cba >+− 024 。 x a > 0 k < 0

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：93.02.16 班級

範 圍

4-4,5,6 多項

函數、方程式、不等式 座號

姓 名 一. 單一選擇題 (每題 8 分)

1、( A ) 設 之圖形如下，則下列那一項確定成立？

(A)

y =ax² +bx+c 1

4 1

2 0

a+ b+ <c (B)b> 0 (C) a< 0 (D)b² −4ac= 0 (E) 4a−2b+ < 。 c 0

答案：( A )

解析：由圖知y =ax² +bx+c頂點^{( 0,k)}，k< 0 (A) ¹

x= ⇒ =2 y 1 4

1

2 0

a+ b+ <c

(B)開口向上 ；

(C)頂點

>0 a

0 0

2

x b b

= − a = ⇒ = (D)圖形與 軸交於兩點 (E)

x _b² _{− ac4 >0} 2

x= ⇒ =y 4a−2b+c>0。

2、( C ) 設α β γ^{, ,} 為 x³ +x² −4x+ = 的三根，則以下何者錯誤？ 5 0

(A)α + + = −1β γ (B) αβ +βγ γα+ = −4 (C) αβγ = 5 (D)

(E) 。

α² +β² +γ² =9 α³+β³ +γ³ = −28

答案：( C )

解析：維塔-根與係數定理：

三根為

3 2

0

ax +bx +cx+ =d α β γ, ,

(1) (2) (3)

b a

c a d a

⎧ α +β+ γ = −

⎪⎪

⇒⎪⎨ αβ + βγ + γα =

⎪⎪ αβγ = −

⎪⎩

(A)(B)(C) x³ x² 4x 5 0

(1) 1

(2) 4

(3) 5

α + β + γ = −

⎧⎪

⇒⎨ αβ + βγ + γα = −

⎪ αβγ = −

⎩ + − + =

(D) (E)

2 2 2 2 2

( ) 2( ) ( 1) 2( 4) 9

α + β + γ = α + β + γ − αβ + βγ + γα = − − − =

αβγ γα

βγ αβ γ

β α γ β α γ β

α

= − − − + ⋅ − = −

3、( A ) 方程式 x⁵ −4x³ +7x² − +x 11= 在 (A) − 3與 − 2 之間 (B) 0 與 之間 (C) 與 0 之間 (D) 0 與 1 之間 (E) 1 與 2 之間 有實根

− 2 − 1

− 1 答案：( A )

解析：設 f x( )= x⁵ −4x³ +7x² −x+11

4、( B ) 下列那一個不等式，其解集合非「無解」？ (A) x² +6x+10< 0

(B) x² +2x≤ 1− (C) −x² +8x >16 (D) −x² +3x− ≥5 0 (E) −2x² + >x 5 答案：( B )

係數 正負 相間 無正 根

1 －3 + 5 －8 + 23 －58 －3 1 －2 + 0 + 7 －15 + 41 －2 1 －1 －3 + 10 －11 + 22 －1 1 + 0 －4 + 7 －1 + 11 0 1 + 1 －3 + 4 + 3 + 14 1 1 + 2 + 0 + 7 + 13 + 37 2

係數 皆正 無正 根

解析：(A)₆²_{− × ×4 1 10= − < ⇒4 0 x}² _{+ x6 +10>0}恆成立，x² +6x+10< 無解 0 (B) x² +2x≤−1⇒(x+1)² ≤0，解為x= − 1

(C) 無解

(D) ，

0 ) 4 ( 0 16 8 16

8 ^{2 2}

2 + > ⇒ − + < ⇒ − <

−x x x x x

0 5 3 0

5

3 ²

2 + − ≥ ⇒ − + ≤

−x x x x ∵x²−3x+ >5 0恆成立 無解

(E) ，

2 3 5

x x

⇒ − + ≤ 0

0 0

5 2

5

2 ² + > ⇒ ² − + <

− x x x x ∵2x²− + >x 5 恆成立⇒2x²− + < 0x 5 無解

0 ≥

5、( D ) 解不等式 (x−1)(x−2) (² x−3)³ ≥ 之解為 (A) x≥3或2≥x 1 (B) x≥3或x≤1 (C) 1≤ ≤ 3x (D) x≥3或x =2或x≤1 (E) 3≥ ≥x 2或x≤1。

答案：( D )

解析：(x−1)(x−2)²(x−3)³ ≥0⇒ (x−1)(x−2)²(x−3)≥0⇒ ≤x 1或x≥3或x=2 二. 填充題 (每題 10 分)

1、 ^{f x( )}為一實係數，n 次多項式，若^{f(2− =i) 4i−7}，則 f(2+ =i) _______。

答案：− i4 −7

解析： _{f z( )= f z( )}⇒ _{f(2+i)= f(2−i)= f(2−i)=4i−7=−4i−7}

2、設 f x( )= −x² +(a+1)x+2 , a ∈R，若方程式 f x( )= 0。有一根在− 1與 0 之間，另一根 在 2 與 3 之間則 a 的範圍為_______________。

答案： 3

0< a< 4

有根在− 1與 0 之間⇒ f(−1)f(0)<0，即 0 0

0 ) 2 0 0 )(

2 1 1

(− −a− + − + + < ⇒−a< ⇒a> …..➀ 另一根在 2 與 3 之間^{⇒ f(2)f(3)<0}，即

3 0 4

0 ) 4 3 ( 0 ) 2 3 3 9 )(

2 2 2 4

(− + a+ + − + a+ + < ⇒a a− < ⇒ <a< ………. ➁ 由.➀ ➁ 知

3 0< a< 4

3、求二次函數 y = −5 (2x−1)(x−2)的極值；在x =________時，^y=________為_______(最 大值或最小值)。

答案： ^{5 4}

4 8

x= ⇒ =y 9 最大 解析：

8 ) 49 4 ( 5 2 3 5 2 )

2 )(

1 2 (

5− − − ⇒ =− ² + + =− − ² +

= x x y x x x

y ， ⁵

4 8

when x= ⇒ =y 49 最大

4、設二次函數 4 1

2 )

( = ² + + =

= x

bx b ax

x f

y 在 時有最大值 5，則數對(a,b) ______或

______。

=

答案：( 1, 1 ); (− −4, 4 )

解析： 4 1

2 )

( = ² + + =

= x

bx b ax

x f

y 在 時有最大值 5

2 2

( 1) 5 2

y=a x− + ⇒ =y ax − ax+ + 5a

2

2 2

5 4 0 ( 1)( 4) 0 1, 4

4 5

1, 4

( , ) ( 1, 1 ); ( 4, 4 ) 1, 4

b a

a a a a a

b a

a a b

b

⎧ = −

⇒⎪⎨ ⇒ + + = ⇒ + + = ⇒ = −

⎪⎩ = +

= − −

⇒⎧⎨ =⎩ ⇒ = − −

−

1

5、 設y= x² −2x−5與 y=2x− 兩圖形交於 A,B 兩點，則_AB之長為_______ 。 答案： 4 10

解析：

設兩交點 ，則

0 4 4 1

2 5 2 1

2

5

2 _{2 2}

2

=

−

−

⇒

−

=

−

−

⎩ ⇒

⎨⎧

−

=

−

−

= x x x x x

x y

x x y

1 1 2 2

( , ), ( , )

A x y B x y x x₁, ₂為_x²_{−4x− =4 0}之二根，且

1 2

1 2

1 1

2 2

1 2 1 2

4 4 2 1 2 1

2( ) x x

x x

y x

y x

y y x x

+ =

⎧⎪ ⋅ = −

⎪⎪ = −

⎨⎪ = −

⎪⎪ − = −

⎩

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

( ) ( ) 5( ) 5[( ) 4 ]

AB x x y y x x x x x x

⇒ = − + − = − = + −

5[42 4( 4)] 4 10

= − − =

6、解不等式 ，其解為______________________，

，其解為____________________，

(1)x2+ − <x 6 0 (2)2x2−3x+ <2 0

，其解為_____________________，

，其解為_______________。

(3)2x2+ − ≥x 2 0

3 2

(4)6x +7x −9x+ >2 0

答案：(1)− < < 23 x (2)無解 (3) ^{1 17}; ^{1 17}

4 4

x − + x − −

≥ ≤ (4) 2 ¹

x 3

− < < 或 ¹ x>2 解析：

x ₀ (1)

(2) 恆成立，

2 6 0 ( 2)( 3) 0 3 2

x + − < ⇒x x− x+ < ⇒ − < <x

2 2

( 3) 4 2 2 7 0 2 3 2 0

D= − − × × = − < ⇒ x − + > _2x² _{−3x+ <2} 無解

(3) ₂ ² _{2 0} ^{1 1 4 2 ( 2)}

x x x − ± − × × −4

+ − = ⇒ = ，

2 1 17 1 17

2 2 0 ;

4 4

x + − ≥ ⇒ ≥x x − + x≤− −

(4)6x³+7x²−9x+ > ⇒2 0 (x+2)(2x−1)(3x− > ⇒1) 0 2 ¹ x 3

− < < 或 ¹ x>2

7、解不等式 1

4 5

2 3

2 2

+ >

+ +

− x x

x

x ，其解為_____________________。

答案： 1 ¹

x 4

− < < − 或x< − 4

解析： 1

4 5

2 3

2 2

+ >

+ +

− x x

x

x ^{2 2 2}

2 2

3 2 ( 3 2) ( 5 4)

1 0 0

5 4 5 4

x x x x x x

x x x x

− + − + − + +

⇒ − > ⇒

+ + + + >

₂ 8 2 4 1

0 0

5 4 ( 1)( 4)

x x

x x x x

− − > ⇒ + <

+ + + +

⇒(4x+1)(x+1)(x+4)<0 且 (x+1)(x+4)≠ ⇒0 1

1 x 4

− < < − 或x< −4

三. 計算題 (每題 10 分)

1、若對於一切實數 x，恆有 ax² +3x+(a+4)<0 則實數 a 的範圍為何？

解析：

對於一切實數 x，恆有

⎩⎨

⎧

<

+

−

⇒ <

<

+ +

+ 3 4 ( 4) 0

0 0 ) 4 (

3 2

2

a a a a

x ax

2 2

3 −4 (a a+4)< ⇒0 4a +16a− > ⇒9 0 (2a−1)(2a+ >9) 0 ¹; ⁹

2 2

a a

⇒ > < − 9

a 2

∴ < −

2、在邊長為 1 的正方形 ABCD 的三邊AB, BC , CD 上各取一點 P, Q, R，使 CR

BQ AP= 2 =

2 ，試求△PQR 的最小面積。 _A

B C

D

P

Q

解析：設2AP=2BQ=CR=2x⇒ AP=BQ=x CR, = x2 R

1 , 1 , 1 2

BP= −x CQ= −x DR= − x

=正方形 面積 梯形

∆PQR ABCD −∆PBQ− ∆PCQ− APRD面積

1^{2 1}(1 ) ¹(1 ) 2 ^{(1 2}

2 2 2

) 1

x x

x x x x + −

= − − − − ⋅ − ⋅

³( ¹)² 2 x 3

= − +1

3，當 ¹, ¹

3 3

x= ∆PQR= 面積最小

3、求最低次有理係數方程式使此方程式含有1 1 這三個根。則 此方程式為

_____________ 。

3 2 ,− + 與 −i

解析：

2 2 2

1 3 ( 1) ( 3) 2 2

x= − + ⇒ x+ = ⇒ x + x− = 0

2 2 2 0

2 ( 2) ( ) 4 5

x= − ⇒i x− = i ⇒x − x+ =

2 2

(x−1)(x +2x−2)(x −4x+ =5) 0