連比例連比例連比例連比例

自我評量 連比

連比例式的應用

連比例

連比例

子強想在校慶園遊會時，擺設攤位販 賣一種「健康多多」的飲料，依照食譜 的說明，「健康多多」是按照 3 杯蔓 越莓汁、 2 杯檸檬汁與 1 杯養樂多的 比例所混合調配而成 ( 每杯的容量相同 )

。

連比

搭配頁數 P.120

搭配頁數 P.120

為了方便記錄每份「健 康多多」中所含蔓越莓汁、

檸檬汁與養樂多成分的比例

，可記為 3 ： 2 ： 1 。

像這樣三個數或三個以上 的數連續的比，稱為連比。

由食譜中可知，每份「健康多多」中所含 蔓越莓汁與檸檬汁成分的比為 3 ： 2 ；

檸檬汁與養樂多成分的比為 2 ： 1 ； 蔓越莓汁與養樂多成分的比為 3 ： 1 。

(1) 綜合果汁中檸檬汁、葡萄汁與蘋果汁成 分的連比。

(2) 葡萄汁與蘋果汁成分的比。

小傑用檸檬汁 1 杯、葡萄汁 5 杯與蘋果汁 3 杯調製成綜合果汁，每杯的容量皆相同，

求：

解

搭配頁數 P.120

1 ： 5 ： 3

5 ： 3

如果小雅想製造與「健康多多」相同口味 的飲料，分別需要蔓越莓汁、檸檬汁與養樂多 各 x 、 y 、 z 公升，根據前面「健康多多」

的調配比例，可知 x ： y ： z ＝ 3 ： 2 ： 1 ， 這樣的式子稱為連比例式。

搭配頁數 P.121

反過來說，當知道 x ： y 、 y ： z 與 x ： z 這三個比中的任兩個比，也可求出 x ： y ： z 的 連比關係。

由 x ： y ： z ＝ a ： b ： c 可知 x ： y ＝ a ： b ，

y

x

連比例的基本運算

因為 x ： y

y

設 x ： y ＝ 1 ： 2 ， y ： z ＝ 2 ： 3 ，求 x ：

y

搭配頁數 P.121

解

因為 x ： y

x 　 ： z ＝ 3 　 ： 4

設 x ： y ＝ 3 ： 2 ， x ： z ＝ 3 ： 4 ，求 x ：

y

搭配頁數 P.121

解

在例題 1 中，因為相同文字符號 y 所對應的數 皆是 2 ，因此可直接求出

x

如果相同文字符號所對應的數不同時，

例如 x ： y ＝ 3 ： 4 ， y ： z ＝ 5 ： 7 ，要如何求出

x

因為

搭配頁數 P.122

因此 x ： y ： z ＝ 15 ： 20 ： 28 。

x ： y ： z ＝ 3 ： 4 ： z ＝ (3×5) ： (4×5) 　：　 ＝ 15 : 20

x ： y ： z ＝ x ： 5 ： 7 ＝　 x ： (5×4) ： (7×4) ＝ x ： 20 ： 28

上面的算式也可用直式來表示：

搭配頁數 P.122

x

　　　 5 　：　 7

(3×5) ： (4×5)

　　　 (5×4) ： (7×4)

15 ：　 20 ：　 28

從上例可知：兩個比中，如果相同文字符 號所對應的數不同時，可將這兩個比分別乘 以適當的倍數，使相同文字符號所對應的數 相同後，再進一步求出連比。

搭配頁數 P.122

一般而言，相同文字符號所對應的數不同 時，可以選取兩數的最小公倍數或是兩數的 乘積，當做相同文字符號所對應的數。

搭配頁數 P.122

(3×3) ： (4×3)

　　 　 (6×2) ： (7×2)

連比例的基本運算

相同文字符號 y 所對應的兩數為 4 、 6 ，取〔 4 , 6 〕＝ 12 求連比。

因此 x ： y ： z ＝ 9 ： 12 ： 14

設 x ： y ＝ 3 ： 4 ， y ： z ＝ 6 ： 7 ，求 x ： y ： z 。

搭配頁數 P.123

解 一

x

　　　 6 　：　 7

9 ： 12 ：　

14 取 4 和 6 的最小公倍數

(3×6) ： (4×6)

　 　 (6×4) ： (7×4)

連比例的基本運算

相同文字符號 y 所對應的兩數為 4 、 6 ，取 4×6

＝ 24 求連比。

因此 x ： y ： z ＝ 18 ： 24 ： 28 ＝ 9 ： 12 ： 14

設 x ： y ＝ 3 ： 4 ， y ： z ＝ 6 ： 7 ，求 x ： y ： z 。

搭配頁數 P.123

解 二

x

　　　 6 　：　 7

18 ：　 24 ：　 28

取 4 和 6 的乘積

(5×3) ： (6×3)

　　 　 (9×2) ： (4×2)

相同文字符號 y 所對應的兩數為 6 、 9 ，取〔 6 , 9 〕＝ 18 求連比。

因此 x ： y ： z ＝ 15 ： 18 ： 8

設 x ： y ＝ 5 ： 6 ， y ： z ＝ 9 ： 4 ，求 x ： y ： z 。

搭配頁數 P.123

解

x

　　　 9 　：　 4

15 ： 18 ：

8 取 6 和 9 的最小公倍數

(5×7)

：　 y 　

　　 (6×4) ： (7×4)

因此 x ： y ： z ＝ 35 ： 24 ： 28

搭配頁數 P.124

解

x

：　 y 　

　　　 6 　：　 7

35 ：　 24 ：　 28

＝ 5 ： 4

分數型的連比例

x

因此 x ： y ： z ＝ 10 ： 4 ： 45

搭配頁數 P.123

解

x

2 ：

6

x

因此 x ： y ： z ＝ 3 ： 20 ： 35

搭配頁數 P.124

x

5 　 ：

3 ：

6

35

x

＝ 20 ： 35

，

解

(4×4) ： (5×4)

： (4×7)

　　 　 (4×5) ： (5×5)

化簡 2x － y ＝－ 3x ＋ 3y ，可得 5x ＝ 4y ，

因此 x ： y ： z ＝ 16 ： 20 ： 25

已知 x、 y 、 z 皆不等於 0 ，

且 2x－ y ＝－ 3x ＋ 3y ， 5y ＝ 4z ，求 x ： y ： z 。

搭配頁數 P.125

解

x

　 _{：　 4}

　　　 4 　：　 5 16 ： 20 ：　 25

連比例的應用

即 x ： y ＝ 4 ： 5 ，由 5y ＝ 4z , 可得 y ： z ＝ 4 ： 5

由 x － 2y ＝ 0 ，得 x ＝ 2y ，

因此 x ： y ： z ＝ 8 ： 4 ： 3

已知 x、 y 、 z 皆不等於 0 ，且 x － 2y ＝ 0 ， 4y－ z ＝ y ＋ 3z ，求 x ： y ： z 。

搭配頁數 P.125

解

x

　 _{：　 4} 　

　　　 4 　：　 3 8 ：　 4 ：　

3

x ： y ＝ 2 ： 1

由 4y － z ＝ y ＋ 3z ，得 3y ＝ 4z ，

y ： z ＝ 4 ： 3

連比例式的應用

搭配頁數 P.126

搭配頁數 P.126

連比例式的應用

因為 x ： 5 ： y ＝ 2 ： 3 ： 4

如果 x ： 5 ： y ＝ 2 ： 3 ： 4 ，求 x 、 y 之值。

搭配頁數 P.126

解

連比例的運算

因為 3 ： x ： y ＝ 5 ： 7 ： 8 ，

如果 3 ： x ： y ＝ 5 ： 7 ： 8 ，求 x 、 y 之值。

搭配頁數 P.127

解

可得 8r － 3r ＋ 24r ＝ 58

搭配頁數 P.127

解

依題意 2x － y ＋ 3z ＝ 58

分數型連比例求值

因此 x ＝ 4r ， y ＝ 3r ， z ＝ 8r

29r ＝ 58

r ＝ 2

因此 y ＝ 3r ＝ 6

搭配頁數 P.127

解

則 a ＝ 2r ， b ＝ 3r ， c ＝ 5r ，

令 2x ＝ 3y ＝ 4z ＝ r ， r ≠ 0 ，

已知 2x＝ 3y ＝ 4z ，且 x 、 y 、 z 皆不等於 0 ，求 x ： y ： z 。 搭配頁數 P.128

解 一

連比例的運算

＝ 6 ： 4 ： 3

由 2x ＝ 3y ，得 x ： y ＝ 3 ： 2 ；

已知 2x＝ 3y ＝ 4z ，且 x 、 y 、 z 皆不等於 0 ，求 x ： y ： z 。 搭配頁數 P.128

解 二

連比例的運算

由 3y ＝ 4z ，得 y ： z ＝ 4 ： 3 。

(3×2) ： (2×2)

： (4×7)

　　 　 4 ：

因此 x 3： y ： z ＝ 6 ： 4 ： 3

x

　 _{：　 4}

　　　 4 　：　 3 6 ：　 4 ：　 3

由 7x ＝ 3y ，得 x ： y ＝ 3 ： 7 ；

已知 x、 y 、 z 皆不等於 0 ，且 7x ＝ 3y ＝ 5z ，求 x ： y ： z 。 搭配頁數 P.128

解

由 3y ＝ 5z ，得 y ： z ＝ 5 ： 3 。

因此 x ： y ： z ＝ 15 ： 35 ： 21

x

　 _{：　 4}

　　　 5 　：　 3 15 ： 35 ： 21

設甲、乙、丙三人各分得 x 元、 y 元、 z 元，

依題意可知 x： y ： z ＝ 5 ： 6 ： 4 ，

因此可設 x＝ 5r ， y ＝ 6r ， z ＝ 4r ， r≠0 。

甲、乙、丙三人合夥作生意，且三人投資金額的比例依序 是 5 ： 6 ： 4 。已知這次投資共獲利 300 萬元，如果依 照投資金額的比例分配獲利，則三人各分得多少元？

搭配頁數 P.129

解 一

所以 x ＝ 5r ＝ 5×200000 ＝ 1000000 ( 元 )

比例分配問題

得 5r ＋ 6r ＋ 4r ＝ 3000000

r ＝ 200000

y ＝ 6r ＝ 6×200000 ＝ 1200000 ( 元 )

z ＝ 4r ＝ 4×200000 ＝ 800000 ( 元 )

續下頁

甲、乙、丙三人合夥作生意，且三人投資金額的比例依序 是 5 ： 6 ： 4 。已知這次投資共獲利 300 萬元，如果依 照投資金額的比例分配獲利，則三人各分得多少元？

搭配頁數 P.129

解 一

比例分配問題

即甲分得 100 萬元，乙分得 120 萬元，

丙分得 80 萬元。

可將盈餘分成 5 ＋ 6 ＋ 4 ＝ 15( 份 ) ， 甲、乙、丙各得 5 、 6 、 4 份，

搭配頁數 P.129

解 二

比例分配問題

即甲分得 100 萬元，乙分得 120 萬元，

丙分得 80 萬元。

甲、乙、丙三人合夥作生意，且三人投資金額的比例依序 是 5 ： 6 ： 4 。已知這次投資共獲利 300 萬元，如果依 照投資金額的比例分配獲利，則三人各分得多少元？

設三邊長為 3r ， 4r ， 5r ， r ≠ 0 。

已知三角形三邊長的比例是 3 ： 4 ： 5 ，如果這個三角 形的周長是 60 公分，則其三邊長分別是多少公分？

搭配頁數 P.129

解

r

3r ＋ 4r ＋ 5r ＝ 60

12r ＝ 60

3r＝ 15 ， 4r ＝ 20 ， 5r ＝ 25

因此三邊長分別為

15 公分， 20 公分， 25 公分。

設此合金含有金 x 公克，銀 y 公克，銅 z 公克，

有一塊由金、銀、銅組成的合金，其中所含金、

銀的重量比為 3 ： 2 ，金、銅的重量比為 1 ： 2

，如果此合金所含的銅與銀重量相差 36 公克，則 此塊合金的重量是多少公克？

搭配頁數 P.130

解

連比例的數量差問題

即 x ： y ＝ 3 ： 2 ， x ： z ＝ 1 ： 2 。

3 ： 2 ： (4×7) (1×3) 　 4 ：

(2×3)

因此 x ： y ： z ＝ 3 ： 2 ： 6

x ：　 y

_{：　 z} 3 ：　 2 　 _{：　 4} 　 1 　　 4 　：　 2

3 ：　 2 ：　 6

設 x ＝ 3r ， y ＝ 2r ， z ＝ 6r ， r ≠ 0 。

銅與銀重量相差 36 公克， 6r － 2r ＝ 36

r

合金重量 3r ＋ 2r ＋

6r ＝ 11r ＝ 99( 公克 )

過年時，子奇和小玉收到的紅包金額比為 5 ： 6 ，小玉 和建中收到的紅包金額比為 8 ： 5 。已知子奇收到的紅 包比建中多 250 元，則小玉收到的紅包是多少元？

搭配頁數 P.130

解

設收到紅包子奇 20r 元

，小玉 24r 元，

建中 15r 元， r ≠ 0 。

子奇：小玉：建中

5 ：　 6 　 _{： 4} 　 4 8 ： 5

20 ： 24 ： 15

子奇收到的紅包比 建中多 250 元

⇒

5r ＝ 250

r

則小玉收到金額為 24r＝ 24×50

＝ 1200( 元 )

搭配頁數 P.131

解

連比例的圖形問題

令 4x ＝ 5y ＝ 6z ＝ r ， r ≠ 0 ，

＝ 15 ： 12 ： 10

甲、乙、丙三人皆畫出面積相等的長 方形，已知三人所畫長方形的長分別 為 12 公分、 9 公分與 8 公分，如 果三人所畫長方形的寬依序分別為 x 公分、 y 公分與 z

公分，求 x ： y ： z 。

搭配頁數 P.131

解 由 12x ＝ 9y ，得 x ： y ＝ 3 ： 4 ，

x ： y ： z

3 ：　 4 　 _{： 4} 　

4 8 ： 9 6 ： 8 ： 9

面積相等，所以 12x ＝ 9y ＝ 8z

因此 x ： y ： z

＝ 6 ： 8 ： 9 由 9y ＝ 8z ，得 y ： z ＝ 8 ： 9 。

連比：

設 a 、 b 、 c 皆不等於 0 ，則 a 比 b 比 c 記作 a ： b ： c ，稱為 a 、 b 、 c 的連比。

搭配頁數 P.132

搭配頁數 P.132

x ： y ＝ 2 ： 3 ， y ： z ＝ 3 ： 5 ，

可求出連比例式 x ： y ： z ＝ 2 ： 3 ： 5 。 x ： z ＝ 3 ： 5 ， y ： z ＝ 7 ： 5 ，

可求出連比例式 x ： y ： z ＝ 3 ： 7 ： 5 。

求連比：

由 x ： y ＝ a ： b ， y ： z ＝ b ： c ， x ： z ＝ a ： c 中的任意兩個比例式，

可求出連比例式 x ： y ： z ＝ a ： b ： c 。

連比例式的應用：

搭配頁數 P.132

搭配頁數 P.133

1

(1) x ： y ＝ 2 ： 3 ， y ： z ＝ 4 ： 5 ， 則 x ： y ： z ＝ ______________ 。

解

x ： y

2 ：　 3 ：　 4 　

　　 4

： 5

8 ： 12 ：

8 ： 12 ： 15

4 ：

2 ：　 3 ：　 4

(2) a ： b ＝ 4 ： 5 ， a ： c ＝ 3 ： 8 ， 則 a ： b ： c ＝ _____________ 。

搭配頁數 P.133

1

解

a ： b

2 ：　 3 ：　 4

　　 4

： 5

12 ： 15 ：

12 ： 15 ： 32

3

： 4

4 ：　 5

： 4

搭配頁數 P.133

x ： y ： z

3 ：

6

： 8 ：

18 ： 10 ： 15

18 ： 10 ： 15

1

解

15 ： 10 ： 8

(1) 由 2a ＝ 3b ，得 a ： b ＝ 3 ： 2

a － b ＝－ 15 ⇒ 15r－ 10r ＝－ 15

設 a 、 b 、 c 皆不等於 0 ，且 2a ＝ 3b ， 4b

＝ 5c ，則： (1) a ： b ： c ＝ ____________ 。 (2) 如果 a － b ＝－ 15 ，求 a 、 c 的值。

搭配頁數 P.133

解

(2) 設 a ＝ 15r ， b ＝ 10r ， c ＝ 8r ， r ≠ 0

由 4b ＝ 5c ，得 b ： c ＝ 5 ： 4 因此 a ： b ： c ＝ 15 ： 10 ： 8

⇒ r ＝－ 3

因此 a ＝ 15×( － 3) ＝－ 45

c ＝ 8×( － 3) ＝－ 24

a ： b ： c

3 ： 2 　 5 ： 4

15 ： 10 ： 8

2

(1)

由 a ＋ b ＋ c ＝ 132 ^得 15r ＋ 8r ＋ 10r ＝ 132

已知 a ： c ＝ 3 ： 2 ， b ： c ＝ 4 ： 5 ，且 a ＋ b ＋

c

搭配頁數 P.134

解

(2) 設 a ＝ 15r ， b ＝ 8r ， c ＝ 10r ， r ≠ 0

因此 a ： b ： c ＝ 15 ： 8 ： 10

33r ＝ 132

因此 a ＝ 60 ， b ＝ 32 ， c ＝ 40

a ： b ： c

3 ： 2 　

4 ： 5 15 ： 8 ： 10

15 ： 8 ： 10

3

可得 5r ＋ 18r － 12r ＝ 33

搭配頁數 P.134

解

依題意 x ＋ 3y － 4z

＝ 33

設 x ＝ 5r ， y ＝ 6r ， z ＝ 3r ， r ≠ 0

11r ＝ 33 r ＝ 3

4

如果 12 ： 5 ： 8 ＝ 5 ： x ： y ，則 x － y ＝？

搭配頁數 P.134

解

5

由 3x ＝ 4y ，得 x ： y ＝ 4 ： 3

已知 x 、 y 、 z 皆不等於 0 ，且 3x ＝ 4y

＝ 5z ，

則 x ： y ： z ＝ ____________ 。

搭配頁數 P.134

解

由 4y ＝ 5z ，得 y ： z ＝ 5 ： 4

因此 x ： y ： z ＝ 20 ： 15 ： 12

x ： y

z

4 ： 3 　 5 ： 4

20 ： 15 ： 12

20 ： 15 ： 12

6

由 x ： 2y ＝ 9 ： 10 ，得 x ： y ＝ 9 ： 5

設 x ＝ 9r ， y ＝ 5r ， z ＝ 4r ， r ≠ 0

設三角形 ABC 三個內角分別為 ∠ A ＝ x° ，

∠ B ＝ y° ，∠ C ＝ z° ，且 x ： 2y ＝ 9 ： 10 ，

4y ： 5z ＝ 1 ： 1 ，求 ∠ A 、∠ B 、∠ C 的度數。

搭配頁數 P.135

解

所以 x ： y ： z ＝ 9 ： 5 ： 4

由 4y ： 5z ＝ 1 ： 1 ，得 y ： z ＝ 5 ： 4

9r ＋ 5r ＋ 4r ＝ 180

＝ 10

： ∠ A ＝ 90° ，∠ B ＝ 50° ，∠ C ＝ 40°

7

設甲校有 4r 人，乙校有 2r 人，

丙校有 5r 人， r ≠ 0 。

r ＝ 350

已知甲、乙、丙三所學校的學生人數比為

4 ： 2 ： 5 ，如果乙校學生人數與丙校學生 人數相差 1050 人，求甲校的學生人數。

搭配頁數 P.135

解

3r ＝ 1050

乙丙人數相差 1050 人⇒ 5r － 2r ＝ 1050

所以甲校學生人數 4×350 ＝ 1400 ( 人 )

： 1400 人

8

製作冠軍麵包的材料中，老麵糰、新麵糰與桂圓 的重量比是 6 ： 17 ： 2 。如果將老麵糰、新麵糰 與桂圓揉在一起後，秤得的總重量為 750 公克，

則所需的桂圓重量是多少公克？

搭配頁數 P.135

設老麵糰有 6r 公克，新麵糰有 17r 公克

，桂圓有 2r 公克， r ≠ 0 。

總重量 750 公克⇒ 6r ＋ 17r ＋ 2r ＝ 750

解

25r ＝ 750

r

所以桂圓重量 2×30 ＝ 60 ( 公克 )

： 60 公克

9

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解