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110 學 年 度 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 考 科 非 選 擇 題 參 考 答 案
數 學 甲 的 題 型 有 選 擇 、 選 填 與 非 選 擇 題 。 非 選 擇 題 主 要 評 量 考 生 是 否 能 夠 清 楚 表 達 推 理 論 證 過 程 ， 答 題 時 應 將 推 理 或 解 題 過 程 說 明 清 楚 ， 且 得 到 正 確 答 案 ， 方 可 得 到 滿 分 。 如 果 計 算 錯 誤 ， 則 酌 給 部 分 分 數 。 如 果 只 有 答 案 對 ， 但 觀 念 錯 誤 ， 或 過 程 不 合 理 ， 則 無 法 得 到 分 數 。
數 學 科 非 選 擇 題 的 解 法 通 常 不 只 一 種 ， 在 此 提 供 多 數 考 生 可 能 採 用 的 解 法 以 供 各 界 參 考 。 關 於 較 詳 細 的 考 生 解 題 錯 誤 概 念 或 解 法 ， 請 參 見 本 中 心 將 於 9 月 15 日 出 刊 的 《 選 才 電 子 報 》。
110 學 年 度 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 考 科 非 選 擇 題 各 大 題 的 參 考 答 案 說 明 如 下 ：
第 一 題
一 、 坐 標 空 間 中 ， 令 E為 通 過 三 點 A − −(0, 1, 1)、 B − −(1, 1, 2)、C(0,1,0)的 平 面 。 假 設 H 為 空 間 中 一 點，且 滿 足
AH 2
=3 AB 1
−3
AC ＋ 3( AB×
AC )。根 據 上 述，試 回 答 下 列 問 題 。
(1) 試 求 四 面 體 ABCH 的 體 積 。（4 分 ）（ 註 ： 四 面 體 體 積 為 三 分 之 一 的 底 面 積 乘 以 高 ）
(2) 令 點 H ′為 點 H 相 對 於 平 面 E的 對 稱 點 ， 試 求 H′的 坐 標 。（4 分 ）
(3) 試 判 斷 點 H ′在 平 面 E的 投 影 點 是 否 位 在 ∆ABC的 內 部 ？ 並 說 明 理 由 。（4 分 ）（ 註 ： 三 角 形 的 內 部 不 含 三 角 形 的 三 邊 ）
第(1)小 題 由 於 2 1
3AB
−3AC在 平 面 E上 且3 AB AC
× 與 E垂 直 。 故 依 題 意 H 到 E 的 距 離 為3 AB AC
× 。由 AB
=(1,0, 1)− ，AC
=(0,2,1)，得AB AC × =(2, 1,2)−
2 以 下 列 出 二 種 解 法 解 出 四 面 體 體 積
【解法一】
ABC
∆ 的 面 積 1 | | =3 2 AB AC
2
= ⋅
×四 面 體 ABCH 的 高 為 3|AB AC
× | 9= ， 所以，四 面 體 ABCH 的 體 積 1 3 9 9
3 2 2
= × × = 。
【解法二】
ABC
∆ 的 面 積 乘 以 H到 平 面 E的 高 是 以 ∆ABC為 底 的 三 角 柱 體 積 。 因 此 四 面 體 ABCH 的 體 積 為 AB
、AC
、AH
所展成的平行六 面 體 體 積 的 16。 計 算 ( ,20 11,5)
3 3
AH
= − ， 利用行列式求AB
、AC
、AH
所展成的平行六 面 體 體 積 ， 可 得四 面 體 ABCH 的 體 積
1 0 1
1 | 0 2 1 | 9
6 2
20 11 5
3 3
−
= × =
− 或 者
1 | ( ) | =1 40 11( 10) 9 6× AB AC
× ⋅AH 6× 3 + 3 + =2 第(2)小 題 ：
設 P 為 H 對 平 面 E 的 投 影 點 ， 由 前 知 PH
=3(AB AC× )。 由 於 PH
′ = −PH 故 知 =2 1 3( ) ( 16 7, , 7)3 3 3 3
AH
′ AB− AC− AB AC× = − − 。 因 而 得 H′之 坐 標 為( 16 7, , 7) (0, 1, 1) ( 16 4, , 8)3 3 3 3
− − + − − = − − 。
此 小 題 若 用 點 的 概 念 出 發 解 題，而 不 是 向 量，則 須 先 求 出 點 H坐 標 20( , 14,4) 3 3
− 、平
面 E 方 程 式 2x y− +2z= − ， 再 利 用 直 線 參 數 式 寫 出 直 線1 HP 上 的 點 ， 例 如 20 14
( 2 , ,4 2 )
3 + t −3 −t + t ， 解 得t = −3， 再 求 得 H′之 坐 標 為( 16 4, , 8) 3 3
− − 。 這 兩 個 解 法 解 題 概 念 相 同 ， 但 此 解 法 過 程 和 計 算 皆 相 當 複 雜 。
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第(3)小 題 ： H 對 平 面 E 的 投 影 點 P 滿 足 AP
=23AB−13ACP 點 在 ∆ABC內 部 若 且 唯 若 AP r AB s AC
= + , 其 中r>0,s> 且0 r s+ < 。 由 第1 (1)與 (2)小 題 知 H′對 平 面 E 的 投 影 點 P 滿 足 AP
=23AB−13AC，即 2, 13 3
r = s=− ，故 由 s < 知0 P點 在 ABC
∆ 外 部 。
此 小 題 也 可 求 出 投 影 點 P( ,2 5, 2)
3 3− − ， 因 為 點 P 在 平 面 5
y = −3上 ， 而 三 角 形 A、
B、 C 三 點 皆 在 該 平 面 之 同 側 ， 即 5
y > −3。 故 投 影 點 在 三 角 形 外 部 。
第 二 題
二、坐 標 平 面 上，以Γ表 示 多 項 式 函 數 y x= 3−4x2+5x的 圖 形，且 以 L表 示 直 線 y mx= ， 其 中 m為 實 數 。 根 據 上 述 ， 試 回 答 下 列 問 題 。
(1) 當m =2時，試 求 出 在 x ≥0的 範 圍 內，Γ與 L的 三 個 相 異 交 點 的 x坐 標。（2 分 ） (2) 承 (1)， 試 求 Γ與 L所 圍 有 界 區 域 面 積 的 值 。 （4 分 ）
(3) 在 x ≥0的 範 圍 內 ， 若 Γ與 L有 三 個 相 異 交 點 ， 則 滿 足 此 條 件 的 m之 最 大 範 圍 為 a m b< < ， 試 求 a、 b之 值 。 （6 分 ）
第(1)小 題
解 x3−4x2+5x−2x=0 ( 1)( 3) 0
x x x
⇒ − − = ⇒ =x 0 ,1, 3 故 x坐 標 為0 ,1, 3。
第(2)小 題
當 0≤ ≤x 1 時 x3−4x2+5x≥2x； 而 當 1≤ ≤x 3 時 x3−4x2+5x≤2x，
在 此 範 圍 外 y x= 3−4x2+5x和 y=2x的 圖 形 不 再 相 交 ， 故 所 圍 有 界 區 域 面 積 為
1 3 2 3 3 2
0(x −4x +3 )x dx+ −1 (x −4x +3 )x dx
∫ ∫
4 3 2 1 4 3 2 3
1 4 3 1 4 3
0 1
4x 3x 2x 4x 3x 2x
= − + − − +
5 32 37 12 12 12
= + =
4 第(3)小 題
【解法一】
由 x3−4x2+5x mx x x− = ( 2−4x+ −5 m)知 原 點 必 為 Γ與 L的 一 個 交 點 。 因 此 滿 足 題 設 的 m 需 滿 足 x2−4x+ − =5 m 0有 兩 相 異 正 實 根 。
考慮二次函數y x= 2−4x+ 的圖形與直線5 y m= 的交點。
由於y x= 2−4x+ 的極小值發生於5 2x − = , 即4 0 (2,1)為
2 4 5
y x= − x+ 的頂點。故知m > 才會有兩相異交點。 1
又y x= 2−4x+ 和5 y 軸交於(0,5)。故m < 才會使得兩交點的5 x 坐標為正。
因 此 滿 足 題 設 的 m之 最 大 範 圍 為1< < ， 即 a=1， b=5。 m 5
以 上 也 可 用 二 次 函 數 的 判 別 式 與 根 與 係 數 的 性 質 求 出 m之 最 大 範 圍 。 例 如
2 4 5 0
x − x+ − =m 有 兩 相 異 實 根 的 充 要 條 件 為16 4(5− −m) 0> 得m > 。 1
又 此 兩 根 需 為 正 ， 由 兩 根 之 和 為 4， 故 知 兩 根 為 正 的 充 要 條 件 為 兩 根 之 積5− > ，m 0 即 m < 。 5
因 此 滿 足 題 設 的 m之 最 大 範 圍 為1< < ， 即 a=1， b=5。 m 5
【解法二】
當Γ 與 L 相 切 時，交 點 個 數 小 於 3，故 可 先 考 慮 通 過 原 點 之Γ的 切 線 。 當 切 點 在 原 點 時 ， 切 線 斜 率 5 。 當 切 點 ( ,x x0 03−4x02+5 )x0 不 在 原 點 時 ， 其 切 線 斜 率 為
02 0
3x −8x +5，而 該 點 和 原 點 連 線 之 斜 率 為 x02−4x0+5，故 x 需 滿 足0 3x02 −8x0+ =5 x02−4x0+5，
得 x = 。 得 兩 切 線 斜 率 分 別 為 5 和 1。 0 2
由 圖 形 可 知 ， 當1< < 時 ，m 5 Γ與 L 三 個 相 異 交 點 皆 在 0
x ≥ 的 範 圍 內 ； 而 當m < 時 ，1 Γ與 L 只 交 於 原 點 ； 又 當m > 時，5 Γ與 L 的 交 點 除 原 點 外，另 外 兩 個 交 點 的
x 坐 標 分 別 為 一 正 一 負 。
故 滿 足 題 設 的 m之 最 大 範 圍 為1< < ， 即 a=1， b=5。 m 5
