y 方向的 長度變化」可以寫出「面積元素」

dA=dx dy⋅ (像是切長方形的蛋糕)

比較dr =dxxˆ+dyyˆ可以看出 dA=(x-方向的長度變化)×(y-方向的長度變化)

(18)

所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理 : ˆ ˆ ˆ

( ) ( )

dr = dr r+rdr= dr r +rdθθ dA=dr rd⋅ θ =rdrdθ (4-44) 像是切圓形蛋糕。

ex.15. 求一個半徑R的圓的面積 解:

2 2

2

0 0

2 2

R R

A dA rdrd rdr d R

θ π θ π π

=

=

∫∫

=

∫ ∫

= ⋅ = 妳可以試試用直角座標dA=dx dy⋅ 算一下圓的面積!

Ex.16. 求一個半徑 R、質量M、密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣 量解: 質量元素 dm=σ dA到轉軸(直徑)的距 離 =rsinθ

2 2 2 2

3 2 2

0 0

4 2

2 2

sin sin

1

4 4 4

R

I dm dA r rdrd

r dr d

R R

R MR

π

σ σ θ θ

σ θ θ

σ π σπ

= = =

=

= = =

∫ ∫ ∫∫

∫ ∫

娛樂一下:算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量。

ex. 17. 計算積分I e x2dx

−∞

=

解: 2 2

0

x 2 x

I e dx e dx

−∞

=

=

2 2 2

0 0

2 x 2 y

I I I e dx e dy

⇒ = ⋅ =

2 2 2 2 2

2 ( )

0 0 0 0 0 0

4 x y 4 r 4 r

I e dxdy e dA e rdr d

π

∞ ∞ ∞ ∞ θ

+

⇒ =

∫∫

=

∫∫

=

∫ ∫

在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧,就是「無

(19)

窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的。

2

2

2 2

0

0 0 0

2 2

4 2 2( )

2 2 2

(4 45)

u u u

x

let u r du rdr rdr du

I e du d e du e

I e dx

π

π π

θ π

π

−∞

= ⇒ = ⇒ =

⇒ = = ⋅ = − ⋅ =

⇒ = = −

∫ ∫ ∫

ex.18. 重力位能

由位能差的定義U(A)−U(B)≡W(AB)

B)圓柱座標cylindrical coordinates

3D 空間點 P(x, y, z)的位置向量r = xxˆ+ yyˆ+ 。 zzˆ 定義「圓柱座標」 ( , , )ρ ϕ z 其中

, 0 [0, ) P z

ρ ≡點 到 軸之垂直距離 ρ ≥ ∴ ∈ρ ∞ ϕ ρ≡ 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角,

ϕ∈[0, 2 ]π

z ≡ 同直角座標的 z

(20)

「圓柱座標」就是「極座標」(用 ( , )ρ ϕ 取代 ( , )r θ )再加上第三維 z, 所以圓柱座標( , , )ρ ϕ z 裡ρ, z的因次為長度而ϕ只是一個數字。

( , , )ρ ϕ z 與(x, y, z)間的轉換如下:

2 2

, cos ,

tan , sin ,

x y y x x y

z z z z

ρ ρ ϕ

ϕ ρ ϕ

⎧ = +

⎪ ⎧ =

⎪ = ⎪ =

⎨ ⎨

⎪ = ⎪ =⎩

⎪⎩

(4-46)

「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆρ ϕ, , z如圖,

且 ˆρ ϕ⊥ ⊥ 。可以看出ˆ ˆz ρ 的等值面為一個圓柱 面,ϕ的等值面是一扇門,z 的等值面為一個垂 直 z 軸的平面。但是

ˆ ˆ( ), ˆ ˆ( ), zˆ

ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數

柱座標的位置向量 r :如左圖 ˆ ˆ

r =ρρ + zz (4-47)

在柱座標寫位移元素dr有兩種作法,一 種是直接由(4-47)式取微分元素, 借用 平面極座標的結果可得

( )ˆ ( ˆ) ˆ

ˆ ˆ ˆ

dr d d dzz

d d dzz

ρ ρ ρ ρ ρρ ρ ϕϕ

⇒ = + +

= + + (4-48) 但也可以由三個座標方向的 位移來看,由左圖可得沿ρˆ方向 的長度變化 i.e., 當座標ρ有變 化dρ時產生的長度變化就是

dρ,沿ϕˆ的長度變化為 dρ ϕ, 而沿ˆz方向的長度變化為dz

(21)

dr 是一個向量,有三個分量,ρ-分量就是沿ρˆ方向的長度變化 dρ ,ϕ-分量沿ϕˆ的長度變化為 dρ ϕ,而z-分量就是沿 ˆz 方向的長度變 化為dz,合併寫出

ˆ ˆ ˆ

dr =dρρ ρ ϕϕ+ d +dzz

與(4-48)式完全相同,但是這種由幾何角度得到的結果要更方便,

也更直觀。Fig. 27 非常重要,因為只要你能把圖畫出來,位移的各

分量就寫得出來。有了位移元素dr ,速度與加速度就可得出

ˆ ˆ ˆ (4 49)

ˆ ˆ ˆ

( ) (2 ) (4 50)

v dr zz

dt

a dv zz

dt

ρρ ρϕϕ

ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ

⇒ = = + + −

⇒ = = − + + + −

由上圖與dr 的3個分量可得圓柱座標的體積元素

dV =dρ ρ ϕ⋅ ddz=ρ ρ ϕd d dz (4-51) ex.19. 底面半徑R,高h的圓柱體積=?

2 2

2

0 0 0

2 2

R h

V dV d d dz R h R h

ρ ρ π ϕ π π

=

=

∫ ∫ ∫

= ⋅ ⋅ = ex.20. 底面半徑R,高h的「圓錐」體積=?

解:本圓錐裡點的座標分佈為ϕ∈[0, 2 ],π z∈[0, ],h ρ ρ= ( )z

( ) ( ) ( )

h z h R

z h z

z R ρ h

ρ

− = ⇒ = −

2 ( ) 2

( ) 2

2

0 0 0 0 0 0

0 0

2 2 2 3 2 3

2 2 2

2 2 2 2

0

( )

2 2

2 ( ) 1

3 3 3

R h z z

h h h h

h

h h

R h z

V d dz d d dz d dz h

R R R u R h

h z dz u du R h

h h h h

ρ π

τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π

π π π π π

∴ = = = = −

= − = = = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

如果我們把3-D的三個座標寫為( ,u u u1 2, 3)或{ ,u ii =1, 2, 3},當座 標ui(在uˆi方向)變動dui時造成的長度變化為d i,則定義

(22)

d ih dui i (4-52)

其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數(metric coefficient)。由 , zρ 的因次為長度所以 , zρ 的變 化dρ,dz就是長度的變化,所以hρ =1, hz = 。1 然而ϕ的變化造成的長度變化為

d ϕ =ρ ϕdhϕ = . (4-53) ρ 很明顯的直角座標x,y,z 都是長度所以度量係數hx =hy =hz =1。 (C) 球座標 spherical coordinates

3D點 P(x, y, z)的位置向量r =xxˆ+yyˆ +zzˆ。定義

「圓柱座標」(r,θ,ϕ),其中 , [0, ] , [0, ]

, [0, 2 ]

r P r

r z

r x y x

θ θ π

ϕ

ϕ π

⎧ ≡ ∈ ∞

⎪ ≡ ∈

⎪⎨

≡ −

⎪⎪ ∈

原點到 的距離 與 軸的夾角

在 軸投影與 軸的夾角

球座標的ϕ與住座標的ϕ相同 ( , , )r θ ϕ 與(x, y, z)間的轉換如下:下列為(4-54)

2 2 2

2 2 2

sin cos

cos sin sin

cos tan

r x y z

x r

z y r

x y z

z r y

x

θ ϕ

θ θ ϕ

θ ϕ

⎧⎪ = + +

⎪ ⎧ =

⎪ = ⎪ =

⎨ ⎨

+ +

⎪ ⎪ =⎩

⎪⎪ =

三個座標的單位向量(rˆ,θˆ,ϕˆ)如左圖一。可以看 出 r 的等值面是一個球面,θ 的等值面為一個 以原點為頂點的圓錐,ϕ的等值面為一扇門。

位置向量 r = (4-55) rrˆ

(23)

位移由( , , )rˆ θ ϕˆ ˆ 3 個方向的「長度 分量」可得

ˆ ˆ

ˆ ( ) ( sin ) dr =rdrrdθ +ϕ r θ ϕd (4-56)

所以體積元素

2

( )( sin ) (sin )

d dr rd r d

r dr d d

τ θ θ ϕ

θ θ ϕ

=

= (4-57)

Fig. 31 和 Fig. 27 一樣重要,只要 你能畫得出來,就可以寫出球座 標位移的三個分量。

ex.21. 求一半徑 R 的球體積

2

2 2 3

0 0 0

sin sin 4

3

R

V d r dr d d r dr d d R

π π

τ θ θ ϕ θ θ ϕ π

=

=

∫∫∫

=

∫ ∫ ∫

=

ex.22. 求一質量 M、半徑 R、密度ρ = M / 4

(

πR3 / 3

)

的實心球對直徑

旋轉的轉動慣量.

解:質量元素dm= ρ τ ρd = r dr2 sinθ θ ϕd d 到 z 軸的垂直距離為 =rsinθ

2 4 3 2

0 0 0

5 5

2

sin

4 8 2

5 3 2 15 5

R

I dm r dr d d

R R

MR

π π

ρ θ θ φ

ρ π ρ π

= =

= ⋅ ⋅ = =

∫∫∫ ∫ ∫ ∫

娛樂一下:空心球對直徑的轉動慣量。

(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉 換,Fig. 32 可得出柱座標和球座標之間轉換

2 2

sin

tan cos

r z

r z r z ρ θ ρ

ϕ ϕ θ ρ

θ ϕ ϕ

⎧ = +

= ⎪

⎧⎪ = ⎪ =

⎨ ⎨

⎪ = ⎪

⎩ ⎪⎩ =

(4-58)

(24)

Ex.23. 點 P 的球座標為(3,1200, 600)求柱座標=?

解: 2 3 3

3sin 3 2 ρ = ⎜ π ⎟=

⎝ ⎠ , 2

ϕ = 3π , 2 3 3cos 3 2 z = ⎛⎜⎝ π ⎞⎟⎠=− 。

*直角座標、柱座標、球座標單位向量之間的轉換

三種座標之間的轉換由(4-46)式、(4-54)式與(4-58)式表出,但 三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ{ , , }x y z 、 ˆ ˆ ˆ{ , , }ρ ϕ z 、{ , , }rˆ θ ϕˆ ˆ 若以{uˆi=1,2,3} 表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係

ˆi ˆj ij u u⋅ = δ 與外積的循環關係

ˆi ˆj ˆ , , ,k

u ×u =u i j k cyclic in 1,2,3 i.e., uˆ1×uˆ2 =uˆ3, uˆ2× =uˆ3 uˆ1, uˆ3× =uˆ1 uˆ2,

or, rˆ× =θ ϕ ϕˆ ˆ, ˆ× =zˆ ρˆ,, zˆ× = xˆ yˆ

然而不同座標系的單位向量之間關係如何?我們畫圖來討論。

* 球座標( , , )rˆ θ ϕˆ ˆ → 直角座標 ˆ ˆ ˆ( , , )x y z

單位向量都是用來指方向的,球座標的( , , )rˆ θ ϕˆ ˆ 都是「方向角」( , )θ ϕ 的函數, ˆr 在直角座標可以由 Fig.33 看出

rˆ= xˆsin cosθ ϕ+yˆsin sinθ ϕ+zˆcosθ (4-59)

ex.24. P 點的球座標為 2 7 5, ,

3 6

⎛ π π ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠試用球座標與直角座標求 P 點的位

置向量的單位向量。

解:位置向量r = 在球座標只有 r-分量。標位置,仔細一點把方向rrˆ

角標出 2 7

ˆ , 3 6 r π π

⎜ ⎟

⎝ ⎠,通常只是寫 ˆr ,令人有點摸不著頭緒,用直角

(25)

座標比較「具像」

2 7 2 7 2

ˆ ˆsin cos ˆsin sin ˆcos

3 6 3 6 3

3 3 1

ˆ ˆ ˆ

4 4 2

r x y z

x y z

π π π π π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠

⎛ ⎞

− − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠

.

單位向量θˆ在某一組( , )θ ϕ 的指向如Fig. 34a,將θˆ平移至原點更清楚,

Fig.34b是由側面看Fig.34a.可以看到θˆ在z軸的投影為−sinθ,而θˆ在 x-y平面的投影為cosθ,使得θˆ在x-軸的投影為cos cosθ ϕ,y-軸投影 為 cos sinθ ϕ,於是

ˆθ = xˆcos cosθ ϕ+yˆcos sinθ ϕ−zˆsinθ (4-60) 單位向量ϕˆ如Fig. 35a 所示,是在x-y平面畫出。

,Fig 35b為自z 軸向下看Fig.35a圖,可以看出ϕˆ在z 軸投影為0,且 ˆϕ = −xˆsinϕ+yˆcosϕ (4-61) ex.25. 一個質點的速率為v r( , , )θ ϕ =( sin tan )r θ ϕ 2,若經查該質點的運 動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 , 則 當 位 置 的 方 向 角

(26)

( , ) ,2 4 3 θ ϕ = ⎜π π

⎝ ⎠時計算其速度,用球座標與直角座標表出。

解:圓運動速度方向是沿切線,所以球座標v =vϕˆ =v r( , , )θ ϕ ϕˆ。 z = 3,

4

θ =π 3

1 3 2 cos cos 4 2

z z

r θ π

⇒ = = = =

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ 所以該處的瞬時速率

2 2

( , , ) 3 3, ,2 4 3

2 1 81

3 3 sin tan 3 3 ( 3)

4 3 2 2

v r θ ϕ v π π

π π

⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞

=⎢⎣ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎟⎠⎥⎦ =⎜⎝ × − ⎟⎠ =

2 81 2

3 3, , ˆ ,

4 3 2 4 3

v r θ π ϕ π ϕπ π

⇒ ⎜ = = = ⎟= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

在直角座標 2 2 2

ˆ , ˆsin ˆcos

4 3 x 3 y 3

π π π π

ϕ⎜⎝ ⎟⎠= − ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠

3 1

ˆ ˆ

2 2

x y

= − −

而且點 2

3 3, , 4 3

⎛ π π ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠的直角座標為

2 1 3 3

sin cos 3 3 sin cos 3 3

4 3 2 2 2 2

x= r θ ϕ = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠π ⎜⎝ π ⎟⎠= ⎜⎝ ⎟⎠=

2 3 9

sin sin 3 3 sin sin 3 3

4 3 2 2 2 2

y=r θ ϕ = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠π ⎜⎝ π ⎟⎠= ⎜⎝ ⎟⎠= z = 3

3 3, ,2 4 3 v π π

⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 3 9 81 3 1

ˆ ˆ

, ,3

2 2 2 2 2 2 2

v⎛ ⎞ ⎛ x y

⇒ ⎜ ⎟= ⎜− − ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量,in general, 向量 A r( )=rAˆ r +θˆAθ +ϕˆAϕA r( )= xAˆ x +yAˆ y +zAˆ z (4-61)

若已知球座標的分量 ( ,A A Ar θ, ϕ),如何得到直角座標的 (A A A ? x, y, z)

(27)

ˆ ˆ

ˆ ( ) (ˆ ˆ) (ˆ ) (ˆ )

ˆ ˆ

ˆ ( ) (ˆ ˆ) (ˆ ) (ˆ )

ˆ ˆ

ˆ ( ) (ˆ ˆ) (ˆ ) (ˆ )

x r

y r

z r

A x A r x r A x A x A

A y A r y r A y A y A

A z A r z r A z A z A

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

θ ϕ

⎧ = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

⎪⎪ = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

⎨⎪

= ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

⎪⎩

(4-62)

由式(4-59)─(4-61)

ˆ ˆsin cos ˆsin sin ˆcos

r =x θ ϕ+y θ ϕ+z θ (4-59)

ˆ xˆcos cos yˆcos sin zˆsin

θ = θ ϕ+ θ ϕ− θ (4-60)

ˆ xˆsin yˆcos

ϕ = − ϕ+ ϕ (4-61)

ˆ ˆ

ˆ ˆ sin cos , ˆ cos cos , ˆ sin .

ˆ ˆ

ˆ ˆ sin sin , ˆ cos sin , ˆ cos .

ˆ ˆ

ˆ ˆ cos , sin , ˆ 0.

x r x x

y r y y

z r z z

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ

θ θ θ ϕ

⎛ ⋅ = ⋅ = ⋅ = − ⎞

⎜ ⎟

⇒⎜ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⋅ = ⋅ = − ⋅ = ⎟

⎝ ⎠

(4-63)

sin cos , cos cos , sin . sin sin , cos sin , cos . cos , sin , 0.

x r r

y RS

z

A A A

A A M A

A A A

θ θ

ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ ϕ θ ϕ ϕ

θ θ

⎛ − ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⇒⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠=⎜⎜⎝ − ⎟⎜ ⎟⎟⎠⎜⎝ ⎟⎠≡ ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠

(4-64)

其中MSR為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣,且行列式

detMSR=1, 表示反矩陣存在,thenMSR1就是將直角座標分量轉為球座 標分量之轉換矩陣。其實嚴格講 ,(4-64)式還不是最終的表示,因為 轉換完的直角

座標,應該全部以 x, y, z 表出,這裡保留用 ,θ ϕ 只是為了簡潔方便。

習題 2: FindMSR1

習題 3. 用 x,y,z 表出(a)sinθ . (b) cosθ. (c) sinϕ. (d) cosϕ. Ans. (a)

2 2

2 2 2

sin x y

x y z

θ = +

+ + . (b)

2 2 2

cos z

x y z

θ =

+ + . (c)sin 2y 2

x y ϕ =

+ . (d)

2 2

cos x

x y ϕ =

+ . 習題 4. 用上面結果將MSR用 x,y,z 表出.

Ex.26. Given a field A r( , , )θ ϕ =2rˆ+3θ ϕˆ− in spherical coordinates ˆ find the field in rectangular coordinates (直角座標).

Figure

Updating...

References

Related subjects :