例如 i j k 我們定為正向 (因 det(I3

140 5. Determinant

我們得到了 3× 3 matrix 的 determinant, 也因此由此可定義出 R³ 中三個向量所張成的 平行六面體的 signed volume. 也就是說若將 R³ 上的三個向量 u, v, w 寫成 row vectors, 令 矩陣 A 為 1-st, 2-nd, 3-rd row 依序為 u, v, w 的 3× 3 matrix, 則 det(A) 就是 u,v,w 三個向 量所張成的平行六面體的 signed volume. 其中 det(A) 的絕對值, 就是這平行六面體的體積.

而 det(A) 的正負號告訴我們 u, v, w 這三個向量的方向性. 這裡 u, v, w 這三個向量正反向我 們是用所謂的 right hand rule (右手定則) 來區分, 意即將右手大拇指指向 u 的方向, 其餘四 個指頭併攏指向 v 的方向, 若 w 位於手掌正面的方向則 u, v, w 為正向, 反之為負向. 例如 i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) 我們定為正向 (因 det(I3) = 1 > 0). 利用 Section 5.1 我們 定的方向性規則, 可以知道 det(A) > 0 時 u, v, w 這三個向量為正向, 而 det(A) < 0 時為負向.

給定 u = (a₁, a₂, a₃), v = (b₁, b₂, b₃)∈ R³, 我們定義 u, v 的 cross product (外積) u× v 為 u× v =

( det

[ a2 a3

b2 b3

] , det

[ a3 a1

b3 b1

] , det

[ a1 a2

b1 b2

]) .

要注意, 千萬不要將內積和外積弄混了, 兩個向量之內積是一個實數, 而兩個向量之 外積仍為向量. 另外 u× v 和 v × u 是不相等的, 除非 u × v = 0. 這是因為兩個 row 交 換其 determinant 會變號, 因此依定義 u× v = −v × u. 而 u × v 何時會是 0 呢? 依定義 u× v = 0 若且唯若 det

[ a₂ a₃ b₂ b₃

]

= det

[ a₃ a₁ b₃ b₁

]

= det

[ a₁ a₂ b₁ b₂

]

= 0, 很容易知道這等同 於 u = (a₁, a₂, a₃), v = (b₁, b₂, b₃) 為 linearly dependent.

現考慮 u = (a₁, a₂, a₃), v = (b₁, b₂, b₃), w = (c₁, c₂, c₃)我們有 w· (u × v) = c1det

[ a₂ a₃ b2 b3

]

+ c₂det

[ a₃ a₁ b3 b1

]

+ c₃det

[ a₁ a₂ b1 b2

]

(5.3)

由於 det

[ a3 a1

b₃ b₁ ]

=−det

[ a1 a3

b₁ b₃ ]

式子 (5.3) 的右式又等同於將



 a1 a2 a3

b1 b2 b3

c₁ c₂ c₃



 對 3-rd row 展開的 determinant, 故得

w· (u × v) = (u × v) · w = det



 a₁ a₂ a₃ b1 b2 b3

c1 c2 c3



 = det



 — u —

— v —

— w —



. (5.4)

也就是說 (u× v) · w 就是 u,v,w 這三個向量所張成的平行六面體的 signed volume.

特別的, 當 w = u 或 w = v 時, 由於 u, v, w 為 row vector 所形成的矩陣有兩個 row 相同, 所以其 determinant 為 0 (Lemma 5.2.2). 因此由式子 (5.4) 知 u·(u×v) = v·(u×v) = 0. 也 就是說當 u, v 為 linearly independent 時, u× v 同時會和 u 以及和 v 垂直. 而當 w = u × v, 我們有 (u× v) · (u × v) = ∥u × v∥². 也就是 u, v, u× v 所張成的平行六面體的 signed volume 為 ∥u × v∥². 考慮 u, v, u× v 所張成的平行六面體以 u,v 所張的平行四邊形為底, 此時由於 u× v 和 u 以及和 v 垂直, 我們得 ∥u × v∥ 就是此平行六面體的高. 因此由 u,v,u × v 所張成 的平行六面體的體積∥u × v∥² 為 u, v 所張的平行四邊形面積乘上高∥u × v∥, 得 u,v 所張的 平行四邊形面積為 ∥u × v∥. 另外由於 u,v,u × v 所張成的平行六面體的 signed volume 為

∥u × v∥²> 0, 我們知 u, v, u× v 利用右手定則為正向. 最後我們將外積的性質歸納如下.

Theorem 5.3.3. 給定 u, v∈ R³. 則 u× w ̸= 0 若且唯若 u,v 為 linearly independent. 此時 u× v 的長度為 u,v 所張的平行四邊形面積, 且 u,v 同時與 u × v 垂直, 又 u,v,u × v 利用右 手定則為正向.

又假設 w∈ R, 則 (u×v)·w ̸= 0 若且唯若 u,v,w 為 linearly independent. 此時 (u×v)·w 就是 u, v, w 這三個向量所張成的平行六面體的 signed volume.

5.4. Existence of the Determinant Function

在上一節中, 我們利用降階的方法以及 2× 2 matrix 的 determinant 的存在性建構了 3 × 3 matrix 的 determinant, 因而得到其存在性. 接著我們可利用 3× 3 matrix 的 determinant 存在性得到 4× 4 matrix 的 determinant 的存在性, 然後一直下去. 在本節中, 我們就是要 用數學歸納法證明一般 n× n matrix 的 determinant 皆存在.

首先我們將 Definition 5.3.1 的定義推廣到一般的情形.

Definition 5.4.1. 假設 A = [a_{i j}] 為 n× n matrix. 將 A 的 i-th row 和 j-th column 除去所 得的 (n−1)×(n −1) matrix, 稱為 A 的 (i, j) minor matrix, 用 Ai j 表示. 當 (n−1)×(n −1) matrix 的 determinant 存在時, 令 a^′_{i j}= (−1)^{i+ j}det(A_{i j}), 稱為 A 的 (i, j) cofactor.

現利用數學歸納法假設 (n− 1) × (n − 1) matrix 的 determinant 存在, 對於 n × n matrix A = [ai j], 固定 k∈ {1,...,n}, 我們考慮 A 對 k-th column 展開, 定義

det(A) = a1 ka^′_{1 k}+ a2 ka^′_{2 k}+··· + an ka^′_{n k}.

我們要利用 (n− 1) × (n − 1) matrix 的 determinant 符合 determinant 所要求的四個性質來 證明這樣定出 n× n matrix 的 determinant 也會符合這四個性質.

首先證明 det(I_n) = 1. 由於 I_n 的 k-th column 為 e_k, 僅有在 k-th entry 為 1, 其餘位 置為 0. 也就是說若令 A = [ai j] = In, 則 ai k= 0 for i̸= k 且 ak k= 1. 因此依定義我們有 det(I_n) = a_{k k}a^′_{k k}= a^′_{k k}. 然而 A = I_n 在 (k, k) 的 minor matrix 為 I_n−1, 因此得 A = I_n 的 (k, k) cofactor 為 a^′_{k k}= (−1)^k+kdet(In−1) = det(I_n−1). 但依 induction 的假設, det(In−1) = 1, 故知 a^′_{k k}= 1, 得證 det(In) = 1.

接著檢查相鄰兩個 row 互換後 determinant 會變號. 假設 A = [a_{i j}],固定 l∈ {1,...,n−1}, 假設將 A 的 l-th row 和 l + 1-th row 交換所得的矩陣為 B = [b_{i j}]. 也就是說當 i̸= l,l + 1 時, b_{i j}= a_{i j} 而 b_{l j} = a_{l+1 j}, bl+1 j= a_{l j}. 因而我們有當 i < l 時, B 的 (i, k) minor matrix Bi k

就是將 A 的 (i, k) minor matrix A_{i k} 相鄰的 l− 1-th, l-th 兩個 row 交換 (此時依歸納假設 det(B_{i k}) =−det(Ai k)). 而當 i > l + 1 時, B_{i k} 就是將 A_{i k} 相鄰的 l-th, l + 1-th 兩個 row 交換 (此時依歸納假設 det(Bi k) =−det(Ai k)). 又 B_{l k} 就是 A_{l+1 k} 且 B_{l+1 k} 就是 A_{l k}. 因此我們有 B 的 (i, k) cofactor b^′_{i k} 為

(−1)^i+kdet(B_{i k}) =





(−1)^i+k(−det(Ai k)) =−a^′_{i k}, if i̸= l and i ̸= l + 1;

(−1)^l+kdet(A_{l+1 k}) =−a^′_{l+1 k}, if i = l;

(−1)^i+1+kdet(A_{l k}) =−a^′_{l k}, if i = l + 1;

142 5. Determinant

由此得證

det(B) = b_{1 k}b^′_{1 k} +··· + b_{l k}b^′_{l k} + b_{l+1 k}b^′_{l+1 k} + ··· + b_{n k}b^′_{n k}

= a_{1 k}(−a^′_{1 k}) +··· + al+1 k(−a^′_{l+1 k}) + a_{l k}(−a^′_{l k}) + ··· + an k(−a^′_{n k})

= −det(A)

至於性質 (3), (4) 我們合併檢查, 即檢查 multi-linear 性質. 固定 l∈ {1,...,n − 1} 以及 r∈ R. 假設 A = [ai j], B = [b_{i j}], C = [c_{i j}] 為 n× n matrices 滿足當 i ̸= l 時 ai j= b_{i j}= c_{i j} 而 a_{l j}= b_{l j}+ rc_{l j}. 當 i < l 時, A 的 (i, k) minor matrix A_{i k} 的 l− 1-th row 就是 Bi k 的 l− 1-th row 加上 r 倍的 C_{i k} 的 l− 1-th row (此時依歸納假設 det(Ai k) = det(B_{i k}) + r det(C_{i k})). 而當 i > l + 1 時, Ai k 的 l-th row 就是 B_{i k} 的 l-th row 加上 r 倍的 C_{i k} 的 l-th row (此時依歸 納假設 det(A_{i k}) = det(B_{i k}) + r det(C_{i k})). 又 A_{l k} 等於 B_{l k} 且等於 C_{l k}. 因此我們有 A 的 (i, k) cofactor a^′_{i k} 為

(−1)^i+kdet(Ai k) =

{ (−1)^i+k(det(B_{i k}) + r det(B_{i k}) = b^′_{i k}+ rc^′_{i k}, if i̸= l;

(−1)^l+kdet(Bl k) = (−1)^l+kdet(Cl k) = b^′_{l k}= c^′_{l k}, if i = l;

由此得證

det(A) = a_{1 k}a^′_{1 k} +··· + a_{l k}a^′_{l k} + ··· + a_{n k}a^′_{n k}

= b_{1 k}(b^′_{1 k}+ rc^′_{1 k}) +··· + (bl k+ rc_{l k})b^′_{l k} + ··· + bn k(b^′_{n k}+ rc^′_{n k})

= b1 kb^′_{1 k}+ rc_{1 k}c^′_{1 k} +··· + bl kb^′_{l k}+ rc_{l k}c^′_{l k} + ··· + bn kb^′_{n k}+ rc_{n k}c^′_{n k}

= det(B) + r det(C).

我們證得了 det 的存在性, 再加上 Theorem 5.2.8 的唯一性, 我們有以下的結論.

Theorem 5.4.2. 存在唯一的函數 det : M_n×n(R) → R 滿足 (1) det(I_n) = 1.

(2) 若將 n× n matrix A 某相鄰兩個 row 交換所得的矩陣為 A^′, 則 det(A^′) =−det(A).

(3) 若將 n×n matrix A 某個 row 乘上非零實數 r 所得的矩陣為 A^′, 則 det(A^′) = r det(A).

(4) 若 A, B,C 三個 n× n matrix, 其中 A 的 i-th row 是 B 和 C 的 i-th row 之和, 而 A, B,C 其他各 row 皆相等, 則 det(A) = det(B) + det(C).

由於我們證得了對任意的 column 展開所得的 determinant 皆符合上述四項性質, 因此 由唯一性得到對任意 column 展開所得的 determinant 之值皆會相同. 另外和 3× 3 的情形 相同, 由於 det(A^t) = det(A), 我們也得到對任意 row 展開所得的 determinant 之值皆會相同.

因此我們有以下的結果.

Theorem 5.4.3. 假設 A = [ai j] 為 n× n matrix. 令 a^′i j 為 A 的 (i, j) cofactor, 則對任意 k∈ {1,...,n} 皆有 det(A) = a1 ka^′_{1 k}+ a_{2 k}a^′_{2 k}+··· + an ka^′_{n k}= a_{k 1}a^′_{k 1}+ a_{k 2}a^′_{k 2}+··· + ak na^′_{k n}. Question 5.3. 對於 n× n matrix A = [ai j]考慮 A 的 diagonal entry 展開, 即考慮

a_{1 1}a^′_{1 1}+ a_{2 2}a^′_{2 2}+··· + an na^′_{n n}.

試問這樣的展開方法會符合我們要求 determinant 的四項規則的哪幾項?

雖然我們利用 elementary row operations 的方法證明了 determinant 的唯一性, 又用降 階的方法證明了 determinant 的存在性, 不過在計算 determinant 時, 這兩種方法都可混用.

一般來說用 row operation 或 column operation 來求 determinant 較快, 不過若發現有的 row 或 column 僅有一個不是 0 的 entry, 則對該 row 或 column 降階, 也可幫助我們較快算 出 determinant. 我們看以下的例子.

Example 5.4.4. 我們求 A =







2 −1 3 5 0 2 1 2 0 5 3 3 4 −2 7 8





 的 determinant. 首先觀察 A 的 1-st column

僅有兩個 entry 不為 0, 所以利用 1-st row 乘上−2 加到 4-th row 得 B =







2 −1 3 5 0 2 1 2 0 5 3 3 0 0 1 −2







(此時 det(A) = det(B)). 現因 B 的 1-st column 僅有一個非 0 entry, 我們對 1-st column 降 階展開得 det(B) = 2 det(C) 其中 C 為 B 的 (1, 1) minor matrix, 即 C =



 2 1 2 5 3 3 0 1 −2



. 接著

將 C 的 2-nd column 乘上 2 加到 3-rd column 得 D =



 2 1 4 5 3 9 0 1 0



 (此時 det(C) = det(D)).

最後對 D 的 3-rd row 展開得 det(D) = (−1)³⁺²det [ 2 4

5 9 ]

= 2. 故知 det(A) = det(B) = 2 det(C) = 2 det(D) = 4.

5.5. Cramer’s Rule and Adjoint Matrix

Determinant 不只可以幫助我們計算平行多面體的有向體積, 其實它也可以幫助我們解聯立 方程組以及找到 invertible matrix 的反矩陣. 在這一節中, 由於和矩陣乘法有關, 所以所有 向量皆用 column vector 表示.

首先考慮 n× n matrix A = [ai j]對於 j∈ {1,...,n} 令 aj 表示 A 的 j-th column. 現對於 Rⁿ 的一個 vector c =



 c1

... cn



, 對於任意 k ∈ {1,...,n}, 考慮 Ck 為將 identity matrix I_n 的 k-th

column 用 c 取代的 n× n matrix. 亦即當 j ̸= k 時, Ck 的 j-th column 為 e_j, 而 Ck 的 k-th column 為 c. 現考慮 AC_k, 依矩陣乘法的定義, 我們有

ACk=



  v₁ ··· vn









 c₁  e₁ ··· ... ··· en

 c_n 



 =



  

v₁ ··· c1v₁+··· + cnv_n ··· vn



. (5.5)

144 5. Determinant

也就是說當 j̸= k 時, ACk 的 j-th column 為 v_j, 而 AC_k 的 k-th column 為 c₁v₁+··· + cnv_n. 現對於 b =



 b1

... bn



 若 x1= c₁, . . . , x_n= c_n 為聯立方程組 Ax = b 的一組解, 亦即

c₁v₁+··· + cnv_n=



  v₁ ··· vn







 c1

... cn



 =



 b1

... bn



 = b. (5.6)

因此若令 B_k 表示將 A 的 k-th column 用 b 取代的 n× n matrix, 則結合式子 (5.5) (5.6), 我們有 AC_k= B_k. 因此由 determinant 的乘法性質 (Theorem 5.2.6 (2)), 得 det(A) det(C_k) = det(Bk). 然而對 C_k 的 k-th row 展開, 我們有 det(Ck) = ck(−1)^k+kdet(In−1) = ck. 因此得證以 下之定理.

Theorem 5.5.1. 假設 A 為 n× n matrix 且 b =∈ Rⁿ 為 column vector. 對於 k∈ {1,...,n}

令 B_k 表示將 A 的 k-th column 用 b 取代的 n× n matrix. 若 x1= c1, . . . , xn= cn 為聯立方 程組 Ax = b 的一組解, 則 c_kdet(A) = det(B_k).

我們可以利用 Theorem 5.5.1 得到許多和解聯立方程組有關的性質. 首先若 det(A)̸= 0, 表示 A 為 invertible, 我們知聯立方程組 Ax = b 一定有解且解唯一. 事實上此時由 Theorem 5.5.1 我們可以將此組解具體寫出. 這就是所謂的 Cramer’s Rule.

Corollary 5.5.2 (Cramer’s Rule). 假設 A 為 n×n invertible matrix 且 b =∈ Rⁿ 為 column vector. 對於所有 k∈ {1,...,n} 令 Bk 表示將 A 的 k-th column 用 b 取代的 n× n matrix.

則聯立方程組 Ax = b 有唯一的一組解, 且其解為 x_k= det(B_k)

det(A),∀k = 1,...,n.

Proof. 由假設 A 為 invertible, 知 det(A)̸= 0 且 Ax = b 必有解 (且解唯一). 然而 Theorem 5.5.1 告訴我們如果聯立方程組 Ax = b 有解, 則其解 x1= c1, . . . , xn= cn 需滿足 c_kdet(A) = det(B_k),∀k = 1,...,n. 然而因 det(A) ̸= 0, 故由解的存在性知 xk= det(B_k)/ det(A),∀k = 1,...,n

是唯一可能的一組解. 

Example 5.5.3. 考慮 Example 5.4.4 中的矩陣 A =







2 −1 3 5 0 2 1 2 0 5 3 3 4 −2 7 8





. 令 b =





 1 0 0 0





, 前 面 已 知 det(A) = 4̸= 0, 我們可用 Cramer’s rule 解聯立方程組 Ax = b. 此時將 b 置

換 於 A 的 1-st column, 得 B1=







1 −1 3 5 0 2 1 2 0 5 3 3 0 −2 7 8





. 同理得 B² =







2 1 3 5 0 0 1 2 0 0 3 3 4 0 7 8





, B³=







2 −1 1 5 0 2 0 2 0 5 0 3 4 −2 0 8





, B⁴=







2 −1 3 1 0 2 1 0 0 5 3 0 4 −2 7 0





. 利用降階, 我們得 det(B¹) = 42, det(B2) = 12,

det(B₃) =−16, det(B4) =−4. 故由 Cramer’s rule 知 x1= 21/2, x₂= 3, x₃=−4, x4=−1 是 聯立方程組 Ax = b 之唯一一組解. 若令 C₁=







21/2 0 0 0 3 1 0 0

−4 0 1 0

−1 0 0 1





 我們會有

AC₁=







2 −1 3 5 0 2 1 2 0 5 3 3 4 −2 7 8













21/2 0 0 0 3 1 0 0

−4 0 1 0

−1 0 0 1





 =







1 −1 3 5 0 2 1 2 0 5 3 3 0 −2 7 8





 = B¹.

同理若令

C₂=







1 21/2 0 0 0 3 0 0 0 −4 1 0 0 −1 0 1





,C³=







1 0 21/2 0 0 1 3 0 0 0 −4 0 0 0 −1 1





,C⁴=







1 0 0 21/2 0 1 0 3 0 0 1 −4 0 0 0 −1





,

我們會有 AC₂= B₂, AC₃= B₃ 以及 AC₄= B₄.

至於當 A 不是 invertible 時 (即 det(A) = 0), Theorem 5.5.1 就無法幫助我們找出聯立方 程組的解. 不過由於 det(A) = 0, 故利用 Theorem 5.5.1 知若 x1= c1, . . . , xn= cn 為聯立方程 組 Ax = b 的一組解, 則 det(B_k) = c_kdet(A) = 0, ∀k = 1,...,n. 換言之, 若存在 k ∈ {1,...,n}

使得 det(Bk)̸= 0, 則聯立方程組 Ax = b 就無解.

Corollary 5.5.4. 假設 A 為 n× n non-invertible matrix 且 b ∈ Rⁿ 為 column vector. 對 於所有 k∈ {1,...,n} 令 Bk 表示將 A 的 k-th column 用 b 取代的 n× n matrix. 若存在 k∈ {1,...,n} 使得 det(Bk)̸= 0, 則聯立方程組 Ax = b 無解.

要注意 Corollary 5.5.4 的反向並不成立. 也就是說當 A 不是 invertible 時, 若對所有 k = 1, . . . , n, 皆有 det(B_k) = 0, 那麼我們是無從判斷聯立方程組 Ax = b 是否有解的. 例如在 A =



 1 1 1 2 2 2 3 3 3



,b =



1 2 3



 的情形很容易判斷 Ax = b 有解, 且 det(A) = det(B₁) = det(B₂) =

det(B₃) = 0. 而當 b =



1 1 1



 時, 很容易判斷 Ax = b 無解, 但此時仍有 det(A) = det(B₁) = det(B₂) = det(B₃) = 0.

由上面這幾種情況可知, Cramer’s rule 並不是有效處理聯立方程組的方法. 一般在處理 特定的聯立方程組, 還是直接用 elementary row operations 處理較為快速. 不過在處理一般 抽象的方程組問題時, Cramer’s rule 因為可以具體描繪出解的形式, 所以是很有用的工具.

我們看以下的性質.

Proposition 5.5.5. 假設 A = [a_{i j}] 為 n× n matrix 其中 ai j ∈ Z, ∀i, j ∈ {1,...,n}. 若 det(A) =±1, 則對於任意 b =



 b1

... bn



, 其中 bi∈ Z, ∀i ∈ {1,...,n}, 聯立方程組 Ax = b 的解皆

為整數.

146 5. Determinant

Proof. 由 於 det(A) =±1 ̸= 0, 利用 Cramer’s rule 我們有聯立方程組 Ax = b 的解為 x1 =±det(B1), . . . , x_n =±det(Bn), 其 中 對 任 意 k∈ {1,...,n}, Bk 為 將 A 的 k-th column 用 b 取代的 n× n matrix. 由於 ai j∈ Z 且 bi∈ Z, ∀i, j ∈ {1,...,n}. 我們知矩陣 Bk 的所有 entry 皆為整數. 利用 determinant 的定義, 我們知此時 det(B_k) 亦為整數, 得證聯立方程組

Ax = b 的解皆為整數. 

另外一個 Cramer’s rule 的應用就是幫我們找到 invertible matrix 的 inverse. 假設 A∈ Mn×n(R) 為 invertible 且 C 為　 A 的 inverse, 則由 AC = In, 依矩陣乘法定義我們知 C 的 j-th column



 c1 j

... cn j



 需滿足 A



 c1 j

... cn j



 等於 In 的 j-th column e_j. 也就是說 C 的 j-th column

為聯立方程組 Ax = e_j 的解. 因此 C 的 (i, j)-th entry c_{i j} 應為聯立方程組 Ax = e_j 的解中 x_i 之值. 故由 Cramer’s rule 知 c_{i j}= det(A( j, i))/ det(A), 其中 A( j, i) 表示將 A 的 i-th column 用 e_j 取代的 n× n matrix. 然而利用對 A( j,i) 的 i-th column 展開求 det(A( j,i)), 我們得 det(A( j, i)) = (−1)^j+1det(Aj i) = a^′_{j i}. 也就是說 ci j 就是 A 的 ( j, i) cofactor (注意 i, j 位置交 換) 除以 det(A). 為了方便起見我們有以下的定義.

Definition 5.5.6. 假設 A = [ai j] 為 n× n matrix, 對於任意 i, j ∈ {1,...,n} 令 a^′_{i j} 為 A 的 (i, j) cofactor. 考慮 n× n matrix A^′ 其 (i, j)-th entry 為 a^′_{i j}. 我們稱 A^′ 為 A 的 cofactor matrix 而稱 A^′ 的 transpose (A^′)^t 為 A 的 adjoint matrix, 用 adj(A) 來表示.

注意 adj(A) 是將 A 的 cofactor 所成的矩陣 A^′ 取轉置而得, 千萬不要忘記取轉置. 另外 要注意不管一個 n× n matrix 是否為 invertible, 皆可定義其 adjoint matrix.

我們回到剛才 A 為 invertible 的情況. 假設 C 為其 inverse. 依 adj(A) 的定義, 我們得到 C 的 (i, j)-th entry 就是 adj(A) 的 (i, j)-th entry 除以 det(A). 因此依矩陣係數積的定義, 我 們有 C =_det(A)¹ adj(A). 得證了以下的定理.

Proposition 5.5.7. 假設 A 為 n× n invertible matrix. 則 A⁻¹= 1

det(A)adj(A).

Example 5.5.8. 考慮 Example 5.4.4 中的矩陣 A =







2 −1 3 5 0 2 1 2 0 5 3 3 4 −2 7 8





. 在 Example 5.5.3 中 我們解出 Ax = e₁ 的解, 事實上就是 A 的反矩陣 A⁻¹ 的 1-st column. 在 Example 5.5.3 中的

B1=







1 −1 3 5 0 2 1 2 0 5 3 3 0 −2 7 8





 就是將 A 的 1-st column 用 e¹ 取代所得的矩陣 A(1, 1). 若我們將 B1

的 1-st column 展開求 det(B₁)得 det(B₁) = (−1)¹⁺¹det



 2 1 2 5 3 3

−2 7 8



 = 42 就是 A 的 (1,1)

cofactor. 同樣的 B2=







2 1 3 5 0 0 1 2 0 0 3 3 4 0 7 8





 就是將 A 的 2-nd column 用 e¹ 取代所得的矩陣

A(1, 2). 若我們將 B2 的 2-nd column 展開求 det(B2)得 det(B2) = (−1)¹⁺²det



 0 1 2 0 3 3 4 7 8



 =

12 就是 A 的 (1, 2) cofactor. 同理得 B3 是將 A 的 3-rd column 用 e1 取代所得的矩陣 A(1, 3) 且 det(B3) = (−1)¹⁺³det



 0 2 2 0 5 3 4 −2 8



 = −16 就是 A 的 (1,3) cofactor. 而 B4 是將 A 的 4-th column 用 e1 取代所得的矩陣 A(1, 4) 且 det(B4) = (−1)¹⁺⁴det



 0 2 1 0 5 3 4 −2 7



 = −4 就 是 A 的 (1, 4) cofactor. 注意這裡求出的 cofactor 其實對應到 A 的 cofactor 所成的矩陣 A^′ 會是 A^′ 的 1-st row. 我們求出 A 其他的 cofactor 會有

a^′_{2 1}= (−1)²⁺¹det



 −1 3 5 5 3 3

−2 7 8



 = −64, a^′2 2= (−1)²⁺²det



 2 3 5 0 3 3 4 7 8



 = −18, a^′_{2 3}= (−1)²⁺³det



 2 −1 5 0 5 3 4 −2 8



 = 20, a^′_{2 4}= (−1)²⁺⁴det



 2 −1 3 0 5 3 4 −2 7



 = 10.

以及 a^′_{3 1}= 26, a^′_{3 2}= 8, a^′_{3 3}=−8,a^′_{3 4}=−4,a^′_{4 1}=−20,a^′_{4 2}=−6,a^′_{4 3}= 8, a^′_{4 4}= 2. 因此得

A^′=







42 12 −16 −4

−64 −18 20 10

−26 8 −8 −4

−20 −6 8 2





, adj(A) =







42 −64 −26 −20 12 −18 8 −6

−16 20 −8 8

−4 10 −4 2







也因此得

A⁻¹= 1

det(A)adj(A) =1 4







42 −64 −26 −20 12 −18 8 −6

−16 20 −8 8

−4 10 −4 2





.

由上面例子可以看出利用 adjoint matrix 求反矩陣非常複雜, 所以在實際求反矩陣的情 況還是利用從前學的 elementary row operation 的方法會比較快. 不過在證明抽象理論時, 利用 adjoint matrix 求 inverse 還是很有用的. 例如當 A 的每一個 entry 皆為整數時, 由於 adj(A) 的每一個 entry 也皆為整數, 因此若 det(A) =±1, 則由 Proposition 5.5.7 我們有以下 的結果.

Corollary 5.5.9. 假設 A 為 n×n matrix 其中 A 的每一個 entry 皆為整數. 若 det(A) = ±1, 則 A⁻¹ 的每一個 entry 也皆為整數.

———————————– 07 March, 2019