2.5 函數的連續性

2 極限 (limits) 與

導數 (derivatives)

2.5 ^{函數的連續性}

函數的連續性

我們常看到：一個函數 f(x) 在 x 趨近 a 的極限，通常是在該 點的函數值 f(a) 。而滿足這樣好性質的函數，我們會說它在 a 點連續 (continuous at a) 。

我們後續會給一個「連續」在數學上的定義，並且討論與一 般我們在語言上所認知的連續的相關性。

[定義] 我們說 f(x) 在 a 點連續 (f(x) is continuous at a) 表示 lim_x→a f(x) = f(a).

函數的連續性

注意到在前述的定義中， f(x) 在 a 連續隱含了三件事情：

1. f(a) 是有定義的 (表示 a 落在 f 的定義域)

2. 極限存在

3. 極限存在且跟函數值相等。

另外，從極限的定義來看： f(x) 在 a 連續，表示 x 在趨近 a 的時候 f(x) 的值會很靠近 f(a) 。

因此連續函數的特徵便是，當我們可以控制 x 有小變動時，

函數的連續性

更進一步來說，我們只要保證 x 的變動足夠小，則 f(x) 的變 動就可以任意地小。

相反的， f(x) 在 a 的附近都有定義，我們說 f(x) 在 a 不連續，

(f is discontinuous at a) 或者說 f(x) 有一不連續點 a (f has a discontinuity at a) ，表示 f(x) 不是在 a 連續。

連續性或者不連續在物理問題中都很常見，例如：交通工具 的位移跟速度都是時間的連續函數；而電流在開關前後便有 不連續的情形。

函數的連續性

從幾何上看，一個在區間上的每一點都連續的函數，其函數 圖形沒有分斷。直觀上，這樣的連續圖形我們可以一筆劃完 成不必離開紙面。

這也同時是我們平常所認知的「連續」的語意。

範例一

圖二為 f(x) 的函數圖形，試問 f(x) 在哪些點不連續？

解:

首先我們可以先確認在 x = 1 時， f(x) 並不連續。主要的理 由當然是 f(x) 在 x = 1 時沒有定義。

圖二

範例一 / 解

另外，我們可以看到當 x = 3 時，圖形有很明顯的斷點，但 這裡的不連續理由是 f(x) 在 x 趨近 3 的極限不存在（其左、

右極限不同），即使 f(3) 有定義。

最後，我們看 x = 5 。此時 f(5) 有定義且極限 lim_x5 f(x) 存 在，但極限並不等於函數值：

因此 f(x) 在 5 不連續。

cont’d

範例二

試舉出下列函數的不連續點。

解:

(a) 注意到 f(x) 在 x = 2 時沒有定義，因此 2 為不連續點。

而除了 2 以外的其他點均連續，我們稍後會有相關的證明。

範例二 / 解

(b) 即使 f(0) = 1 有定義，但當 x 趨近 0 時的極限不存在：

因此 f(x) 在 x = 0 時不連續。當 x 不為 0 時 f(x) 均為好的 函數，因此為連續。

(c) f(2) = 1 有定義，且極限存在：

cont’d

範例二 / 解

= 3 但極限值並不等於函數值

因此 f(x) 在 2 不連續。

(d) 高斯階梯函數 f(x) = 會在所有的整數點不連續，由於 的極限不存在。

cont’d

函數的連續性

下面給出範例二的一些函數圖形。

圖三 (a), (b)

函數的連續性

圖三 (c), (d)

函數的連續性

在這些例子中，我們發現函數圖形在這些不連續點會有缺漏 或者跳躍點，沒有辦法一筆劃完成。

另外注意到在 (a) 跟 (c) 的情形，函數在不連續點附近的左、

右極限均存在，此時我們會稱這類型的不連續點為可去不連 續點 (removable discontinuity) ，若我們可重新在該點定 義 f(x) ，使左、右極限與函數值相等，則不連續點就被移除 了。

(b) 中的不連續點為趨近無窮大值的不連續點 (infinite

discontinuity) ，而 (d) 中的不連續點則稱為跳躍不連續點

函數的連續性

與連續相同，我們也可以額外定義函數的單邊連續性。定義 如下：

[定義]

函數 f(x) 若在 a 點右連續，表示 f(x) 在 a 點的右極限等於其 函數值 f(a) ：

lim_x→a+f(x) = f(a) 。 f(x) 在 a 點左連續，則表示

lim_x→a-f(x) = f(a)

[定義]

我們說 f(x) 在區間 I 上連續，表示 f(x) 在 I 上任一點均連續，

而在此區間的端點左連續或者右連續。

函數的連續性

與極限的情況相同，函數經過四則運算後也能保持其連續性，

因此我們不必反覆利用連續的定義檢驗，我們有如下定理：

[定理]

若 f 跟 g 均在 x = a 連續，且 c 為常數，則下列函數也在 x = a 時連續：

1. f + g 2. f – g 3. cf 4. fg 5. f/g, 若g(a) ≠ 0

函數的連續性

從前述的定理，若 f, g 是在一整個區間上連續，則 f + g, f – g, cf, fg, f/g (若 g 在區間上恆不等於 0) ，也會在整個區間上 連續。

同樣也跟極限一樣，由 x 的四則運算所構成的多項式與有理 式函數，都在其定義域上連續，我們有以下定理：

[定理]

(1) 若 f(x) 為多項式，則 f(x) 在整個實數上均連續。

(2) 若 f(x) 為有理函數，則 f(x) 在其定義域上連續。

函數的連續性

我們舉一些例子，例如半徑為 r 的球體，其體積對半徑的函 數為 V(r) =



r³ ，是一個 r 的多項式。

同樣，從地面以初速 50 ft/s 往上丟的球，其高度所滿足的 等加速度曲線，函數式為 h = 50t – 16t² ，同樣也是多項式 函數。

因此我們可以知道球體體積 V 對半徑 r ，等加速度運動中的 物體對時間 t ，這兩種函數均為連續函數。

函數的連續性

另外，一些我們熟悉常用的函數也會是連續函數。

從右下圖觀察，圓的圖形以及其上點的座標參數式可以寫成 角度的 cosine 值與 sine 值，由圖形的連續性我們可以得知 sine, cosine 都是連續函數。

當角度

 

0 ，我們可以看到點 P 趨近 (1, 0) ，因此可知道座標函數分 別的極限為 cos

 

1, sin

 

0 。

函數的連續性

因此

而函數值 cos 0 = 1, sin 0 = 0 ，所以由 我們可以知道 cos(x) 跟 sin(x) 在 x= 0 的時候連續。再由 cosine, sine 的合 角公式可知，

sin(x+a) = sin x cos a + sin a cos x, cos(x+a) = cos x cos a – sin x sin a,

其值是由 sine, cosine 四則運算後所組成，因此 sine, cosine 的函數值在任意點 a 均為連續。

函數的連續性

cos x 的零點發生在



/2 的奇數倍，因此 y = tan x 會有無窮 多個無窮大值的不連續點，發生在 x = 



/2, 3



/2, 5



/2 等 地方，如下圖

y = tan x

函數的連續性

所以，現在我們知道了更多好的函數了：

為了從已知的連續函數得到更多的連續函數，我們考慮各種 函數的合成，有下面的定理：

[定理]

下列函數在其定義域上均為連續函數：

(1) 多項式函數 (2) 有理函數

(3) 開 n 次方根函數 (4) 三角函數

[定理] 若 f(y) 在 y = b 連續，而 lim_x→ag(x) = b ，則

函數的連續性

從直覺上來說，前述的定理我們可以想像成，只要 x 夠靠近 a ，則由極限定義可知 g(x) 夠靠近 b ，而此時 f(g(x)) 也就 夠靠近 f(b) 。我們改寫成兩個連續函數的合成形式：

連續函數有很多好的性質，其中一個重要的性質便是下述的 定理：

[定理]

若 f(y) 在 y = b 時連續， g(x) 在 x = a 連續且 g(a) = b ， 則合成函數 f。g(x) = f(g(x)) 在 x = a 連續。

[中間值定理]

若 f(x) 在閉區間 [a, b] 上連續，且令 N 為介於 f(a) 與 f(b) 間 的數，則存在 (a, b) 中一數 c 滿足 f(c) = N 。

函數的連續性

中間值定理保證一個連續函數會通過其兩個端點值之間的所 有數值，不過連續函數實際的行為怎麼通過我們並不知道，

如下圖刻畫。

注意到 N 這個值在圖 (a) 經過了一次，而在圖 (b) 經過了三 次。

函數的連續性

回想關於連續函數的幾何直觀，一個連續函數的函數圖形不 會有洞跟斷點，所以很直觀的我們可以相信中間值定理保證 函數會通過兩端值中間所有的值至少一次。

函數通過某些值我們可以用這樣的術語來刻劃：若給定一條 水平直線 y = N ， N 直落在兩端值的水平線 y = f(a) 跟 y = f (b) 之間如下圖所示，則若 f(x) 是連續函數， y = f(x) 的圖形 會與 y = N 相交至少一點。

函數的連續性

函數的連續性這個條件在中間直定理中是必要的，我們可以 找到很多反例，如果函數不連續。

中間值定理的一個應用是我們可以利用定理來找連續函數的 根。

當我們遇到一個函數，我們可以利用電 腦繪圖刻畫出函數圖形，如右圖，是一 個在 [-1,3] x [-3,3] ，我們可以看出來，

函數的圖形在經過 x 軸的地方大約在 x = 1 到 x= 2 之間。

函數的連續性

圖十一是當我們把範圍縮小到 [1.2, 1.3] x [–0.2, 0.2] 的圖形。

事實上中間值定理是保證在我們在縮小範圍時，可以確定交 點仍在圖形的這個範圍內的工具之一。當我們在找根的時候，

確認兩端的點其函數值分別是正數與負數，那麼在這個範圍

圖十一

函數的連續性

除了勘根以外，中間值定理也能夠保證，當我們計算兩端的 函數值，其中間的函數值大致上分布在兩端值之間。

也因此當電腦在繪圖時，電腦只需要計算足夠多點 {x₁,x₂,x₃,x₄,…,x_N}

的函數值，而且每個 x_i 到 x_i+1 之間的距離夠精細，那麼我們 便可以將這些點 {(x_i, f(x_i)) | i = 1,2,3,…,N} 中每相鄰兩個點以 直線相連，便可以用折線圖大致上逼近函數的圖形。