清代著名數學家汪萊及其數學成就 一一 紀念汪萊逝世

清 代著名數學家汪萊及其數學成就 一一 紀念汪萊逝 世 ¹⁸⁰ 周年

李 迪

汪萊是我國清代中期著名數學家, 他在 數學方面的工作是在暗中摸索著進行的, 但 卻反映出他出眾的數學才華。 遺憾的是至今 還沒有一篇專門文章對汪萊及其數學成就作 較全面的介紹, 本文將對此做一嘗試。

一. 汪萊的生平事跡

汪萊 (1768-1813) 字孝嬰, 號衡齋, 安 徽歙縣人, 出生的地方為汪氏的靜山堂。 他的 父親叫汪昌, 雖然家道不富, 但卻喜歡讀書, 博覽群籍, 能詩善文, 著 《靜山堂詩集》 及 《靜 山堂文集》, 一生過著清貧的生活^[1]。

汪萊自幼聰慧過人, 在父親指導下進行 學習, 七歲能作詩。 年 15 歲補博士弟子。 在 他 19 歲時遇到飢荒, 只好“竭力養親, 恆負米 數十里外, 嘗典衣為犬齒, 秘不令家人知”^[2]。 20歲時他曾考書院, 第二年父親去世, 他便離 家去蘇州, 讀書於葑門外。“慕其鄉江文學永、

戴庶常震、 金殿撰榜、 程徵君易疇學, 力通 經史百家及推步曆算之術。”^[3] 江永 (1681- 1762)、 戴震 (1723-1777)、 金榜 (1735- 1801)、 程易疇等都是當時知名學者, 江、 戴

還都精通數學, 雖然有的如江、 戴已去世, 可 是他們的影響還廣泛存在。 汪萊在蘇州學習 了包括天文數學等自然科學在內的各種知識。

25 歲時, 他回到了家鄉。

汪萊經過學習有了一定基礎, 回鄉以後 在艱苦的條件下開始科研工作。 這年他自製 一方儀、 簡平儀、 勺多漏等儀器, 並用“以觀 天”, 從事天文學研究^[4]。 同時著有 《覆戴通 幾》、《參兩算經》 等文。

在以後的七八年中, 汪萊基本上在家鄉 歙縣, 有時到揚州等地學習、 訪友, 其間於 1798 年 (31 歲) 曾去南京應鄉試, 未中。 這 卻是他一生中學術上的活躍時期, 大多數科 學成果在此期獲得。 他和焦循 (1763-1820)、

李銳 (1769-1817)、 江蕃 (1761-1830)、 巴樹 谷等學者交往甚多, 互相討論數學問題, 特別 是和焦循、 李銳的關係更為密切, 時人將他們 稱之為“談天三友”。 這種互相討論, 使他們對 數學的研究起著很大的推動作用。

當時人們討論的主要課題大體屬於中國 傳統數學內容。 中國古代的數學著作, 在明代 大部分被淹沒, 就連宋元時代秦九韶的 《數學

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九章》, 李冶的 《測圓海鏡》、 《益古演段》 等等 都已無人知曉。 就在這時, 這些古書陸續被挖 掘出來, 引起了數學家們的關注。 汪萊也不例 外, 他和焦循、 李銳等人參與了對這些古書的 討論和研究。

他在 37-40 歲的三、 四年間大部分在揚 州渡過。 經他朋友夏燮 (1760-1829) 的保舉, 於 1807 年參加考試, 以優行第一貢成同赴北 京國子監學習, 第二年考取八旗官學教習, 成 為國家的教授。 可是他並沒有長期從事教學 工作, 因為正在這時御史徐國楠奏請清廷 “續 修 《天文》、《時憲》 二志, 經大學士首舉 (汪) 萊與徐准宜、 許澐入館纂修。” 這樣, 汪萊就 從八旗官學到了國史館, 進行 《天文》 和 《時 憲》 二志纂修工作。 經過兩年左古的努力, 到 1809 年完成。“議敘, 以本班教職用”, 不過未 回到八旗官學任職, 而是被派到石埭縣 (在今 安徽壽陽縣南) 訓導^[5]。

1810 年赴石埭縣任教諭, 1813 年赴省 裡應鄉試, 未中, 得疾而歸。 在歸途中, 汪萊還 帶病去看望老朋友焦循 (未見)、 夏鑾。 夏鑾 之子夏炘描述了汪萊當時的情景: 先生於“癸 酉 (1813) 夏過先君子 (夏鑾) 青山草堂, 顏 色憔悴, 悄然不樂, 先君子強之著書, 則曰:

「今世考據家陳陳相因, 不過抄襲前言耳, 非 能發古人所未發也。」”^[6] 回到石埭幾個月後 於年底在任上去世, 終年 46 歲 (實為 45 周 歲)。 臨終時, “兩孤在抱”, 孩子很小。

汪萊一生中, 雖數次應試, 連鄉試也未 得中, 悠悠熬了個一縣之教諭, 但卻孜孜不 倦地從事科學研究。“因其精算之名, 久為官 鄉所知”, 早在他去北京之前就被邀請參加黃

河口的治理工作, 擔任“新海口地勢高下” 的 測算任務。 他“天性敏絕, 機能攻堅, 不敢苟 於著述。 凡所言, 皆人所未言, 與夫人所不能 言。”他的著述包括數學、 天文學、 力學、 文 學、 古樂律等非常豐富的內容。 在世時出版 有 《衡齋算學》 七冊, 去世後, 朋友們搜集 他的遺稿, 並把已出版的七冊書中之“漫漶者, 合而梓之”, 於 1854 年有 《衡齋算學遺書合 刻》。 其中 《衡齋遺書》 部分包括 《覆載通 幾》 (附 《四邊形算法》)、《參兩算經》、《樂律 逢源》、 《考定磬氏倨句令鼓旁線中懸而懸居 線右解》、《校正九章算術及戴氏訂訛》、 《今有 錄》 各一卷和 《衡齋文集》 三卷。 1892年, 其 孫汪廷棟又請人“悉心勘定”, 重新刊刻。 這是 汪萊著作的兩種版本。

汪萊的兒子光恆 (又字小衡) 也對數學 有研究, 著 《小衡算說》 七卷, 有光緒十一年 (1885) 家刊本傳世。 其六世孫汪宜楷, 現為 歙縣第一中學語文教師, 筆者曾於 1986 年前 去拜訪過。

汪萊在數學方面的工作是多方面的, 在 與當時西方隔絕的情況下, 經過自己的刻苦 鑽研, 取得了一批相當好的成果。 下面有選擇 地進行一些介紹。

二. 對於p 進制的研究

在世界數學史上, 進位制是一個重大問 題, 不同國家或地區曾採用過不同的進位制, 如埃及、 中國、 印度等古國都用十進制, 巴比 倫和希臘用六十進制, 中世紀阿拉伯世界兼 用上述兩種, 拉丁美洲北部的古瑪雅人則用 二十進制, 萊布尼茲提出了二進制等等。 當然

在某種主要進位制外, 有時根據實際需要採 用其他輔助進位制, 如中國有十六兩為一斤, 樂律上有 9進制等, 古代也有不同進位制之間 的換算。 但所有這些都處於個例狀態, 沒有上 升到較高、 較一般的水平上。 在中國歷史上對 進位制的較高水平的研究, 首推汪萊。

汪萊有“參兩算經”一文^[7], 分為“原 始”、“立綱”、“匯奇”、“列偶” 、“會歸”和“參 兩數說”等六項。 早年, 錢寶琮先生雖提及此 文, 但未進行深入探討和應有的評價^[8], 近年 李兆華先生則詳細研究了這個問題^[9]。 這篇 文章主要是講 p 進制的問題, 設 p 為一自然 數, 且 2 ≤ p ≤ 9, 汪萊討論了 2, 3, · · · , 9 進位。 他認為, “審其法與數之宜而己, 數非 乘則除, 乘因而重之, 無難也; 除乃化而裁 之”, 就是整數的乘法得整數, 可是除法就不 一定這樣, 往往得到的是“不可終窮”的小數 (這當然只能無限循環小數)。 要想避免整數 除法出現小數的情形, 必須想出一個解決辦 法, 即要採用不同的進位制。 為此, 汪萊提 出了一條原則: “逢身進位”, 這是“立綱”的 核心。 所謂“逢身進位” 就是由除數確定進位 制, 如 7 為除數採用 7 進制, 4 為除數採用 4 進 制等。 在這種考慮中, 大都與數目 2 和 3 有 關, 汪萊說:“曰參曰兩, 乃數之原, 立數於參;

二乘一一, 立數於兩, 一乘不煩。 是以生諸數 之法而不受裁於法。”因而把文章定名為 “參 兩算經”。 所謂“立數”就是進位制, 立數幾就 是幾進制。

在“匯奇”和“列隅”兩部分中, 汪萊給出 了 p 進制的乘法表, 如下:

九進制

8 × 2 = 17 7 × 5 = 38 5 × 3 = 16 8 × 3 = 26 7 × 6 = 46 5 × 4 = 22 8 × 4 = 35 7 × 7 = 54 5 × 5 = 27 8 × 5 = 44

8 × 6 = 53 6 × 2 = 13 4 × 2 = 8 8 × 7 = 62 6 × 3 = 20 4 × 3 = 13 8 × 8 = 71 6 × 4 = 26 4 × 4 = 17

6 × 5 = 33

7 × 2 = 15 6 × 6 = 40 3 × 2 = 6 7 × 3 = 23 3 × 3 = 10 7 × 4 = 31 5 × 2 = 11

2 × 2 = 4 八進制

7 × 2 = 16 6 × 2 = 14 5 × 2 = 12 7 × 3 = 25 6 × 3 = 22 5 × 3 = 17 7 × 4 = 34 6 × 4 = 30 5 × 4 = 24 7 × 5 = 43 6 × 5 = 36 5 × 5 = 31 7 × 6 = 52 6 × 6 = 44

7 × 7 = 61

4 × 2 = 10 3 × 2 = 6 4 × 3 = 14 3 × 3 = 11 4 × 4 = 20

七進制

6 × 2 = 15 5 × 2 = 13 4 × 2 = 11 6 × 3 = 24 5 × 3 = 21 4 × 3 = 15 6 × 4 = 33 5 × 4 = 26 4 × 4 = 22 6 × 5 = 42 5 × 5 = 34

6 × 6 = 51 3 × 2 = 6 3 × 3 = 12

六進制

5 × 2 = 14 4 × 2 = 12 3 × 2 = 10 5 × 3 = 23 4 × 3 = 20 3 × 3 = 13 5 × 4 = 32 4 × 4 = 24

5 × 5 = 41 五進制

4 × 2 = 13 4 × 4 = 31 3 × 2 = 11 4 × 3 = 22 3 × 3 = 14 四進制

3 × 2 = 12 3 × 3 = 21 2 × 2 = 10 三進制

2 × 2 = 11 二進制

1 × 1 = 1

這裡要指出的是: 原文不是用阿拉伯數 碼, 而是用中國的漢字, 如九進制用八乘的那 一部分為:“立數在九, 先定八, 八二一七, 八 三二六, 八四三五, 八五四四, 八六五三, 八 七六二, 八八七一”, 七乘、 六乘等等類推, 我 們為了簡便改用現代形式。 另外, 原文中有些 相同結果。 如“二三以後, 統用前數”, 並未填 入表中。

汪萊在討論 p 進制乘法的同時討論了除 法問題。 兩整數相除, 使其商保證是整數或有 限小數, 必須使進位制與法 (除數) 相宜才行。

在 p 進制, 他指出了相宜的法:

“立數於十, 二、 四、 五、 八為法除之, 皆 有成數, 若他數為法, 析之不終窮。 己推之,

立數九, 惟三為法宜。 立數八, 法惟二四宜。

立數六, 法惟二三四宜。 立數四, 法惟二宜。

立數七, 五、 三, 法數合乃宜。 立數二, 不煩 算。” 這就是說, 汪萊建立了不相同的進制與 相宜於它們的法, 除得結果如下:

九進制 1

3 = 0.3 2

3 = 0.6 3 3 = 1 八進制

1

2 = 0.4 2

2 = 1 1 4 = 0.2 2

4 = 0.4 3

4 = 0.6 4 4 = 1

六進制 1

2 = 0.3 2

2 = 1 1 3 = 0.2 2

3 = 0.4 3

3 = 1 1

4 = 0.15^∗) 2

4 = 0.3^∗) 3

4 = 0.45^∗) 4 4 = 1

四進制

1

2 = 0.2 2 2 = 1

汪萊在“參兩數說”部分中給出了計算相 宜的法的過程, 而未討論其理論根據, 李兆華 曾有探討^[10]。這裡不再重述。

盡管“參兩算經”是一篇不足兩千字的短 文, 但卻是中國歷史上首篇 p 進制專題論文, 在同時代世界上也不多見。

* 此三者原文有誤, 經計算改正。

三. 球面三角形解法

我國對球面三角形的研究, 是從 17 世 紀西方數學傳入之後開始 的, 梅文鼎 (1633- 1721) 首次進行了系統的研究, 我們已有 全面探討^[11]。 梅文鼎研究了球面三角形解法, 並提出了“次形法”概念, 其基本思想是利用 弧與角的對稱、 互餘、 互補情況, 把原來不 易求解的三角形轉化為易解的三角形。 但是, 梅文鼎卻未討論解的存在性和解的個數問題。

汪萊在梅氏的基礎上對此進行了研究並取得 很好結果, 沈康身有過總結^[12]。

在 《衡齋算學》 中的第一冊“弧三角 形”和第四冊“弧三角形” 部分是汪萊對球面 三角形解法的結晶。 他用“知”與“不知”表示 有解和無解, 並把有關這類定理統稱之為“知 不知條目”。 第一冊的“條目”, 原書分為三個 標題, 但實際上是兩種情況, 如下:

一、 任意球面三角形, 又分為

1.已知球面三角形兩邊及一邊所對角時 的有解條件。 列舉了 12種情形。

2.已知球面三角形兩角及一角所對邊時 的有解條件。 列舉了 12種情形。

二、 球面直角三角形, 有 9種情形。 汪萊 把球面直角三角形叫做“正弧三角”。 他提出:

“斜弧三角用垂弧分兩正弧三角形通法”, 前 人所用為“正算”, 是將斜弧三角形通過幾次 作垂弧使其化為幾個直角三角形再逐步求出 所求的邊和角。 汪萊以為這樣做比較繁瑣, 於 是提出了一種“省算”法, 其特點是只作一次 垂弧, 即可完成。

《衡齋算學》 第四冊之前一半 “弧三角 形” 是第一冊的繼續, 討論球面三角形只有 一個解的條件。 他認為使用球面三角形時容 易弄錯, “弧三角之算, 窮形固難, 役形亦難, 稍不經意, 動乖其方, · · ·”, 因而制訂了條目 40 條, 實際是給出 40 條定理。

對解球面三角形的基本思想是: 在三角 形中有三個邊 (以度計算) 和三個角, 若已知 其中任意三個便可求出其餘三個 (當然也是 有條件的), 共有 6 種情形。 設 A、B、C 為球 面三角形的三角, a、b、c 為它們所對的邊 (如 下圖), π 表示平角 (半圓弧)。 汪萊對 6 種情 形的有解與否的條件進行了討論, 結果如下:

B A C

c b a

一、 己知三邊 a, b, c, 有 4 條。

1. a + b > π, c < 2π − (a + b) 2. a + b ≤ π, c < a + b

3. a = b, c 為“無定大限”

4. a 6= b, c > |a − b|。

其中第 3 條在多數情況下無解。

二、 己知三角 A、B、C, 共 4 條。

1. A = B, C 無限制

2. A 6= B, C < π − |A − B|

3. A + B = π, C 無限制

4. A + B 6= π, C > π − (A + B)

其中第 1,3 條在多數情況下解不唯一, 或根 本就不存在解。

三、 己知 A、B 和 c, 解不唯一。

四、 己知 a、b 和 C, 解不唯一。

五、 己知兩邊及其中一邊所對之角, 共 有 14 種情況。 分為三大類, 即

1. a < b, A, 6 條。

2. a < b, B, 6 條。

3. a, b, 且 a = A 或 b = B, 2 條。

六、 己知兩角及其中之一所對之邊, 共 有 14 種情況。 分為三大類, 即

1. A、B, 且 A < ^π₂, a, 6 條。

2. A、B, 且 A > ^π₂, a, 6 條。

3. A、B, 且 A = ^π₂, a, 2 條。

最後 28 條, 比較複雜, 有的有唯一解, 有的並不是。 這裡不詳細列舉了。

從分類的角度來看, 汪萊所分的六種情 況, 和現代分法完全相同。 每種情況再分, 並 不那麼簡單, 後兩種比較完備, 而前四種則有 較多的遺漏。 然而, 不論怎樣, 汪萊在 19 世 紀末中國那樣的背景下, 能達到這種程度已 極為可貴了。

四. 對組合問題的研究

《衡齋算學》 第四冊的後半部分為“遞兼 數理”, 約完成於 1789 年前後。 全文正文部 分雖只有 364 個漢字, 但它是中國數學史上 第一次以專題的形式探討組合的某些性質和 計算公式, 包含著較為豐富的內容。

汪萊在“遞兼數理”中首先給出了“遞兼 數” 的定義:

“設如有物各種。 自一物各立一數起, 至諸物合並共為一數止, 其間遞以二物 相兼為一數, 交錯以辨得若干數; 三物 相兼為一數, 交錯以辨得若干數; 四物

、 五物以至多物莫不皆然, 此謂遞兼之 數也。”

“兼”是兼並, 這裡是得到若干物件之意, 而

“遞” 可按相繼理解。 “遞兼數”即從幾個物 中, 每次取 1,2,· · ·,n 個的組合數 C_n¹, C_n²,

· · ·, C_nⁿ, 其中 C_n¹ = n 即所謂“一物各立 一數”, C_nⁿ = 1 即所謂“諸物合並共為一 數”, C_n² 為“二物相兼為一數, 交錯以辨得 若干數”, C_n³ 為“三物相兼為一數, 交錯以辨 得若干數”, 同樣 C_n⁴、C_n⁵ 分別為“四物”、“五 物”相兼而得的數, 以至 C_n^p (3 ≤ p ≤ n−1) 為“多物”相兼而得之數。

接著, 進一步討論了“欲求總數若干及 每次各若干”的計算方法, 即求“遞兼總數”和

“遞兼分數”法。

“遞兼總數”之求法: “以所設物數減一 數為倍根之次數。 乃以一為根, 倍之加一得三 為一次, 又倍之加一得七為二次, 如是累倍累 加一至如其次數而止。 其末得之數即相兼之 總數也。”即逐次組合的和:

C₂¹+ C₂² = 2 × 1 + 1 = 3 = 2² − 1, C₃¹+ C₃²+ C₃³ = 2 × 3 + 1 = 7 = 2³− 1,

...

C_n¹+C_n²+· · ·+C_nⁿ= 2(2(· · · 2(2

| {z }

共(n − 1)個 2

×1+1) +1 · · ·) + 1) + 1 = 2ⁿ− 1。

這就是一次、 二次乃至 n 次之遞兼總數。

“遞兼分數”是指組合 C_n^p, 其計算是通 過三角垛進行的, 而且中間涉及到 “中數”的 問題。“中數”即 C_n¹,C_n²,· · ·,C_nⁿ 的中間項, 故 有

C_n^p = C_n^n−p

汪萊解釋說: “中數之前後, 其前相兼之數與 其後不及兼之數等, 故得數等。” 但是各次組 合之系列有奇數, 也有偶數, 因此判斷中間 項的序號就要考慮到這一點, 他指出: “中數 之位, 於原設物數減去最大一數, 取其餘數之 中。 餘數奇則有一中, 偶則有二中。”

從 1, 2, · · · , (n − 1), n 這 n 個數中去 掉最大一數 n, 再由前 (n − 1) 項判別, 即

(n−1)



 



 



奇數, 有一個中間項, 即第 ⁿ₂ 項, 偶數, 有二個中間項, 即第 ⁿ⁻¹₂ 及

n+1

2 項。

根據這一性質, 汪萊得出結論說: “中 數以後, 即同於前, 不煩複算。”就是說在計算

“遞兼分數”時, 只計算前一半就行了。

三角垛是中國傳統數學的重要內容之 一, 系由“開方作法本源”演變而來。 汪萊叫它 三角堆。 由三角堆計算“遞兼分數”, 即

“以所設物數即為各立一數之數。 減一 數為三角堆之根, 乃以根數求得平三角 堆為二物相兼之數。 又減一數求得立三 角堆為三物相兼之數。 又減一數求得三 乘三角堆為四物相兼之數。 如是根數遞 減, 乘數遞加, 求得相兼諸數。· · · 此遞 兼之數也。”

1 p = 0 1 1 p = 1 1 2 1 p = 2 1 3 3 1 p = 3

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

上圖為“開方作法本源”之現代形式, 汪 萊所說的各種三角堆如圖中之斜行所示。 他 沒有畫出這個圖, 而是畫出各種堆的立體 圖形, 包括“一物各立一數”、 “二物相兼得 數”、“三物相兼得數”、“四物相兼得數”和“五 物相兼得數”。 他給出了相當於 p乘三角堆 (垛) 前 n 項的和為

X

r=1

1

pr(r + 1)(r + 2) · · · (r + p − 1)

= 1

(p + 1)!n(n + 1)(n + 2) · · · (n + p)

汪萊在求出各“遞兼分數” C_n¹, C_n², C_n³, C_n⁴之後進行了歸納: “如是根數遞減, 乘數遞 加, 求得相兼諸數”, 相當於

C_n^p =

r−p+1

X

r=1

1

(p − 1)r(r + 1)(r + 2) · · · (r + p + 2)

= 1

p!(n − p + 1)(n − p + 2) · · · (n − 1)n

即

C_n^p = n!

p!(n − p)!

這就是“遞兼數理”的主要內容。 雖然晚 於西方的同類結果, 但是卻是汪萊獨立得到 的。

五. 對方程論之研究

汪萊對方程論的研究包括在 《衡齋算 學》 第二冊、 第五冊和第七冊中, 特別是後 兩冊最為重要。 中國古代在代數方面的研究 和成就非常顯著, 可是從理論上進行研究極 少。 在宋元時期, 數學家們已經接觸到高次方 程不止有一個正根的問題, 而沒有進一步深 究^[13]。 據現在所知, 汪萊是我國歷史上第一 個對方程理論進行研究的人。

《衡 齋算 學》 第 二 冊 的 標 題 是“勾股 形”並有“帶縱立方形附”。 主要是講已知勾 股形的面積和勾弦和 (或股弦和), 求勾、 股、

弦各數。 其中包括有二次三次方程的問題。

第五冊“一乘方二乘方形”, 討論二次方 程和三次方程的實根問題, 即“根方多少糅雜 每根之數知不知條目”。 汪萊把方程有一個正 根時叫 “可知”, 有多個正根時叫“不可知”。

這冊中共有二次方程和三次方程 96 個, 經整 理有 16 種有正根, 除去最簡單的情形, 無重 複也無遺漏, 與現代的分類一致。 下面按“可 知”、“可知或不可知”和“不可知”三種情形把 方程列出^[14]:

一、 可知者

ax²− bx − c = 0 (8 條) ax²+ bx − c = 0 (8 條) ax³− cx − d = 0 (4 條) ax³+ cx − d = 0 (4 條) ax³− bx² − d = 0 (4 條) ax³+ bx²− d = 0 (4 條) ax³− bx² − cx − d = 0 (6 條) ax³+ bx²− cx − d = 0 (8 條)

ax³+ bx²+ cx − d = 0 (6 條)

二、 可知或不可知者

ax³− bx² + cx − d = 0 (8 條) 三、 不可知者

ax³− bx + c = 0 (8 條) ax³− cx + d = 0 (4 條) ax³− bx² + d = 0 (4 條) ax³− bx² + cx + d = 0 (6 條) ax³− bx² − cx + d = 0 (8 條) ax³+ bx²− cx + d = 0 (6 條)

其中 a, b, c, d 均為正數。

汪萊並沒有對這 16 種 96 個方程一一 求解, 而是通過變換把 16種歸結為更基本的 10 種類型, 它們具備首項系數為 1, 有正根 和有固定解法等條件。 他對 13 種三次方程中 的 7 種所採取的變換是: 對方程的各項皆乘 以 a², 則有

(ax)³± b(ax)²± ac(ax) ± a²d= 0 若令 y = ax, b = p, ac = q, a²d = r, 代 入則有

y³± py²± qy ± r = 0 然後解此方程, 求出正根。

在這些方程中, 原求第 51方程更有重要 性。 這方程屬於“可知或不可知”類型, 有一個 正根或有三個正根。 在有三個正根時, 汪萊假 定有三個分數相加, 即

1 α + 1

β + 1

γ = βγ+ αγ^′+ αβ αβγ

其中 α, β, γ 為

y³− py²+ qx − r = 0

的三個根, 則 p 為“三母總數” (α + β + γ), q 為“通分之共子”(βγ + αγ + αβ), r 為“三 母維乘之共母” (αβγ)。 實際上, 這是違達定 理在三次方程上的應用。

汪萊對第 51方程又給出一個“補法”, 主 要是在於變換的不同。 “補法”不用 a² 遍乘各 項, 而是用 a 除各項, 則有

x³− b

ax²+ c ax−d

a = 0 令 p 6= _a^b, q = ^c_a, r = ^d_a, 有

x³ − px² = qx − r = 0 (1) 作減根變換, 設 x = y +^p₂, 則上式變為

y³+1 2py²+



q− 1 4p²



y

−



r− p 2



q−1 4p²



= 0 (2)

在求解時, 主要看這方程的常數項和一次項 係數的情況而定。

當 r − ^p₂(q − ¹₄p²) = 0 時, y = 0 為 方程 (2) 一根, 於是 x = y + ^p₂ = ^p₂ 為 (1) 之一正根。

當 r−^p₂(q−¹₄p²) > 0, q−¹₄p² >0 時, 以帶從長立方有帶從方法解 (2), 求 y+^p₂, 得 (1) 的一個正根 x1 = y +^p₂。 然後解 (1) 的 降階方程

x²− (p − x1)x + r x1

= 0 (3)

當 (^p−x₂¹)² ≥ _x^r

1 時, (3) 有二正根, 因而 (1) 有三個正根 x₁, x2, x3, 當然都是原方程的正 根。

我們上面的討論, 是在 d < ^bc_a 時進行 的。 其他情況就不討論了。

《衡齋算學》 第七冊分為“諸乘方數、 根 數、 真數糅雜設題式並訣”和 “開諸乘方數、

根數、 真數糅雜訣” 兩大部分。 後一部分又 分為“審有無”、 “定進退”、“入諸商”和“求次 數”四小節。 在頭一大部分中, 汪萊以非常簡 捷的方式舉例說明兩個一次方程相乘得一個 二次方程, 三個一次方程相乘得一個三次方 程, 兩個二次方程相乘得一個四次方程等, 由 此可見, 高次方程之所以有可開與不可開, 其 理畢見^[15]。

在第二大部分中 “審有無”一節最為重 要。 如果說第五冊的 “可知”與 “不可知” 是 討論方程只有一個正根或多於一個正根的問 題, 那麼“審有無” 則是判別方程之有無正 根的問題。 汪萊對於首項係數和常數項正負 不同, 中間又正負不相間者, 肯定都有一個 正根的方程不在 “審有無”之列, 所討論的都 是首項係數和常數項皆為正而中間有負項方 程。“審有無” 一節共列出 25 個高次方程, 其 中有 4 個是屬於“有”的三項方程。 經歸納後 的方程是

xⁿ− px^m+ q = 0

其中 n > m > 0, p、q 為正數。 同樣經歸納, 此方程有正根的充要條件是

q≤ n− m n p





n−m

這是一條正確的判定定理, 但是汪萊是怎樣 得到的沒有說明。

汪萊還研究過其他數學問題, 如割圓術 就是其中之一, 他討論了有全弧通弦求五分 之一弧通弦術和求三分之一弧通弦術等。 這 裡不詳細介紹了。

通過上述事實可以看出; 汪萊是一位很 有才華的數學家, 他的思維能力和研究能力 都非常強。 從能力和水平來看, 汪萊不僅是他 那個時代, 而且也是中國歷史上的一流學者。

遺憾的是, 中國的國情限制了他的才能的充 分發揮, 他絲毫不了解同時代西方先進數學, 連數學符號都不知道, 對所有問題的敘述全 是文字的, 今天讀起他的著作還相當吃力。 如 果他要吸收了西方先進數學, 肯定能得到更 高水平的數學成果。

參考文獻

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5. 同 3。

6. 夏炘, 《衡齋遺著·跋》。

7. 汪萊, 《衡齋遺著》 卷 2。

8. 錢寶琮, “汪萊 《衡齋算學》 評述”, 《國立浙 江大學科學報告》2 卷 1 期 (1936), 第 1-24 頁; 《錢寶琮科學史論文選集》, 1983, 科學 出版社, 第 235-260 頁。

9. 李兆華, “汪萊 《遞兼數理》、《參兩算經》 略 論”, 《中國數學史論文集》 (二), 1986, 山 東教育出版社, 第 65-83 頁。

10. 同 9。

11. 李迪、 郭世榮, 《清代著名天文數學家梅文 鼎》, 1988, 上海科學技術文獻出版社, 第 172-188 頁。

12. 沈康身, “我國古代球體幾何知識的演進”,

《科技史文集》 第 8 輯 “數學史專輯”, 1982, 上海科學技術出版社, 第 128-143 頁。

13. 徐義保, “中算家對方程正根個數的認識”,

《數學史研究文集》 第二輯, 1991, 內蒙古 大學出版社、 九章出版社, 第 66-70 頁。

14. 李兆華, “汪萊方程論研究”, 《自然科學史 研究》11 卷 3 期 (1992), 第 192-208 頁。

15. 同 8。

—本文作者任教於內蒙古師範大學科學史 研究所—