2lm1i x  2lm1i x  無窮遠處的極限

無窮遠處的極限

單維彰‧2014 年 7 月 之前看過的函數極限，都是 lim ( )

x aF x

 這種形式，亦即在 x「趨近」於某個實數 a 時，求函數 ( )F x 的值。現在討論 lim ( )

x F x

 形式的極限，也就是當 x 毫無節制地越 來越大時，求函數 ( )F x 的值；稱為「x 趨向無窮大的函數極限」，或「無窮遠處 的函數極限」。

最基本的知識，當 ( )F x 是一個多項式，舉例而言F x( )2x² ，我們知道1 它的圖形是一條開口向上的拋物線，「大域」圖形（如下）可以看得出來函數是

「無上界」的：當 x 越來越大，F x( )2x² 也是越來越大。這種「無上界」的1 情況，記作

2

l m i 1

x

x



  

反方向，當 x 朝著負的方向越來越遠時，記作 x  。以上圖形也顯示當 x 朝著反方向趨向負無窮大時，F x( )2x²  仍然是無止境的越來越大。這種情1 況記作

2

l m i 1

x

x



  

再看一個三次函數的例子：F x( )x³x² ，我們已經知道它的「大域」1 圖形就像y ，如下圖。在這個情況下，當 x 朝右越來越遠， ( )x³ F x 的值無盡地 上升，但是當 x 朝左越來越遠， ( )F x 的值無盡地下降。像這種情況，我們記作

3 2

l m i 1

x

x x



   

lim

1

x

x x



   

以上兩種情況，可以推廣到所有（非零次）的多項式函數。簡單地說，就是

「多項式函數無界」的觀念，記作

lim ( )

x

F x



 

但是，多項式以外的函數，就沒這麼單純了。例如一次倒數函數 1 ( )

F x  的x 圖形如下。很明顯地，當 x 越來越大， ¹

x 當然就越來越小，卻永遠不是 0。

上圖的狀況，用極限符號表達為

lim 1 0

x^

x 

lim 1 0

x^

x 

像這種「圖形越來越靠近」水平線 x 軸的情形，x 軸被稱為函數 1

y 之圖形的x

水平漸近線。其實當 x  時，因為 x 是正數，1

x是從正數遞減到 0；相對地，

當 x  時，因為 x 是負數，1

x是從負數遞增到 0。所以，有時候也記作

lim 1

0 0

x

x





  

1

lim 0 0

x

x





  

可是，無窮遠處的極限不只有發散（趨向 ）和趨近於 0 兩種情況。粗略 地分類，無窮遠處的極限有「存在」和「不存在」兩大類結果，其中「不存在」

的情況有兩種：「無界」地發散到 或 ，或者「有界」但是並不靠近任何一個 固定的實數。同學們或許已經學過的正弦函數sin x就是無窮遠處極限不存在的

（有界但非定數）典型例子。ysinx之圖形如下。

i im s n

x

l x

 不存在

無窮遠處的極限「存在」的意思就是隨著 x  或者 x   ， ( )F x 的值越 來越靠近某個固定的實數；那個固定的實數，就是「極限」。前面看到極限為 0 的情況，但是當極限存在時，當然不一定是 0，任何實數都可能。例如觀察函數

2 2

2 1 ( ) 1 F x x

x

 

 的圖形：

很明顯地，當 x  時， ( )F x 的值從下方遞增而越來越靠近一個定數，那個定 數不是 0。當函數值靠近一個定數 L，函數的圖形就會靠近水平線 y ，而它當L 然就是函數圖形的「水平漸近線」。如下圖，我們看到y 是 ( )2 F x 的水平漸近 線。

這種情況記作

2

im 2

1 2 l 1

x

x



x

 



2

li 2

1

m 1 2

x

x



x

 



一般而言，當yF x( )的圖形有水平漸近線yL，意思是說 lim ( )

x F x L

  _或者 lim ( )

x F x L

 