a =− 2 a = 22 ab +=×+= 34 10 2 ab += x = 2 x = m =− 3 m =

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：93.11.18 班級

範 圍

3-13 克拉瑪公式

+Ans 座號

姓 名 一. 選擇題 (每題 10 分)

1、( D ) 聯立方程式 若除(0,0,0)外尚有其他解時，則常數 m (A)2 (B)−2 (C)3 (D)−3 (E)4

2 0

3 4

5 2

x y z

x y z

x y mz

− − =

⎧⎪ + − =

⎨⎪ − + =

⎩

0 0

=

解析解析：除(0,0,0)外尚有其他解，即無線多解，：

2 1 1 3 1 4 0 5 2

m

− −

− =

−

, , 5(m+ =3) 0 ∴∴

m

= −3

2、( B ) 下列那一組方程組有無限多組解？ (A) 2 2 3 6

x y

x y

6

− =

⎧⎨ + =

⎩ (B) 3 12 6 0 4 16 8

x y

x y

+ + =

⎧⎨ + = −

⎩ (C) 2 3 4

4 6 5

x y

x y

⎧ + =

⎨ + =

⎩ (D) 5 (E) 5 7

y x

⎧ =

⎨ =

⎩ 7

6 2 3 2 4

x y

y x

+ =

⎧⎨ + =

⎩

3、( B ) 設9x+3y+ =z 31, 3x+ +y 9z=48, x+9y+3z=41，則

x

= (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5

解析解析：： 9 3 3 ∴∴ ∴∴ 9 3 4

x y z

x y z

+ + =

⎧⎨ + + =

⎩

1

1 ^{(27 1)− x=93 41−}

x

= 2

4、( B ) 若

6 2 1 0

4 0

x y

ax by

⎧ + + =

⎪⎨

⎪ + − =

⎩

與

4 1

4 0 3 4 26

x y ax by

⎧ − − =

⎪⎨

⎪ − − =

⎩ 0

有相同的解，則 2a b+ = ？

(A)0 (B)10 (C)20 (D)40 (E)80

解析解析：：

6 2 1 4 1

4 x y

x y

⎧ + = −

⎪⎪⎨

⎪ − =

⎪⎩

⇒ 2

1 2 x y

⎧ =

⎪⎨ = −

⎪⎩ 代入代入

∴∴

2 1 4

2 6 2 26

a b

a b

⎧ − =

⎪

⎪ + =

⎩

⇒ 3

⎨ 4 8 , , ∴∴

3 1

a b a b

⎧ − =

⎨ + =

⎩

3 4

a b

⎧ =

⎨ =⎩

∴

∴ 2

a b

+ = × + =102 3 4

5、( A ) 設方程組 6 ( 2) 7 17 00 ( 5) 2 8 24

x a y a

a x y a

+ − − + =

⎧⎨ + − + + =

⎩ 無解，則 a=？ (A)−2 (B)−1 (C)0 (D)1 (E)2 解

解析析：∵：∵方方程程組組無無解解，，∴∴ ^{6 2}

5 2

a a

= − ≠

+ −

7 17 8 24

a a

− + +

∴∴

∴∴ 或−或

2 3 10 12

a + a− = − ⇒a²+3a+ = 02 2

a

= − −11（（代代入入不不合合，，∵∵^{6 3 2}

4 2 1

4 6

= − =

− ）） 二. 填充題 (每題 10 分)

6、利用克拉瑪公式解方程組 ，(x, y, z) =______。

21 22 27 50 22 23 28 51 23 24 25 52

x y z

x y z

x y z

+ + =

⎧⎪ + + =

⎨⎪ + + =

⎩ 答

答案案：(：(−2828,, 2299,, 00))

7、設三平面2x+ay− =z 1, 4x−3y+3z=5, 3x+ + =y z b相交於一直線 L，則 ______, ______。

a

=

b

=

答

答案案：5：5;; 33

解析解析：：

2 1

4 3 3 3 1 1

a

−

− = 0 ∴∴

a

=5，，

2 1 1 4 5 3 0 3

b

1

−

= ∴∴

b

= 3

8、方程組 的解為 ______,

5 2 3 2 5

3 2 13

x y z

x y z

x y z

+ + =

⎧⎪ + − = −

⎨⎪ − − =

⎩

5

2

x

= y=______。

答案答案：3：3;; −−22

解

解析析：： ,, 5 2 3 2 5

3 2 13

x y z

x y z

x y z

+ + =

⎧⎪ + − = −

⎨⎪ − − =

⎩

5

2 x=∆^x =3

∆ , ,

y

∆^y 2

= = −

∆ , , z=∆^z = −2

∆

9、三年一班男女同學共有 48 人，男生的平均分數是 76 分，女生的平均分數是 82 分，又 全班平均分數是 81 分，則班上男生有________人，女生有________人。

答

答案案：8：8;; 4400

解析解析：設：設男男生生

x x

人，人，女女生生

y y

人；人； 48

76 82 81( )

x y

x y x

⎧ + =

⎨ + = +

y

⎩ ，∴，∴

x

=8, , y=40 男

男生生88人，人，女女生生4400人 人

10、若方程組

5 3

2 2

4 1

x y z

1

0

x y z a

x y bz

+ − = −

⎧⎪ + + =

⎨⎪ + + =

⎩

有無限多解，求 a b− = ________。

答

答案案：4：400 解

解析析：方：方程程組組有有無無限限多多組組解解

∴∴∆

5 3 1 0 2 1 2 1 4

b

−

= = = 5

b

−8+6+1 40 6− −

b

，，∴∴

b

= −41

∆z

5 3 1 0 2 1

1 4 10

a

−

= = = 50 8+3 +1 20−

a

−

a

−60，，∴∴

a

= −1

∴∴a b− = − − −1 ( 41)=40

11、設矩陣 A 的元素a_ij定義為a_ij =2

i

−

j

² − ,1 i=1, 2, 3, j=1, 2，則A=__________。

答案答案：：

0 3 2 1 4 1

⎡ − ⎤

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

解析解析：：

a

₁₁= − − =2 1 1 0,,

a

₁₂ = − − = −2 4 1 3

21 4 1 1 2

a

= − − = , ,

, ,

∴∴

22 4 4 1 1

a

= − − = −

31 6 1 1 4

a

= − − =

a

₃₂ = − − =6 4 1 1

A=

0 3 2 1 4 1

⎡ − ⎤

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

12、方程組 ，則

(1)當 ______時方程組有無限多組解，

(2)當 ______時方程組無解。

2 3

3 2 3 ( 3)

x y z k

kx y z

x k y z

+ + =

⎧⎪ − − =

⎨⎪ + − − =

⎩ 3

k

=

k

=

答案答案：(：(11)) 44 ((22)) ––1100

解析解析：：

2 3 1 1 3

3 3 1

k k

∆ = − − =

− −

0，，(k+10)(k−4)=0 ∴∴

k

=4或或−−1100

當當 , ,

2 3 4

4 4 3 2

3 3

x y z

k x y z

x y z

+ + =

⎧⎪

= ⎨ − − =

⎪ + − =

⎩

1 2 3

6x 2y 2z 6

+ ⇒ + − =

1 2 ∴有∴有無無限限多多組組解解

當 當

2 3 10

10 10 3 2 3 13 3

x y z

k x y z

⇒

x y z

+ + = −

⎧⎪

= − ⎨− − − =

⎪ − − =

⎩ 8

5 10 7 4 8 2

x y

x y

− = −

⎧⎨− + = −

⎩ ∴無∴無解解

13、甲乙丙三人合作一工程，甲乙二人合作 20 天可完工，乙丙二人合作 10 天可完工，而 甲丙二人合作 12 天可完工，則甲獨作________日可完工，乙獨作________日可完工。

答

答案案：6：600;; 3300 解

解析析：設：設甲甲獨獨作作

x x

天可天可完完工工，，乙乙獨獨作作

y y

天可天可完完工工，，丙丙獨獨作作

z z

天可天可完完工工 1 1 1

20 1 1 1

10 1 1 1

12

x y

y z

x z

⎧ + =

⎪⎪

⎪ + =

⎨⎪

⎪ + =

⎪⎩

∴∴1 1 1 1 1 1 , , 60 30 15

x

=

y

=

z

=

∴∴

x

=60, , y=30, ,

z

=15，甲，甲獨獨作作6060天可天可完完工工，，乙乙獨獨作作3030天可天可完完工工

14、解方程組

4 3

2 5 1 1 1

6 4

2 5 1 1 1

x y x y

x y x y

⎧ + =

⎪ + + + +

⎪⎨

⎪ + =

⎪ + + + +

⎩

，則2x+5y+ =1 ________，又y=________。

答案答案：−：−22;; −−11 解

解析析：令：令 1 1

2 5 1

A

, 1

B

x y

=

x y

=

+ + + +

4 3 1 1

, 1

6 4 1 2

A B

A B

A B

+ =

⎧ = − =

⎨ + =

⎩ ，，∴∴2x+5y+ = −1 2,, x+ + =y 1 1，，∴∴

x

=1, , y= −1

15、解方程組 則其解為 ______。

4 3

1 3 2 3

x y z

x y z

x y

+ + =

⎧⎪ + + = −

⎨⎪ + =

⎩

2

答案答案：：

1 2 3

2

x t

y t t

z t

⎧ = −

⎪ = ∈

⎨⎪ = − −

⎩

，

解 解析析：：

1 3 6 3 6

x y z

y z y z

+ + = −

⎧⎪− − =

⎨⎪− − =

⎩

∵ ⇒

1 2 3

2

x t

y t

z t

⎧ = −

⎪ =⎨

⎪ = − −

⎩

,

, t∈

16、解方程組 則其解為 ______。

2 1

2 8 5

x y z

x y z

x y z

− − =

⎧⎪ + + =

⎨⎪ − − =

⎩

2 4 答案答案：無：無解解

解析解析：： ∴無∴無解解

2 2

10 6 2 5 3

x y z

y z y z

+ + =

⎧⎪− − =

⎨⎪− − = −

⎩ 3

17、若兩方程組 與

2 8

5

2 11

x y z ax y z x y z

+ − = −

⎧⎪ + + =

⎨⎪ − + =

⎩

2 1

2 3 12

2 15

x by z

x y z

x y cz

+ − =

⎧⎪ − + =

⎨⎪ + − =

⎩

有相同解，求數對( , , )a b c =________。

答案答案：：(4,1,15)

解析解析：：⎪

⎨ 代入代入，，∴∴

2 8

2 3 12

2 11

x y z

x y z

x y z

+ − = −

⎧

− + =

⎪ − + =

⎩

⇒

6 6+ 1

b a

c

3

6 1

x y z

⎧ =

⎪ = −

⎨⎪ = −

⎩

6 6 1 1 3 6 1 5 5

− + =

⎧⎪ − − =

⎨⎪ − =

⎩

⇒

4 1 15

a b c

⎧ =

⎪ =⎨

⎪ =⎩

，∴，∴( , , )a b c =(4,1,15)

18、設三平面x+2y− =z ax, 3x+ +y 3z=0, 2x+4y+az=0恰相交於一直線時，求 ________。

a

= 答

答案案：2：2或或5 5 解

解析析：∵：∵三三平平面面相相交交於於一一直直線線

∴∴

1 2 1

0 3 1 3 2 4

a

a

− −

∆ = = =a(1− −a) 12+12+2 12(1− − − aa) 6

∴∴a²−7a+10=0，∴，∴

a

=2或或5。5。

19、若方程組

2 4 3 2

3 7 2

x y z

x y z b

x y az

+ + =

⎧⎪ − + =

⎨⎪ − + = −

⎩

有無限多組解，則 a=______, b = ______。

答

答案案：−：−44;; 55

解析解析：：

1 1 2 3 2 1 3 7

a

∆ = − =

−

0 ∴∴

a

= −4，，

1 1 4 3 2 3 7 2

z

b

0

∆ = − =

− −

∴∴

b

= 5

20、設聯立方程組 2 3 3

2 8

x y

bx ay

− =

⎧⎨ + =

⎩ 與 4 5 1

5

x y

ax by

+ = 7

⎧⎨ − =

⎩ ，有相同的解x=α, y=β，則數對 ( , )α β =_______；又數對( , )a b =________。

答

答案案：(：(33,,11));; ((22,,11))

解析解析：： 2 3 3 ∴∴ , , ∴∴ 4 5 1

x y

x y

− =

⎧⎨ + =

⎩ 7 ^y=1

x

=3 ( , )α β =(3,1)

3 5

6 8

a b

a b

⎧ − =

⎨ + =

⎩ ∴∴

b

=1,,

a

=2 ∴∴( , )a b =(2,1) 21、若xyz≠0且滿足 3 5 0

2 4 7 0

x y z

x y z

+ + =

⎧⎨ + + =

⎩ ，求

2 2 2

2 2

3 5 2 4 4 ²

x y z

x y z

+ +

+ + 之值為______。

答 答案案：：⁸

9 解

解析析：x：

x：

：y

y：

：z

z

3 5 4 7

= ：：5 1

7 2 ：：1 3

2 4 =11：：33：：((−−22)) 令令x=t y, 3 , 2= t z = − t，∴，∴

2 2 2

2 2 2

3 5 2 4 4

x y z

x y z

+ + + + ==

2 2

2 2

27 20 2 36 16

t t t

t t

+ +

+ +

2

t

2

48

= 54= 8 9

22、根據調查，在華人社會，身高 H 公尺，體重 W 公斤的人中，其平均體表面積 S 平

方公尺，可以用數學模型 來表示，這裡的 a, b 是常數。又知體重一

樣，身高多 5 公分，平均體表面積會增加 0.03 平方公尺；而身高一樣，體重多 4 公 斤，平均體表面積會增加 0.05 平方公尺。根據模型，身高 170 公分，體重 64 公斤，

應該有 ______ 平方公尺的平均體表面積。

0.01

S

=

aH

+

bW

−

答

答案案：1：1..8811 解

解析析： ：

1 1

0.01

0.03 ( 0.05) 0.01 0.05 0.03 0.6

S aH bW

S a H bW

a a

= + −

+ = + + −

= ∴ = 同

同理理

2 2

0.01

0.05 ( 4) 0.01 0.05 4 0.0125

S aH bW

S aH b W

b b

= + −

+ = + + −

= ∴ =

0.6 1.7 0.0125 64 0.01 1.81

= × + × − =

所求

23、設 x, y, z 滿足3x+ − =y z 3, x− +y 2z+ =4 0，則

z

²−2

x

+2

y

之最小值為______；此時 ______。

x

= 答案答案：4：4;; ¹

4

解析解析：： 3 3 ∴∴ 2 4 0

x y z

x y z

+ − =

⎧⎨ − + + =

⎩ x=t y, 2 7 , 1 4= − t z= − − t

∴∴

z

²−2

x

+2

y

=16t²− + =8t 5 (4

t

−1)²+ ≥4 4，∴，∴最最小小值值44，，此此時時 ¹ x= =t 4 24、解 4 6

2 3 7

x y xy

x y x

+ =

⎧⎨ + =

⎩

y

，則( , )x y =________或________。

答案答案：(：(00,,00));; ((11,,¹ 2) ) 解

解析析：若：若

x

=0, , y=0為一為一組組解解

若 若

1 4 6 0, 0

2 3 7 y x

x y

y x

⎧ + =

≠ ≠ ⇒ ⎨⎪⎪

⎪ + =

⎪⎩

∴

∴ 1, ¹ x= y= 2