 (2)(1)() xxfx  a 2 x  1  b 2 a  4

高雄市明誠中學  高一數學平時測驗        日期：104.10.29  範 

圍  2‐2 多項式  班級  一年____班 姓 名

  座號   

一、填充題(每題 10 分)

1. 若 f x( )x³4x²8x1, g x( )a x( 1)(x2)(x 3) b x( 1)(x 2) c x(  1) d 且 f x( )g x( )， 則( , , , )a b c d ________.

答案： (1, 2, 3, 4) 解析： ∵ f x( )g x( )

∴ f(1)      1 4 8 1 4 d g(1)

(2) 8 16 16 1 7 4 (2) 3

f        c g  c

(3) 27 36 24 1 14 2 6 4 2 10 (3) 2 f       b   b g  b

(4) 64 64 32 1 31 6 12 9 4 6 25 (4) 1

f       a    a g  a 故( , , , )a b c d (1, 2, 3, 4) 2. 已知 a, b 為實數，若 f x( )x²ax b , g x( )bx² 2x a ，若 f x( )g x( )的乘積中，x²項之係

數為 0，常數項為 8，則數對( , )a b 為________.

答案： ( 4, 2)

解析： f x( )g x( )  ( a 2a b x ²) ²  ab

∴

2 0

8 a b

ab

  

 









 由得a ⁸

 b代入得 8 2

0 b b

   b³ 8 0 (b 2)(b² 2b4)0  ∴b 2 a  故4 ( , )a b  ( 4, 2)

3. 若 f x( )3x³4x²ax 除以5 x 之餘式為 2，則 a 之值為_____, 1 ( )¹

f 3 ______.

答案： 2, 4

解析： f(1)    3 4 a 5 2   a 2 3 4 2 5 1

1 1 1 3

3 3 3 3, 4 1 1 1

  

  

 

 

∴ ( )¹ 4 f 3 

4. 設 a, b 為實數，若x² x 2是 f x( )x¹⁰30x⁵ax b 的因式，則數對( , )a b ________.

答案： (11, 42)

解析： ∵x² x 2 f x( )  (x 2)(x1) f x( )

∴ f(1)0且 f( 2) 0

10 5

(1) 1 30 0

( 2) ( 2) 30( 2) 2 0

f a b

f a b

    



       



31

2 1024 960 64 a b

a b

  

      解得a11, 42b 

5. 已知 f x( )除以g x( )之商式為Q x( )，餘式為r x( )，若 a, b 為實數，且為非 0 之實數，則以af x( ) 除以bg x( )，可得商式________，餘式________.

答案： a ( ), bQ x ar x( )

解析： ∵ f x( )g x Q x( ) ( )r x( )

( ) ( ) ( ) ( ) af x ag x Q x ar x

    bg x( ) [ Q x( )] ar x( )

  b  故商式為 Q x( )

b ，餘式為ar x( ) 6. 若多項式 f x( )除以(2x3)之餘式為 16，則

(1)x f x 除以 2³ ( ) x 之餘式為_________. 3 (2)x f x 除以² ( ) ³

x2之餘式為_________.

答案： (1)54 (2)36

解析： 令 f x( )(2x3) ( ) 16Q x  ，∴ ( )³ 16 f 2 

(1)x f x³ ( )(2x3)[x Q x³ ( )] 16 x³ 故餘式為( )^{3 3} ( )³ 2  f 2 27

16 54

 8   (2) ² ( ) ( ³)[2 ² ( )] 16 ²

x f x  x2 x Q x  x 故餘式為( )^{3 2} ( )³ 2  f 2 9

16 36

 4 

7. 若 a, b 為實數，且x² x 2可整除 f x( )(x a )[(x1)²b x(  1) 18]，則數對( , )a b ____.

答案： (1, 9)

解析： ∵(x2)(x1) | f x( )

∴ ^f

 

( 2) ( 2 )[9 3 18] 0 27 3 0 9

f    a  b    b  b ( , )a b (1, 9) 8. 若x²nx1整除x³3x²mx2時，則 m ______, n  ______。

答案： 3, 1 解析：

1 2 1 1 1 3 2

1 1 (3 ) ( 1) 2 2 2 2 0

n m

n

n m

n

    

 

    

 

∴ 3     n 2 0 n 1 m 1 2n ，∴0 m 3

9. 設 f x( )x³2x²ax 以7 x 與2 x 分別除之其餘數相同，則 a3 ____，又其餘數為_______.

答案： 5,1

解析： ∵ f(2) f( 3) ，∴ 8 8 2  a    7 27 18 3a    餘數為7 a 5 f(2) 1 10. 設 f x( )3x¹²³7x¹²5x² ，則8 x 除1 f x( )的餘式為________.

答案： 13

解析： f( 1)       3 7 5 8 13

11. 小胖利用綜合除法求2x⁴x³5x²2x3除以 2x a 得餘式 18，其算 式如下，則d f ___．

答案： 23

解析： ∵b   ，∴1 2 b  3

∵2 3

2 a b

    ，∴a  3

 3

( 2) ( 2) ( ) 3

2 2

c a 

      

d      5 c 5 3 8

e 2 12  10

 3 ( 10) ( ) 15

2 2

f    e a   

∴d  f 8 1523

12. 已知多項式 f x( )，若分別以x1,x2,x3除之餘式依次為4, 2, 6 ， f x( )除以 (x1)(x2)(x3)的餘式為ax²bxc，則a2b3c __________．

答案： 25

解析： 依題意可設 f x( )(x1)Q x₁( ) 4  (x 2)Q x2( ) 2

    (x 3)Q x3( ) 6

   

(x 1)(x 2)(x 3) ( )Q x

    ax² bx c 1

x 代入得a b c    4 2

x 代入得 4a2b c    2 3

x 代入得 9a3b c   6



 得 3a b    6



 得 5a b   8



 得 2a14  a 7 代入得b  27

代入得c24

∴a2b3c 7 54 72 25

13. 設 f x( )是一個二次函數，若 f x( )之圖形通過(2007, 4)，(2008, 5)，(2009,8)三點，則 f(2015) __________．

答案： 68

解析： 利用牛頓插值法，可設

( ) ( 2007)( 2008) ( 2007) f x a x x b x c

2007

x 代入得 f(2007) c 4 2008

x 代入得 f(2008)    b c 5 b 1 2009

x 代入得 f(2009)2a2b   c 8 a 1

∴ f x( )(x2007)(x2008)(x2007)4 f(2015)    8 7 8 4 68

14. 若多項式x³4x²5x3除以 f x( )的商式為x ，餘式為 22 x ，則1 f x( ) ． 答案： x² 2x1

解析： 

1 4 3 2 2 2 4 2 1 2 1 0

   

  

  

3 2

( ) [ 4 5 3 (2 1)] ( 2)

f x  x  x  x  x  x (x³4x²3x  2) (x 2) x² 2x1 15. 若多項式 f x( )ax³2x²  ，且bx 4 f( 1) 1，則 f(1) ．

答案： 11

解析： f( 1)         a 2 b 4 1 a b 5故 f(1)    a 2 b 4 11

16. 若多項式 f x( ) x³ ax²  被x 4 x 除餘 2，則多項式2 f x( )被x 除於 ． 2

解析： f(2) 8 4a     2 4 2 a 2故 f( 2)       8 8 2 4 10

17. 設deg ( )f x 3，且 f(1) f(2)0， f(0)2， f( 1)  6，則 f x( ) ．(不必展開) 答案： (2x1)(x1)(x2)

解析： 設 f x( )(axb x)( 1)(x2) (0) 2

f  ， f( 1)  6代入得 ( 1)( 2) 2 1

( )( 2)( 3) 6 2

b b

a b a

    

 

        

 

故 f x( )(2x1)(x1)(x2)

18. 設 f x( )x³³x³²x³¹  ，則x 2 f x( )除以(x²  之餘式為________. x 1) 答案： 2

解析： 令x²   x 1 0 x²   x 1

(x 1)(x2 x 1) (x 1) 0

      

3 1 0

 x   將x³ 1代入 f x( )中得

原式(x^{3 11}) (x^{3 10}) x²(x^{3 10})    x x 2 1 x2 2x 2

   

2 2 3

x x

  

( x 1) 2x 3

     2

  x

∴所求為x 2

19. 設多項式 f x( )的次數高於三次，且 f x( )除以x1, x²2x3之餘式分別為 2 與 4x ，則以8 (x1)(x2 2x 除3) f x( )之餘式為________.

答案： 5x² 14x7

解析： f x( )(x1)Q x₁( ) 2 (x²2x3)Q x₂( )4x8 設 f x( )(x1)(x²2x3)Q x₃( )a x( ²2x 3) 4x8

(1) 2 4 8 2 5

f  a     a

∴r x( ) 5(x² 2x 3) 4x8  5x²14x7

20. 若deg ( )f x 3，且 f(0) f(1) f(2)4, f(3) 2，則 f( 1) ________.

答案： 10

解析： 設 f x( )ax x( 1)(x 2) 4 (3) 3 2 1 4 2

f       a    a 1

∴ f x( ) x x( 1)(x 2) 4

故 f( 1)       1( 2)( 3) 4 6 4 10

21. 若deg ( )f x 3，且 f(100)1, f(101)9, f(102)7, f(103)7，則 f(104)________.

答案： 21

解析： 設 f x( )a x( 100)(x101)(x102)b x( 100)(x101)c x( 100) 1 (101) 1 9 8

(102) 2 8 2 1 7 5

(103) 6 5 3 2 8 3 1 7 2

f c c

f b b

f a a

    

        

          



∴ f x( )2(x100)(x101)(x102) 5( x100)(x101) 8( x100) 1 (104) 2 4 3 2 5 4 3 8 4 1

 f           48 60 32 1   21

22. 4(^{3 2 2})⁴ 8(^{3 2 2})³ 15(^{3 2 2})² 13(^{3 2 2}) 4

2 2 2 2

   

    ________.

答案： 5

解析： 設 f x( )4x⁴8x³15x² 13x 4

又 ^{3 2 2} 2 3 2 2

x 2  x   4x² 12x  9 8 4x²12x 1 0 1 1 1

4 12 1 4 8 15 13 4 4 12 1 4 16 13

4 12 1 4 12 4 4 12 1 5

 

     

 

 

 

  

  

即 f x( )(4x² 12x1)(x²   x 1) 5 (^{3 2 2}) 5

f 2 

23. 若 f x( )x⁴5x³4x²6x 2 a x( 1)⁴b x( 1)³c x( 1)²d x(   ，則1) e ( , , , , )a b c d e  ________，且 f( 0.99) ________. (四捨五入到小數點第二位)

答案： (1, 9, 25, 33,18),  17.67 解析：

1 5 4 6 2 1 1 6 10 16 1 6 10 16 , 18 1 7 17 1 1 7 17 , 33 1 8 1 1 8 , 25 1 1 1, 9

    

   

  

   

  

  



 



( , , , , )a b c d e (1, 9, 25, 33,18) 

∴ f x( )(x1)⁴9(x1)³25(x1)²33(x 1) 18

4 3 2

( 0.99) (0.01) 9(0.01) 25(0.01) 33(0.01) 18

f       17.67

24. 若 a, b 為實數，且

4 3 2

2

6 1

( ) 2 1

x ax x bx

f x x x

   

   為二次函數，則數對( , )a b _____________.

答案： (0, 0)

解析： ∵ f x( )為二次函數

1 2 1 1 6 1

1 2 1 ( 2) 5

( 2) (2 4) ( 2) (2 1) ( 2) 1

a b

a b

a a a

a a b

     

 

  

    

     

1 ( 2) 1

1 2 1 2 ( ) 0

a

a a b

  

  

  

∴ 2 0 0

0 0

a a

a b b

 

 

    

 

25. 設 f x( )為 x 的三次多項式，g x( )為 x 的四次多項式，則 (1) f x( ²)是 x 的____次多項式.

(2) f x( )g x( )是 x 的____次多項式.

(3) f x( )g x( )是 x 的____次多項式.

答案： 6, 7, 4

解析： 令 f x( )ax³bx² cx ，d a b c d, , , 為實數

(1) f x( ²)a x( ^{2 3}) b x( ^{2 2}) c x( ²) d ax⁶bx⁴cx²d deg (f x²) 6 (2)deg( ( )f x g x( ))deg ( )f x deg ( )g x 7

(3)deg( ( )f x g x( ))deg ( )g x 4

26. 設 ( )f x (x³⁷4x²³4x¹⁵3x²1)(x⁷2x⁶5x³ x 2)

2 44

0 1 2 44

a a x a x a x

    … ，則：

(1)a₀  a₁ a₂ … a₄₄ ____.

(2)a₁  a₃ a₅ a₇  … a₄₃ ____.

答案： 15,20

解析： a₀ a₁ a₂  … a₄₄  f(1)  ( 3) (5) 15

1 3 5 43

(1) ( 1) ( 15) 25

2 2 20

f f

a a a  … a        

27. 設 f x( )x³5x²kx 可被9 x 整除，則 k = ______，又3 f x( )0之根為______.

答案： 3 ; 3, 3,1

解析：  f(3)0， 27 45 3∴   k 9 0，∴k 3 1  5 + 3 + 9 3

+ 3  6  9 1  2  3 + 0

∴ f x( )(x3)(x3)(x1) ∴ f x( )0之三根為 3, 3,1

28. 設 f x( )x³2x²4x1, ( )g x  f(2x ，則以 23) x 除1 g x( )的餘式為________.

答案： 7

解析： ( ¹) (2) 8 8 8 1 7 g 2  f     

29. 求以x²2x3除(2x² x 6)³所得之餘式為 ．

答案： 27 x162

解析： 2x²  x 6 2(x²2x 3) 3x

∴原式[2(x²2x 3) 3 ]x ³(x²2x3)

餘式同( 3 ) x ³(x²2x3) 故餘式為27x162

30. 設多項式 f x( )除以x ，1 x ，2 x 之餘式依序為 3，7，13，則3 f x( )除以(x1)(x2)(x3) 之餘式為 ．

答案： x²  x 1

解析： f x( )  (x 1) Q x₁( ) 3

(x 2) Q x2( ) 7

   

(x 3) Q x3( ) 13

   

(x 1)(x 2)(x 3) Q x4( ) a x( 1)(x 2) b x( 1) 3

          

把x3，2代入得 2 1 2 3 13 1

1 3 7 4

a b a

b b

      

 

     

 

故餘式為(x1)(x 2) 4(x  1) 3 x² x 1

27 54

1 2 3 27 0 0 0 27 54 81

54 81 0 54 108 162

27 162

 

     

  

 

 

 