2 極限 (limits) 與
導數 (derivatives)
2.6 無窮遠處的極限與水平漸近線
無窮遠處的極限與水平漸近線
這一節中我們想觀察函數的圖形在 x 趨近正、負無窮大時，
其函數值的變化行為。
我們考慮這樣的函數：
注意到分母恆為正，因此函數的定義域為整個實數。
無窮遠處的極限與水平漸近線
下表與圖給出了此函數大致上的圖形與一些函數值。
圖一
無窮遠處的極限與水平漸近線
從電腦繪圖中我們可以發現，當 x 的值越大（或者說離原點 越遠），此時 f(x) 的值越接近 1 。
或者反過來說，我們發現 f(x) 的值可以越靠近 1 ，只要我們 取 x 夠大，或者取 x 負越多。
我們把這個極限寫成：
無窮遠處的極限與水平漸近線
更一般的，我們以這樣的極限符號
表示 f(x) 會逼近 L 當 x 趨近正無窮大的時候。
我們實際定義如下
[定義]
令 f 為一實函數定義域包含 (a,∞) 。
我們定義 f(x) 在 x 趨近正無窮大時的極限為 L ，意即 limx→∞f(x) = L ，
無窮遠處的極限與水平漸近線
與一般極限相同， 也可以寫作
f(x) L 當 x
這類的極限我們大致上刻劃如下圖：無窮遠處的極限與水平漸近線
注意到 f(x) 的值在無窮遠處趨近 L 的方式可能不太一樣，如 下面兩圖所刻畫：
無窮遠處的極限與水平漸近線
回到原先的題目，經由數值計算，我們也會發現當 x 趨近負 無窮大時， f(x) 的值也會趨近 1 。
而只要 x 負得越多， f(x) 就可以任意地靠近 1 ，因此我們同 樣有類似的極限：
圖一
無窮遠處的極限與水平漸近線
我們實際做一個定義如下：
[定義]
令 f 為一實函數定義域包含 (-∞,b) 。
我們定義 f(x) 在 x 趨近負無窮大時的極限為 L ，意即 limx→ –∞ f(x) = L ，
表示只要當 x 負得越多， f(x) 的值可以任意靠近 L 。
無窮遠處的極限與水平漸近線
同樣 f(x) 在負無窮遠處會趨近 L 的行為也可能大不相同，我 們可見下兩圖的刻畫：
無窮遠處的極限與水平漸近線
觀察到不管是 x 趨近到正或負無窮大，若 f(x) 會趨近一個固 定的值 L ，從前面的圖可以發現， f(x) 的函數圖形在 x 很大 或者 x 負很多的時候，越貼近 y = L 這條線。
此時我們稱 y = L 為 y = f(x) 的一條水平漸近線 (horizontal
asymptote) 。
[定義]
我們說 y = L 為 y = f(x) 的一條水平漸近線，表示 f(x) 在 x 趨 近正或負無窮遠處時， f(x) 的值會趨近 L ，意即
limx→∞ f(x) = L 或者 limx→−∞ f(x) = L
範例二
試求極限值： 與
解:
觀察到當 x 越大， 1/x 的值會越小：
事實上只要取 x 夠大， 1/x 的值便越接近 0 。
範例二 / 解
因此我們有
= 0
同樣的道理，當 x 負得越多， 1/x 的值同樣也越接近 0 ， 因此我們也可以知道
= 0
cont’d
範例二 / 解
因此 y = 0 （也就是 x 軸） 是曲線 y = 1/x 的水平漸近線。
見下圖：
cont’d
無窮遠處的極限與水平漸近線
一些基礎的極限結果，我們同樣也列成定理：
[定理]
給定 r > 0 為一有理數，則
limx→∞ 1 / xr = 0 。 另外若 xr 對任意 x 都有定義，則
limx→−∞ 1 / xr = 0 。
範例三
試求極限 解:
注意到當 x 變大時，此分式的分子與分母的多項式均趨近到 無窮大，極限不存在（注意到趨近到無窮大並不是一個數 字！），無法使用極限的除法，我們必須透過化簡來求得這 個極限。
由於 x 為趨近無窮大，因此足夠大的 x 便滿足 x ≠ 0 ，此時
範例三 / 解
在這個例子當中，分子分母次數最高的項為 x2 ，除掉：
cont’d
範例三 / 解
cont’d(如果個別極限存在，則可以使 用極限的除法)
(由於個別極限存在，因此可以 使用極限的加減法)
範例三 / 解
藉由同樣的方法，我們也可以得到極限在 x 趨近 – 時會趨近
右圖大致上刻畫出這個有理函 數，其水平漸近線即為 y =
cont’d
範例四
試求下列函數圖形之水平與鉛直漸近線
解:
同樣我們除以分子分母之中的最高次項 x ：
範例四 / 解
因此直線 y = 為圖形的一條水平漸近線
cont’d
(同樣，依照極限運算的 規則，先計算各自的極 限是否存在)
範例四 / 解
而當 x 趨近負無窮大時，此時 = |x | = –x 。 此時我們除掉 x ，得到：
cont’d
範例四 / 解
因此
cont’d
範例四 / 解
可知道，直線 y = – 也為一水平漸近線。
另外，鉛直漸近線會發生在分母趨近 0 的地方，也就是 3x – 5 = 0 時，
當 x 非常靠近 ，且 x > 時，分母 3x – 5 非常接近 0 且 為正數，而分子 恆正，因此 f(x) 在此時為正，函 數值趨近無窮大：
cont’d
範例四 / 解
而當 x 接近 但 x < 時，此時 3x – 5 < 0 為負，因此 f(x) 的值為負：
我們刻劃這些極限如右圖，並劃出 水平與鉛直漸近線：
cont’d
在無窮遠處趨近無窮大的極限
在無窮遠處趨近無窮大的極限
與一般趨近無窮大的極限相同，我們用以下的符號
表示 f(x) 的函數值在 x 趨近無窮遠處時，逼近無窮大。
而下面分別是 x 趨近正、負無窮大， f(x) 分別趨近正負無窮 大的符號：
範例九
試求 與
解:
我們可以觀察：當 x 越大， x3 會變得更大。
例如，
因此事實上我們可以取 x 夠大，使得 x3 可以任意大。所以 我們記作：
範例九 / 解
同樣，當 x 負得多時， x3 會負得更多，因此有
這些對於極限的觀察我們可以從下圖的刻畫中看出：
cont’d
在無窮遠處的極限
之精確定義
在無窮遠處的極限之精確定義
我們重新回想 x 趨近無窮遠處之極限的定義，並改寫成嚴格 ε – δ 語言的形式：
換句話說，對於任意小的誤差容忍度 ε ，我們可以取 x 足夠 大，只要 x > N ， f(x) 跟 L 間的誤差便會小於 ε 。
[定義]
令 f 為一實函數定義域包含 (a,∞) 。
我們說 f(x) 在 x 趨近正無窮大時的極限為 L ，表示給定任意 ε
> 0 ，存在 N 夠大使得若 x > N 則有 | f(x) – L | < ε 。
在無窮遠處的極限之精確定義
以圖表來說明，這個極限的意思便是，給定了一個誤差容忍 度 ε ，我們可以取到一個 N ，使得圖形在 x = N 的右邊以後，
y = f(x) 的圖形都會落在 y = L + ε 與 y = L – ε 之間。如下圖 所示：
在無窮遠處的極限之精確定義
跟一般的極限一樣，若此極限存在，當今天給定了一個更小 的誤差容忍度 ε ，就有可能必須取更大的 N ，使得 y = f(x) 在 x = N 右邊的圖形在誤差容忍度範圍之內：
在無窮遠處的極限之精確定義
在 x 趨近負無窮大時的極限，我們也作類似的定義：
[定義]
令 f 為一實函數定義域包含 ( – ∞, b) 。
我們說 f(x) 在 x 趨近負無窮大時的極限為 L ，表示給定任意 ε
> 0 ，存在 N 夠大使得若 x < – N 則有 | f(x) – L | < ε 。
範例十四
利用前述 ε – N 語言的定義，證明 = 0.
解:
首先我們仍然需要做一些估計，先給定一個
ε > 0 ，我們需
要找到一個 N 使得：當 x > N 則有
為了計算方便，由於 x 趨近正無窮大，我們便先假設 x > 0 ， 因此有
範例十四 / 解
是故取 N = 1/ε ，此時
若 則有
因此利用前述的定義，我們可知
= 0
cont’d
範例十四 / 解
下圖大致上刻畫出，在不同的誤差容忍度
ε 時，我們可以取
到可以滿足誤差的 N 的情形：cont’d
圖十八
在無窮遠處的極限之精確定義
最後，在無窮遠處趨近無窮大值的極限也可以用嚴格的語言 寫下「只要取 x 足夠大， f(x) 的函數值可以任意的大」這件 事情，如下圖所刻畫：
在無窮遠處的極限之精確定義
我們最後作一個定義：
同理，若趨近負無窮大，則是定義改成 f(x) < – M 即可。
而若是 x 趨近負無窮大，則在定義中改成 x < – N 即可。
[定義]
令 f 為一實函數定義域包含 (a, ∞) 。
我們說 f(x) 在 x 趨近正無窮大時，趨近無窮大 ，表示給定任意 大的 M > 0 ，存在 N 夠大使得若 x > N 則有 f(x) > M 。
