4 微分的應用

4 ^{微分的應用}

4.4 ^{羅必達法則}

羅必達法則

假設我們想了解以下函數的行為

當然 F(x) 並未在 x = 1 有定義，但我們想知道其在 x = 1 附 近的行為，在極小範圍內的行為，也就是這個極限

羅必達法則

不幸的是，由於分母的極限為 0 ，因此無法利用極限的四則 運算。而且分子、分母同時趨近到 0 ，也暫時看不出要如何 比較。

更一般的情況，我們有這樣的極限形式：

其中 f(x)  0, g(x)  0 當 x

 a 。

這種不確定是否存在的極限形式，我們稱為 0/0 不定型式的 極限。

羅必達法則

當遇到有理函數時，不定型式可能可以透過約分消除：

也或者在討論 sin(x) 微分時，我們利用幾何圖形觀察夾擠得

羅必達法則

但上述的方法並不一定對一般的不定型式極限都可以使用。

另外一種不定型式是例如下者：考慮 x 趨近無窮大，想看此 函數在無窮遠處時的漸近線

我們發現分子跟分母都會跟著 x 趨近無窮大。於是直覺上，

此極限便是觀察分子或者分母誰「跑得比較快」。若是分子 趨近無窮大的速度快很多，則極限為無窮大 ，若是分母快很 多，則極限便是 0 。若是分子分母趨近無窮大的速度等級差 不多，那麼極限應該會是一個正數。

羅必達法則

更一般來說，在這個例子裡面我們處理的是這樣的極限：

其中 f(x)  (或 – ) ，以及 g(x)  (或 – ) 。這個 極限也是無法從分子、分母函數各自的極限得知比值極限的 不定型式。

這個同時趨近無窮大的極限我們稱為， / 不定型式的極

羅必達法則

在這一節中我們要介紹一個比較有系統的辦法，專門處理不 定型式極限的方法，稱為羅必達法則 (L’Hospital’s Rule) 。

羅必達法則

羅必達法則

對於 0/0 不定型式極限，羅必達法則的證明比較簡單。

考慮 f, g 在 a 附近為連續可微，其值 f(a) = g(a) = 0 且 g

(a)



範例一

求

解:

檢查條件

以及

範例一 / 解

知道極限為 0/0 不定型，利用羅必達法則：

cont’d

注意到：後式的極限存在，才 能保證原極限存在。

其他不定形式極限

不定形式乘積的極限

假設若

lim

_xa f(x) = 0 及

_xa g(x) = (或

_xa

想像上，若 f 收斂到 0 的速度較快，則極限值為 0 ，而若 g 增長的速度較快，則極限值似乎傾向於 或者 –

但是也有可能收斂到非是 0 或者無窮大值。

這樣形式的極限，我們稱為 0



不定形式乘積的極限

我們可以把乘積 fg 改寫成分數形式：

於是極限的形式便轉換成原先我們知道的 或 ∞/ ∞ 的形式，

此時我們便可以使用羅必達法則。

範例六

計算 解:

當 x



不定形式乘積的極限

備註:

雖然我們也可以將範例六的極限寫成 0/0 的形式

但在這個例子當中，若我們使用羅必達法則，只會讓原本的 極限變得更複雜：分母的微分得到 -1/x(ln(x))² 的次數只會增 加更多。

一般來說，我們並不一定知道轉換成什麼形式會比較好，只

不定形式差的極限

不定形式差的極限

給定 lim

_xa f(x) = ， lim _xa g(x) = ，考慮這個極限

同樣，我們也無法預先知道這個極限值會是什麼情況，這種 類型的極限稱為 – 不定形式的極限。

為了比較 f 跟 g 函數增長的速度到底是誰比較快，很多情況 我們會利用分子有理化、通分、提出公因式等等技巧，將原 先的極限轉化成 或者 / 不定形式的極限。

範例七

計算 解:

注意到極限中的函數 sec x





這裡我們將三角函數換成正餘弦，提出公因式：再來就可以 使用羅必達法則了

不定形式的指數極限

不定形式指數的極限

指數型式的不定極限有以下幾種：

1.

2.

3.

不定形式指數的極限

不管是哪一種，如果遇到指數型的極限，我們可以考慮取自 然對數：

令 y = [f(x)]

^g(x)

[f(x)]

^g(x)

g(x) ln f(x)

此時這三種不定極限，便可以轉換成 0



範例八

計算 解:

先考慮當 x  0⁺ 時，有 1 + sin 4x  1 ，以及 cot x  因此這是一個指數不定形的極限。

先令

y = (1 + sin 4x)

ln y = ln[(1 + sin 4x)^{cot x}] = cot x ln(1 + sin 4x)

範例八 / 解

根據羅必達法則，

接著我們要從 ln y 的值還原 y 的值：

cont’d