托勒密

托勒密 _(Ptolemy) 定理與

“ 三弦定理 _” 的關係

樂嗣康

古希臘天文學家、 數學家托勒密 (Ptole -my, 約公元90-168年) 曾發現一個極為著名 的定理。 即在平面內有四點, A, B, C, D 構 成一個凸四邊形, 則必有下列的結論:

AB· CD+ AD · BC ≥ BD · AC.

當四點構成一個圓內接四邊形時, 則 AB· CD+ AD · BC = BD · AC.

這就是著名的托勒密定理, 如圖 1。

.

... .

.. . . .

... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

. .. .

... ..

..

. O•

A

B

C

D

圖1

18 世紀著名的瑞士數學家尤拉 (又譯為 歐拉, Euler, 1707-1783 年) 曾提出與托勒 密定理相類似的定理, 即

若 A, B, C, D 為一直線上順次四點, 則

AB· CD+ AD · BC = BD · AC.

世人稱這個定理為尤拉定理。

我們若將圓的半徑看成可以無限增大, 當半徑趨向無限大時, 這時, 托勒密定理中的 共圓四點 (即圓內接四邊形的四個頂點), 可 以看成一條直線上的四點, 圓轉化成直線。 顯 然, 尤拉定理就成為托勒密定理的特例了。

我們若將上述的命題置於球面上來看, 球面上的直線是一個大圓, 也就是說是封閉 的。 由此, 也可以清楚地看到尤拉定理與托勒 密定理的統一, 是直線與圓的統一。

現在舉一個例子:

設 ABCD 為圓內接凸四邊形, 則 AC

BD = DA· AB + BC · CD AB · BC+ CD · DA,

54

托勒密

_(Ptolemy)

定理與

_“

三弦定理

_”

的關係

₅₅

如圖2

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... ..

.. .

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.. .. .

... .

.. ..

A

B

C

D E

F

.. . . .. .. .. . .. . ...

.. . .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. ..

... . ...

... .. .. ... . .. ...

... . ...

...

圖2

證: 設 ABCD 凸四邊形的外接圓半 徑為R, 作 BE⊥AC 交 AC 於 E, 作 DF⊥AC 交 AC 於 F, 如圖 2,

∵

AC(AB · BC + CD · DA)

= AC(2R · BE + 2R · DF )

= 2R · AC(BE + DF )

= 2R(AC · BE + AC · DF )

= 2R(2

Z

△ABC

+2

Z

△ACD

)

= 4R ·

Z

ABCD

.

同理, BD(DA · AB + BC · CD)

= 4R ·

^R ABCD

。

∴

AC(AB · BC + CD · DA)

= BD(DA · AB + BC · CD).

但 BD 6= 0, AB · BC + CD · DA 6= 0,

∴

AC

BD = DA· AB + BC · CD AB · BC+ CD · DA

得到了證明。

同樣, 我們可以將 ABCD 的外接圓半 徑趨於無窮大 (即這時

^∠

B →180

^◦

,

^∠

C → 180

^◦

,

^∠

A → 0

^◦

,

^∠

D → 0

^◦

) 這時凸四邊 形 ABCD 已經轉化為在一直線上順序之四 點 A, B, C, D。 此時, 其結論仍舊不變, 當 然, 我們也可以直接把它證明。

由此, 我們可以導出一個新命題 (定理):

若 A, B, C, D, 為一直線上順序的四 點, 則

AC

BD = DA· AB+ BC · CD AB· BC+ CD · DA. 當然, 我們也可以說, 若將圓的半徑趨於無限 大, 則後面的新命題 (定理) 就是前面定理的 特例。

下面我們再舉一個例子 (亦即不久前 在浙江日報刊登的遼寧省侯明輝老師發現的

“三弦定理”

... ...

... ..

.. . .. . ..

... .

.. .. . .. .. . .

A

B

C

D

.. . .. ... .. .. . .. ... . .. . .. ... . .. . .. ... .. . .. ... .. .. . ...

.. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . .. . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .

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圖3

如圖 3, 設 A 為圓 O 的圓周上一點, 過

56

數學傳播

₂₆

卷

₁

期 民

₉₁

年

₃

月

A 任作三弦 AB, AC, AD, 則 AC·sin

^∠

BAD

= AB · sin

^∠

CAD+ AD · sin

^∠

BAC。

很明顯, 這是將托勒密定理中的邊與邊之間 的關係轉化為邊與角之間的關係。

事實上, 我們只要應用托勒密定理來證 即可得到這個“三弦定理”。

證: 既然有過 A 點的三弦 AB, AC, AD, 則連結 BC、CD, 必得到一個圓內接 四邊形 ABCD, 如圖 3。

又

^∵

△ABD, △ABC, △ACD 都內 接於同一個圓。 設該圓的半徑為 R, 則應用正 弦定理即可得到

AB· CD+ AD · BC

= AB · 2R · sin

^∠

CAD +AD · 2R · sin

^∠

BAC

AC· BD= AC · 2R · sin

^∠

BAD 由托勒密定理知,

AB· CD+ AD · BC = AC · BD。

∴

2R·AB sin

^∠

CAD+2R·AD·sin

^∠

BAC

= 2R · AC · sin

^∠

BAD。 即

AB·sin

^∠

CAD+ AD · sin

^∠

BAC

= AC · sin

^∠

BAD

於是得出了“三弦定理”, 並得到了證明。

所以可以說, “三弦定理”是一個新命題 (定理), 也是托勒密定理的一個推論。

“三弦定理”的逆命題也是可以證明的。

如果有同一頂點的三條線段 AB, AC, AD, 它們的夾角分別為

^∠

BAC,

^∠

CAD,

∠

BAD, 且具有下列關係: AC · sin

^∠

BAD

= AB · sin

^∠

CAD+ AD · sin

^∠

BAC, 則 A, B, C, D, 這四點必共圓。 也即線段 AB, AC, AD 為同一圓上且有公共頂點 A 的三 條弦。

現在來證明“三弦定理”的逆命題。

... ...

... ..

.. . .. .. . ..

... ..

. .. .. .. . .. ..

A

B

C

^′

C

D

• O

.. . .. ... .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . ..

.. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. . . .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . .. .. .

圖4

如圖 4, 有公共端點 A 的三條線段 AB, AC, AD, 且它們的長度與相互間的夾角具 有下列關係:

AC·sin

^∠

BAD

= AB · sin

^∠

CAD+ AD · sin

^∠

BAC.

則 A, B, C, D 四點共圓。

證: 過不在一直線上的三點 A, B, D 作 一圓 O, 交 AC(或延長線上) 於 C

^′

點, 並 設圓 O 的半徑為 R, 連結 BC

^′

, DC

^′

, 構成 一個圓內接四邊形 ABC

^′

D, 於是, 由“三弦

托勒密

_(Ptolemy)

定理與

_“

三弦定理

_”

的關係

₅₇

定理”可得,

AC

^′

·sin

^∠

BAD

= AB · sin

^∠

C

^′

AD+ AD · sin

^∠

BAC

^′

但已知

AC·sin

^∠

BAD

= AB · sin

^∠

CAD+ AD · sin

^∠

BAC。

而 A, C, C

^′

共線,

∴ ∠

BAC =

^∠

BAC

^′

,

^∠

CAD=

^∠

C

^′

AD

∴

AC

^′

·sin

^∠

BAD= AC · sin

^∠

BAD.

∴

AC

^′

= AC, 即 C

^′

≡ C.

但 A, B, C

^′

, D 共圓,

^∴

A, B, C, D 共圓。 這就是說, AB, AC, AD 為過同一頂 點 A 在圓 O 上的三條弦, 得到了證明。

由此可知, “三弦定理”的逆定理也是存 在的。

當然, 我們若把“三弦定理”當作原始的 定理則也可以推出托勒密定理。 後者同樣可 以成為前者的推論, 然而托勒密定理發現於 公元後二世紀, 距今已有一千八百多年, 因 而我們只能說“三弦定理”是托勒密定理的推 論。 由於“三弦定理”敘述簡明, 且在計算上便 於應用, 稱它為三弦定理也是合乎情理的。 正 像托勒密定理與尤拉定理的關係相類似。

以上只是我個人的一點看法, 不知妥當 否?

—本文作者任教於中國寧波大學—