Graph Algorithms Euler Circuit Hamilton Circuit
for Sprout 2014 by Chin Huang Lin
七橋問題
• 柯尼斯堡有七座橋，風光明媚，景色迷人
• 如果可以安排一條旅遊路線，恰好把七座橋都經過一次，那就不 腳痠不無聊，一路順暢身心富足
• 只是，一直都沒有人找到滿足要求的路線
From Wikipedia
轉成圖論問題的話……
• 給定一個無向圖，是否存在一條每條邊恰走過一次的路徑？
From Wikipedia
一筆畫問題！
• 一筆畫問題有分成兩種：
• 一種形成一條路徑，稱為 Euler path
• 一種形成一個環，稱為 Euler circuit
觀察一下
• 顯然至少所有的邊要互相連通
• 按照路徑經過的方向，可以把無向邊有向化，分成入度與出度
• 不難發現，除了起點與終點以外，所有的點的入度數一定要與出 度數相同！
• 如果入度 > 出度，代表有進去卻沒出來的情況，那麼該點應該是終點
• 如果出度 > 入度，代表有莫名無中生有的情況，那麼該點應該是起點
• 入度與出度相同，也就是說原先的無向圖上一定度數為偶數
• 以上是必要條件
驗證一下
• 除了起點與終點外，所有的點度數都為偶數
→ 整張圖上只能有 0 個或 2 個偶點
• 這樣是否足夠充分呢？
• Yes!
• 底下我們用簡單的數學歸納法來給出構造性證明
驗證一下
• 遞迴證明法！
• 當邊數只有 0 或者 1 時，結論顯然成立
• 假設邊數 ≤ 𝑘 時成立，那麼對於一個邊數為 (𝑘 + 1) 的圖……
• 假設 𝑘 + 1 是偶數 (此時沒有奇點)，那麼圖上必定存在環 𝐶。把 𝐶 自圖上移除後，由於任意點都只會移除偶數度，剩餘圖必定形成所有點 度數仍為偶數的若干連通塊。
• 由於 ≤ 𝑘 時成立，剩餘的每個連通塊都存在歐拉迴路。
• 把各個連通塊的歐拉迴路都「接在」與 𝐶 的共同節點上，即形成原圖的 歐拉迴路
驗證一下
From DJWS
驗證一下
• 遞迴證明法！
• 當邊數只有 0 或者 2 時，結論顯然成立
• 假設邊數 ≤ 𝑘 時成立，那麼對於一個邊數為 (𝑘 + 1) 的圖……
• 假設 𝑘 + 1 是奇數 (此時有二奇點)，那麼先在兩奇點之間新增一假 想邊 𝑒 形成圖 𝐺’，接著一樣在圖上選擇一個環 𝐶 移除
• 因為環上邊數至少為 2， 𝑘 + 1 + 1 − 2 ≤ 𝑘，又可以遞迴求解了！
• 完成 𝐺’ 的歐拉迴路後，把 e 移除，並且選擇兩奇點作為起點終點即可
實作時間
• 在證明中我們可以看到，其實 𝐶 怎麼選，根本就不重要！
• 只要起點、終點選對，其實我們隨便走也可以！
• 走到山窮水盡，就代表一個 𝐶 (有可能包含虛擬邊 𝑒)；接著遞 迴把剩下的部份的歐拉路「黏」到 𝐶 上即可
算法框架
1. 判斷奇點個數，若
• > 2，那麼無解
• = 2，則選擇其中一個奇點作為起點
• = 0，則選擇任意一個點作為起點
2. 在 DFS 框架內執行下列步驟
1) 若當前節點還有尚未走過的邊，那麼拜訪該邊，並在拜訪完後輸出該邊 2) 否則離開當前結點
3. 若還有節點尚未拜訪，則無解 4. 否則輸出順序即為一組解
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有向圖的話……
• 在無向圖中，我們事實上是根據我們的需求自己幫邊定向
• 有向圖中，如果先天條件不良，我們就無能為力了
• 入點：出度數 = 入度數 – 1
• 出點：出度數 = 入度數 + 1
• 平衡點：出度數 = 入度數
• 不能有三種點以外的點
• 入點、出點都最多只能有一個
• 其餘點皆須為平衡點
有向圖的話……
• 如果整張圖連通 (從起點開始可以走到任意一點)，那麼解的存 在性證明與無向圖完全相似
• 不同的是，在無向圖的算法中，輸出的順序之所以可以成立，來 自於「任意無向圖上的路徑逆序輸出依然合法」
• 有向圖中，把輸出逆序後才是一組合法的解
• 複雜度：皆為 𝑂(𝑛 + 𝑚)
哈密頓問題
• 目標為點的一筆畫問題！
• 給定一張圖 (有向或無向)，是否存在一條路徑使得所有節點恰 好走過一次呢？
• 如果最後不用回到起點，則稱之為 Hamilton path
• 否則稱之為 Hamilton circuit
• 若一張圖中存在 Hamilton circuit，則稱此圖為 Hamilton graph
• 圖上的點和邊關係密切，歐拉路問題有這麼好的解，是否可以套 用到哈密頓問題上呢？
Terrible
• 很遺憾地，不論是有向圖還是無向圖，哈密頓問題都已經被證明 是 NP-complete
• 目前僅知一個充分條件：
• 設 𝐺 = {𝑉, 𝐸} 是一個無向簡單圖，|𝑉| = 𝑛 ≥ 3。若對於任意的兩個頂點 u, 𝑣 ∊ 𝑉 都有 𝑑(𝑢) + 𝑑(𝑣) ≥ 𝑛，則 𝐺 是 Hamilton graph
(proved by Øystein Ore)
• 但這並不代表我們只能夠用 𝑂(𝑛 ∗ 𝑛!) 暴力求解
Dynamic Programming!
• 反正每個點走過之後就不會走第二次，對應著邊也不會有走兩次 的情形
• 只有「已經走過的點」和「當前走過的點」是重要的事情！
• 定義狀態 𝑑𝑝[𝑖][𝑆] 為「是否有可能當前在點 𝑖，其中 𝑆 這個集 合已經拜訪過」
Dynamic Programming!
• 初始時 𝑑𝑝 𝑖 𝑖 = 1 ∀𝑖，其餘皆為 0
• 對於一個狀態 𝑑𝑝[𝑖][𝑆]，如果 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐸 且 𝑗 ∉ 𝑆，那麼我們可 以從 𝑖 走到 𝑗，轉移到 𝑑𝑝 𝑗 [𝑆 ∪ 𝑗 ]
• 其中 𝑆 通常以狀態壓縮實作
• ex. 𝑛 = 10, 𝑆 = 1,3,5,6 ，則可以用 0000110101 表示
• 若使用 adjacent matrix 存邊方式，則每個狀態只需要 𝑂 𝑛 轉移
• 反正 𝑛 沒辦法太大，不用考慮空間 𝑂(𝑛2) 的問題 :p
• 時間複雜度為 𝑂(𝑛2 ∗ 2𝑛)
