Chap. 4 向量分析 Vector Analysis
國立中興大學物理系林中一 編撰 March, 2017
§ 4.0 基本性質
如同在高中所學過的的,所有的物理量可以分為兩大類「純量」
(scalar) 與「向量」(vector)。雖然這兩類的量其實有更嚴格的定義,
但是目前我們可以「粗淺的」定義她們為
純量:只有大小而無方向概念的量。如溫度、質量、長度、…等。
向量:同時具有大小及方向概念的量。如速度、位置、力、…等。
純量間的運算只有的加法與乘法,作法數字的相同。向量有若干性 質,陳述如下:
1. 向量的符號通常以大寫字母上加一個箭頭
表示,例如向量A。以圖形的表現方式為一個
「有向線段」(就像「一枝箭」),其「長度」
表示其「大小」,「指向」表示該向量的「方向」。 向量A的大小通常以其絕對值| |A 或以字母A 表示。
2. 向量A若與向量B相等:A=B ⇔ A與B大小相同、方向一致。換 言之,將表示B的那枝「箭」不論平行的移到哪裡去,都表示向量B。 例如在台中向東 50 km/h 的速度與在金門向東 50 km/h 的速度是相同 的速度。
3. 定義「純量 c 乘以向量A」 cA≡ = Ac,若 c > 0, cA與A同向; 若 c < 0, cA與A反向。例如5A與 A 同向, 3A− 與 A 反向。
4. 向量u, v定義加法u+v可由圖形表示:就是將v的尾巴接到u的頭 後,自u的尾巴指向v的頭的「箭」就是 u v+ 。很容易看出
u+ = + 向量加法滿足「交換性」 (4-1) v v u
w v u w v u w v
u+ )+ = +( + )= + +
( 向量加法滿足「結合性」 (4-2)
5. 和向量
如上圖若有向量A,B夾角為θ(θ π≤ =180°)為之「夾角」(注意:
兩向量的夾角是將兩向量的「尾巴」放在一起後「兩箭」的夾角)。
由餘弦定理可知和向量的大小
2 2 2 2 2
2 2
| | 2 cos( ) 2 cos
| | 2 cos
A B A B AB A B AB
A B A B AB
π θ θ
θ
+ = + − − = + +
⇒ + = + + (4-3)
Ex. 1. Vector A,B大小為 A=2, B =5, 兩者夾角 300,求和向量大小。
解: |A+ =B| 22 + + ⋅ ⋅52 2 2 5cos(30 )0 = 29 10 3+
6. 定義向量「- v 」表大小與v相同但方向相反的向量,由-v可定義 向量之「減法」:u− ≡ + −v u ( v).
7. A B, 的內積/純量積/點積(inner product/scalar product/dot product) cos
A B⋅ ≡ AB θ (4-4)
其中θ(θ π≤ =180°)為A B, 之「夾角」。內積又稱為純量積是因為內積 的結果為一純量,稱為「點積」因為其符號為一個「 」。⋅ (4-4)式定義
的內積是由 vector ,A B的「本質」A、B和「相對關係」夾角θ 決定。
也可以看出內積是可交換的,i.e., A B⋅ = ⋅B A。 inner product 可以這麼看
A B⋅ = A B( cos )θ =( cos )A θ B (4-5) 亦即vector B在A方向的「投影」Bcosθ 乘A的 大小A, or vector A在B方向的「投影」Acosθ 乘
B的大小B. 若A B, 彼此垂直,則A B⋅ =0,這
可單純的由cos(900) = 0看出,或表示 vectors A B, 在對方方向投影皆為
0。所以向量的內積牽涉到二向量在對方方向的投影。
§ 4.1 直角座標(Cartisian coordinates, or Rectangular coordinates) 座標系的選定像是選擇劃分空間的方法,
「直角座標」的作法就是將空間分割成一個個 小立方體來標誌位置。在沿著三個相互垂直的 x, y, z,軸我們訂出三個「單位向量unit vector」
ˆ, ˆ, ˆ
x y z (也有用i j kˆ ˆ, , ˆ或e e eˆ ˆ ˆx, y, z表示,一般的
慣 例 是 ˆe 表 示 單 位 向 量) 分 別 指 向+x, +y, +z, 方 向 , 而 且 ˆ ˆ ˆ
| | |x = y| | | 1= =z 。其實所有的「無單位」且大小/長度=1的向量,都叫 做「單位向量」。
「直角座標」一個重要的性質就是, 一旦 x, y, z,軸定好之後單位 向量 ˆ ˆ ˆx y z 就被固定了,即, , x y z 為「常數向量」不會改變。一ˆ, ˆ, ˆ
個任意向量V 就可以就可以以分量的形式表出:
ˆ x ˆ y ˆ z
V =xV + yV +zV (4-6)
其中單位向量 ˆx的係數Vx稱為vector V 的x-分量(x-component), ˆy 的係數Vy稱為 y-分量, ˆz 的係數VZ稱為z-分量。分量Vx、Vy、VZ是 一個可為正、負的純量。由於 ˆ ˆ ˆx y z 彼此垂直, , ,所以
ˆ ˆx y⋅ = ⋅ = ⋅ = ( ˆ ˆ ˆy zˆ ˆ z xˆ ˆ 0 x y z, , 之正交關係 orthogonality) (4-7a) ˆ ˆx x⋅ = ⋅ = ⋅ = ( ˆ ˆ ˆy yˆ ˆ z zˆ ˆ 1 x y z, , 為歸一化向量 normalized vector) (4-7b)。 上面二式合稱x y zˆ, ˆ, ˆ之「歸一正交關係」 (orthonormality)。
所以向量V 的分量可由內積得到,i.e.,
ˆ (ˆ x ˆ y ˆ z) ˆ ˆ x ˆ ˆ y ˆ ˆ z ˆ x ˆ V x⋅ = xV + yV +zV ⋅ =x xV ⋅ +x yV ⋅ +x zV ⋅ =x V = ⋅ x V =V 在 x軸的投影.
Similarly, Vy = ⋅ = ⋅V yˆ y Vˆ = V 在 y 軸上的投影.and Vz = ⋅ = ⋅V zˆ z Vˆ
= V 在z 軸的投影。舉例,當向量寫為V =2xˆ+4yˆ−5zˆ時x-分量=2
=V 在x軸上的投影,y分量=4=V 在y軸上的投影,z分量=-5=V 在
z軸上的投影。當用分量表示向量時,二向量
ˆ x ˆ y ˆ z, ˆ x ˆ y ˆ z A= xA + yA + zA B= xB + yB +zB
, 1,2,3
i i
A= ⇔B A =B i= (4-8)
i.e., 若且唯若 A= ,則兩者對應的各分量相等。 B
(4-7a,b)所示的歸一正交關係有一緊緻的寫法,就是用eˆi來寫。現 在介紹一個重要的符號 δij,叫做 Kronecker Delta,定義如下:
1,
ij 0,
i j i j δ ≡ ⎨⎧⎪ =
⎪⎩ ≠ (4-9)
舉例來說,,或δxx =δyy =δzz = ,1 δxy =δyz =δzx = 0, δ23 =δ12 =δ31 = 0,
22 11 33 1
δ =δ =δ = δst =δrs =δtr =0…etc.。即腳標相同的就有值=1,腳標 不同的就不有值=0. 如此若用{ ,e e eˆ ˆ ˆ1 2, } { ;3 或 e iˆi =1, 2, 3}來表示直角座 標的三個單位向量{ ˆx y z }, ˆ, ˆ ,則可以得到
xˆ =eˆ1, yˆ =eˆ2, zˆ= ⇒ ⋅ =eˆ3 e eˆ ˆi j δij, ,i j=1, 2, 3 (4-10) 一個式子
ˆ ˆe ei⋅ =j δij, ,i j=1, 2, 3. (4-11)
就把x y zˆ, ˆ, ˆ的正交歸一關係寫完!我們也可以用連加符號來寫向量 V = xVˆ x + yVˆ y +zVˆ z 3
, , 1
ˆ ˆ
or
i i i i
i x y z i
V e V e
= =
≡
∑
=∑
(4-12)Vi為第i個方向的「分量」,eˆi表示「第i 個方向」的單位向量,是一 種i j kˆ ˆ, , ˆ更方便的寫法。所以
3 3 3
1 1 1
ˆi ˆi jˆj jˆj ˆj j ij i, 1,2,3
j j j
e V e V e V e e V δ V i
= = =
⋅ = ⋅
∑
=∑
⋅ =∑
= = (4-13)注意到上式中的
3
1 1 2 2 3 3
1
j ij i i i
j
Vδ Vδ Vδ Vδ
=
= + +
∑
=三項和,腳標 j 有1,2,3三個可能,但若 j≠i,則δij =0,只有一項當i = j,時δij =1存活下來。
i.e., ˆe Vi ⋅ =Vi, i=1, 2, 3。此處要注意,因為特定的i被用掉了,所以V 不能再用
3
1 i iˆ
i
V e
∑
= 來表示,要換一個腳標,i.e., V =3
1 jˆj j
V e
∑
= 。對於任意的向量A B, 以分量表示:
ˆ x ˆ y ˆ z, ˆ x ˆ y ˆ z A= xA + yA +zA B= xB + yB + zB
ˆ( x x) ˆ( y y) ˆ( z z)
A B x A B y A B z A B
⇒ + = + + + + + (4-14)
* ,A B 內積
3
1
x x y y z z i i
i
A B A B A B A B A B
=
⋅ = + + =
∑
(4-15)Pf.
3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1
ˆi i ˆj j i (ˆ ˆi j) j i ij j i i
i j i j i j i
A B e A e B A e e B A δ B A B
= = = = = = =
⎛ ⎞
⋅ = ⋅ = ⋅ = ⎜ ⎟=
⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
(4-14)式的內積由A B, 的「分量」表出,分量與座標系有絕對的關 係。(4-14)與(4-5)式的內積的定義不一樣,然結果相同,兩者的 等價可以證明如下。令ϕ為B與x-軸的夾角
∑
A Bi i = A Bx x +A By y
cos( ) cos sin( ) sin [cos( ) cos sin( ) sin ]
cos[ ] cos
A B A B
AB AB AB
θ ϕ ϕ θ ϕ ϕ
θ ϕ ϕ θ ϕ ϕ
θ ϕ ϕ θ
= + ⋅ + + ⋅
= + + +
= + −
= Q.E.D
Ex.2 若A=3xˆ− +yˆ 2 ,z Bˆ = +xˆ 2yˆ−zˆ,判斷vector ,A B是否相互垂 直。解:(a)A B⋅ =3-2-2=-1 0≠ ,所以不相互垂直
Ex.3 If A=3xˆ− +yˆ 2 ,z Bˆ = +xˆ B yyˆ −zˆ,,find B such that Ay ⊥B. 解:let A B⋅ = =3-0 B -2y ⇒B =1. y
* 向量A的大小(magnitude)由內積定義:
( )
2 2 2 2
0 ˆ ˆ ˆ
, 1
x y z i
i
A A A A A A
or A A A i j k
≡ = + + = ≥
= ⋅ = = =
∑
∵
(4-16)
除了避免誤解,為了方便,往後我們只用 A來表示向量A的大小i.e., A = A.
Ex.4 If A=3xˆ− +yˆ 2 ,z Bˆ = +xˆ 2yˆ−zˆ,(a)find A and B. (b) ,A B之夾角 解:(a)A= 32 + +12 22 = 14, B= 1 4 1+ + = 6。
(b)
3
1
1 cos 14 6 cos
i i i
A B A B AB θ θ
=
⋅ =
∑
= − = = × ,1 0
cos 1.68 96.3
84 rad
θ − θ
⇒ = ⇒ = ≈
* 任意非零vector向量 A ,其方向的單位向量 ˆ A
A= , (4-17) A such that A 也可以寫為
ˆ ˆi i
i
A= AA=
∑
e A (4-18)Ex.5 Given A=3xˆ− +yˆ 2 ,z Bˆ = +xˆ 2yˆ − find unit vector ˆ ˆzˆ, A B . ,
解:
ˆ ˆ ˆ
3 2 3 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ,
14 14 14 14
ˆ 2ˆ ˆ 1 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
6 6 6 6
A x y z
A x y z
A
B x y z
B x y z
B
= = − + = − +
+ −
= = = + −
前面討論過,若θ 為 ,A B 之夾角,則 Acosθ 為 vector A 在 B 方向的 投影或稱 B 方向的分量,由內積的定義可以得到,∵|Bˆ | 1=
A B⋅ ≡ˆ A B| ˆ| cosθ = Acosθ (4-19)
Ex.6. Following ex.5 find A , which is the component of A along the B direction of B .
解:for ˆ 1 ˆ 2 ˆ 1 ˆ
6 6 6
B= x+ y− z, ˆ
AB = ⋅ = ( ˆ ˆA B 3x− +y 2zˆ) 1 2 1 1
ˆ ˆ ˆ
6 x 6 y 6 z −6
⎛ ⎞
⋅⎜⎝ + − ⎟⎠= .
換言之,要找向量 A 在任意方向 u 的分量A ,就先找出 u 方向的單位u 向量 ˆe ,u Au = ⋅ 。 A eˆu
Ex. 7. 求向量B= +xˆ 2yˆ −zˆ在u = + + 方向的分量xˆ yˆ zˆ, B u 解:單位向量 ˆ ˆ ˆ ˆ
3 x y z
u + +
= , ˆ ˆ ˆ 2
ˆ (ˆ 2ˆ ˆ)
3 3
u
x y z
B = ⋅ =B u x+ y− ⋅z + + = 。 習題 1. Given A= −2xˆ+3yˆ−2 ,z Bˆ =2xˆ− −yˆ zˆ,(a) find |A|and |B . | (b) angle (A , B). (c) the component of B in the direction of A
*向量場 vector field
若在一空間的每一點都定義一個向量 A ,則稱該空間存在向量場 ( , , )
A x y z 或 ( )A r 。我們熟知的電場 ( , , )E x y z 、磁場 ( , , )B x y z 、重力場 ( , , )
g x y z 等都是向量場。向量場 ( , , )A x y z 的各分量也都是位置的函數
ˆ ˆ ˆ
( , , ) x( , , ) y( , , ) z( , , )
A x y z = A x y z x+A x y z y+A x y z z. (4-20)
要注意,除了少數特例,一般向量場的各分量,例如 x-分量 Ax並非 只是 x 的函數,而是(x,y,z)的函數。特例之一為空間中每一點(x, y, z)
皆對應一「位置向量」r =xxˆ+ yyˆ+ ,zzˆ 所以向量場 ( , , )A x y z 也可表為 ( )A r 。
Ex. 8. 給定一向量場 ( , , )A x y z = A x y z( , , )= y x2ˆ+x zy2 ˆ+xz z3ˆ,(a) find A1 and A2, which are vector A at position P1(2, 1, 5) and P2(3, 0, 1).
解:(a) A1= A (2, 1, 5)=12xˆ+(22×5)yˆ+ ×(2 5 )3 zˆ= +xˆ 20yˆ+250zˆ, A2=A(3,0,1)=0xˆ+(32×1)yˆ+ ×(3 1 )3 zˆ=9yˆ+ 3zˆ
(b) Find the unit vector rˆ1, r , and ˆ2 ˆr for position vectors of points P12 1, P2, and P P . 1 2
解:for P1, r = ˆ1 2x+ +yˆ 5zˆ ˆ1 2ˆ ˆ 5ˆ 30 x y z
r + +
⇒ =
for P2, 2 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
3 10
x z r = x+ ⇒ =z r +
P P1 2 = 12 ˆ ˆ 4ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
(3 2) (0 1) (1 5) 4
18 x y z
x y z x y z r − −
− + − + − = − − ⇒ =
Note, P P1 2 = − , but r2 r1 ˆr12 ≠ − , why? Draw a diagram. rˆ2 rˆ1 (c) Find the component of A1 along the direction of the P P1 2. 解:A r1⋅ˆ12 =(xˆ+20yˆ+250 )zˆ ⋅ ˆ ˆ 4ˆ
18 x− −y z
=1 20 1000 1019
18 18
− − = − .
* 3-D向量 A 的分量
A 3-D vector A is uniquely specified by given its magnetude A and direction ( ,θ ϕ 稱為
「方向角」)或者就是完整說明x,y,z 三個分量
(Ax. Ay. Az),兩者轉換如下:
cos sin cos sin sin
0, 0 , 0 2
z x y
A A
A A
A A
A
θ θ ϕ θ ϕ
θ π ϕ π
=
=
=
> ≤ ≤ ≤ ≤
(4-21)
*A B, 的外積/向量積/叉積(vector product/cross product) 由A B, 的本質與相對夾角定義向量外積
ˆ sin
A B× ≡nAB θ (4-22a)
其中的nˆ是一個同時垂直於A B, 的單位向量,其方向由右手定則定 之。舉例
ˆ ˆ ˆsin 90 ˆ, ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0
x y z z x z y y z x
x x y y z z
× = ° = × = − × =
× = × = × =
相互平行或反平行的二向量,外積為0,因為sin(0)=sin(1800)=0.
B
A, 的外積也有另一個等價的定義:
,
ˆ ˆ ˆ
(4 22 )
( ) (4 23)
x y z
x y z
i ijk j k
j k
x y z
A B A A A b
B B B
A B ε A B
× = −
× =
∑
−上式中的εijk稱為 Levi-Civita symbol(猶太裔義大利人,Ci 發音同 chi)。 εijk=0 若ijk中有任二數相同,例如ε211 =ε131 =ε223 =0。若 ijk 為相異的3 個數,則εijk=(-1)p, p是 ijk相鄰兩數互換成為123的「置 換數」,例如 ijk=231,則→213→123:p=2, ε231 = −( 1)2 = , 1 又如 ijk
=321則→312→132→123:p=3, 所以ε321 = −( 1)3 = −1。
Ex. 9. A= +xˆ 4yˆ+5zˆ, B=3xˆ+ zˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
1 4 5 (4 5) (15 1) (0 12) 14 12 . 3 0 1
x y z
A B× = = x − + y − +z − = − +x y− z
ex. 10., A= − − +xˆ yˆ 4zˆ, B=2xˆ− − yˆ zˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
1 1 4 (1 4) (8 1) (1 2) 5 7 3 .
2 1 1
x y z
A B× = − − = x + + y − +z + = x+ y+ z
− −
由(4-21b)可以容易看出
( ) ( )
x y z
x y z
x y z
C C C
C A B A B C A A A
B B B
⋅ × = × ⋅ = (4-24)
明顯的 in general 外積不滿足交換率與結合率,
( ) ( )
A B B A B A A B C A B C
× = − × ≠ ×
× × ≠ × × (4-25)
* 兩個有用的恆等式(identity) 1. triple scalar product 純量三重積
A B C⋅( × )= ⋅C (A B× ⋅ = ⋅) B C( ×A) (4-26) 上式中的 3 項運算A B C, , 的順序是循環的(cyclic),i.e., ABC, CAB, BCA。3 項皆為以 , ,A B C 為鄰邊的平行 6 面體的體積。
Pf. 若 ,B C 夾角=ϕ ⇒ B C× =nBCˆ sinϕ, 其中BCsinϕ=以 ,B C 為兩邊的平行 四邊行面積, ˆn ⊥ ,B C 。
若A n 夾角=, ˆ θ ⇒ ⋅ =A nˆ Acosθ
=垂直於 ,B C 平面的高,
∴A B C⋅( × )=以 , ,A B C 為鄰邊的平行
六面體的體積。由於 3 鄰邊 , ,A B C 的順序可以任選,所以體積可藉由
(4-24)式之「絕對值」算出。
Ex. 11. 一平行六面體 H 的相鄰三邊由A= +xˆ 4yˆ+5zˆ, B=3xˆ+ , zˆ 與C= −2xˆ+ − 表出,求 H 之體積yˆ zˆ V 。 H
解:let 1
2 1 1 1 4 5 18 3 0 1 C
D A
B
− −
= = = ,or 2
1 4 5
2 1 1 18 3 0 1
A
D C
B
= = − − = −
VH =D1 =|D2 | 18= 。 D 與1 D 差一個負號不令人驚奇,因為行 2 列式D 是由2 D 的第一列與第二列交換而來。 1
2. triple vector product 向量三重積
A×(B C× )=B A C( ⋅ )−C A B( ⋅ ) (4-27) 上式有一別號稱為 back-cab(回頭車) rule。先舉例說明上式成立。
Ex.12. A= +xˆ 4yˆ+5zˆ, B=3xˆ+ , zˆ C = − −xˆ yˆ 4zˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
3 0 1 (0 1) (1 12) ( 3) 13 3 . 1 1 4
x y z
B C× = = x + + y + + − = +z x y− z
− − ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) 1 4 5 ( 12 65) (5 3) (13 4) 77 8 9 . 1 13 3
x y z
A× B C× = = − −x +y + +z − = − x+ y+ z
−
ˆ ˆ 1 4 20 23 ( ) 69 23 A C⋅ = − − = − ⇒B A C⋅ = − x− z
ˆ ˆ ˆ 3 5 8 ( ) 8 8 32 A B⋅ = + = ⇒C A B⋅ = x− y− z,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) 69 23 (8 8 32 ) 77 8 9
B A C⋅ −C A B⋅ = − x− z− x− y− z = x+ y+ z. QED.
* The proof of A×(B C× )= B A C( ⋅ )−C A B( ⋅ )
Pf. Note that B C× ⊥( , )B C 平面,then (∵A× B C× )⊥(B C× ) ⇒ ×A (B C× )≡ 躺在(D B C, )平面,所以D可由 ,B C 組合,令
D =αB+βC。由於 D 也與 A 垂直,所以 0
A D⋅ = =α(A B⋅ )+β(A C⋅ )⇒
let v v A C( ), v A B( ) A C A B
α −β α β
= = ⇒ = ⋅ = − ⋅
⋅ ⋅
( ) [( ) ( ) ]
D A B C αB βC v A C B A B C
∴ = × × = + = ⋅ − ⋅ v 會=1?上式對 ˆx 做內積
ˆ [ ( )] [( ) ˆ ( ) ˆ] [( ) x ( ) x] x A B C v A C B x A B C x
v A C B A B C
⋅ × × = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
= ⋅ − ⋅
由於內積與外積都是向量間的運算,所以上式左邊有
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( )
x y z x y z
x y z x y z
x y z A x A y A z
B C B B B A B C B B B
C C C C C C
× × ×
× = ⇒ × × =
ˆ ( ˆ) ˆ ( ˆ) ˆ ( ˆ) 0 ˆ [ ( )]
z y
x y z x y z
x y z x y z
x A x x A y x A z A A
x A B C B B B B B B
C C C C C C
⋅ × ⋅ × ⋅ × −
⇒ ⋅ × × = =
上式用到 ˆ ( ˆ) 0
x⋅ A x× = ,xˆ⋅(A× yˆ)=A⋅ ×(yˆ xˆ)= − ,Az xˆ⋅(A z× ˆ)=A z⋅ ×(ˆ xˆ)= Ay 用第 3 列展開行列式得
ˆ [ ( )] ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x x x y y x z z x
x x x x y y z z x x x x x x
x x
x A B C C A B A B C A B C A B
C A B A B B C A C A C A B A B B A C C A
C A B B A C
⋅ × × = − ⋅ + + +
= − ⋅ + + + = − ⋅ + + ⋅ −
= − ⋅ + ⋅
1 ( ) ( ) ( )
v A B C B A C C A B
⇒ = ⇒ × × = ⋅ − ⋅ . QED
* 向量的微分元素(直角座標)
ˆ (ˆ ) [( ˆ ) ˆ ] ˆ
ˆ ˆ ˆ
,
i i i i i i i i i i
i i i i
x y x
dA d e A d e A de A e dA e dA
or dA xdA ydA zdA
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟= = + =
⎝ ⎠
= + +
∑ ∑ ∑ ∑
(4-28)
上面用了直角座標最方便的性質:eˆi為常數⇒deˆi =0。舉「位置向量」
為例
2 2 2 2 2 2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆi i
i x y z
i
r xx yy zz dr xdx ydy zdz
dr dx dy dz
v x y z e x
dt dt dt dt
v v v x x y z v v v
= + + ⇒ = + +
⇒ = = + + =
⇒ = ⋅ = = + + = + +
∑
∑
(4-29)
§ 4.2 曲線座標(curvilinear coordinates) (A) 平面「極座標」polar coordinates ( , )r θ
在平面上的一點P的直角座標若為(x, y),我們可以有另一種標示法:
( , ) 0, [0, ) [0,2 ]
r P x y r r
x r
θ θ π
≡ ≥ ∈ ∞
⎧⎨
≡ ∈
⎩
由原點到 之距離,
軸到 的夾角 (4-30)
以P(r,θ)為座標表同一點P(x,y); (r,θ)稱為 P點的「極座標」。「極座 標」與「直角座標」的關係如下:
2 2
, , cos tan sin
r x y x r
y and y r
x
θ θ θ
⎧ = + ⎧ =
⎪⎨ = ⎨ =⎩
⎪⎩ (4-31)
但是(r,θ)這兩個新座標的單位向量 rˆ,θˆ 在什麼方向?我們先來回顧 一下座標軸的單位向量的「制訂標準」是
什麼?事實上,某座標的單位向量的方向 訂在「垂直於該座標『等值面』,且指向 該『座標值增長』的方向」。舉「直角座 標」為例,如右圖,由於x, y軸皆為直線
所以「等值面」都是平行的平面,所以垂直方向皆相同,也造成單位 向量x yˆ ˆ, 為常數。
由左圖可以看出,極座標裡r 的等值面是一 個圓,所以單位向量ˆr是「沿徑向向外」,但 是隨圓上θ有所變動時rˆ也隨著改變!所以ˆr
「不是一個常量」!rˆ= rˆ( )θ ,是角度θ數!
如左圖也可看出θ的等值面為直線,所以單位 向量θˆ是「沿『切線』逆時針」方向。
但如同ˆr一樣,當θ值改變時θˆ的方向 也改變了所以θˆ也「不是一個常量」!
) ˆ( ˆ θ θ
θ = 也是角度θ 的函數!可以看出 固定θ時ˆr⊥θˆ,但是她們都與「角座標」θ有關。由於她們的指向,
有時ˆr被稱為「沿徑向」之單位向量,θˆ被稱為
「沿切線」之單位向量。極座標和直角座標還 有一個很大的差別,就是直角座標的x, y, z的 因次都是「長度」,所以當座標改變時dx, dy, dz 就是「長度」的改變。然而極座標的r有長度因 次所以dr是長度,但是θ只是一個數字,而非長度!所以當θ改變時
dθ 並不代表一個長度的變化。dθ 造成的長度變化寫為 d θ =h dθ θ (4-32)
其中的係數hθ稱為「度量係數」(metric coefficient),很顯然這裡的hθ 必須具有長度的因次。「長度」之所以重要,是因為位移是長度!各個 座標的度量係數我們會在後面仔細討論。
座標系的選用以方便為準,系統的對稱性是重要的考量。所以有 立方對稱的系統通常用直角座標,而有圓對稱的系統則用極座標。
Ex.13. 半徑 5、圓心在原點的圓方程式,在直角座標為x2 + y2 =52, 但是在極座標就是r=5而已。
* 位置、位移、速度、與加速度 直角座標的描述很簡單
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ r xx yy
r xx yy
dr dxx dyy
= + Δ = Δ + Δ
= +
位置 位移 位移元素
(4-33)
2 2
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( )
ˆ ˆ ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
( )
x y
dr dx dy
v t x y xx yy v x v y
dt dt dt dv t dxx dyy
dv dx dy d x d y
a t i j i j
dt dt dt dt dt
⇒ = = + = + = +
⇒ = +
⇒ = = + = +
瞬時速度 速度變化元素 瞬時加速度
(4-34)
在極座標由於單位向量ˆr,θˆ不再是常數⇒drˆ≠0, dθˆ≠ !所以 0 ˆ
ˆ ˆ ( )
ˆ ˆ r rr
r r r r r dr drr rdr
=
Δ = Δ + Δ
⇒ = +
位置 位移
位移元素
(4-35)
現在有一個問題:drˆ=?由下圖 ˆr 的變化由 dθ而來
ˆ ˆ( ) ˆ ˆ( ) ˆ( ) ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
0 ( ) / /
ˆ ˆ
r r dr r d r
dr r d d
d dr r dr
dr d
θ θ θ θ
θ θ
θ θ θ
θθ
= ⇒ = + −
= =
→ ⇒ ⊥ ⇒
⇒ =
∵
∵ (4-36)
所以微分的位移為 ˆ ˆ
dr =drr+rdθθ (4-37)
上式的幾何意義很清楚,dr 的 r 分量 dr 就是「沿 ˆr 方向的長度變化」,而θ 分量 rdθ 就是「沿θˆ方 向的長度變化」而已。或者也可以這麼看,dr 是 一個位移向量,在平面上有 r 和θ 兩個分量,所以dr =d rrˆ+d θθˆ, α 為在 ˆr 方向的長度變化,β 為在 ˆθ 方向的長度變化,所以d r =dr,
d θ =rdθ。這種分析方法可以用在各種座標系,這裡也可以看出,
和(4-32)式角度變化 dθ造成的長度變化 d θ =h dθ θ 相比,可以得出 θ 的度量係數 hθ = 。與直角座標比較r dr =dxxˆ+dyyˆ, dx 與 dy 不也就 是 dr 在 x 與 y 方向的長度變化嗎!
Now 速度
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ rˆ
dr dr d
v r r
dt dt dt rr r v r vθ
θ θ
θθ θ
= = +
= + ≡ +
(4-38)
其中 d
dt
θ = θ = 亦稱為「角速度」。 ω
Ex.14. 圓周運動因為只有切線速度,所以由(4-38)式
ˆ ˆ
0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) = ( ) ( ) ( 0)
r R r v r R
dv dr r d r d r d r d dr
θθ ωθ
θθ θ θ θ θ θ θ θ θ
= ⇒ = ⇒ = =
⇒ = + + + =
∵
∵
( 切線速度)
(4-39) 這裡又冒出個問題:
ˆ ?
dθ = 由左圖 ˆ ˆ
ˆ ˆ 0
d d d
d d
θ θ θ θ
θ θ θ
= =
→ ⇒ ⊥
ˆ/ / ˆ
ˆ ˆ
d r
d d r
θ
θ θ
⇒ −
⇒ = − (4-40)
2
2
ˆ ˆ
( ) ( ) ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ) ( ) ˆ ˆ
, ( ) ( )
r
dv r d r r d
dv d d
a r r r
dt dt dt
a r r r a r a
or a r r r
θ
θ θ θ θ
θ θ
θ θ
θ θ θ θ
ω α θ
⇒ = − +
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⇒ = = −⎜⎝ ⎟⎠ +⎜⎝ ⎟⎠
⇒ = − + ≡ +
= − +
(4-41)
上式即為圓周運動的加速度,其中的第一項
2
2ˆ ˆ
r
a r r v r
ω −r
= − = :向心加速度 (4-42a) with α θ= 可以認出是角加速,第二項
aθ =rαθˆ:切線加速度。 (4-42b)
如進一步簡化為「等速圓周運動」⇒ω =θ =constant⇒θ =α =0⇒切線 加速消失,那麼加速度就只剩下了熟知的向心加速度
2 r ˆ
a v r
r
= − 了。
若考慮一般的情況dr≠0,可以導出用極座標表示的加速度為
2
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ
( ) (2 )
dv dr r r d dr r d r d
a dv r r r r r
dt
θ θ θθ θ θ θ θ
θ θ θ θ
= + + + +
⇒ = = − + + (4-43) 看起來有點繁,但是在有圓形對稱的系統,極座標會表現得更清楚。
* 面積微分元素
直角座標把平面分割成一個個的 小方塊,也就是依照「x 與y 方向的 長度變化」可以寫出「面積元素」
dA=dx dy⋅ (像是切長方形的蛋糕)
比較dr =dxxˆ+dyyˆ可以看出 dA=(x-方向的長度變化)×(y-方向的長度變化)
所 以 在 「 極 座 標 」 比 照 辦 理 : ˆ ˆ ˆ
( ) ( )
dr = dr r+rdr= dr r +rdθθ dA=dr rd⋅ θ =rdrdθ (4-44) 像是切圓形蛋糕。
ex.15. 求一個半徑R的圓的面積 解:
2 2
2
0 0
2 2
R R
A dA rdrd rdr d R
θ π θ π π
=
∫
=∫∫
=∫ ∫
= ⋅ = 妳可以試試用直角座標dA=dx dy⋅ 算一下圓的面積!Ex.16. 求一個半徑 R、質量M、密度σ 的均勻圓盤繞其直徑的轉動慣 量解: 質量元素 dm=σ dA到轉軸(直徑)的距 離 =rsinθ
2 2 2 2
3 2 2
0 0
4 2
2 2
sin sin
1
4 4 4
R
I dm dA r rdrd
r dr d
R R
R MR
π
σ σ θ θ
σ θ θ
σ π σπ
= = =
=
= = =
∫ ∫ ∫∫
∫ ∫
娛樂一下:算半個圓盤繞通過圓心且垂直盤面的軸的轉動慣量。
ex. 17. 計算積分I e x2dx
∞
−
−∞
=
∫
解: 2 2
0
x 2 x
I e dx e dx
∞ ∞
− −
−∞
=
∫
=∫
2 2 20 0
2 x 2 y
I I I e dx e dy
∞ ∞
− −
⇒ = ⋅ =
∫
⋅∫
2 2 2 2 2
2 ( )
0 0 0 0 0 0
4 x y 4 r 4 r
I e dxdy e dA e rdr d
π
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ θ
− + − −
⇒ =
∫∫
=∫∫
=∫ ∫
在上面的積分裡我們運用了一個有關「無窮大平面」的技巧,就是「無
窮大的平面」是可以是「正方形」或是「圓形」的。
2
2
2 2
0
0 0 0
2 2
4 2 2( )
2 2 2
(4 45)
u u u
x
let u r du rdr rdr du
I e du d e du e
I e dx
π
π π
θ π
π
∞ ∞
− − − ∞
∞
−
−∞
= ⇒ = ⇒ =
⇒ = = ⋅ = − ⋅ =
⇒ = = −
∫ ∫ ∫
∫
ex.18. 重力位能
由位能差的定義U(A)−U(B)≡W(A→B)
(B)圓柱座標cylindrical coordinates
3D 空間點 P(x, y, z)的位置向量r = xxˆ+ yyˆ+ 。 zzˆ 定義「圓柱座標」 ( , , )ρ ϕ z 其中
, 0 [0, ) P z
ρ ≡點 到 軸之垂直距離 ρ ≥ ∴ ∈ρ ∞ ϕ ρ≡ 在 x-y 平面的投影與 x 軸之夾角,
ϕ∈[0, 2 ]π
z ≡ 同直角座標的 z
「圓柱座標」就是「極座標」(用 ( , )ρ ϕ 取代 ( , )r θ )再加上第三維 z, 所以圓柱座標( , , )ρ ϕ z 裡ρ, z的因次為長度而ϕ只是一個數字。
( , , )ρ ϕ z 與(x, y, z)間的轉換如下:
2 2
, cos ,
tan , sin ,
x y y x x y
z z z z
ρ ρ ϕ
ϕ ρ ϕ
⎧ = +
⎪ ⎧ =
⎪ = ⎪ =
⎨ ⎨
⎪ = ⎪ =⎩
⎪⎩
(4-46)
「圓柱座標」的三個方向單位向量 ˆ ˆ ˆρ ϕ, , z如圖,
且 ˆρ ϕ⊥ ⊥ 。可以看出ˆ ˆz ρ 的等值面為一個圓柱 面,ϕ的等值面是一扇門,z 的等值面為一個垂 直 z 軸的平面。但是
ˆ ˆ( ), ˆ ˆ( ), zˆ
ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =常數
柱座標的位置向量 r :如左圖 ˆ ˆ
r =ρρ + zz (4-47)
在柱座標寫位移元素dr有兩種作法,一 種是直接由(4-47)式取微分元素, 借用 平面極座標的結果可得
( )ˆ ( ˆ) ˆ
ˆ ˆ ˆ
dr d d dzz
d d dzz
ρ ρ ρ ρ ρρ ρ ϕϕ
⇒ = + +
= + + (4-48) 但也可以由三個座標方向的 位移來看,由左圖可得沿ρˆ方向 的長度變化 i.e., 當座標ρ有變 化dρ時產生的長度變化就是
dρ,沿ϕˆ的長度變化為 dρ ϕ, 而沿ˆz方向的長度變化為dz。
dr 是一個向量,有三個分量,ρ-分量就是沿ρˆ方向的長度變化 dρ ,ϕ-分量沿ϕˆ的長度變化為 dρ ϕ,而z-分量就是沿 ˆz 方向的長度變 化為dz,合併寫出
ˆ ˆ ˆ
dr =dρρ ρ ϕϕ+ d +dzz
與(4-48)式完全相同,但是這種由幾何角度得到的結果要更方便,
也更直觀。Fig. 27 非常重要,因為只要你能把圖畫出來,位移的各
分量就寫得出來。有了位移元素dr ,速度與加速度就可得出
ˆ ˆ ˆ (4 49)
ˆ ˆ ˆ
( ) (2 ) (4 50)
v dr zz
dt
a dv zz
dt
ρρ ρϕϕ
ρ ρϕ ρ ρϕ ρϕ ϕ
⇒ = = + + −
⇒ = = − + + + −
由上圖與dr 的3個分量可得圓柱座標的體積元素
dV =dρ ρ ϕ⋅ d ⋅dz=ρ ρ ϕd d dz (4-51) ex.19. 底面半徑R,高h的圓柱體積=?
2 2
2
0 0 0
2 2
R h
V dV d d dz R h R h
ρ ρ π ϕ π π
=
∫
=∫ ∫ ∫
= ⋅ ⋅ = ex.20. 底面半徑R,高h的「圓錐」體積=?解:本圓錐裡點的座標分佈為ϕ∈[0, 2 ],π z∈[0, ],h ρ ρ= ( )z
( ) ( ) ( )
h z h R
z h z
z R ρ h
ρ
− = ⇒ = −
2 ( ) 2
( ) 2
2
0 0 0 0 0 0
0 0
2 2 2 3 2 3
2 2 2
2 2 2 2
0
( )
2 2
2 ( ) 1
3 3 3
R h z z
h h h h
h
h h
R h z
V d dz d d dz d dz h
R R R u R h
h z dz u du R h
h h h h
ρ π
τ ρ ρ ϕ π ρ ρ π
π π π π π
−
− −
∴ = = = = −
= − = = = =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
如果我們把3-D的三個座標寫為( ,u u u1 2, 3)或{ ,u ii =1, 2, 3},當座 標ui(在uˆi方向)變動dui時造成的長度變化為d i,則定義
d i ≡h dui i (4-52)
其 中 hi 稱 為 座 標 ui 的 度 量 係 數(metric coefficient)。由 , zρ 的因次為長度所以 , zρ 的變 化dρ,dz就是長度的變化,所以hρ =1, hz = 。1 然而ϕ的變化造成的長度變化為
d ϕ =ρ ϕd ⇒hϕ = . (4-53) ρ 很明顯的直角座標x,y,z 都是長度所以度量係數hx =hy =hz =1。 (C) 球座標 spherical coordinates
3D點 P(x, y, z)的位置向量r =xxˆ+yyˆ +zzˆ。定義
「圓柱座標」(r,θ,ϕ),其中 , [0, ] , [0, ]
, [0, 2 ]
r P r
r z
r x y x
θ θ π
ϕ
ϕ π
⎧ ≡ ∈ ∞
⎪ ≡ ∈
⎪⎨
≡ −
⎪⎪ ∈
⎩
原點到 的距離 與 軸的夾角
在 軸投影與 軸的夾角
球座標的ϕ與住座標的ϕ相同 ( , , )r θ ϕ 與(x, y, z)間的轉換如下:下列為(4-54)
2 2 2
2 2 2
sin cos
cos sin sin
cos tan
r x y z
x r
z y r
x y z
z r y
x
θ ϕ
θ θ ϕ
θ ϕ
⎧⎪ = + +
⎪ ⎧ =
⎪ = ⎪ =
⎨ ⎨
+ +
⎪ ⎪ =⎩
⎪⎪ =
⎩
三個座標的單位向量(rˆ,θˆ,ϕˆ)如左圖一。可以看 出 r 的等值面是一個球面,θ 的等值面為一個 以原點為頂點的圓錐,ϕ的等值面為一扇門。
位置向量 r = (4-55) rrˆ
位移由( , , )rˆ θ ϕˆ ˆ 3 個方向的「長度 分量」可得
ˆ ˆ
ˆ ( ) ( sin ) dr =rdr+θ rdθ +ϕ r θ ϕd (4-56)
所以體積元素
2
( )( sin ) (sin )
d dr rd r d
r dr d d
τ θ θ ϕ
θ θ ϕ
=
= (4-57)
Fig. 31 和 Fig. 27 一樣重要,只要 你能畫得出來,就可以寫出球座 標位移的三個分量。
ex.21. 求一半徑 R 的球體積
2
2 2 3
0 0 0
sin sin 4
3
R
V d r dr d d r dr d d R
π π
τ θ θ ϕ θ θ ϕ π
=
∫
=∫∫∫
=∫ ∫ ∫
=ex.22. 求一質量 M、半徑 R、密度ρ = M / 4
(
πR3 / 3)
的實心球對直徑旋轉的轉動慣量.
解:質量元素dm= ρ τ ρd = r dr2 sinθ θ ϕd d 到 z 軸的垂直距離為 =rsinθ
2 4 3 2
0 0 0
5 5
2
sin
4 8 2
5 3 2 15 5
R
I dm r dr d d
R R
MR
π π
ρ θ θ φ
ρ π ρ π
= =
= ⋅ ⋅ = =
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
娛樂一下:空心球對直徑的轉動慣量。
(4-46)式與(4-54)式說明柱座標和球座標與直角座標之間的轉 換,Fig. 32 可得出柱座標和球座標之間轉換
2 2
sin
tan cos
r z
r z r z ρ θ ρ
ϕ ϕ θ ρ
θ ϕ ϕ
⎧ = +
= ⎪
⎧⎪ = ⎪ =
⎨ ⎨
⎪ = ⎪
⎩ ⎪⎩ =
(4-58)
Ex.23. 點 P 的球座標為(3,1200, 600)求柱座標=?
解: 2 3 3
3sin 3 2 ρ = ⎛⎜ π ⎞⎟=
⎝ ⎠ , 2
ϕ = 3π , 2 3 3cos 3 2 z = ⎛⎜⎝ π ⎞⎟⎠=− 。
*直角座標、柱座標、球座標單位向量之間的轉換
三種座標之間的轉換由(4-46)式、(4-54)式與(4-58)式表出,但 三種座標裡的的三個單位向量 ˆ ˆ ˆ{ , , }x y z 、 ˆ ˆ ˆ{ , , }ρ ϕ z 、{ , , }rˆ θ ϕˆ ˆ 若以{uˆi=1,2,3} 表示則單種座標的單位向量之間都有正交歸一關係
ˆi ˆj ij u u⋅ = δ 與外積的循環關係
ˆi ˆj ˆ , , ,k
u ×u =u i j k cyclic in 1,2,3 i.e., uˆ1×uˆ2 =uˆ3, uˆ2× =uˆ3 uˆ1, uˆ3× =uˆ1 uˆ2,
or, rˆ× =θ ϕ ϕˆ ˆ, ˆ× =zˆ ρˆ,, zˆ× = xˆ yˆ
然而不同座標系的單位向量之間關係如何?我們畫圖來討論。
* 球座標( , , )rˆ θ ϕˆ ˆ → 直角座標 ˆ ˆ ˆ( , , )x y z
單位向量都是用來指方向的,球座標的( , , )rˆ θ ϕˆ ˆ 都是「方向角」( , )θ ϕ 的函數, ˆr 在直角座標可以由 Fig.33 看出
rˆ= xˆsin cosθ ϕ+yˆsin sinθ ϕ+zˆcosθ (4-59)
ex.24. P 點的球座標為 2 7 5, ,
3 6
⎛ π π ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠試用球座標與直角座標求 P 點的位
置向量的單位向量。
解:位置向量r = 在球座標只有 r-分量。標位置,仔細一點把方向rrˆ
角標出 2 7
ˆ , 3 6 r⎛ π π ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠,通常只是寫 ˆr ,令人有點摸不著頭緒,用直角
座標比較「具像」
2 7 2 7 2
ˆ ˆsin cos ˆsin sin ˆcos
3 6 3 6 3
3 3 1
ˆ ˆ ˆ
4 4 2
r x y z
x y z
π π π π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠
⎛ ⎞
− − −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠
.
單位向量θˆ在某一組( , )θ ϕ 的指向如Fig. 34a,將θˆ平移至原點更清楚,
Fig.34b是由側面看Fig.34a.可以看到θˆ在z軸的投影為−sinθ,而θˆ在 x-y平面的投影為cosθ,使得θˆ在x-軸的投影為cos cosθ ϕ,y-軸投影 為 cos sinθ ϕ,於是
ˆθ = xˆcos cosθ ϕ+yˆcos sinθ ϕ−zˆsinθ (4-60) 單位向量ϕˆ如Fig. 35a 所示,是在x-y平面畫出。
,Fig 35b為自z 軸向下看Fig.35a圖,可以看出ϕˆ在z 軸投影為0,且 ˆϕ = −xˆsinϕ+yˆcosϕ (4-61) ex.25. 一個質點的速率為v r( , , )θ ϕ =( sin tan )r θ ϕ 2,若經查該質點的運 動 是 在 z = 3 平 面 做 逆 時 針 圓 周 運 動 , 則 當 位 置 的 方 向 角
( , ) ,2 4 3 θ ϕ = ⎜⎛π π ⎞⎟
⎝ ⎠時計算其速度,用球座標與直角座標表出。
解:圓運動速度方向是沿切線,所以球座標v =vϕˆ =v r( , , )θ ϕ ϕˆ。 z = 3,
4
θ =π 3
1 3 2 cos cos 4 2
z z
r θ π
⇒ = = = =
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠ 所以該處的瞬時速率
2 2
( , , ) 3 3, ,2 4 3
2 1 81
3 3 sin tan 3 3 ( 3)
4 3 2 2
v r θ ϕ v π π
π π
⎛ ⎞
= ⎜⎝ ⎟⎠
⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ ⎛ ⎞
=⎢⎣ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎟⎠⎥⎦ =⎜⎝ × − ⎟⎠ =
2 81 2
3 3, , ˆ ,
4 3 2 4 3
v r⎛ θ π ϕ π ⎞ ϕ⎛π π ⎞
⇒ ⎜ = = = ⎟= ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
在直角座標 2 2 2
ˆ , ˆsin ˆcos
4 3 x 3 y 3
π π π π
ϕ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠= − ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠+ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠
3 1
ˆ ˆ
2 2
x y
= − −
而且點 2
3 3, , 4 3
⎛ π π ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠的直角座標為
2 1 3 3
sin cos 3 3 sin cos 3 3
4 3 2 2 2 2
x= r θ ϕ = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠π ⎛⎜⎝ π ⎞⎟⎠= ⎛⎜⎝ − ⎞⎟⎠= −
2 3 9
sin sin 3 3 sin sin 3 3
4 3 2 2 2 2
y=r θ ϕ = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠π ⎛⎜⎝ π ⎞⎟⎠= ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠= z = 3
3 3, ,2 4 3 v⎛ π π ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
3 3 9 81 3 1
ˆ ˆ
, ,3
2 2 2 2 2 2 2
v⎛ ⎞ ⎛ x y ⎞
⇒ ⎜ ⎟= ⎜− − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠.
以上兩個例子都只討論只有一個圓座標分量的向量,in general, 向量 A r( )=rAˆ r +θˆAθ +ϕˆAϕ ⇔ A r( )= xAˆ x +yAˆ y +zAˆ z (4-61)
若已知球座標的分量 ( ,A A Ar θ, ϕ),如何得到直角座標的 (A A A ? x, y, z)
ˆ ˆ
ˆ ( ) (ˆ ˆ) (ˆ ) (ˆ )
ˆ ˆ
ˆ ( ) (ˆ ˆ) (ˆ ) (ˆ )
ˆ ˆ
ˆ ( ) (ˆ ˆ) (ˆ ) (ˆ )
x r
y r
z r
A x A r x r A x A x A
A y A r y r A y A y A
A z A r z r A z A z A
θ ϕ
θ ϕ
θ ϕ
θ ϕ
θ ϕ
θ ϕ
⎧ = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅
⎪⎪ = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅
⎨⎪
= ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅
⎪⎩
(4-62)
由式(4-59)─(4-61)
ˆ ˆsin cos ˆsin sin ˆcos
r =x θ ϕ+y θ ϕ+z θ (4-59)
ˆ xˆcos cos yˆcos sin zˆsin
θ = θ ϕ+ θ ϕ− θ (4-60)
ˆ xˆsin yˆcos
ϕ = − ϕ+ ϕ (4-61)
ˆ ˆ
ˆ ˆ sin cos , ˆ cos cos , ˆ sin .
ˆ ˆ
ˆ ˆ sin sin , ˆ cos sin , ˆ cos .
ˆ ˆ
ˆ ˆ cos , sin , ˆ 0.
x r x x
y r y y
z r z z
θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ
θ ϕ θ θ ϕ ϕ ϕ
θ θ θ ϕ
⎛ ⋅ = ⋅ = ⋅ = − ⎞
⎜ ⎟
⇒⎜ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⋅ = ⋅ = − ⋅ = ⎟
⎝ ⎠
(4-63)
sin cos , cos cos , sin . sin sin , cos sin , cos . cos , sin , 0.
x r r
y RS
z
A A A
A A M A
A A A
θ θ
ϕ ϕ
θ ϕ θ ϕ ϕ
θ ϕ θ ϕ ϕ
θ θ
⎛ − ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⇒⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠=⎜⎜⎝ − ⎟⎜ ⎟⎟⎠⎜⎝ ⎟⎠≡ ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠
(4-64)
其中MSR為由球座標分量轉為直角座標分量的轉換矩陣,且行列式
detMSR=1, 表示反矩陣存在,thenMSR−1就是將直角座標分量轉為球座 標分量之轉換矩陣。其實嚴格講 ,(4-64)式還不是最終的表示,因為 轉換完的直角
座標,應該全部以 x, y, z 表出,這裡保留用 ,θ ϕ 只是為了簡潔方便。
習題 2: FindMSR−1
習題 3. 用 x,y,z 表出(a)sinθ . (b) cosθ. (c) sinϕ. (d) cosϕ. Ans. (a)
2 2
2 2 2
sin x y
x y z
θ = +
+ + . (b)
2 2 2
cos z
x y z
θ =
+ + . (c)sin 2y 2
x y ϕ =
+ . (d)
2 2
cos x
x y ϕ =
+ . 習題 4. 用上面結果將MSR用 x,y,z 表出.
Ex.26. Given a field A r( , , )θ ϕ =2rˆ+3θ ϕˆ− in spherical coordinates ˆ find the field in rectangular coordinates (直角座標).