x x x x x P P CD ADE ≅ A'DE ADE A'DE A'DC BC A'

高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：96.05.01 班級 普三 班

範

圍 Book2 All

座號

姓 名 一、選擇題

1. 2x + 2log10(2 + 10^−x) − log10( 4

1+ 10^x + 10^2x)可化簡為下列何種形式：

(A) 2．10^x (B) x．log10

4

1 (C) 2log102 (D) 1 (E) 2x + 10^2x

【解答】(C)

【詳解】

2x + 2log₁₀ (2 + 10^−x) − log₁₀ ( 4

1+ 10^x + 10^2x) = log₁₀10^2x + log₁₀(2 + 10^−x)² − log₁₀( 2

1+ 10^x)²

令 t = 10^x > 0，原式 = log10

2 2 2

2 ) (1

1) 2 (

t t t

+ +

= log10

2 2

2 ) (1

) 1 2 (

t t

+

+ = log10

2 2

2 ) (1

2) ( 1 4

t t

+ +

= log104= 2log102

2.將一張長方形紙 ABCD 沿著 DE 摺起來，使 A 點落在BC邊上A' 處（如圖所示）。若摺角 為θ，寬 AB 是 6 吋，則摺痕 DE 的長度為

(A) 3sec²θcscθ (B) 6sinθsecθ (C) 3secθcscθ (D) 6secθcsc²θ (E) 3sinθsecθ

【解答】(A)

【詳解】

如圖，因為△ADE≅△A'DE，故∠ ADE =∠ A'DE = θ，所以∠ A'DC = 2

π − 2θ。 故所求摺痕 DE 的長度為 DE =A′Dsecθ

=CDsec(

2

π − 2θ)secθ = 6sec(

2

π − 2θ)secθ =

θ θcos 2 sin

6 =

θ θcos² sin 2

6 = 3sec²θcscθ

3. 3 tan20° + 3 tan10° + tan20° tan10° = (A) 3 (B) − 3 (C) 3

1 (D) 1 (E) − 1

【解答】(D)

【詳解】

tan30° = tan( 20°+10° )⇒

3 1 =

°

°

−

° +

°

10 tan 20 tan 1

10 tan 20

tan ⇒ 3 tan20° + 3 tan10° + tan20° tan10° = 1

4. θ 不是象限角且 tanθ > 0，secθ <0，則點P(cosθ，sinθ)在

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (E)兩坐標軸上

【解答】(C)

【詳解】

(1) tanθ > 0，secθ <0 ⇒ θ 在第三象限

(2)∴ sinθ <0，cosθ <0 ⇒ 點P(cosθ，sinθ)在第三象限

5. 設 − 540° ≤ x ≤ 540°，則滿足 cos⁸⁹x + cos²⁰⁰⁰6x + cos³⁶⁵7x = 3 的x值共有 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 個

【解答】(C)

【詳解】

　　−1 ≤ cos⁸⁹x ≤ 1 　　 0 ≤ cos²⁰⁰⁰6x ≤ 1 +)　−1 ≤ cos³⁶⁵7x ≤ 1

∴ cos⁸⁹x + cos²⁰⁰⁰6x + cos³⁶⁵7x≤ 3 已知 cos⁸⁹x + cos²⁰⁰⁰6x + cos³⁶⁵7x = 3

∴ cos⁸⁹x =1，cos²⁰⁰⁰6x =1，cos³⁶⁵7x =1 ⇒ cosx = 1，cos6x = ±1，cos7x =1

∵ −540° ≤x≤ 540° ⇒ x = −360°，0°，360°共 3 個 6. 複數平面上，滿足z¹³ = 7 + 8i的一切複數z的圖形為

(A)一直線 (B)一個圓 (C)一點 (D)正 13 邊形 (E)13 個點

【解答】(E)

【詳解】

z¹³ = 7 + 8i = 113 (cosθ + isinθ)，0< θ<

2

π ∴ )

sin13 (cos13

26113 θ θ

α = +i 為其一根

∴ z¹³ = 7 + 8i的 13 個根為α，αω，αω²，…，αω¹²（ω =

13 sin2 13

cos2π π +i ） 此 13 個根在複數平面的圖形為正 13 邊形的 13 個頂點

7.（複選）設a > 0 且a ≠ 1 將y = a^x與y = log_ax的圖形畫在xy坐標平面上，下列何者可能為 其圖形？

(A) (B) (C)

(D) (E)

【解答】(A)(D)

【詳解】

(A) a > 1 時 (B) 0 < a < 1 時

8. （複選）圓內切四邊形ABCD中， AB = AD = 2，∠C = 60°，∠D = 105°，下列何者正確？

(A) BD = 2 3 (B)此圓半徑= 2 (C)AC= 6 − 2 (D) ∠ACB = 30° (E) ∠CAD = 45°

【解答】(A)(B)(D)(E)

【詳解】

(A)BD= AB² +AD² −2AB ． AD ． cos120°= 4+4+4 = 2 3 (B) R =

A BD sin

2 =

2 3 2

3 2

．

= 2

(C)sin30° 2 =

° 105 sin

AC ⇒ AC = 2 1 2 ．

4 2 6+

= 6 + 2

9. （複選）若△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，則下列敘述何者正確？

(A)若sin²A + sin²B = sin²C，則∠C = 90° (B)若sinA = 2

1，則∠A = 30°

(C)若cosA < 0，則∠A是鈍角 (D) sinA + sinB > sinC (E)若c = 2，b = 1，∠B = 30°，則∠C = 45°

【解答】(A)(C)(D)

【詳解】

(A)由正弦定理 ⇒ ( R a 2 )² + (

R b 2 )² = (

R c

2 )² ⇒ a² + b² = c² ∴ ∠C = 90°

(B) sinA = 2

1，則∠A = 30° 或150°

(C) cosA < 0，則 2

π ∠A < π ∴ ∠A是鈍角

(D) a + b > c ⇒ R a 2 +

R b 2 >

R c

2 ⇒ sinA + sinB > sinC (E)由正弦定理

° 30 sin

1 = C sin

2 ⇒ sinC = 2

2 ∴ ∠C = 45°或135°

10. （複選）θ 是第二象限角，則 3

θ 可能是第幾象限角？

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (E) 3

θ 可能不是象限角

【解答】(A)(B)(D)

【解1】

∵ θ 是第二象限角

∴ n(360°) + 90° <^θ <n(360°) + 180°，n∈Z ∴ (120°)n + 30° <

3

θ <(120°)n + 60°

(1)當n = 3k，k∈Z時，(360°)k + 30° <

3

θ <(360°)k + 60° ⇒ 3

θ 在第一象限

(2)當n = 3k + 1，k∈Z時，(360°)k + 150° <

3

θ <(360°)k + 180° ⇒ 3

θ 在第二象限

(3)當n = 3k + 2，k∈Z時，(360°)k + 270° <

3

θ <(360°)k + 300° ⇒ 3

θ 在第四象限

二、填充題

1. 利用log 3 = 0.4771，log 7 = 0.8451，

解方程式3^x + 3^x+1 + 3^x+2 + 3^x+3= 7^x + 7^x+1 + 7^x+2 + 7^x+3，則7^x ÷ 3^x = ；若取 三位有效數字（第四位四捨五入），可得x = 。

【解答】10

1 ；− 2.72

【詳解】

(1) 3^x + 3^x+1 + 3^x+2 + 3^x+3= 7^x + 7^x+1 + 7^x+2 + 7^x+3

⇒ 3^x + 3．3^x + 9．3^x + 27．3^x = 7^x + 7．7^x + 49．7^x + 343．7^x

⇒ 40．3^x = 400．7^x ⇒ 7^x ÷ 3^x = 400

40 = 10

1

(2)由 _x

x

3 7 =

10

1 ⇒ log _x

x

3

7 = log 10

1 ⇒ x(log 7 − log 3) = −1

⇒ x =

3 log 7 log

1

−

− =

4771 . 0 8451 . 0

1

−

− =

3680 . 0

−1

= − 2.72 2. 解不等式log_0.1(x² − 4) − log0.1(x + 2) < 0，得 。

【解答】x > 3

【詳解】

log_0.1(x² − 4) − log_0.1(x + 2) < 0，





>

+

>

− 0 2

0

2 4 x

x ⇒ x > 2 ⇒ log_0.1 2

2 4 +

− x

x < log_0.11

∵ 0 < 0.1 < 1 ⇒

2

2 4 +

− x

x > 1 ⇒

2 ) 2 )(

2 (

+

− +

x x

x > 1 ⇒ x − 2 > 1 ⇒ x > 3

∴ x > 3 3. 純小數 )ⁿ

6

(1 於小數點後第15位才開始出現不為0的數字，則正整數n之值 = 。

【解答】18或19

【詳解】

(6

1 )ⁿ於小數點後第15位開始出現不為0的數字 ⇒ log(

6

1)ⁿ的首數 = − 15

∴ − 15 < log(

6

1)ⁿ < − 14 ⇒ − 15 < n( − 0.3010 − 0.4771) < − 14

⇒

7781 . 0

14 < n <

7781 . 0

15

⇒ 17.99 < n < 19.27 ∴ n = 18或19 （∵ n∈N） 4. 無窮等比級數1 +

3 2+

9

4+ …之和為S，其首n項的和為Sn，則滿足條件｜S − Sn｜< 3 ^{− 12} 的最小自然數n = 。

【解答】36

【詳解】

S = 1 + 3 2+

9

4+ … = 3 1 2

1

−

= 3，Sn = 1 + 3 2+

9

4+ … + ( 3

2)^{n − 1} =

3 1 2

] 3) (2 1 [ 1

−

−

⋅　 ⁿ

= 3[1 − ( 3 2)ⁿ]

⇒ | S − Sn | = 3．( 3

2)ⁿ < 3 ^{− 12} ⇒ ( 3

2)ⁿ < 3⁻¹³ ⇒ n．(log2 − log3) < ( − 13)log3

⇒ n(0.3010 − 0.4771) < ( − 13) × 0.4771 ⇒ n > 35.… ⇒ n最小為36

5. 若f (x) = 2log (x − 1) − log (x − 2)，x > 2，則當x = 時，f (x)有最小值 = 。

【解答】3；log4

【詳解】

f (x) = 2log(x − 1) − log(x − 2)，x > 2 = log(x − 1)² − log(x − 2) = log 2

) 1

( ²

−

− x x

∵ 2

) 1

( ²

−

− x

x =

2 ] 1 ) 2

[( ²

− +

− x

x = (x − 2) + 2 +

) 2 (

1

−

x ≥ 2

) 2 ( ) 1 2

( − −

x ． x + 2 = 4（∵ x > 2）

∴ f (x)有最小值 = log4，又「=」成立時，x − 2 = 2 1

−

x ⇒ (x − 2)² = 1

⇒ x − 2 = ± 1 ⇒ x = 3或x = 1（不合），故當x = 3時，f (x)有最小值 = log4

6. 設x，y，z > 1，a > 0，已知logxa = 40，logya = 60，logxyza = 8，則logza = 。

【解答】12

【詳解】

log_xa = 40 ⇒ x⁴⁰ = a ⇒ x = a⁴⁰

1

，log_ya = 60 ⇒ y⁶⁰ = a ⇒ y = a⁶⁰

1

log_xyza = 8 ⇒ (xyz)⁸ = a ⇒ ( a⁴⁰

1

．a⁶⁰

1

．z)⁸ = a ⇒ a ¹⁵

2 5 1+

．z⁸ = a ⇒ z⁸ = a ¹⁵

2 5 1−−−−1−−−−

= a³

2

⇒ z = (a³

2

)⁸

1

= a¹²

1

∴ logza = log

12 1

a

a = 12

1

1 logaa = 12

7. 若a，b，c，d，e均為不等於1的正數，且a² = c³，c² = e⁵， 則loga b．logb c．logc d．logd e之值 = 。

【解答】15 4

【詳解】

 ⇒





=

⇒ =







=

=

15 6

6 4

5 2

3 2

e c

c a e

c c

a 　　 　　 a⁴ = e¹⁵ ⇒ e = ¹⁵

4

a

∴ log_a b．log_b c．log_c d．log_d e = log_a e = log_a ¹⁵

4

a = 15

4 8. 方程式的實根個數：

(1)方程式( 2

1)^x = x + 1的實根共有 個。(2)方程式x² = 2^x的實根共有 個。

【解答】(1) 1 (2) 3

【詳解】

9. 設f (x) = _{x x}

x x

−

−

− +

2 2

2

2 ，x∈R，若f (a) = 4，f (b) = 3，則 (1) f (2a) = 。 (2) f (a + b) = 。

【解答】(1) 8 17 (2)

7 13

【詳解】

∵ f (x) = _{x x}

x x

−

−

− + 2 2

2

2 =

1 2

1 2

2 2

− +

x x

⇒ 2^2x =

1 ) (

1 ) (

− + x f

x f

∴ 2^2a =

1 ) (

1 ) (

− + a f

a

f =

1 4

1 4

− + =

3

5，2^2b =

1 ) (

1 ) (

− + b f

b

f =

1 3

1 3

− + = 2

∴ (1) f (2a) =

1 2

1 2

4 4

− +

a a

=

1 3) (5

1 3) (5

2 2

− +

= 8

17，(2) f (a + b) =

1 2

1 2

2 2

2 2

− +

+ + b a

b a

=

1 3 2 5

1 3 2 5

−

× +

×

= 7 13

10.m∈N，已知將2⁻¹⁹以有限小數表示得0.a1a2a3…am，其中ai∈{0，1，2，…，9}，i = 1，2，…，

m，am ≠ 0，則數對(m，am)= 。

【解答】(19，5)

【詳解】

2⁻¹⁹ = ₁₉

19 19 19

10 ) 5 10 (5 2)

(1 = = ∵ 5¹⁹之個位數為5 ∴ am = 5

∵ a a .

10 =0 ⇒ ^
_
^

位 19

19 0.00 0

10a a

= ，a∈{0，1，2，…，9}

而5¹⁹ < 10¹⁹ ∴ 2⁻¹⁹ = 0.









位 19

2

1a am

a ⇒ m = 19

11.設x² − (tanθ + cotθ ) x + 1 = 0有一根為3 − 2，則sinθ cosθ 之值為 。

【解答】 12 2 4+

【詳解】

設另一根為α ∴ 兩根之積(3 − 2 )α = 1 ∴ α = 2 3

1

− = 7

2 3+

∴ 兩根之和 = tanθ + cotθ = (3 − 2 ) + 7

2 3+

⇒ sinθcosθ 1 =

7 2 6

24− ⇒ sinθ cosθ =

2 6 24

7

− =

12 2 4+

12設等腰△ABC中，∠B = 90°，若D是BC的中點，則tan∠BAD = ， 又tan∠CAD = 。

【解答】 3

1 2 1；

【詳解】

如右上圖所示：在△ABC中，AB =BC，而∠B = 90°，故AC = 2BC 過D作DE⊥AC，令其垂足為E，已知D為BC中點，故知

BC CD

EC

DE 2

1 2

2 2

2

= ．

=

= = AC AC

4 1 2

1 2 1 2

2_{． ．} =

又AE AC EC AC AC AC 4 3 4

1 =

−

=

−

=

tan∠BAD =

2 2 1

1

=

= AB BC AB

BD ，tan∠CAD =

3 1 4

3 4 1

=

= AC AC AE

DE

13.無窮級數∑^∞ °

=

− 1

) 1

30 (cos

n

n 的和為 。

【解答】4 + 2 3

【詳解】

因為∑^∞ °

=

− 1

) 1

30 (cos

n

n =∑

= −

−

∞ =

=

− 1

1

3 2

2

2 1 3 ) 1 2 ( 3

n

n = 4 2 3

) 3 2 ( ) 3 2 (

) 3 2 (

2 = +

+

−

+

．

．

故∑^∞ °

=

− 1

) 1

30 (cos

n

n = 4 + 2 3 14.化簡下列各值：

(1)1+ ³θ 1 sin +

3θ + 1

1 cos +

3θ + 1

1 tan +

3θ + 1

1 cot +

3θ + 1

1 sec +

3θ + 1

1

csc = 。 (2) 2(1 − tan^4θ)cos^2θ + 2 sin^2θ sec^2θ = 。

【解答】(1) 3 (2) 2

【詳解】

(1)原式 =

3θ sin 1

1

+ +

3θ cos 1

1

+ +

3θ tan 1

1

+ +

3θ tan 1 1

1 +

+

3θ cos 1 1

1 +

+

3θ sin 1 1

1 +

=1 sin³θ 1

+ +

3θ cos 1

1

+ +

3θ tan 1

1

+ +

θ θ

3 3

tan 1

tan

+ +

θ θ

3 3

cos 1

cos

+ +

θ θ

3 3

sin 1

sin +

= θ

θ

3 3

sin 1

sin 1

+

+ +

θ θ

3 3

cos 1

cos 1

+

+ +

θ θ

3 3

tan 1

tan 1

+

+ = 1 + 1 + 1 = 3

(2)原式= 2(1 + tan²θ )(1 − tan²θ )cos²θ + 2 sin²θ．

2θ cos

1

= 2sec²θ (1 − tan²θ )cos²θ + 2(

θ θ cos

sin )² = 2(1 − tan²θ ) + 2tan²θ = 2 15.設 θ，φ為銳角，若 θ +φ = 90°，則sin^θ cosφ + cos^θ sinφ = 。

【解答】1

【詳解】

∵ θ +φ = 90° ∴ φ = 90°−^θ，故由餘角公式得知 sin^θ cosφ + cos^θ sinφ = sin^θ cos(90°−^θ) + cos^θ sin(90°−^θ)

= sin^θ sin^θ + cos^θ cos^θ = sin^2θ + cos^2θ = 1

16.設t∈R，2^2x − t．2^x+1 − 2t + 3 = 0有相異二實根，求t之範圍為 。

【解答】1 < t <

2 3

【詳解】

(2^x)² − 2t．2^x − (2t − 3) = 0，令2^x = y ∴ y² − 2ty − (2t − 3) = 0有相異二正根

∴ 判別式△= t² + (2t − 3) > 0 ⇒ (t + 3) (t − 1) > 0 ⇒ t < −3或t > 1

二根之和 = 2t > 0 ⇒ t > 0，二根之積 = − (2t − 3) > 0 ⇒ 2t − 3 < 0 ⇒ t <

2 3

故1 < t <

2 3

17.△ABC中， AB= 5，BC= 3，CA= 4，∠B的分角線交AC於D，則 (1) cosB = 。 (2) tan∠DBC = 。

【解答】(1) 5 3 (2)

2 1

【詳解】

(1)△ABC中，BC²+CA²= 9 + 16 = 25 =AB² ∴ ∠C = 90° ⇒ cosB =

AB BC=

5 3

(2)∵ BD 為∠B之分角線 ∴ AD ：DC=AB ：BC= 5：3 ⇒ CD= 4 ×

8 3=

2

3，故tan∠DBC = BC CD=

3 2 3

=2 1

18.在△ABC中，a = 2，c = 1，若△ABC的面積最大，試求此時b邊的長。___________

【解答】b = 5

【詳解】

令s = 2

1(a + b + c) = 2

1(b + 3)，其中1 < b < 3。由海龍（Heron）面積公式知：

△= s(s−a)(s−b)(s−c)=

2 1 + 2

− 3 2

1

− 2

3

+ b b b

b

．

．

．

= 4 1 =

4

1 −b⁴ +10b² −9= 4

1 16−(b² −5)² ≤1 故當b² = 5，即b = 5時，△ABC有最大面積1

19.若 θ 是第二象限角，則 3

θ 可能為第幾象限角？

【解答】一、二、四

【詳解】

因為θ 是第二象限角，所以2k +π <θ <　kπ +π，k∈Z

π 2

2 ⇒

3 3 2 3 6 3

2 π π θ π π +

<

<

+ k

k

由於k為整數，因此

當k = 3n時，則2n

2 3 3 6

π π θ

π +π < < n + ，故 3

θ 為第一象限角

當k = 3n + 1時，則2n π θ π π π + < <2n +

3 6

5 ，故

3

θ 為第二象限角

當k = 3n + 2時，則2n

3 2 5

3 2

3 π

θ π

π + π < < n + ，故 3

θ 為第四象限角

n為整數，綜合
及的討論，可知：

3

θ 可能為第一、二、四象限角