2 十進制小數

2 十進制小數

同學們可能都已經知道 0.9（0.9 循環）等於 1。這一課的重點之一，是說明像 0.9 這樣的數是 怎麼發生的？

前一課學到：數線上的有理點，由二分點、三分點、四分點…組成。因為我們使用十進制 作為正整數的計數系統，使得十、百、千、萬 … 成為常用的量詞，所以對於非整數的有理數，

也順理成章地賦予十分點、百分點、千分點、萬分點 … 特殊的地位，而且給予它們特殊的記號。

例如2 ⁴

10、 3 ¹⁴

100、7 ¹²

1000都有特殊的數字記號。讀者應該已經猜到了，那特殊記號就是十進 制小數，簡稱為小數。例如2 ⁴

10記作2.4，而 3 ¹⁴

100記作 3.14，7 ¹²

1000記作7.012。

以下事實，同學們在小學就知道了，現在再確認一次：

（有限）小數只是特殊的分數：其分母為10 的某 k 次方，其中k 。

一位小數，例如0.5、2.4、 1.0，都對應十分點；二位小數，例如 1.25、0.72、3.01，都對應 百分點。同理，三位小數對應千分點，四位小數對應萬分點。因為十分點就是10¹分點、百分點 是10²分點、千分點是10³分點、萬分點是10⁴分點 …，為了溝通方便，我們將所有10^k分點通稱 為「十次分點」，前述的 k 。

十次分點的坐標是有限小數

我們已經知道，有理點的坐標就是有理數，也就是整數或分數。十次分點的坐標是以10^k為分母 的分數，所以它們都是有理數。但是反過來，並不是每個有理點都恰好是十次分點。例如同學 們應該已經知道 ¹

3 是三分點，不能寫成「有限」小數。

所謂「有限」小數就是一位、二位、三位 … 小數，它們對應數線上的十分點、百分點、千 分點 …。依此類推，只有十次分點的坐標才會是有限小數。一般而言，令 ( )

10^k

P m 是原點右側的 某個十次分點，其中 m, k 。如果m 與10^k互質，則P 點坐標就是 k 位小數；如果 m 與10^k不 互質（有公因數），則約分之後的小數位數就會少於 k 位，不論如何還是有限小數。約分只會 減少分子、分母的質因數，不會增加質因數。而10 2 5，所以10^k也只有2、5 兩種質因數。

因為只有十次分點的坐標才會是有限小數，而十次分點的坐標即使經過約分，分母仍只有2、5 兩種質因數，所以我們獲得一個結論，陳述如下。這種「在預設條件下絕對正確」的結論，稱 為數學定理，簡稱定理（theorem）。

[定理] 可寫成有限小數的分數

將一個分數約至最簡之後，若它的分母只有2、5 兩種質因數，它是一個十次分點的坐標，可寫 成有限小數；若它的分母具有2、5 以外的任一質因數，它就不是十次分點，不能寫成有限小數。

因為 ¹

3 的分母具有 2、5 以外的質因數 3，所以 ( )¹

A 3 不是十次分點，也就是說 ¹

3 不能寫成

「有限」小數。當然 ¹

3 並不特殊，¹

6 的分母雖然有質因數 2，但因為也有質因數 3，所以也不

能寫成有限小數。同理 ¹ 7 、¹

9、 ¹ 11、 ¹

12、 ¹ 13、 ¹

14、 ¹ 15、 ¹

17、 ¹ 18、 ¹

19 都不能寫成有限小 數。

[隨堂練習 1]

請將正整數n 20, 21, 22, …, 40 之中，其倒數 ¹

n「能」寫成有限小數的，全部列舉出來：

____________________________________________________________。

學到這裡，同學們認為有理數之中，能寫成有限小數的比較多？還是不能寫成有限小數的 比較多呢？高中一年級的知識，應該還不足以完整地回答這個問題。但我們不妨用它來鍛鍊一 下「主觀機率」。

[隨堂練習 2]

想像妳／你「隨機」抽選10 個有理數，每個有理數被抽中的機會一樣多。則妳／你認為最可能 抽中幾個「能」寫成有限小數的有理數？

○¹ 9 個（含）以上 ○² 6 或 7 或 8 個 ○³ 5 個 ○⁴ 2 或 3 或 4 個 ○⁵ 1 個（含）以下 答：____________

實數的小數表達

讀到這裡，我們已經確定，數線上的點坐標，只有十次分點才是有限小數；所有其他點，不論 是有理點還是無理點，都不能用有限小數來表達。例如 ( )¹

A 3 和 ( 2)Q 都不是十次分點，它們 的坐標都不能寫成有限小數。不是有限小數，意思就是它不可能被任何有限多位的小數表達，

即使 100 位或 1000 位也不可能。但是人們既不能算出也不能寫出無限多位的小數，那該怎麼 辦呢？我們就用 來表達那無窮多位寫不出來的小數。例如 ¹ 0.33

3= ， 2=1.4142 。 但我們在這裡想要說清楚的是：什麼時候才真的可以寫「= 」呢？例如為什麼 ¹

3 不可 以寫成 0.32= 也不可以寫成 0.34= 呢？這是因為，如果已知 x 不是十次分點的坐標（x 不 是有限小數），x 是二位小數，¹ 則 x=x 的意思是：

x 是小於 x 的最大二位小數 所以 ¹

3 不可以寫成 0.32= ，因為 0.32 不是小於 ¹

3 的最大二位小數，0.33 比 0.32 大，而且 0.33 1

3。而 ¹

3 也不可以寫成 0.34= ，因為 0.34 ¹

3。² 聰明的妳／你應該明白：前面只是以 二位小數舉例而已，你／妳肯定可以把同樣的規則推論到一位、三位、四位 … 小數的情況。

1 x 讀作 x bar。注意 x 不像 0.9，它不是「x 循環」的意思。

2 1

0.333 是因為在不等號兩側同乘以 3，得到正確的不等式 0.991。其次，不等式 1 0.34

3

 讀作「0.34 不小於 三分之一」。

[隨堂練習 3]

請解釋為什麼 2 不能寫成 1.412= 也不能寫成 1.420= ？

當x 是有理數，我們可以用「長除法」算出它的二位小數表達。例如將 ¹

3 改寫成除式 1 3 ， 做長除法做到小數點下第二位，得到的商是 0.33，在直式的底端寫了餘 1（請讀者自己算）。

重點是：那個餘1 其實是百分位的 1，也就是 1 3 0.33 0.01 =  。回顧小學時期藉由正整數學過 的除法等式，它叫做「除法原理」，如下。

[定義] 除法原理 除法算術的計算式：

 =

被除數 除數 商 餘數

可以改寫成等式：

=  +

被除數 除數 商 餘數

例如計算式 22 7 3 1 =  可以改寫為等式 22 7 3 1=  + 。同理，1 3 0.33 0.01 =  則可以改 寫成1 0.33 3 0.01，將等式兩側同除以 3，則是

1 0.33 1

3 300。

可見0.33 只比 ¹

3 小 ¹

300，因為 ¹

300 不到百分之一，所以 0.33 是小於 ¹

3 的最大二位小數。

當我們將一個實數 x 寫成 x 的小數形式，而 x 是 k 位小數時，可以簡單地說「準至」k 位小數。例如要將²²

7 寫成準至三位的小數，可以先用長除法做22 7 ，取商到三位小數（請讀 者自己算），直式底端的6 意思是小數點下第三位的 6，故得22 7 3.142 0.006。根據除法 原理改寫成

22 3.142 7 0.006，亦即 ²² 3.142 ⁶

7 7000，

因為 ⁶

7000不到千分之一，可見3.142 是小於²²

7 的最大三位小數。所以我們寫²² 3.142

7 。

「準至」vs「約至」

當我們用 ¹ 0.33

3= 、²² 3.142

7 、 2=1.4142 來表達實數時，傳達了兩個訊息：

1. ¹ 3、²²

7 、 2 這些數是無窮多位的小數，寫出來的小數，僅為估計值。

2. 這些數所對應的點，落在連續兩個十次分點之間。例如 ¹

3 落在連續兩個二位小數 0.33 和 0.34 之間，²²

7 落在連續兩個三位小數 3.142 和 3.143 之間， 2落在連續兩個四位小數 1.4142 和1.4143 之間。如下圖。

3 vs 是 versus 的縮寫，意思是「相對於」。它也在競賽、辯論或訴訟情境中，用來指稱互相「對抗」或「對立」

的雙方。

相對於「準至」寫法的數字用了等號 以及刪節號 ，另有一種「約至」近似值的表達 方式，用近似符號 而不用刪節號。例如，觀察上圖， ¹

3 介於 0.33 和 0.34 之間，但是比較靠 近0.33：它在 0.33 與 0.34 之中點 0.335 的左側，我們就寫 ¹ 0.33

3 ，讀作 ¹

3 近似於0.33。同 理，²²

7 介於3.142 和 3.143 之間，它比較靠近 3.143，所以²² 3.143

7 。至於 2，它介於 1.4142 和1.4143 之間而比較靠近 1.4142，所以 2 1.4142。

將實數「約至」三位小數的算法，需要先算出「準至」四位小數的數值，然後將它四捨五 入至第三位。例如²² 3.1428

7 ，四捨五入之後得到²² 3.143

7 。

[隨堂練習 4]

將²²

7 寫成準至五位小數的數字；再將它寫成約至四位小數的近似值。

同學們肯定已經知道：若將 ¹

3 寫成小數，則它是無窮循環小數，記作¹ 0.3

3 ，其中3 稱為

循環節。同樣地，若將²²

7 寫成小數，則它也是無窮循環小數，記作²²

7 3.142857，其中 142857 是循環節。既然大家都知道，我就不囉唆了。

我要繼續囉唆的是：不論是一個很多位的有限小數（例如20 位的有限小數），還是無窮循 環小數，在實際的應用中，我們都不常寫出它的全部小數或完整循環節，而是將它約至若干位 小數的近似值。使用科學記號來表達數字時，通常只會約至一位、兩位、三位或四位小數。

究竟什麼是實數？我們已經知道：實數是測量連續量的數，實數是數線上所有點的坐標。

但這些說法都是觀念，現在我們到了可以用數字描述實數的時候了。

[定義] 實數

無窮多位的十進制小數 0.d d d d_{1 2 3 4} 就是 0 與 1 之間（含）的所有實數，其中每一位小數 d_k 都 是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 其中之一。將這些數加上任意整數，就形成所有實數。

我們也可以這樣理解：所有實數寫成小數都有無窮多位，所謂有限小數只是從某一位之後 的所有位值都等於0。例如 ¹ 0.5000

2 0.50，¹ 0.125000 0.1250

8 。

「數式」vs「數值」

因為小數通常都寫成「準至」或「約至」的近似值，所以它顯然有個缺點：不精確。相對而言，

像 ¹

3、 1⁵ 6、31

7 這樣的分數是精確的，像 2 、 3 3、³4 這樣的根式也是精確的，它們都 是數式，用來精確表達一個實數。數式是純數學的記號，在數學推理過程中，必須使用數式。

可是數式在工程、科學和金融上並不實用，在這些應用數學的領域裡，通常使用近似的小數，

稱為數值。學習數學的人，必須學會恰當地轉換兩種表達實數的方式：數式或數值。

我們已經知道：數式不是唯一的。例如 ² 2 和 ³

3 都是 1，²²

7 和 3¹

7 是指同一個數，而 18 和 3 2 是數線上同一點的坐標。小數的數值也是不唯一的，但是情況單純得多。例如數式 ²

2 和 3

3 寫成小數都是 1（或 1.0），²²

7 和 3¹

7 寫成小數都是 3.14 ， 18 和 3 2 寫成小數都是 4.2426 。

小數的特殊缺點發生在這裡：已知 ¹ 0.3

3 ，若將等式兩側同乘以3，得到 1 0.9。我們因 此創造出 0.9 這樣的數，而且它是「重複」的表達，這也就是眾所皆知的 0.9 1。類似的情形 還有很多，例如 0.339 0.34。但是我們既然已經知道「數式」本來就會重複，那麼「數值」

也會重複的現象，就沒什麼好大驚小怪的了。

十分逼近法

有理數可以用長除法寫成小數（準至或約至任何位數），但是無理數該怎麼辦呢？辦法之一是 根據它的性質寫成方程，然後用「十分逼近法」計算它在哪兩個連續的十次分點之間？例如 2 的性質是 ( 2) =2，所以它是 ² x² 2 的正解，我們就用十分逼近法來算 x² 2 的近似解。同學 們都會十分逼近法，我就不囉唆了。可是 2 明明可以按兩三個鍵就知道近似值了，同學們大概 已經懶得再用十分逼近法來估算 2 了吧？所以，我們換個有點挑戰性例子。

[範例 1]

若實數x 滿足 x³ x 1 ，試問它落在哪兩個連續千分點之間？寫出 x 準至三位小數的數值。

[解] 因為0³ 0不到1，但1³ 1超過了1，所以判斷 x 應在 0 與 1 之間。用計算機（電算器）

計算以下x 數值的x³ x，或者用工具計算x 再自己心算「³ x」，都可以得到下表：

x … 0.5 0.6 0.7

x3 x … 0.625 0.816 1.043 可見x 在 0.6 與 0.7 之間。

在這個範圍裡，嘗試百分點的計算。因為0.7³ 0.7 1.043才超過 1 一點點，可見 x 應該比較靠近0.7，所以從比較大的百分點開始嘗試：

x 0.69 0.68 … x3 x 1.018 0.994 …

很快就發現x 介於 0.68 和 0.69 之間。將 0.68 到 0.69 這個範圍再等分 10 段，做計算 x 0.681 0.682 0.683 …

x3 x 0.996 0.999 1.001 …

我們發現x 介於連續兩個三位小數 0.682 與 0.683 之間。所以x 0.682 。

作業 2

班級座號＿＿＿＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿＿＿

1. 我們已經知道無理數是「揀剩的」。用實數的數值來分類有理數、無理數，可以這樣做：

◆ 若某實數的數值是循環小數，它是有理數。（有限小數其實是一種特殊的循環小數，例 如 0.5 0.5000 0.50。）

◆ 若某實數的數值不是循環小數，它是無理數。

想像妳／你可以從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 之中隨機抽一個數當作第一位小數 d1，取後放回，再隨機抽一個數當作d₂，取後放回，再隨機抽一個數當作d₃，依此類推，抽 無窮多次，得到一個實數。想像一下，你／妳如果要抽到一個有限小數，譬如一個二十位小 數，意思是說從d₂₁開始，妳／你要能抽中無窮多次的0。假如你／妳要抽到一個無窮循環小 數，譬如抽到0.142857 ，妳／你得每抽六次都按照順序抽中 1、4、2、8、5、7。

想像妳／你「隨機」抽選10 個實數，每個實數被抽中的機會一樣多。則妳／你認為最 可能抽中幾個有理數？

○¹ 9 個（含）以上 ○² 6 或 7 或 8 個 ○³ 5 個 ○⁴ 2 或 3 或 4 個 ○⁵ 1 個（含）以下 答：____________

2. 試求 x³ x 1 約至四位小數的解。

3. 在各民族歷史或傳說中，最早遭遇三次方程的是古希臘。傳說有一則神諭，要求將一個長方 體神殿的體積放大為2 倍（新舊神殿必須保持外型相似）。若要每邊放大 x 倍，我們知道它 要滿足 x³ 2。如今，我們用計算機上的 ³ 按鍵立刻就得到 x 1.1299 ，所以此題已經 不值得做。希臘文明第二次遭遇三次方程，是發現了三分角弦長公式。令圓半徑為1，將圓 心角 所對的弦長記為 C( )。已知 C(60 ) 1，套用三分角公式得知

(60 ) 3 (20 ) [ (20 )]3

C C C

（我們以後再解釋這條公式怎麼來的。）因此 C(20 ) 就是三次方程 3x x3 1

的一個解。試在 0 x 1 範圍內，求上述方程準至三位小數的解。

科技工具

前面提到立方根，同學們在課堂上學了n 次方根（ n ）。如果不用計 算機，幾乎沒有人可以心算一般的 n 次方根，這就暗示 n 次方根不能用 來解決真實問題。以下網址是一則「次方根」的教學影片，或掃描右邊 的二維條碼。若有需要，請跟隨網頁的指引，學習先備的計算機操作法。

http://shann.idv.tw/video/210905.html