應用螺旋理論研究串聯式與並聯式機構之剛度分析(I)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

應用螺旋理論研究串聯式與並聯式機構之剛度分析(I)

計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC91-2212-E-006-087- 執行期間： 91 年 08 月 01 日至 92 年 10 月 31 日 執行單位： 國立成功大學機械工程學系（所） 計畫主持人： 黃金沺 報告類型： 精簡報告 報告附件： 國際合作計畫研究心得報告 處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 92 年 12 月 19 日

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫

;

成 果 報 告

□期中進度報告

應用螺旋理論研究串聯式與並聯式機構

之剛度分析(I)

計畫類別：

;

個別型計畫 □ 整合型計畫

計畫編號：NSC 91 － 2212 － E006 － 087

執行期間： 91 年 08 月 01 日至 92 年 10 月 31 日

計畫主持人：黃金沺

共同主持人：

計畫參與人員： 林郁男 黃超俊

楊俊閔

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：

;

精簡報告 □完整報告

本成果報告包括以下應繳交之附件：

□赴國外出差或研習心得報告一份

□赴大陸地區出差或研習心得報告一份

□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

;

國際合作研究計畫國外研究報告書一份

處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計畫、

列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢

□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢

執行單位：國立成功大學機械工程學系

中 華 民 國 92 年 10 月 31 日

計畫中文摘要 關鍵詞：螺旋理論、剛度、串聯式機構、並聯式機構。 剛度控制常被用來修正環境外力對機構所造成之位置偏移，而剛度分析則為剛度控制 最重要的依據。剛度分析主要就是由已知的致動接頭剛度，經過適當的剛度轉換，求得機 構的剛度矩陣。雖然串聯式機構臂的剛度控制理論已發展二十餘年了，但最近紐約州立大 學Kao 教授已證明一般習用的剛度分析是不正確的，主要問題在於能量無法守恆。本計劃 以申請人與Kao 教授兩年來合作的初步研究成果為基礎，應用螺旋理論深入探討並推導串 聯式與並聯式機構保守剛度分析的通式，本計劃的研究成果可提供利於機構精確操控的正 確剛度分析模式。 本計劃著重於含旋轉接頭及滑行接頭之串聯式機構的保守剛度分析，嘗試推導其剛度 分析之解析式或數值公式，接著將比較傳統的剛度分析與新的保守剛度分析。本計劃並以 數值模擬及電腦動畫模擬驗證各種串聯式機構剛度分析的正確性，且將探討串聯式機構剛 度矩陣之對稱性。

計畫英文摘要

Keywords: Screw Theory, Stiffness, Serial Mechanism, Parallel Mechanism.

When a mechanism performs a task, some work link of the mechanism exerts certain force and/or moment on the environment. The force and/or moment cause certain small displacement of the work link. At a static equilibrium position, the ratio of the differential change in force (and/or moment) to the infinitesimal displacement of the work link is called the Cartesian stiffness of the mechanism. The Cartesian stiffness is mainly affected by the actuated joint stiffness if the links of the mechanism are assumed to be rigid. In practice, mechanism stiffness control strategies can be applied to account for unexpected environmental disturbances that deflect the work link from its desired position. The stiffness analysis, in which we are concerned with the proper mapping from known joint stiffness the Cartesian stiffness of a mechanism, is essential to stiffness control algorithms. Although the stiffness control of serial manipulators has been used for decades, Chen and Kao (1999, 2000) proved that the widely used conventional stiffness mapping was erroneous because energy was not preserved under quasi-static motions. Based on our pioneer studies on the conservative stiffness mappings of some serial and parallel manipulator mechanisms (Huang and Kao 2001; Huang, Hung, and Kao, 2002), this project aims to explore the general formulations of the stiffness analyses of serial mechanisms and to investigate the symmetry conditions of Cartesian stiffness matrices of mechanisms, by using a powerful tool—screw theory. The result of this project provides a new and correct stiffness analysis formulation for the fine manipulation of mechanisms.

In this project, we focus on the stiffness analysis of serial mechanisms consisting revolute and prismatic joints. First, we investigate planar mechanisms and derive the analytical conservative formulations of the stiffness analysis. Second, we try to derive stiffness mappings for spatial

2

mechanisms. Third, we conduct the comparison between the conventional stiffness mapping and the conservative formulation. Fourth, we perform numerical simulations of the stiffness analyses of various serial mechanisms, and computer animations will be conducted to validate the results. Finally, the symmetry conditions of the Cartesian stiffness matrices are investigated.

1. 前言 剛性控制的主要目的是讓機械臂在位移控制與力量控制之間取得平衡，提高機械臂關 節的剛性能有效地減少外在環境不確定量所造成的誤差，適合應用在需要精密定位的環 境。減少關節的剛性即是增加機械臂的柔性(Compliance)，可達到保護機件以及加大容許誤 差的效果。 機械臂接頭(Joint)的剛性較容易量測和控制，但在實際應用上，機械臂在卡氏座標下的 剛性比較符合操作上的需求。因此需要機械臂接頭的剛性(Joint Space Stiffness)與卡氏空間 的剛性(Cartesian Space Stiffness)相互轉換的公式。剛性控制目前被廣泛應用的公式是由 Salisbury (1980)提出的剛性矩陣轉換(Stiffness Congruence Transformation)。Griffis and Duffy (1993)和 Ciblak and Lipkin (1994)也對空間機構剛性矩陣的對稱性做了許多研究，舉出了空 間並聯式機械臂的卡氏空間剛性矩陣為非對稱矩陣之實例。Chen and Kao (1998)的研究發現 Salisbury 所提出的剛性矩陣轉換不符合保守力場的特性並推導出新的保守剛性矩陣轉換式 (Conservative Congruence Transformation，以下簡稱 CCT)並以平面 2R 的機構進行數值模 擬，證明CCT 才能符合保守力場的特性。

CCT 目前僅有平面 2R 的數值模擬，且 CCT 幾何上的概念並不夠明確。本計畫的主題 就是以 CCT 為基礎，將數值模擬延伸到空間六自由度的機械臂，證明 CCT 能符合能量守 恆的特性對於空間機構也同樣適用。本計畫並以螺旋理論(Screw Theory)(Ball, 1900; Hunt, 1978; Roth, 1984)解釋 CCT 的幾何意義，使新的轉換式 CCT 更容易被理解。 2. 研究目的 雖然串聯式機構臂的剛度控制理論已發展二十餘年了，但其問題在於能量無法守恆。 本計畫的目的即在於以螺旋理論為基礎，研究符合能量守恆的一般化機構剛度轉換模式， 深入探討含有旋轉對與滑行對接頭的平面及空間串聯式機構。期能建立一個系統化的模式 並推導出機構剛度分析的解析式或數值方法，除了注重數學模式與幾何意義的探討外，並 進行數值驗證與電腦模擬。研究的成果將由Kao 教授在紐約州立大學的實驗室中進行實驗 驗證，以機械手指之抓取操控來測試新剛度分析的正確性。 3. 文獻探討 傳統（非保守）剛度分析理論以美國的Salisbury (1980, 1982)為先驅研究者，其後英國 的 Kerr (1989)與法國的 Gosselin（1990）將其擴展至並聯式機械臂的剛度分析，目前較受 採用的機器人學教科書亦對傳統剛度分析理論有所討論（Tsai, 1999; Asada and Slotine, 1986;

Mckerrow, 1991; Schilling, 1990）。由於以上的傳統剛度分析理論已被發現其能量不守恆的 錯誤，目前世界上有三個研究團隊積極從事機構剛度分析理論修正的研究：

一、申請人在國內成功大學與Kao 教授紐約州立大學合作的研究團隊。目前已有數篇論文 發表（Kao and Ngo 1999; Kao and Chen, 1999, 2000; Huang and Kao 2001.）。Kao and Ngo (1999)主要在探討保守剛性轉換在控制理論上的必要性，Kao and Chen（1999, 2000） 以平面2R 串聯式機械臂之模擬舉證傳統剛度分析之錯誤，並以矩陣微分探討其新理論 之正確性。Huang and Kao（2001）率先以螺旋理論詮釋新保守剛性轉換理論的幾何基 礎並提出平面3R 機械臂剛度分析之解析式。

二、美國佛羅里達大學Duffy 教授與喬治亞理工學院的 Lipkin 教授的研究團隊。已有兩篇 主要論文發表（Griffis and Duffy, 1993; Ciblak and Lipkin, 1994），其結果並收錄於Duffy 教授的教科書中（Duffy, 1996）。該研究團隊在相關研究起步很早，但僅限於 Stewart Platform 剛度矩陣的幾何推導與對稱性探討，並無一般化的理論，且其座標系之選用 與幾何推導非常艱深，不易為一般研究者接受。

三、德國航空中心Koeppe 博士的研究團隊。該研究團隊以實驗見長，目前已有一篇相關論 文在IFRR 第十屆機器人學會議中發表（Koeppe, et. al, 2001），主要以實驗方法找出並 修正傳統剛性轉換的錯誤。 4. 研究方法 本計劃著重於含旋轉接頭及滑行接頭之串聯式(平面及空間)機構的剛度分析，以螺旋 理論為基礎進行串聯式機構保守剛度轉換之模式建立。採用螺旋理論的原因在於其特有之 幾何意義有助於釐清保守剛度轉換之理論基礎。完成模式建立後以數值模擬進行正、反向 運動分析並輔以電腦動畫驗證，以確定理論模式符合能量守恆定律。最後以紐約州立大學 Kao 教授之機械臂抓取與接觸控制實驗作最後論證。本計劃並比較傳統的剛度轉換與保守 剛度轉換，研究二者在不同條件下之誤差。 5. 研究結果 5-1 以螺旋推導之Jacobian 矩陣 在運動學中，剛體的運動可視為繞一個螺旋軸進行轉動和移動，稱之為扭轉(Twist)。 故剛體的位移我們可用位移螺旋(Displacement Screw)來表示，當位移無限小的時候，我們 可以把剛體的運 動以 速度螺旋(Velocity Screw)表示，也稱之為瞬時扭轉(Instantaneous Twist)，表示如下：       = = o v ω S V ω ˆ (1) 其中V 為速度螺旋，ω 代表物體的角速度，vo代表物體跟座標原點O 重合那一點的速 度。如圖 1 所示，機械臂 End-effector 的速度狀態可表示成一個瞬時扭轉螺旋，P 點是 End-effector 上的參考點。在靜力學裡，施在一物體上的外力可視為一個力量螺旋(Force Screw)，通常稱之為扳鉗(Wrench)。一個扳鉗螺旋包含了螺旋軸方向的力量及扭矩，扳鉗的

4 徑向座標(Radial Coordinates)表示式如下：       = = o r f _m f S F ˆ (2) 其中Fr為扳鉗螺旋，f 代表沿著螺旋軸方向的力，假設將End-effector 視為可無限延伸 的物體，mo代表End-effector 與座標原點 O 重合之點的力矩。 P V F O S1 2 S S3 4 S 5 S 6 S 圖1 End-effector 的速度螺旋和力量螺旋 為了向量運算上的方便，我們將兩個向量互換採用軸向座標(Axial Coordinates)的扳鉗 螺旋F，即       = f m F o (3)

由(3)式，物體在靜力平衡的狀態下，虛功原理(Principle of Virtual Work)可表示成 F 和 V 的 內積，即 0 T ₌ = ⋅V F V F ₍₄₎

Jacobian 矩陣是描述機械臂接頭速度(Joint Velocity)與 End-effector 速度關係的矩陣，串 聯式機械臂的Jacobian 矩陣表示如下： Θ J ω v X& _= &      = o (5) 其中vo和ω的定義與(1)式相同。以瞬時運動來看，位移和接頭角度變化的關係可表示如下： Θ J X d d = ₍₆₎ 根據螺旋理論，Jacobian 矩陣可視為各接頭螺旋軸的組合，即

[

Sˆ1 Sˆ2 Sˆ3 Sˆ4 Sˆ5 Sˆ6

]

J= ₍₇₎ 其中Sˆ_i為6 × 1 的列向量，代表機械臂第 i 個接頭的單位螺旋。(7)式所定義的是以螺旋 推導的Jacobian 矩陣，本計畫的螺旋座標以 O 為座標原點(如圖 1 所示)，因此施在機械臂 End-effector 的扳鉗是在以 O 為座標原點的座標系下描述的。利用虛功原理我們可得靜力平 衡下，關節扭矩與End-effector 受力的關係：

F J

τ= T ₍₈₎

其中F 與(3)式定義的形式相同。

5-2 保守剛性矩陣轉換(CCT)的推導

本計畫中以K_θ代表機械臂的接頭剛性矩陣(Joint Stiffness Matrix)，代表位移變化與接頭

扭矩之間的關係，即 Θ K τ d d = _{θ (9)} 在保守系統下K_θ為對角線矩陣(Diagonal Matrix)。若在桿件為剛體的情況下，機械臂 關節的剛性就直接影響End-effector 位置的精確度。同樣的，本文以 Kp矩陣代表卡式座標 的剛性矩陣，即 X K F d d = p ₍₁₀₎ 實行剛性控制必須知道K_θ矩陣和 Kp矩陣的轉換關係。機械臂在靜力平衡狀態下，關 節扭矩與End-effector 受力的關係如(8)式，為了知道靜力平衡時微量的位置偏移對扭矩造成 的影響，我們將(8)式微分： F J F J τ d d d = T + T ₍₁₁₎ 將(9)式和(10)式代入(11)式，可得： X K J F J Θ Kθd =d T + T pd ₍₁₂₎ (12)式中的(dJTF)項就是 CCT 和傳統的剛性矩陣轉換不同之處，此項包含受到外力做用 時，因為接頭柔性引起的Jacobian 矩陣變化，其中： i i i dθ d

∑

= ∂ ∂ = 6 1 T T θ J J (13) 將(6)式和(13)式代入(12)式，可得： Θ J K J Θ K Θ Kθd = gd + T p d ₍₁₄₎ 其中         ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = J F J F J F K 6 T 2 T 1 T θ θ θ Λ g 其中( J F i θ ∂ ∂ T )是一n × 1 的列向量，n × n 矩陣 Kg代表由於Jacobian 矩陣的微分，造成機械 臂幾何形狀改變的變化量與外力內積的值。由(14)式，在dΘ不為零的情況下，我們可得下 式： J K J K Kθ = g+ T p ₍₁₅₎ 由上式可得CCT 剛性矩陣轉換的公式：

6 1 T_{( )} − − ₋ =J K K J K_{p θ g} (16) 5-3 Kg矩陣之幾何意義 Chen 和 Kao (1998)發現傳統的剛性矩陣轉換不能守恆，因此從理論推導中導出一個新 的控制參數Kg，將其定義為幾何剛性矩陣。Huang and Kao (2001)以螺旋理論的角度來解釋

Kg的幾何意義，將機械臂的各個接頭視為螺旋軸，即                       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = F S F S F S F S F S F S F S F S F S K 6 T 6 2 T 6 1 T 6 6 T 2 2 T 2 1 T 2 6 T 1 2 T 1 1 T 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ θ θ θ θ θ θ θ θ θ Λ Μ Λ Μ Μ Λ Λ g (17) 我們可以根據螺旋理論直接從幾何上來求Kg矩陣。若已知空間中一條線Q1(q1, q01)經 過螺旋S(s, s0)旋轉θ角後，變成 Q2(q2, q02)，可以下列公式可求出旋轉後 Q2向量的位置。 ) ( s c ) c 1 )( ( _{1 1 1} 2 q s s q s q q = ⋅ − θ + θ + θ × ) ( s c ] ) ( ) ( ) )[( c 1 ( 1 0 01 01 0 1 0 1 01 02 q s q s q s s q s s q s s q q × + × + + ⋅ + ⋅ + ⋅ − = θ θ θ (18) 由上式可算出第i 個接頭之螺旋經過第 j 個接頭之螺旋位移後的位置，如此即可得到 Kg矩 陣中的所有元素，如(19)式。 F S S F S ⋅ − = ∂ ∂ j i i j i δθ θ T T _{(ˆ' ˆ )} ˆ (19) 其中ˆS'i為Sˆi經過δθj位移後的螺旋位置如圖 2 所示。以 Elbow 6R 為例，套用(19)式我們求 出ˆS2對δθ1的位移如下：                     + − + − = − 0 0 0 0 s s c c c s c s s c ˆ ' ˆ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 θ δθ θ δθ θ θ δθ θ δθ θ S S (20) 1 δθ 是微量的變化，故 cδθ₁可近似為 1，sδθ₁近似為δθ₁，則：

[

c s 0 0 0 0

]

) ˆ ' ˆ ( 1 1 1 T 2 2 _{θ θ} δθ = −S S (21) 將上式代入(19)式 1 1 1 T 2 2 ˆ ) _{c s} ' ˆ ( _{θ θ} δθ ⋅ =mx +my −S _F S (22)

1 ˆS O 2 ˆS ˆS3 4 ˆS 5 ˆS 6 ˆS P P ' ' 6 ˆS 5 δ θ 圖2 θ5變化與接頭螺旋位置 上述計算所得到(22)式，對應的 Kg矩陣元素為Kg21。(22)式的結果與我們用(17)式計算所得 到的元素Kg21完全相同，表示我們可以從幾何上驗証Kg矩陣。再以上述步驟計算ˆS4對δθ5 的位移，則：

[

]

T 4 4 ˆ 0 0 0 0 0 0 ' ˆ _{−S =} S ₍₂₃₎ (23)式的結果與圖 2 符合，只考慮 θ5變化時，ˆS4的螺旋位置並不會改變，此結果也與 Kg 矩陣的對應元素 Kg45相同。由上述計算可知 Kg矩陣不僅可用數學微分的方式求得，也可 以從幾何上求解。 6. 結論

本計畫以螺旋推導之Jacobian 矩陣驗證空間機構 Stanford Arm 以及 Elbow 6R 的 CCT 模擬，結果證實應用新的保守剛性矩陣轉換CCT 於空間機構也確實能維持能量守恆，而被 現今被廣泛應用的傳統剛性轉換只是無外力下的特例，相信應用新的CCT 理論更可以提高 機械臂剛性控制上的精確度。利用 CCT 可以計算出機械臂不同構形下的 Kp矩陣，本計畫 也討論了空間機構 Kp 矩陣的對稱性，最後以螺旋理論說明除了數學上的微分以外，CCT 亦可從幾何上的關係直接推導出來。 7. 計畫成果自評 本計畫主要成果摘要如下： (1)完成平面及空間串聯式機構保守剛度轉換之模式建立。 (2)完成串聯式機構數值模擬與電腦動畫模擬。(3)完成理論與實驗，運動與控制之跨專長配 合研究。(4)完成新舊理論之比較研究。自評約完成原規劃百分之九十的ヱ作內容，尚須將 成果撰寫成論文並投稿至國際期刊。

8

附件：

國際合作研究計畫國外研究心得報告

一、 合作研究計畫概述

紐約州立大學石溪分校的Kao 教授是率先提出新保守剛度控制理論者，也是申請人過 去兩年來的研究合作對象。申請人之專長為運動學與動力學理論，在國內進行理論分析與 模擬，而Kao 教授專長為控制理論與實驗，在紐約州立大學並有完整的機械臂控制系統及 軟質接觸(Soft Contact)實驗設備，故雙方面的研究相輔相成。為理論與實驗配合且跨專長之 合作。 本計劃主要著重於串並聯機構剛度分析之理論分析與電腦模擬部分，合作對象Kao 教 授之計劃則著重於機械臂之剛度控制理論與實驗，該計畫(以人機整合之 MEMS 研究智慧 型擬人化軟質接觸曲面技術)已獲美國 National Science Foundation (NSF grant IIS-9906890) 通過並已開始執行(1999-2003)。本合作計劃為分工配合關係，申請人將在理論建立及模擬 完成後與其同步進行之實驗結果作比較分析。另除了Kao 教授本人外，Kao 教授亦有多位 研究生協助配合本研究。 本計劃主持人將每年至紐約大學作一週之短期訪問研究一次(本計劃兩年期共兩次)主 要在協助其使用本計劃之研究成果及訓練其研究人員，並了解實驗進行情形以利比較分 析。紐約大學Kao 教授亦將每年至成功大學作一週的短期訪問研究(共兩次，費用由其計畫 支付) ，並協助訓練本計劃之研究人員在剛度控制之理論與實驗。故每隔半年可作深入的 研究成果交換與人員訓練之交流。

二、 國外研究出差經過

1. 10 月 13 日搭機由高雄啟程至紐約。至紐約州立大學短期訪問，開始比較實驗分 析與理論模擬數據工作。 2. 10 月 14 日繼續從事實驗印證工作，由紐約州立大學機器人實驗室以不同外力條 件測試，發現剛度誤差超過預期範圍。以重新校正後的數據輸入由計畫主持人發 展的模擬程式後，大部分情形下剛度控制均能達到要求精度，但在純扭矩的情形 下仍無法收斂。經討論的結果為原程式無法處理的純扭矩輸入的情形。 3. 10 月 15 日修正程式再重複純扭矩的外力模式，其剛度與實驗數據吻合，完成本 次短期訪問的工作。

4. 10 月 15 日搭機至舊金山訪問史丹福大學機械系，與 Prof. Bernard Roth 討論機器 人發展相關問題。

5. 10 月 17 日搭機由舊金山至洛杉磯，前往加州大學 Irvine 分校訪問，並參觀研華科 技在Irvine 的分公司。

三、 心得報告

本次短期訪問在很短時間內完成了理論、模擬與實驗三方面的驗證工作，有一些問題 是原來以電子郵件交流研究訊息時無法發現的，所幸於現場能及時修正並完全驗證工作， 這也是在本次國際合作計畫中安排短期訪問的原因。紐約州立大學實驗室內之機器人剛度 實驗室設備多尤其工廠加工製成，其工廠內配置許多專職的技術人員，在實驗工作上是不 可或缺的，得以在最短時間內修正實驗，提高效率。 在史丹佛大學的參觀行程中了解到該校機械系現在朝向整合型的研究方向，許多大型 實驗室由不同專長教授的多位研究生集合而成，可從事大型研究工作。不過，在實驗室中 的分工很細，其成員幾乎只了解到計畫中的小部分工作，無法訓練獨立的研究人員，利弊 得失有待時間證明。在加州大學Irvine 分校參觀後兼程到研華科技在該地分公司參觀，了 解到本國企業在美國的行銷服務模式。 透過本次國際合作的短期訪問參觀行程，不僅順利完成計畫，更藉由參觀活動汲取新 知，受益良多。