CHUA'S CIRCUIT

(1)

CHUA'S CIRCUIT

目的

利用 Chua's Circuit 非線性電路來觀察渾沌的現象

原理

如圖(1)所示 Chua’s Circuit 由四個線性元件(二個電容，一個電感，一個線性電阻 )和一個非線性電阻所組成。利用克希荷夫定律 (Kirchhoff’s Law)，可將 Chua’s Circuit 表示成一微分方程組：

圖(1-1) Chua’s Circuit(original form)

其中

非線性電阻的 V-I 特性曲線如圖(2)所示，G

_a

、G

_b

為斜率，轉折點位

2 3

3 2 1 2

2

1 ^ 1 2 1

1 ) 1 (

) ( ) 1 (

dt v L di

i v R v

dt C dv

v f v R v

dt C dv

−

=

+

−

=

−

=

{ ^R ^p ^R ^p }

b a R

b R

R f v G v G G v B v B

i = = +

(

−

)

+ − −

2 ) 1

(

^

(2)

圖(1-2) 非線性電路的 I-V 特性曲線

利用變數變換可將上述的狀態方程式轉換成下列的型式：

對稱性： ( x , y , z ) ( -x , -y , -z )

{ }

2 2 2

2 1 2

3 2

1

) sgn(

) (

1 1

) 2(

) 1 (

) (

)) ( (

RC RG t

b RG

a

RC L k

C R C

C

B i R B z

y v B

x v

x x

b a bx

x f

y d k

dz

z y x d k

dy

x f x y d k

dx

b a

p p

p

≡

=

≡

−

− +

=

−

=

+

−

=

−

=

τ β

α

τ β

τ

τ α

(3)

成負阻抗電路，且當 V

R

大於某一電壓值時，運算放大器開始saturate，

將兩個這樣的運算放大器並聯，就可以得到 I-V 曲線為圖(1-2)的非線性電阻。

電路中的電阻及運算放大器的 saturation voltage( R1 , R2 , R3 , R4 , R5 , R6 , E

_sat

)可以決定 G

_a

, G

_b

, B

_p

。只要改變 C1、C2、R、L 等參數便可以觀察到不同週期的週期軌道或混沌(chaos)軌道。

C1、C2、L 都是不容易改變的參數，因此我們選定 C1=0.0155µF、

C2=0.3474µF 並利用 RCL Meter 量得 L=11.0534mH，串聯電阻 R

_s

=13.9596

Ω。只要改變不同的 R 值，很容易就可以觀察到現象。

儀器

示波器電源供應器

頻譜分析儀 SR780

sat p

b a

R E R B R

R R R G R

R R

R G R

6 5

6 4 3 1

2 6 4

5 3 1

2

1

=

+

−

=

−

=

(4)

反應和變化。

4. 將電路連接一緩衝器與喇叭，聽聽渾沌的聲音。

5. 再連接一組相同的電路，將兩組電路中的電感靠近，觀察圖形的變化。

(5)

結果分析與討論

1. 找出週期 1 、2 、4 、spiral 以及 double scroll

圖﹙4﹚Period 1，R=1.1004kΩ 圖(5 ) Period 2，R=1.0648kΩ

圖(6 ) Period 4，R=1.0614kΩ 圖(7 ) Spiral，R=1.0320kΩ

圖(8 ) Double scroll，R=1.0073kΩ

(6)

圖(9) Period 1 (a) 為 VX 對 VY 作圖(b) VX and VY 對時間作圖

(c)

(7)

圖(10) Period 2 (a)為 VX 對 VY 作圖(b) VX and VY 對時間作圖 (c) VX 對時間傅利葉分析

(a)

(b)

(c)

(8)

圖(11) Period 4 (a) 為 VX 對 VY 作圖(b) VX and VY 對時間作圖

(b)

(c)

(9)

圖(12) Spiral (a)為 VX 對 VY 作圖(b) VX and VY 對時間作圖 (c) VX 對時間傅利葉分析

(c) (a)

(b)

(10)

圖(13) Double scroll (a) 為 VX 對 VY 作圖(b) VX and VY 對時間作

(b)

(c)

(11)

2 驅動 Chua's Circuit

. (a)弦波和方波：

我們以弦波和方波驅迫 Period 1，將其中較特別的圖形攝影這下來。然而箇中千變萬化的圖形必須親自動手才能體會。如圖(15)~(17)。

圖(14) Driving the Chua’s Circuit.

(12)

( c) (d)

圖(15)

(a) Period 1+driving force : sine wave (A=10V F=125Hz) (b) Period 1+driving force : sine wave (A=10V F=720Hz) (c) Period 1+driving force : sine wave ( A= 5V F=380Hz) (d) Period 1+driving force : sine wave ( A= 5V F=590Hz)

(13)

(a) (b)

(c ) (d)

圖(16)

(a) Period 1+driving force : sine wave (A=1V F=5.3kHz) (b) Period 1+driving force : sine wave (A=1V F=8.4kHz) (c) Period 1+driving force : sine wave (A=1V F=10.5kHz) (d) Period 1+driving force : sine wave (A=1V F=12.6kHz)

(14)

(c ) (d)

(e) (f) 圖(17)

(a) Period 1+driving force : square wave (A=1V F=1.234kHz) (b) Period 1+driving force : square wave (A=1V F=2.400kHz) (c) Period 1+driving force : square wave (A=1V F=3.120kHz) (d) Period 1+driving force : square wave (A=1V F=4.310kHz)

(15)

(b) noise：

我們以頻譜分析儀 SR780 內建之 source 功能，輸入一 noise 訊號，

藉改變振幅大小來觀察輸出的變化。

下表為在不同初始條件下圖形開始左右震盪所需的 noise 振幅

初始條件 Noise 之振幅(mV)

Period1 600

Period2 400

Period4 350

Spiral 200

表 1

以下為我們實驗中所看到圖形的 FFT 分析。

-1k 0 1k 2k 3k 4k 5k 6k 7k

-60 -40 -20 0 20

dBVpk

H z

圖(18) Period1+振幅為 250mV 之 noise，所得 X 軸之頻譜分析

(16)

圖(19) spiral +振幅為 250mV 之 noise，所得 X 軸之頻譜分析

-1k 0 1k 2k 3k 4k 5k 6k 7k

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10

dBVpk

H z

圖(20)double scroll + 振幅為 250mV 之 noise，所得 X 軸之頻譜分析

-1k 0 1k 2k 3k 4k 5k 6k 7k

-40 -30 -20 -10 0 10

dBVpk

H z

(17)

3.Chua’s Circuit 的聲音與頻譜分析

(1) Chua's Circuit 的聲音及頻譜分析

由 period-1 、 period-2 、 period-4 、 spiral 變化到 double-scroll 的聲音從單音(約 2kHz)開始，慢慢的出現低頻的聲音，

然後越來越混亂。整個過程類似飛機起飛的聲音。我們利用聲霸卡(取樣頻率約 44kHz)以及 Cool Editor 96(錄音軟體)將聲音錄下來，並利用頻譜分析儀 SR780 取 X 軸訊號 200 次平均，做快速傅利葉轉換 ( FFT )，由分析的結果可知，主要頻率皆在 2KHz 左右，如下圖所示：

- 2 . 0 k 0.0 2 . 0 k 4 . 0 k 6 . 0 k 8 . 0 k 1 0 . 0 k 1 2 . 0 k 1 4 . 0 k

- 1 2 0 - 1 0 0 - 8 0 - 6 0 - 4 0 - 2 0 0

dBVpk

H z

圖(22) Period-1 的聲音做 FFT 分析

(18)

圖(23) Period-2 的聲音做 FFT 分析

- 2 . 0 k 0 . 0 2 . 0 k 4 . 0 k 6 . 0 k 8 . 0 k 1 0 . 0 k 1 2 . 0 k 1 4 . 0 k

- 1 2 0 - 1 0 0 -80 -60 -40 -20 0

dBVpk

H z

圖(24) period-4 的聲音做 FFT 分析

- 2 . 0 k 0 . 0 2 . 0 k 4 . 0 k 6 . 0 k 8 . 0 k 1 0 . 0 k 1 2 . 0 k 1 4 . 0 k

- 8 0 - 6 0 - 4 0 - 2 0 0 2 0

dBVpk

H z

(19)

- 2 . 0 k 0.0 2 . 0 k 4 . 0 k 6 . 0 k 8 . 0 k 1 0 . 0 k 1 2 . 0 k 1 4 . 0 k - 8 0

- 6 0 - 4 0 - 2 0 0

dBVpk

H z

圖(26) Double-scroll 的聲音做 FFT 分析 (2)驅動 Chua’s Circuit 所產生的聲音

當我們以 sine wave 當作訊號源，改變其頻率或振幅來驅動

Chua’s Circuit 可以很容易的模擬出類似木管樂器的聲音，如果以電子合成的方式來模擬可能須要很繁複的步驟才能達成。

此外，若以不同頻率來回掃描(例如由 10Hz 掃到 20Hz 再由 20Hz 掃到 10Hz 的 pulse)去驅動 Chua’s Circuit，我們可以聽到一些特殊的節奏(tempo)。

(20)

現並沒有同步的情形。但可以確定的是兩個 Chua’s Circuit 會彼此影響。

圖(28)將展示 Double scroll 在耦合前與耦合後的情形。

圖(27) 耦合 Chua’s Circuit

(21)

耦合前

耦合後

圖(28) Double scroll 的耦合情形。

從圖(28)可以發現，將兩個 Chua’s Circuit 利用電感耦合在一起後，

原本空洞的吸子(attractor)變得緻密起來。這是我們發現比較特別的現象。

CHUA'S CIRCUIT

CHUA'S CIRCUIT

目的

原理

a

b

2 3

3 2 1 2

2

1

^ 1 2 1

1

) 1 (

) ( ) 1 (

dt v L di

i v R v

dt C dv

v f v R v

dt C dv

−

=

+

−

=

−

−

=

{ R p R p }

b a R

b R

R f v G v G G v B v B

i = = +

−

+ − −

^

{ }

2 2 2

2

1 2

3 2

1

RC RG t

b RG

a

RC L k

C R C

C

B i R B z

y v B

x v

x x

b a bx

x f

y d k

dz

z y x d k

dy

x f x y d k

dx

b a

p p

p

≡

=

≡

≡

≡

≡

≡

≡

≡

−

− +

− +

=

−

=

+

−

=

_a

_b

{ ^R ^p ^R ^p }

_sat

_a

_b

_p

_s

結果分析與討論