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流體靜力學 2

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Academic year: 2022

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(1)

本章我們將考量一重要類型的問題,此類問題之流體若不是處於靜止狀 態,就是流體內相鄰的兩質點間無相對運動之移動狀態。在此二例中,流 體內無剪應力,流體質點作用在表面的僅有力主要來自於壓力。因此,我們主 要探討整個流體中的壓力變化與壓力浸沒物體表面的影鍵。

鍵 1 章曾簡扼的討論,壓力是用來表示流體中在某一點上及某一平面上,

其單位面積所承受的垂直作用力。隨之而起的問題是,一點上之壓力是如何隨 著通過該點之平面的位置而改變?針對這個問題,可參考圖 2.1 所示之自由體 圖,圖中是取自流體中任意位置的三角楔形的小元素體積。在此不考慮流體有 剪應力作用狀況,作用在此三角楔形體的外力只有壓力及本身重量。為了簡化 起見,圖中 x 方向的作用力並未標出。令垂直鍵為 z 鍵,因而小元素重量就是 作用在鍵 z 方向。雖然我們主要感興趣是靜止狀態下的流體,但為了使分析鍵

流體靜力學

Fluid Statics

從衛星拍攝亞倫颶風的照片:雖然颶風的運動及結構相當大,但其壓力在垂直方向的壓力變化是很接近靜止 流體的壓力-深度關係式(從 NOAA 衛星使用在 NASAGSPC 所發展的技術得到可見和遠紅外線影像組;

照片由 A. F. Hasler 提供;參考文獻 3 )。

2.1 一瘳上之壓力

Pressure at a Point

2

(2)

適用於一般的狀態,我們將允許流體元素具有加速度的運動。只要所有流體內 之元素像剛體一樣運動,即流體相鄰元素間並沒有相對運動產生,剪應力為鍵 的假設仍然成鍵。

運動方鎯式鍵牛頓鍵二定律 F  ma鍵在 y 及 z 方向分別寫成

方鎯式中 px、py 及 pz為在每個作用面的平均壓力, 與  則分別代表流體比重 量及密度,而 ay和 az則分別代表加速度。從幾何圖形可得

因此運動方鎯式可重新寫成

因為我們所關切的是某一點的壓力,因此使 x、y 及 z 趨鍵於鍵鍵角度  固 定鍵以便取極限值,由此可得

或為 ps py  pz。因角度 為任意值,所以可歸納出一結論:只要剪應力不存 在時,在靜止流體或運動流體中的任一點的壓力大小與方向無關。這重要結果 就是著名的巴斯噶定律鍵Pascals law鍵。

圖 2.1 作用在流體的任意楔形 元素之力。

(3)

力鍵,在任一點因靜止流體的壓力而產生之正向應力在各方向的值並不相同。所 以此情況下該點之壓力值為在此點上三個相互垂直鍵的正向應力之平均值。

2.2 壓力場的基本方瘳式

Basic Equation for Pressure Field

任一點壓力如何隨方向變化已獲得說明,但是我們又要面對另一個同鍵重 要的問題-在無剪應力的流場中,任兩點間的壓力變化為何?考慮從一流體中 任意位置取出如圖 2.2 所示一小長方形流體元素體積。在此小元素體積中有兩 鍵形式的作用力:由壓力所產生的表面力鍵surface force鍵,及流體元素本身重 量所代表的物體力鍵body force鍵。

令小元素中心點的壓力為 p,而元素體積各表面的平均壓力為 p 和其導數 就如圖 2.2 所示。x 方向的表面力為了簡化圖形並未鍵出。在 y 方向的表面力之 合力為

圖 2.2 在一小流體元素所有 的表面力及物體力。

(4)

所以,相同分析過鎯,在 x 和 z 方向的表面力之合力分別為

在元素的表面力之合力以向量形式表示成:

其中 、 及 為沿著圖 2.2 所示座標鍵的單位向量。2.1 式括號內的三鍵為壓力 梯度鍵pressure gradient鍵的向量形式表示,可寫為

式中

鍵號 為梯度或為一向量運算子。因此單位容積的表面力之合力可表示成

由於 z 為垂直鍵,所以元素體積的重量為

方鎯式中鍵號是因重量引起的作用力向下鍵鍵 z 方向鍵。應用牛頓鍵二定律在這 個流體元素體積上,則

式中F 代表施於元素體積的合力,a 代表元素的加速度,m 代表元素體積的 質量鍵m   x y z。重新整理可改寫成

因此

2.2 式是當流體無剪應力時描述流體的運動通式。雖然 2.2 式可以同時適用流體 在靜止或移動的狀態,但我們主要著重於靜止狀態的流體。

鍵2.1鍵

鍵2.2鍵

(5)

考慮流體為靜止狀態 a  0 時,2.2 式可簡化如下

或以分量形式表示如下

方鎯式中說明壓力的變化將與 x 及 y 無關。所以質點在同一水平面鍵任一平鍵 於 x y 平面鍵上移動,則壓力將維持一定值。因為壓力只與高度 z 相關,所 以 2.3 式中最後一關係式可改寫成一常微分形式

2.4 式是流體靜止狀態下的基本方鎯式,利用此式可以決定隨高度變化的壓 力值。方鎯式說明在垂直方向的壓力梯度為一鍵值,亦即在靜止狀態之流體中 往上移動則壓力遞減。不須要求比重量  為常數值,因此液體比重量為常數,

就如同水,2.4 式是成鍵,同時若液體比重量隨著高度而變化,如空氣或其他氣 體也成鍵。但是要 2.4 式進鍵積分處理求出壓力值時,必須明鍵出比重量隨高 度變化的情形。

2.3.1 不可壓縮流體

流體比重量為流體密度和重力加速度的乘積鍵  g鍵,因此  或 g 的變化 均會導鍵  改變。大多數的工鎯應用把 g 的變化忽略,故我們將比重量的變 化,完全視為由於密度改變所造成。大鍵而言,液體密度為一常數時,則鍵該 液體為不可壓縮流體鍵incompressible fluid鍵。對於液體而言,密度的變化通常 可以忽略不計,即使在垂直距鍵有極大變化的狀況也是如此,因此在處理液體 問題時,令比重量為定值是很好的假設。在此情況下,2.4 式可直接積分

由此可得

方鎯式中 p1和 p2代表垂直高度 z1與 z2位置的壓力,如圖 2.3 所示。

2.5 式可寫成較為簡潔的形式 Pressure Variation in Fluid at Rest

鍵2.3鍵

鍵2.4鍵

鍵2.5鍵

(6)

其中 h  z2 z1表示在 p2壓力的位置處向下 h 距鍵。此壓力分布情形鍵之液體 靜力分布鍵hydrostatic distribution鍵,而 2.7 式也證實處於靜止狀態的不可壓鍵流 體壓力隨深度成線性變化。壓力將隨著深度而增加以便「支撐」上面的流體。

從 2.6 式可發現,任意兩點間的壓力差值可由距鍵 h 算出,因

方鎯式中 h 鍵為壓力頭或水壓頭鍵pressure head鍵,意指比重量 的流體在給予 的壓差 p1 p2值應具有液柱高度。如,壓力差為 10 psi 可換算成水柱高 23.1 ft 鍵水  62.4 lbft3鍵,或水鍵柱高 518 mm 鍵水鍵  133 kNm3鍵。

在處理液體問題常有一自由表面,如圖 2.3 所示。常用此表面作為參考平 面。參考壓力 p0為作用在自由表面的壓力鍵通常為大氣壓力鍵。在 2.7 式中令 p2

 p0,則在自由表面下方深度 h 處的壓力值 p 可:

從 2.7 及 2.8 式可以證明,在均勻而且不可壓鍵的靜態流體之中,壓力只與 某參考平面之深度有關,至於盛裝液體貯存桶或容器尺寸或形狀,則不會影鍵 壓力大小。

鍵2.6鍵

鍵2.7鍵

圖 2.3 在自由表面的流體處於 靜止狀態時壓力變化的表示。

鍵2.8鍵

E

XAMPLE 例題 2.1

由於掩埋於地下的汽油貯存桶發生裂縫,水滲入達到某一深度,如圖 E 2.1 所 示。汽油的比重 SG  0.68,決定在汽油-水的介面處與貯存桶底鍵之壓力值。壓力

pA 0

23.1 ft

A  1 in.2

  10 1b

pA 10 1b

(7)

值請分別使用單位 lbft2、 lbin.2及 ft 水的壓力頭來表示。

解答

因液體處於靜止狀態,所以壓力分布為液體靜力分布,其變化值可表示如下

p0為汽油自由表面的壓力,而汽油—水介面的壓力則為

若以大氣壓力做測量基準鍵即鍵壓力鍵,則 p0 0 。所以

注意:1 ft2截面高為 11.6 ft 的長方體水柱之重量為 721 lb。同樣高的長方體水柱 1 in.2 截面之重量為 5.01 lb。

以同樣的分析方式也可決定桶底的壓力值,即是

圖 E 2.1 汽油

1

2

鍵Ans鍵 鍵Ans鍵

鍵Ans鍵

鍵Ans鍵 鍵Ans鍵

鍵Ans鍵

17 ft

3 ft

(8)

2.3.2 可壓縮流體

隨著壓力與溫度之變化,氣體的密度會產生重大改變,所以像空氣、氧以 及氮鍵氣體通常會被鍵為是可壓縮流體鍵compressible fluids鍵。雖然在 2.4 方鎯 式進鍵積分可描述氣體其中某一點的鍵為,但應先考慮  值為一變數。在鍵 1 章曾討論過,一般常見氣體比重量與液體比重量相較甚為微小。例如,在海平 面上 60℉ 空氣的比重量為 0.0763 1bft3 而在相同條件下水之比重量則為 62.4 lbft3。由於氣體的比重量值很小,2.4 式可知氣體在垂直方向的壓力梯度也非 常小,甚至於在相隔幾百英呎距鍵時,壓力實際上幾乎沒有變化。這表示氣體 在貯存槽、管鍵鍵鍵內,高度變化所造成的壓力改變可予以忽略。

當高度變化極大的條件下,在幾千呎的大小,則必須注意比重量的變化。

在鍵 1 章曾提及理想鍵或完全鍵氣體的狀態方鎯式為

方鎯式中 p 代表鍵對壓力,R 代表氣體常數,T 代表鍵對溫度。上式與 2.4 式合 併可寫成

應用分鍵變數可得

方鎯式中,高度從 z1改變至 z2,g 與 R 均假設維持常數值。

在完成 2.9 式積分前,必須了鍵溫度隨高度變化的自然情況。例如:我們 可假設在 z1 與 z2 的高度空間範圍內,溫度保持一定值 T0鍵即為鍵溫狀況,

isothermal condition鍵,故壓力變化為

上式說明在鍵溫層內壓力與高度關係式。如果非鍵溫狀態,也只要鍵知鍵溫度 與高度關係式,就可以運用同樣的鎯序求鍵壓力與高度關係。

應注意的是,若想要以鍵對壓力鍵absolute pressure鍵來表示計算的壓力結果,只 要將上面的計算值加上當地大氣壓力鍵以適當的單位鍵,2.5 節將更進一步討論鍵壓力 和鍵對壓力。

鍵2.9鍵

鍵2.10鍵

(9)

瞭鍵地球大氣狀態下的壓力變化情形為 2.9 式的一鍵重要運用。在理想情 況下,在某特定條件鍵溫度、參考壓力鍵範圍決定壓力值時,我們希望鍵有隨 高度變化的壓力測量值。不幸的是這鍵數據通常不鍵取得。在設計飛機、飛彈 以及太空鍵時,其性鍵必須與標準條件做比較,因此必須先決定「標準大氣」

條件。鍵前所通用的標準大氣值,係以 1962 年所發表的一篇報告為基礎,並在 1976 年做更新而成鍵見參考文獻 1 和 2鍵。鍵為美國標準大氣鍵U.S. standard atmosphere鍵,是代表在中鍵度、全年的平均條件之地球理想化的大氣狀況。表 2.1 列出在海平面標準大氣條件下一些重要性質。

在美國標準大氣狀態下,溫度、重力加速度、壓力、密度和鍵度的值,可 參閱附錄 C 的表 C.1 和表 C.2。

Standard Atmosphere

表 2 .1 美國標準大氣在海平面下的性質a

a海平面高度之重力加速度 9.807 ms2 32.174 fts2

2.5 壓力測瘳

Measurement of Pressure

壓力是流場一個非常重要的特性,所以許多的裝置及技鍵用以測量壓力是 不足為奇。在鍵 1 章已初步提及,在流體中一點的壓力可為絕對壓力鍵absolute pressure鍵或為錶壓力鍵gage pressure鍵。鍵對壓力是以完全真空鍵鍵對鍵壓鍵為 基準而測量之壓力值,鍵壓力則以當地大氣壓力為基準而測量之壓力值。所以 當鍵壓力值為鍵時,這壓力鍵於當地大氣壓力值。鍵對壓力一般為正值,但是 鍵壓力可鍵為正值,也可鍵為鍵值,如何決定正鍵值全視壓力高於大氣壓力

(10)

鍵正值鍵或低於大氣壓力鍵鍵值鍵。通常鍵鍵的壓力也鍵為吸入壓力或真鐪壓力 鍵suction 或 vacuum pressure鍵。例如:當地大氣壓力為 14.7 psi 時,某壓力值為 10 psi鍵abs鍵又可表示成 4.7 psi鍵gage鍵,或為 4.7 psi 吸入壓力或 4.7 psi 真空 壓力。如圖 2.4 說明鍵壓力及鍵對壓力的觀念。圖中為任意二點 1 與 2 的兩鍵 典型壓力表示法。

壓力測量除了要參考壓力值外,單位也格外地重要。壓力如 1.5 節定鍵,

是單位面積所承受的作用力,壓力的單位在 BG 系鍵表示為 lbft2或 lbin.2,一 般簡寫成 psf 或 psi鍵而在 SI 系鍵中則為 Nm2,此單位也鍵為巴斯噶並簡寫成 Pa鍵1 Nm2 1Pa鍵。如前所述,壓力大小亦鍵以液柱高度表示。而此表示法的 單位為多少液柱高鍵 in.、ft、mm 或 m 鍵鍵。柱中的液體應先鍵說明鍵如 H2O、

Hg 鍵鍵。例如一標準大氣壓力以 760 mm Hg鍵abs鍵表示。在本書內除了特別指 定為鍵對值,否則所標示的壓力鍵為鍵壓力值。如 10 psi 或 100 kPa 是代表鍵 壓力,但 10 psia 或 100 kPa鍵abs鍵鍵因特別有加鍵明,所以為鍵對壓力。但是 應注意,壓力差是跟參考壓力值無關,所以不鍵特別鍵明。

利用水鍵氣壓計鍵barometer鍵來測量大氣壓力值一般,此鍵量測計最為簡 易,如圖 2.5 所示是將一支充填水鍵玻璃試管反轉使開口端插入盛裝水鍵的容 器中。試管原本是充填水鍵鍵反轉使開口端向上鍵,隨即上下顛倒鍵開口端向下鍵 使開口端浸在水鍵中。當整個系鍵達到平衡時,柱內水鍵的重量加上鍵汽壓力 鍵在試管尾端真空鍵份所具有的壓力鍵所形成的作用力必須與大氣壓力所形成的

作用力平衡。故

方鎯式中  為水鍵比重量。為了大多數實際用鍵,因水鍵鍵汽壓力值影鍵 通常鍵很小而可忽略〔對於水鍵而言,在溫度 68℉ 時 pvapor  0.000023 lbin.2 鍵abs鍵〕,因此 patmh。大氣壓力習慣上可以用 h mm 或 in. 水鍵柱高表示。

圖 2.4 錶壓力和絕對壓力的圖 形表示法。

鍵2.11鍵

(11)

圖 2.5 水銀氣壓計。

2.6 壓力瘳瘳

Manometry

一鍵測量壓力的標準技鍵,是利用在垂直或傾斜管中的液柱高度。以此為 基礎的壓力測量設備鍵為壓力計鍵manometer鍵。例如水鍵氣壓計就是壓力計其 中的一鍵形式,針對特別的應用而會有許多其他可鍵的結構壓力計。三鍵常見 的壓力計為水壓計管、U 形管壓力計與傾斜管壓力計,將詳敘述如下。

2.6.1 水壓計管

最簡單形式的壓力計鍵為水壓計管,其組成為一根上方開口的垂直管與一 容器作鍵接,即可測量容器壓力值,如圖 2.6 所示。由於壓力計牽涉靜態流體 液柱,2.8 式是用來描述它們的使用的基本方鎯式

圖 2.6 水壓計管。

(12)

此方鎯式提供在一均質的流體中在任意高度處之壓力可以用一參考壓力 p0 與介 於 p 與 p0壓力間的垂直距鍵 h 代表。鍵得壓力隨著向下移動距鍵而增加,若向 上移動則壓力遞減。利用此方鎯式於圖 2.6 的水壓計管表明壓力 pA可鍵由 h1的 測量而決定,以此關係式

其中 容器中流體的比重量為1。在此時須注意垂直管鍵端為開口形式與大 氣接鍵,所以壓力 p0 設定為鍵鍵我們使用鍵壓力鍵,而管鍵端液體凹面處至點

1 的垂直距鍵為 h1高度。因點 1 與容器內點 A 在同一水平面上,故 pA  p1

水壓計管雖然為一鍵構造簡單且準確的壓力量裝置,也有許多鍵點。其一 為水壓計管只鍵應用在當容器內之壓力大於大氣壓力的情況鍵否則空氣會被吸 入鍵。再則是所欲量測的壓力不鍵太大,才鍵使液柱高在合理值內。另外充填在 容器中待測之流體必須是液體而非氣體。

2.6.2 U 形管壓力計

由於水壓計管有前述的鍵點,另一鍵廣泛使用形式的壓力計是由一根彎成 U 形的管所組成,如圖 2.7 所示。在壓力計內裝填之流體鍵為量鍵流體。為了 以不同的液柱高度明確的表示出 pA 壓力之大小。我們從系鍵的一個端點開始,

應用 2.8 式沿 U 形管推導到另一個端點。即圖 2.7 所示之 U 形管從點 A 出發一 直到開口端。點 A 的壓力因與點 1 相同,當我們從點 1 移動到點 2,壓力 增值為1h1。由於在靜止狀態同一流體中同鍵高度下壓力均相鍵,故點2 與點

3壓力相鍵。值得注意的是我們不鍵僅僅從點 1 直接跳到右邊管與點 1 同鍵 高度的點上,因為此兩點不在同一流體中。已知點 3 壓力後,我們可移動到 壓力為鍵的開口端。當我們垂直向上移動壓力遞減量為 2h2。這些不同步鍵以 方鎯式表示為

因此 pA壓力值可利用液柱高表示成

圖 2.7 簡單 U 形管壓計。

鍵2.12鍵

(13)

使用 U 形管壓力計最主要的優點為量鍵流體與待測壓力容器內之流體不同。例 如圖 2.7 中 A 的流體可以是液體或氣體。假若在 A 的流體為氣體,因氣柱造成 之壓力1h1幾乎可予以忽略不計,故 pA p2,此時 2.12 式變成

E

XAMPLE 例題 2.2

如圖 E 2.2 所示為一密閉貯槽內含有壓鍵空氣和油鍵SGoil 0.90鍵。U 形管壓力計 以水鍵為量鍵流體鍵SGHg 13.6鍵。將 U 形管裝在貯槽。如果柱高 h1 36 in.、h2 6 in. 而 h3 9 in.,試求 U 形管壓力計顯示的壓力鍵數鍵使用 psi 單位鍵。

解答

依照一般鍵析步鍵,由壓力計系鍵的一端循著管柱到另一端,鍵一計算。我們由空氣 與油的界面處開始,依次進鍵至壓力應是鍵值的開口端。在高度1 的壓力為

在靜止的均質流體中,高度 2 與高度 1 在同一水平面,所以壓力相鍵。其次,由 高度2 繼鍵移至開口處,則壓力必會減少 Hgh3,而在開口端壓力為鍵。鍵由上述分 析,壓力計的最後方鎯式可寫成

代入數值得

所以

圖 E 2.2

(14)

U 形管壓力計也鍵常用來測量兩個容器間或一系鍵中任意兩點的壓力差。

考慮圖 2.8 所示之 U 形壓力計將兩端鍵接在 A 與 B 兩容器。可由系鍵的一端開 始沿著液柱到另一端循序計算 A 與 B 間的壓力差。例如:點 A 的壓力為 pA,將 與 p1相鍵。沿液柱移動至點2 則壓力將增加為1h1,而壓力 p2與 p3又相鍵,

再沿液柱往移動到點 4 則壓力將減少為 2h2。同理,繼鍵由點 4 移動至點

5 的壓力又減少3h3。由於高度相當最後 p5 pB。所以可得到

故壓差為

因為油上方的空氣比重量較油的比重量小很多,鍵壓力之鍵數應為我們剛計算的壓力 值。所以

鍵Ans鍵

圖 2.8 差壓 U 形管壓力計。

E

XAMPLE 例題 2.3

圖 E 2.3 所示管鍵系鍵中,常利用在管鍵中設置一噴嘴來決定流鍵管鍵的體積流 率 Q,這將在鍵 3 章作進一步討論。沿著管鍵流體流動鍵過一噴嘴後將造成一壓力鍵 pA pB,藉由公式        可以算出其體積流率,式中 K 為一常數,而其大 小將由管徑和噴嘴尺寸決定。鍵過一噴嘴後壓力鍵通常用差壓 U 形管壓力計來測量,

如圖所示。a 試以流體之比重量 1、U 形管量鍵流體比重量2 和圖上標鍵的柱高鍵 鍵表示出壓差 pA pB鍵b 如果已知 1 9.80 kNm3、2 15.6 kNm3、h1 1.0 m

(15)

2.6.3 傾斜管壓力計

如果想要量測微小的壓力變化,鍵常使用圖 2.9 的壓力計。壓力計的一邊 管子傾斜 角度,而差壓鍵數 2是沿著傾斜管量測而得。壓力差 pA pB,以方 鎯式表示

及 h2 0.5 m,則壓力鍵 pA pB之大小?

解答

a 雖然流體在管鍵中流動,然而在液壓計的管柱內流體卻處於靜止狀態,所以在壓 力計管柱內的壓力變化為液體靜力狀態。我們從點 A 垂直往上至高度 1,壓力 減量為1h1。在 2 與 3 的壓力相鍵。再由 3 再移動到 4,此時壓力再度減 少2h2。在高度4 與高度 5 的壓力又相同,故由 5 至點 B,壓力增加為1h1

h2。列出公式應為

結果指出液柱是在兩端的差壓鍵數 h2。一般差壓壓力計鍵裝設在管鍵上方 0.5 或 5.0 m 之地鍵h1 0.5 m 或 h1 5.0 m鍵,但 h2將維持不變。如果1與2之間的 差值較小,雖然壓力差 pA pB較小,仍可獲得相對較大的差壓鍵數 h2

b 代入已知數據,壓力差可得

圖 E 2.3

鍵Ans鍵

鍵Ans鍵

鍵2.13鍵

(16)

應特別留意點1 與 2 的壓力差,主要是由此兩點間的垂直距鍵來計算,而此 距鍵可換成2sin  表示。因此傾斜角度愈小,從事微小壓差的測量沿著傾斜管 量測差壓鍵數就愈長。傾斜管壓力計測量鍵常用以測量氣體間的壓力差,如果 管 A 與 B 均為氣體,則

方鎯式中氣柱高 h1與 h3所造成的影鍵已忽略。2.14 式證明傾斜管壓力計之差壓

2.9 傾 斜 管 壓 力

鍵2.14鍵

雖然在流體測量壓力廣泛的使用壓力計,但是壓力計並不適合於非常高壓 或是壓力變化極為快速的情況下。除此之外,當鍵要測量較多液柱高度時,雖 然用壓力計並不困難,但卻是相當耗時。已有許多鍵壓力測量儀器被鍵發出來 克服上述鍵點。這些儀器大鍵份鍵是利用當彈性結構承受壓力作用時結構將產 生變形的構想,變形量之大小與壓力有關鍵。也許此鍵型式最有名的儀器為布 登壓力錶鍵Bourdon pressure gage鍵,如圖 2.10 a 所示。在此鍵有一重要機械元 件為一個空心、彈性曲管鍵布鍵管鍵,此管鍵接到壓力源,如圖 2.10 b 所示,當 布鍵管內壓力增大時,將使管子被迫產生拉伸,雖然變形是微小的,但此變形 量將使圖示之刻度盤上的指針作旋轉運動。由於管子移動是起因於管子內鍵與 外鍵鍵大氣壓力鍵的壓力差,故指示壓力為鍵壓力值。布鍵壓力鍵必須加以校 正,使刻度盤之鍵數以適當的單位來表示壓力值,如 psi、psf 或 Pa。當壓力鍵

2.7 機械式及瘳子式壓力測瘳瘳瘳

Mechanical and Electronic Pressure Measuring Devices

(17)

指出鍵值表示所測量之值是當地的大氣壓力。此類型的壓力鍵可測量鍵鍵壓力 鍵真空鍵,也可測量正鍵壓力。

壓力之測量在很多實際應用上是必須的,壓力測量必須藉由一些設備把壓 力轉換成電的訊號輸出。例如,常有鍵要是鍵鍵監控隨時間不斷的變化的壓 力。此類型壓力測量儀器鍵為壓力換鍵器鍵pressure transducer鍵,有許多不同設 計可以使用。

a b

圖 2.10 a 各種壓力範圍的液體充填式布登壓力錶;b 布登壓力錶的內部元件,位於左邊的是「 C 型」式 布登管,右邊是「線圈彈簧」式布登管,可測量 1000 psi 以上的壓力值(照片由 Weiss 儀器公司提供)。

2.8 作用在平瘳的液瘳瘳力

Hydrostatic Force on a Plane Surface

當一平面淹沒在流體內,流體會在其表面產生一作用力。此作用力的計算 對於設計貯存桶、鍵舶、水壩以及其他水力構造極為重要。眾所周知在靜態流 體中,因為沒有剪應力,所以作用力必定垂直表面。也知鍵如果流體為不可壓 鍵,則壓力會隨深度呈線性變化。在一水平表面上,例如在裝滿液體的桶子底 鍵鍵圖 2.11鍵,表面上之合力的大小可簡單的表示為 FR pA,其中 p 為底鍵產 生的均勻壓力,A 則是底鍵面積大小。以圖中的開口桶而言,p  h。注意如 果圖中大氣壓力同時作用在底鍵的兩個面上,則作用在底鍵的合力僅僅是桶內 液體所造成。由於壓力為定值且均勻分布於底鍵,故合力會作用在面積的形心 位置,就如圖 2.11 所示。

圖 2.12 所示為淹沒在流體之平板是傾斜的,是屬於較為通用例子。涉及計 算作用在表面的合力大小。假設流體的表面暴露於大氣之中,平面的延伸線與 自由表面相交於 O 點,夾角則為 ,如圖 2.12 所示。我們在 x y 座標系鍵中 定鍵 O 是原點,沿著平面的方向是 y 鍵。圖中平面之面積是任意形狀。我們希

(18)

望求出與流體接鍵面積上平面單側的合力大小、方向及作用點位置。在任意深 度 h 處,施於 dA鍵圖 2.12 上的微小面積鍵的力為 dF h dA 且垂直於表面。

因此,合力的大小可由整個表面的微小力加鍵以求得,亦即

方鎯式中 h  y sin 。若  與  為定值,則

圖 2.11 在一開口桶底形成的壓力及液體靜合力。

圖 2.12 作用在任意形狀的傾 斜平板表面之液體靜力示意圖。

鍵2.15鍵

(19)

寫成

方鎯式中 yc為形心到 x 鍵方向之距鍵。將 2.15 式重整後為

或寫成更簡單的形式

其中 hc 是該面積的形心到流體自由表面的垂直距鍵。值得注意的是合力的大小 與角度  無關,只與流體的比重量、平板鍵面積以及面積形心與自由液面的垂 直距鍵鍵三鍵有關。事實上,2.16 式可知合力的大小是在面積形心位置上的壓 力和鍵面積的乘積。因為在所有微小面積上的力垂直於表面,而所有微小元素 上的力相加可得合力 FR,可知合力 FR必定與表面垂直。

雖然直鍵上我們會鍵為合力應通過面積的形心位置,但實際上這想法並不 正確。合力在 y 鍵上的作用點 yR位置 ,可對 x 鍵取力鍵和來求出。合力鍵應鍵 於分布壓力鍵,或以下列式子表示

方鎯式中 FRAycsin 

方鎯式中分子代表對 x 鍵的面積二次鍵鍵second moment of the area鍵慣性鍵,

moment of inertia鍵Ix,而 x 鍵是沿著表面與液體自由表面的相交鍵線。依照此 定鍵,將上式改寫成

使用平鍵鍵定理,則 Ix可寫成

方鎯式中 Ixc為通過面積形心並且與 x 鍵互相平鍵的鍵線之面積二次鍵。進一步 整理後得

鍵2.16鍵

(20)

2.17 式明顯地指出合力之作用線通常不會通過面積形心位置,其位置必定在形 心的下方,因 IxcycA 0。

合力在 x 鍵上的作用點 xR位置,可依上述相同步鍵求出,最後可得

方鎯式中 Ixyc 為通過面積形心的一互相垂直的座標系鍵鍵線的慣性積而此座標 系鍵是將 x y 座標系鍵作平移。假使淹沒在液體中的面積與某一鍵對鍵,而 且此鍵通過形心並平鍵於 x 或 y 鍵,所以合力必然作用在 x  xc 的鍵線上,因 為此時 Ixyc 值必定是鍵。合力通過的作用點鍵為壓力中心鍵center of pressure鍵,

從 2.17 式和 2.18 式可察鍵,當 yc 值增加,壓力中心會愈鍵鍵形心。由於 yc  hcsin ,所以距鍵 yc 會增加,如果淹沒深度 hc 增加,或是給予一定深度由面 積轉動使角度 減少。圖 2.13 所示為一些常見面積的形心座標及慣性鍵。

鍵2.17鍵

鍵2.18鍵

圖 2.13 常見形狀的幾何性質。

(21)

直徑為 4 m 的圓形閘門如圖 E 2.4 a 所示位於一大型水庫的傾斜壁面。水庫內水 的比重量為  9.80 kNm3,而圓形閘門沿著水平直徑被安裝在一鍵上。如果從鍵到 自由表面距鍵為 10 m,試求a 水在圓形閘門上所產生的合力大小及位置 b 打開圓 形閘門所鍵力鍵。

解答

a 應用 2.16 式求水作用力的大小

因流體自由表面至圓形閘門形心的垂直距鍵為 10 m,代入數據可得

利用 2.17 式 及 2.18 式分別求出合力 FR的作用點鍵壓力中心鍵

由於面積是一對鍵形式,從座標系鍵可得 xR  0,所以壓力中心一定位於 A A 直徑線上。想求鍵 yR值,我們可從圖 2.13 查出

圖 E 2.4 擋塊

壓力中心

鍵Ans鍵

(22)

計算流體在平面面積的作用力可以採用另一鍵含有教鍵性與實用性的圖鍵 法。考慮有一貯存槽寬度為 b,槽內裝有比重量為  的液體,計算在垂直壁面 的壓力分布。因為壓力必定與深度成線性的變化,如圖 2.14 a 所示的變化。圖 中自由表面處壓力鍵於鍵,在最底鍵的壓力鍵於 h,從此壓力分佈情形明顯地 可見其平均壓力在 h2 深度處,故在鍵形面積 A  bh 之作用力值為

這結果跟 2.16 式一鍵。把圖 2.14 a 所示的垂直表面壓力分佈應用到整個垂直壁 面,我們可畫出三維空間壓力示意圖,如圖 2.14 b 所示。在此壓力-面積空間 所形成的體積其基底就是所感興趣的平板的表面,而基底上每一點的高度為其 壓力大小。此體積鍵為壓力鍵柱鍵pressure prism),顯而易見作用在表面合力的 大小鍵於壓力鍵柱的體積。因此,針對圖 2.14 b 所示之鍵柱,流體力為

而 yc在圖 E 2.4 b 中已表示。故

從鍵線到壓力中心的距鍵鍵在著閘門方向鍵是

由以上的分析可得到結論:水在圖形閘門上所產生的作用力大小為 1.23 MN,作 用點位置是在旋轉鍵下方 0.0866 m 處,作用力方向則垂直於閘門表面。

b 開啟圓形閘門所鍵之力鍵藉助圖 E 2.4 c 所鍵鍵的自由體圖來計算。在圖中  代 表閘門重量,而 Ox 與 Oy 則分別代表在鍵的水平與垂直反作用力。對鍵求取力鍵 和則為

因此

鍵Ans鍵

鍵Ans鍵

2.9 壓力瘳柱

Pressure Prism

(23)

方鎯式中 bh 為鍵形表面積 A。

合力之方向一定鍵過壓力鍵柱的形心。而此考慮的體積之形心位於底面的 對鍵垂直鍵上,而且位於底鍵高度距鍵為 h3 處鍵因圖中三角形的形心距底鍵 上方 h3 處鍵。此些結果跟前面 2.17 式 與 2.18 式的答案是相同。

如果液體的表面壓力不是大氣壓力時鍵常見於密閉儲存槽鍵,作用在淹沒面 積 A 的合力大小將被改變,只要把液體靜壓量加上一數量 psA 即可,式中 ps 代 表在液體自由表面的鍵壓力大小鍵平板之外表面假設是暴露在大氣壓力下鍵。

圖 2.14 垂直矩形面積 的壓力稜柱。

E

XAMPLE 例題 2.5

圖 E 2.5 a 為一個壓力桶,在桶側面安裝一片 0.6 m 0.6 m 的正方形平板,以鍵 栓加以固定,桶內裝有油鍵SG  0.90鍵。當在桶鍵的壓力計鍵數為 50 kPa,則作用在 正方形板上的合力大小及位置為何?假設桶外側為大氣壓力。

解答

圖 E 2.5 b 鍵出作用在正方形板內側表面的壓力分布情形,表面上任一點之壓力包含 在油表面的空氣壓力 ps及隨著深度成線性變化的油壓力,就如圖所示。作用在正方形 板鍵具有面積 A鍵上的合力,主要由兩分量 F1及 F2構成,其中

而且

體積

(24)

因此,合力 FR

FR在垂直面上之作用位置可以對 O 點取力鍵和而得,故

因此,合力作用在垂直對鍵鍵上距板底鍵上方 0.296 m 。

應注意在計算合力大小時所使用的空氣壓力是鍵壓力值。合力鍵大小及位置鍵不 受大氣壓力影鍵,因為大氣壓力作用同時作用在平板兩側,所以效果會相互抵消。

圖 E 2.5

鍵Ans鍵

鍵Ans鍵

(25)

在 2.8 節中所推導的方鎯式用以計算作用在淹沒表面的合力大小及位置僅 適用於平板表面。但是,有許多讓人感興趣的表面鍵鍵如水壩、管鍵以及貯存 槽相關的表面鍵是非平板狀的。對於曲面的問題,雖然流體合力仍可像平面利 用積分方式來處理,但是計算鎯序比較冗長繁瑣且無法推導出簡單通用的公 式。我們採用另一鍵決方案,考慮由感興趣的曲面與其水平及垂直投影面所包 圍的流體體積進鍵平衡分析。

例如,考慮在圖 2.15 a 中的開口貯存槽之 BC 曲線區段,我們希望求出作 用在此線段與垂直紙面方向具有一個單位長度的曲面上之流體合力。鍵先將感 興趣的曲面,本例為 BC 段,與其水平平面 AB 及垂直平面 AC 所包圍的流體體 積單獨劃出。這體積的自由體圖如圖 2.15 b 所示。作用力 F1 與 F2 的大小及位 置可以從平板表面的關係式求出。重量 ,乃為液體比重量與包含的體積相乘 積,其方向則通過此體積的流體的重心鍵CG鍵向下。FH 與 FV 依次代表貯存槽 作用在液體的水平與垂直方反向作用力。

為了讓自由體的力量系鍵達成平衡,水平分量 FH 與作用力 F2 的大小必須 相鍵並作用在同一線上,垂直分量 FV與作用力 F1和重量 合力的大小相鍵而 且亦在同一線上。由於三個力量同時施於液體鍵F2、F1及 的合力、桶施於液 體的合力鍵,所以必定會產生共點力鍵concurrent force鍵系鍵。也就是,從靜力 學原理可知,當三個非平鍵力一起作用而物體仍處於平衡狀態,則三個力在同 一平面上一定會構成一共點鍵作用線會交會在同一點上鍵。因此

Hydrostatic Force on a Curved Surface

圖 2.15 作用在曲 面的液體靜力。

(26)

合力的大小為

合力 FR 所鍵過 O 點位置是對一適當鍵線取力鍵和而求出。而圖 2.15 c 所示流 體作用在曲面 BC 之合力與在圖 2.15 b 的自由體圖中力系的合力是大小相鍵但 方向相反。

E

XAMPLE 例題 2.6

圖 E 2.6 a 是一直徑為 6 ft 的排水導管,內鍵水位半滿且水靜止不流動。試求在 BC 曲線範圍 1 ft 長度的導管壁面上水所產生的作用力大小及作用線方向。

解答

我們鍵先隔鍵出由曲線段 BC,在水平面 AB 而垂直面 AC 所包圍的流體體積,如圖 E 2.6 b 所示。令此體積的長度為 1 ft。則作用在此體積上的力系有垂直面 AC 的水平 力 F1、此體積的流體重量,與導管壁面作用在流體的水平分量 FH和垂直分量 FV

以下列式子計算 F1的大小

此力作用在 C 點上方 1 ft 處。流體的重量 為

流體的重量作用線一定通過此流體體積的重心,從圖 2.13 可知重心位置一定在 AC 線

圖 E 2.6

(27)

這鍵相同的通用方法也可以用來決定作用在高壓密閉貯槽之曲面的力。若 這些貯槽內裝氣體,通常氣體的重量相較於壓力形成的作用力是可忽略不計,

因此在感興趣曲面的水平及垂直投影面上形成的力,鍵如圖 2.15 b 的 F1F2鍵,直接可用內鍵壓力與曲面在水平及垂直投影面積相乘而得。

合力的大小為

水作用在導管壁面的合力與在圖 E 2.6 b 所示的水平分量 FH與 FV,大小相鍵但是方向 相反。所以,作用在導管壁面的合力大小與方向如圖 E 2.6 c 所示。圖中合力以一夾 角通過 O 點。

檢視計算結果可知合力的作用線通過導管的圓點。此一結果不會讓人感到訝鍵,

主要是在導管的曲面上由壓力產生之小元素力一定與曲面垂直,故每個小元素力之作 用線必然會鍵過導管中心點。因此可得此共點力系之合力也必須通過形成元素力力系 共同交點中心。

鍵Ans鍵

2.11.1 阿基米得原理

當一物體完全浸沒在流體中,或因漂浮而只有鍵份浸沒,作用在物體上的 流體合力鍵為浮力鍵buoyant force鍵。因為壓力隨著深度而增加,且壓力對物體 下方鍵位所產生之力必定大於上方鍵位的作用力,所以產生一垂直向上之淨 力。

基本物理學計算浮力 FB的一般表達方鎯式為

方鎯式中  是代表流體的比重量,V 是代表物體的體積。因此,浮力的大小 FB 是鍵於物體所排量流體之重量,而浮力方向是垂直向上。此結論就是一般所鍵

2.11 浮力、漂浮及瘳定性

Buoyancy, Flotation, and Stability

鍵2.19鍵

(28)

的阿基米得原理鍵Archimedes principle鍵。這方鎯式可以運用 2.10 節所討論的 原理鍵易地推導而得。浮力將會通過排量容積的形心位置,而浮力作用線所鍵 過形心位置鍵為浮力中心鍵center of buoyancy鍵。

相同結果也可以運用在只有鍵份浸沒的漂浮物體,如果在液體上方的流體 比重量比液體狀況小時,2.19 式也可使用於漂浮物體。因為液面上方之流體通 常為空氣,從實務而言此條件是可被滿足的。

E

XAMPLE 例題 2.7

如圖 E 2.7 a 所示一球狀浮標,其直徑 1.5 m、重量 8.50 kN,並以繩鍵固定在海 床上。雖然正常狀況下浮標是飄浮在水面上,但在有些時候海水位上升而使浮標完全 浸沒如圖示。在此情況,繩鍵中的張力為何?

解答

鍵先將浮標取出並鍵鍵自由體圖,如圖 E 2.7b 所示。圖中 FB 是代表作用在浮標的浮 力、 是代表浮標的重量,而 T 是代表繩鍵中的張力。依靜力平衡條件可得

由 2.19 式

海水比重量為  10.1 kNm3、浮標之體積 V d36,所以

因此繩鍵的張力可得

應注意,作用在浮標圓周的液體靜壓力已變換成浮力 FB。圖 E 2.7c 是另一個正確的 自由體圖。在浮標圓周表面的壓力淨效應鍵於向上的作用力 FB鍵浮力鍵。在計算過鎯 不要把浮力和液體靜壓力的影鍵同時納入,只鍵選擇其中一鍵。

圖 E 2.7

鍵Ans鍵

(29)

另一個與浸沒或漂浮物體有關的有趣且重要的問題是物體的鍵定性。如果 物體因外力作用而產生移動,但在外力消失後即回到原來的平衡位置,則鍵此 物體處於鍵定平衡鍵stable equilibrium鍵位置。然而,如果物體產生移動鍵雖然 是極微小量鍵,但物體會移動到另一平衡位置的狀態,此物體原來的位置則在非 鍵定狀態鍵unstable equilibrium鍵位置。由於物體的浮力中心與重心不一定重鍵 在一起,對於浸沒或漂浮物體的鍵定性考量是特別重要。一微小轉動往往造成 物體產生一恢復力偶或反轉力偶。

例如,當完全浸沒物體的重心位於浮力中心下方時,若物體由此平衡位置 因外力造成一轉動,當外力移去後將由物體本身重量  和浮力 FB 形成一個恢 復力偶,而使物體產生旋轉而回到原來位置。因此在此表面鍵置下此物體是鍵 定。值得注意的是,只要物體重心位於浮力中心下方,那麼物體永遠處於鍵定 狀態,物體受微小轉動的情況下,仍然會回到鍵定平衡位置。然而,如果重心 位於浮力中心上方,因物體本身重量與浮力所形成的力偶將使物體反轉,而使 物體移到新的平衡位置。所以,完全浸沒物體的重心位於浮力中心上方,則物 體處於不鍵定平衡位置。

圖 2.16 所示漂浮物體產生轉動時浮力中心鍵通過排量容積的形心鍵會改變 位置,所以其鍵定性問題就更加複雜。例如,與平底貨鍵類似的浮體在水中鍵 慢移動時,雖然浮體重心位於浮力中心的上方,但鍵體仍可維持鍵定。主要是 當鍵體發生轉動而造成傾斜時,浮力 FB移動而通過新的排量體積之形心如圖所 示,FB 與重量  所構成的力偶,將使鍵體回復至原來平衡位置。反觀對相對 較高、纖鍵的物體,如圖 2.17 所示,少量旋轉位移將造成浮力與重量會形成鍵 轉力偶如圖示。

穩定

非穩定

圖 2.16 漂浮物體的穩定性-穩定結

圖 2.17 漂浮物體的穩定性-不穩定型態。

(30)

從這些簡單的例子中可以了鍵,決定浸沒或漂浮物體鍵定性的會較困難,

因為分析過鎯與物體的特別幾何形狀及其重量分布呈複雜的關係。如果再考慮 一些外力的影鍵,例如陣鍵或氣流所造成的外力作用,則問題將變得更趨複 雜。鍵定性的考量對於鍵舶、潛艇、探測深海的小型潛水艇鍵鍵設計十分的重 要,而此考量對於海軍設計工作而言,是不可或鍵的角鍵。

2.12 剛瘳瘳動的流瘳壓力瘳化

Pressure Variation in a Fluid with Rigid-Body Motion

雖然本章主要考慮是靜態的流體,且已推導出的通用運動方鎯式 2.2 式

同時適用於靜止與運動狀態的流體,僅有的規定是無剪應力的出現。

當流體進鍵剛體運動時,會發生普鍵的問題為涉及運動中流體並無剪應力 產生。例如當一容器沿著直線鍵徑加速運動時,內裝的流體將會像一剛體般運 動鍵在初始攪動鍵漸消失後鍵,因為在流體中每個流體鍵子均具有相同的加速 值。因為不會有變形產生,所以無剪應力存在,故仍可使用 2.2 式。相同地,

當容器鍵著一固定鍵作旋轉,內裝的流體也會形成相似剛體般運動,再由 2.2 式的應用可鍵出運動流體的壓力分布。

2.13 瘳瘳瘳學瘳指南

Chapter Summary and Study Guide

在本章討論過靜止流體內之壓力變化,並且這類型壓力變化也有一些重要 的結論。鍵證實不可壓鍵流體靜止時,其壓力是隨深度作線性的變化,此型式 的變化一般鍵為靜態壓力分布。對於可壓鍵流體靜止時,壓力分布通常不同於 靜態壓力分布,但 2.4 式仍然成鍵,而如果對於比重量變化的額外資料有明確 說明,則可用來決定壓力分布。另有關鍵對壓力、鍵壓力之差鍵則與測量大氣 壓力的大氣壓力計一起作討論。

壓力量測儀器鍵為壓力計,是使用靜態液柱來測量壓力,文中有詳鍵的分 析,其包括對機械式及電子式壓力鍵鍵有扼要的討論。而一平面與靜止流體接 鍵時,其產生的流體合力大小和方向計算的方式也已推導完成,並描述曲面與 靜止流體接鍵所產生的合力大小和方向計算的通用方法,且複習浸沒物體或漂 浮物體浮力的觀念與阿基米德理的使用。

巴斯噶定律 表面力 物體力 不可壓縮流體

(31)

1. 寫出在左側邊欄所列出的名詞之意鍵,並了鍵每個相關觀念,這些名詞非常 重要而在本書中以粗體字型鍵明。

2. 計算在靜止,不可壓鍵流體內不同位置的壓力。

3. 計算在靜止,可壓鍵流體內不同位置的壓力。只要比重量的變化有明確說明 可使用 2.2 式進鍵計算。

4. 使用靜態壓力分布概念,從各式壓力計的測量值來計算壓力大小。

5. 決定作用在平面的流體靜力學的合力大小、方向及作用位置。

6. 決定作用在曲面的流體靜力學的合力大小、方向及作用位置。

7. 使用阿基米德原理來計算作用在浸沒物體或漂浮物體上的流體靜力學的力。

■ 習題

註: 除非在題目敘述中有給予流體性質的大小,

否則可在封面內表格查出。有註明(*)的 題目是以方程式計算機或電腦協助來解決。

有( )符號之題目是「開放式」的題目,必 須特別思考並作各種假設和提供必要數據才 能進行。這類型題目沒有唯一的答案。

2.1 一開口直鍵水管內水位距地面高度為 80 ft

。若在地面位置裝置一消防栓與直管鍵接在 一起,則消防栓之靜壓為多少?以 psi 單位 表示。

2.2 鍵要多高的酒精液柱才鍵與 700 mm 水鍵柱 有相同壓力。

2.3 圖 P 2.3 中一貯存水的密閉槽長為 5 ft。上壓 力鍵鍵值為 7 psi,試求 a 開口水柱高度 h

b 在槽底表面 AB 之鍵壓力,c 如果大 氣壓力為 14.7 psia,槽中穴氣之鍵對壓力大 小。

2.4 探測專用的小型潛水艇具有深海航鍵鍵力。

假設海水比重量為一常數 10.1 kNm3,則在 深度為 6 km 處,壓力為多少?以 Pa 及 psi 單位表示。

2.5 血壓一般測量以一扣帶鍵在手臂上,而扣帶 內壓力鍵用以量測動脈血壓鍵的顯示是利用 一水鍵壓力計。血壓的最大值鍵以鍵壓鍵之 具代表值為 120 mm 水鍵柱,為什麼壓力計 不用既簡單又便宜的水而用水鍵?以必要的 計算鍵釋並支持你的答案。

*2.6 某一靜止的液體,在各鍵深度下測量之比重 值如下表所示。深度 h  0 代表在大氣壓力 的自由表面。鍵由 2.4 式作數值積分,決定 出壓力的相對變化及鍵出壓力鍵psf鍵對深度 鍵ft鍵之分布圖。

2.7 針對大氣壓力為 101 kPa鍵abs鍵,在大氣壓力 計用下列液體a 水鍵 b 水 c 酒精,求個 別液體的液柱高度。計算高度時,要包括鍵 氣壓力所造成的影鍵量,並把鍵氣壓力納入 考量所得的值作比較。這些結果是否支持大 氣壓力計廣泛採用水鍵。為什麼?

2.8 在美國標準大氣鍵參考附錄 C 的表 C.2 鍵高 度為 4 km 處其大氣壓力計的鍵數為多少 mm

P

2 ft

2 ft

A B

7 psi

空氣

壓力頭 可壓縮流體 美國標準大氣 絕對壓力 錶壓力 真空壓力 氣壓計 壓力計 布登壓力錶 壓力中心 浮力 阿基米德原理 浮力中心

開口

(32)

水鍵柱?

2.9 一鍵對壓力為 7 psia,若標準大氣壓力為 14.7 psia ,則其鍵壓力為多少?

2.10 布鍵鍵鍵見圖 P 2.10鍵是一般常用來測量壓 力。當圖 P 2.10 中密閉水桶上的布鍵鍵鍵數 為 5 psi,桶中的鍵對空氣壓力為多少?假設 標準大氣壓力為 14.7 psi。

2.11 在泵的吸入端由布鍵鍵量得 40 kPa 真空。如 果當地大氣壓力為 100 kPa鍵abs鍵,其鍵對壓 力為多少?

*2.12 在正常條件下,大氣溫度隨高度增加而減 少。但在某些情況下,溫度形成相反趨勢,

即溫度隨高度而增加。表 P 2.12 是一系列的 溫度探針在一山上量得的高度-溫度數據。

如果在基鍵位置之大氣壓力為 12.1 psia,試 以數值積分方法求出水鍵上的壓力值。

2.13 有一密閉圓柱形貯槽具有一半球形圓鍵,內 鍵充滿水而與一轉化的管鍵系鍵鍵結如圖 P 2.13 所示。在管鍵系鍵較高鍵份之流體比重 為 0.8,而管鍵其他鍵份流體為水。如果在 A 位置壓力鍵鍵數為 60 kPa,決定a B 管壓b 在圓鍵端鍵C 點鍵之壓力水頭有多少 mm 水鍵柱高。

2.14 在圖 P 2.14 靜止流體中,B 點比 A 點的壓力 大 20 kPa。求壓力計流體的比重量。

2.15 一 U 形管水鍵壓力計與一密閉高壓的貯存槽

圖 P 2.10

圖 P 2.13

P

(33)

psi ,求兩端水鍵柱高度差 h。空氣的比重量 可忽略不計。

2.16 水、油及不明流體一起裝在一垂直管內如圖 P 2.16 所示。求不明流體之密度。

2.17 雖然壓鍵水是很困難,但是深海處之海水密 度比在海平面的大,其主因是壓力隨深度而 增加。假設海水密度鍵鍵即改變成一均勻密 度,其值鍵於在海平面之密度,則求海平面 應該有多高?

2.18 在圖 P 2.18 的傾斜管壓力計中,A 管壓力為 0.8 psi,A 管與 B 管內流體均為水在壓力計 內鍵流體之比重為 2.6。相對於圖中差值鍵 數的 B 管壓力為多少?

2.19 在圖 P 2.19 中的水鍵壓力計之兩端液柱差鍵 數 0.30 m,當 A 管之壓力為 30 mm 水鍵柱 高時,求 B 管之壓力。

2.20 如圖 P 2.20 所示一槽內有兩個 A、 B 隔間,

鍵是密閉而充滿空氣和比重為 0.6 之液體。

如果大氣壓力為 14.7 psia 及壓力鍵鍵數為 0.5 psi,求壓力計的鍵值 h,空氣重量之影 鍵忽略不計。

2.21 三不同液體性質如下所列,裝入貯槽及壓力 計的管中如圖 P 2.21 所示。求流體 3 的比 重。

2.22 使用一吸杯來吸住一個重為  的平板,如 圖 P 2.22 所示。由圖示中的數據,求板重 大小。

1 in. 直徑 2 in. 直徑

1 ft

2 ft 1 ft

油,

SG  0.9 不知名流體

圖 P 2.15

圖 P 2.16

圖 P 2.20 圖 P 2.19 圖 P 2.18

(34)

2.23 圖 P 2.23 為一圓柱桶其兩端為半球形,內裝 填一易發揮液體及其鍵汽。液體密度度為 800 kgm3,其鍵汽密度是可忽略。鍵汽之壓 力為 120 kPa鍵abs鍵,而大氣壓力為 101 kPa 鍵abs鍵。求a 壓力鍵之鍵壓力鍵數 b水鍵壓

力計的高度 h。

2.24 在圖 P 2.24 A 管裝有汽油鍵SG 0.7鍵,B 管 裝有油鍵SG 鍵 0.9 鍵,而壓力計流體是水 鍵。如果使 A 管壓力減少 25 kPa,但 B 管之 壓力維持不變,則新的二水鍵柱之差值為 何?原先在圖中之差值為 0.30 m。

2.25 有一斷面積為 3 ft2而重量不計的活塞在填有 油鍵SG  0.9鍵的汽鍵上,如圖 P 2.25 所 示。這汽鍵跟一個裝有水及油的高壓桶鍵接 在一起。施加一力 P 使活塞在圖示位置上,

a 求所鍵力的大小 b 求作用在桶底的壓力 水頭太小,以多少英呎水柱高表示。

2.26 一 0.02 m 直徑的壓力計管子鍵接到一直徑為 6 m 而裝滿液體的槽上如圖 P 2.26 所示。求 在槽中不明液體之密度。

2.27 混凝土倒入圖 P 2.27 中的外形來鍵成一個樓 梯組。求為了避免無底面的外形從地面浮起 所鍵的沙鍵重量。外形重 85 1b 而混凝土之 比重量為 150 lbft3

2.28 一方形 3 3 m 閘門位於水庫 45 之斜邊 上,一些量測得知水作用在閘門的合力為 500 kN。a 求開門底鍵之壓力大小 b 鍵出 此合力作用點位置。

2.29 一大型開口的大水槽鍵接一直徑為 6 ft 之渠 管如圖 P 2.29 所示,使用一圖形塞子封住渠

流體 1:比重量 62.4 lbft3 流體 2:密度 1.60 slugsft3 流體 3:比重 笒

流體 2

流體 1 流體 3 6 ft

3 ft

7 ft

5 ft 汽油 水銀

0.4 m

0.3 m A

B

圖 P 2.21

P

圖 P 2.23

P

P

A

(35)

管,求水作用在此塞子的力大小,方向及位 置。

2.30 一均質的長方形閘門,寬 4 ft,長 8 ft,重 800 1b,以一水平繩鍵固定在如圖 P 2.30 所 示位置,水作用在閘門上,而閘門在 A 點以 鉸鏈鍵接。鉸鏈產生摩擦力忽略不計。求繩 鍵之張力大小。

2.31 在你的浴盆的排水口以橡膠塞子堵住,估算 水作用在塞子的力,列出所有假設與寫出所 有計算。此力是否真正鍵要來移動塞子?鍵 釋之。

2.32 一鍵腰三角形,底邊 6 ft,高為 8 ft,所形成 面積位於一貯存槽的一面上,此槽裝有比重 量為 79.8 1bft3 之液體。此槽面與求平面成 60 傾斜。三角形底邊是水平,而鍵點是在

底邊上方。當槽內水位從三角形底邊算起為 20 ft 時,求水作用在此三角形面積力的大 小。鍵圖協助證實壓力中心所在。

2.33 把 2.32 題中,鍵腰三角形改為直角三角形,

而底邊與高均不變,重新作答。

2.34 如圖 P 2.34 所示,兩個方形閘門,封閉鍵接 一個水槽渠鍵的兩個開口,當水深達 5 m,

期望鍵同時打開二閘門。試求均質水平閘門 的重量與作用在垂直閘門的水平力,R 應為 多少才鍵在水位未達 5 m 時,使兩閘門一直 維持關閉狀態,忽略垂直閘門的重量,兩閘 門在一端均以鉸鏈鍵接如圖所示。鉸鏈之摩 擦力忽略不計。

2.35 一無質量、寬 4 ft 閘門,如圖 P 2.35 所示,

以 無 摩 擦 鉸 鏈 O 為 中 心 旋 轉 , 並 利 用 一 2000 lb 平衡錘保持在圖示位置,求水深 h。

2.36 如圖 P 2.36 所示,堅固的閘門 OAB,在 O 點 與鉸鏈鍵接,在 B 點與一堅固的支撐物鍵 接,如果閘門寬為 3 m,求使閘門維持關閉 所鍵最小張力 P 為多少?忽略閘門重量及鉸 鏈摩擦力。閘門背後是暴露在大氣中。

P

P

P

P

P

(36)

*2.37 一 200 lb 均質閘門,寬 10 ft,長 5 ft,在 A 點以鉸鏈鍵接,且以長 12 ft 之支柱維持在 圖 P 2.37 所示位置。當支柱底鍵往右移動 時,水位乃維持在閘門的上方。而支柱作閘 門所產生的力,其方向是沿長度方向。a

鍵鍵出支柱對閘門產生的作用力大小與閘門 傾斜角 之關係,而 0    90 b 將閘門 重量忽略不計後重新計算a 結果。當  → 0 時,對其結果作一評論。

2.38 一扇 6 6 ft 方形閘門,以無摩擦鉸鏈為中 心旋轉,如圖 P 2.38 所示,通常必須加一力 P,避免閘門旋轉。求當 P 0 時之水位高 度 h。

2.39 有一開口貯存槽內有一垂直隔板,一邊裝有 密度為 鍵 700 kgm3汽油,深度 4 m 如圖 P 2.39 所示。一長方形閘門高為 4 m,寬為 2 m,一端以鉸鏈鍵接,置於隔板上。水慢慢 加入另一邊空間,水位多少時會使閘門開 啟?

2.40 一溝其寬為 4 ft,直角閘門不考慮其重量鍵 自由地以無摩擦鉸鏈 O 點為中心旋轉,如圖 P 2.40 所示。閘門水平鍵份鍵住直徑為 1 ft 的排水管,求最小的水位高度 h,鍵使閘門 旋轉而使水流入管內。

*2.41 有一開口長方形沈澱槽裝填一懸浮液體。此 液體在某一時間下,其比重量是隨高度而改 變,依下列數據:深度 h  0 代表自由表 面。藉由數值積分,決定懸浮液體作用在寬 為 6 m 的槽的垂直壁上的合力大小及位置,

液體之深度為 3.6 m。

P

圖 P 2.36

P

P

P

圖 P 2.40

(37)

2.42 圖 P 2.42 所示,混凝土壩堤重 23.6 kNm3

,停置在一堅固的地基上,在圖示深度下,

為了避免壩堤滑動,求介於壩堤與地基間之 最小的摩擦係數。假設沿著壩堤基底沒有流 體上升之壓力。以壩堤單位長度作為分析。

*2.43 水支持一混凝土壩,如圖 P 2.43 所示。水洩 出到基地的水會對堤底鍵產生一壓力分布如 圖示。如果水深過大,則壩提會以尖端鍵A 點鍵作鍵轉,從給予的數據中,在下列壩堤 寬度值  下,求最大的水深值,  20、30

、40、50 和 60 ft。以單位壩堤長度為分 析,混凝土的比重量為 150 lbft3

2.44 長 3 m 的曲面閘門位於鍵水庫的一邊如圖 P 2.44 所示。求作用在此閘門水平及垂直分量 力的大小。此力是否通過 A 點?鍵釋之。

2.45 直徑 3 m 的開口圓柱裝水而有一半球形底鍵 如圖 P 2.45 所示。求水對此曲面底鍵的作用 力,作用線及方向。

2.46 圖 P 2.46 所示,一長 20 ft,四分之一半圓的 閘門,在 H 位置以鉸鏈鍵接。試求維持閘門

在圖示位置所鍵的水平力 P 大小。忽略鉸鏈 摩擦力及閘門重量。

2.47 在一高壓貯存桶的底鍵設有一圓鍵形塞子如 圖 P 2.47 所示。空氣壓力為 50 kPa ,在桶入

閘門 2 m

6 m

A

8 m

3 m

P

P

P

P

6 ft

閘門

鉸鏈 P

P

(38)

液體之比重量為 27 kNm3。試求因 50 kPa 壓力與液體而作用在桶內圓鍵表面上的作用 力大小、方向及作用線。

2.48 胡佛水壩是美國最高的拱形重力型式的水 壩,圖 P 2.48a 顯示水壩的上視圖與剖視 圖。水壩所在之峽谷壁為傾斜,圖 P 2.48b 所示為水壩正上流的垂直平面,鍵似地代表 作用在壩上的水的斷面。使用此斷面估算作 用在水壩上水的水平合力大小及作用位置。

2.49 一貯存槽壁之形狀如圖 P 2.49 所示,求作用 在 1 ft 寬的曲面段 AB 力之水平及垂直分 量。

2.50 如果汽水瓶的底鍵被改為半球形,如圖 P 2.50 所示。則作用在此半球底鍵的合力大 小、作用線及方向為何?瓶子上方空氣壓力 為 40 psi,汽水與水有相似的比重。假設汽 水體積維持在 2 公升。

2.51 圖 P 2.51 所示中在水上有一厚為 0.5 ft 油 層,而固態的鍵方體漂浮在上面,求此鍵方 體的重量。

2.52 圖 P 2.52 所示一斷面積為 0.15 m 0.35 m 的 均 質 木 條 AB,求木條比重量與繩鍵張 力。

2.53 當在巴西北鍵建造 Tucurui 水壩時,所形成 的湖水淹鍵一大片價值非凡的闊葉樹林。鍵 過浸泡在水下 15 年後,被發現這些樹完整

葉輪 葉輪 入口塔 水渠

入口塔 水渠

45 ft

727 ft

660 ft

a

槽壁

18 ft

6 ft A

B

固態 正方體

0.5 ft

2 ft

P

P

P

P

P

(39)

地被保留下來,故也開始了水下的伐木工 作。在伐木過鎯中,樹木被選中,鍵倒而以 繩鍵加以繫住,以避免當樹木被鍵斷後像火 箭般射出水面。假設有一典型大樹,可視為 一截面圓鍵,在底面直徑為 8 ft,鍵鍵直徑 為 2 ft,高度為 100 ft。當浸沒樹被鍵斷後,

求繩鍵承受多少的垂直方向作用力木頭的比 重鍵為 0.6。

2.54 預估可供承載兩人及其露營設備的獨木鍵鍵 漂浮的最小水深。列出所有假設及寫出所有 計算。

2.55 一倒鍵試管含有鍵份空氣,漂浮在裝有水的 一塑膠飲料瓶中,如圖 P 2.55 所示,試管內 的空氣量鍵調整後使試管鍵漂浮,瓶鍵鍵鍵 地鎖鍵。鍵鍵擠壓塑膠瓶將導鍵試管下沈到 瓶底,鍵釋此現鍵。

2.56 直徑為 1 ft、長 2 ft 圓柱浮在裝有比重量為 液體的開口桶中,一 U 形壓力計裝在桶上如 圖 P 2.56 所示。當 A 管之壓力是比大氣壓低 0.1 psi,而各流體高度如圖示。決定圓柱的 重量,注意圓柱的鍵面與液面鍵平。

2.57 有一 L 形堅固閘門在一端利用鉸鏈固定,此

閘門住在開口水槽內的隔板之間,如圖 P 2.57,一混凝土物塊鍵  150 lbft3鍵掛在 閘門的水平鍵位。當在鉸鏈上方水深為 2 ft,

使閘門作用在隔板 A 點處之反力為鍵,其所 鍵的物塊體積大小為何?

2.58 圖 P 2.58 所示的液體比重計質量為 0.045 kg,鍵鍵斷面積為 290 mm2。求當液體比重 為 1.00 和 0.90,則二刻度值鍵在鍵鍵上鍵間 距鍵為何?

2.59 一個 5 gal 開口圓柱容器,底面積為 120 in.2

2 ft

圓柱

量錶流體 SG 1.5 Sp wt. 

1 ft

2 ft

0.5 ft

P

P

P

P

P

液體比重計 流體表面

(40)

充滿甘油液體而置於電梯的地板上。a 當 電梯以一向上加速度 3 fts2運動時,求作用 在容器底面之流體壓力 b 在此加速度運動 中,容器作用在地板的合力為何?容器本身 重量忽略不計。鍵注意:1 gal  231 in.3

2.60 一密閉圓柱桶直徑為 8 ft,長為 24 ft,內鍵 充滿汽油。桶以長鍵為水平放置,由一卡鍵 沿水平面拉動,當卡鍵以 5 ft/s2 加速度運 動,求圓桶兩端面鍵沿桶的長鍵鍵之壓力 差。

參考文獻

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