非線性程序輸出回饋控制之研究

1

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

非線性程序輸出回饋控制之研究 (1/2)

The Study of Output Feedback Control for a Class of Nonlinear Processes

計畫編號：NSC 89-2214-E-011-008 執行期限：88 年 8 月 1 日至 89 年 7 月 31 日 主持人：周 宜 雄 國立臺灣科技大學化學工程系

一、中文摘要

設計非線性適應控制架構－包含利用 輸出回饋、程序參數的估測和適應控制法 則來解決具有結構化的不確定和時變參數 的非線性程序乃為本研究計畫的主要目 的。基本上，本研究計畫將利用輸出回饋 控制結構，以李氏函數為基礎的系統穩定 設計法為中心，發展以迴遞式的適應控制 設計步驟，來設計程序參數的估測律和適 應控制律，而克服傳統上由線性適應控制 延伸到非線性適應控制的障礙，同時使得 控制系統能整體穩定並且擁有優良的輸出 軌跡追蹤能力。本研究擬以二年期的研究 計畫進行方式完成，第一年擬致力於靜態 輸出回饋控制設計的研究，應用於非線性 適應控制，處理具有模式不確定與時變參 數的非線性程序。本研究計畫執行的重 點，將考量實用的價值，而著重於理論上 的分析與推演，並發展創新性的非線性適 應控制方法。同時，將本研究成果應用於 非線性化學反應器系統，期能本研究計畫 在學理與實際應用上有創新性貢獻與實用 性的價值。

關鍵詞：非線性程序、適應控制、回饋控 制

Abstr act

In this proposal we will study the control problem of a class of affine nonlinear processes with model uncertainties and slowly-varying parameters. First we will develop a parameter adaptive algorithm including parameter estimation and adaptive

control for the system on the basis of the Lyapunov-based design approach. The comprehensive control scheme will be fully developed such that the closed-loop system is globally stable and the output trajectory is asymptotically achieved. This is a two years term proposal. In the first year, we will focus our attention on the problem of static output feedback control. Our research efforts will concentrate on the theoretical study of practical adaptive control design for nonlinear processes with model uncertainties and slowly varying parameters. Finally the results on this proposal will contribute a major improvement to the theory of nonlinear adaptive control design and the practical application.

KEYWORDS: Nonlinear Processes, Adaptive Control, Feedback Control

二、緣由與目的

化 工 程 序 的 動 態 常 具 有 非 線 性 的 特 質。而傳統上的控制設計，乃利用程序穩 態操作點進行局部線性化，將原來的非線 性程序簡化為線性程序，然後再利用已知 的線性控制設計方法，設計控制系統。基 本上這樣的控制設計方法，處理一般的非 線性程序均可得到滿意的控制效果。不過 對於強烈非線性程序與批式程序系統(沒 有穩態操作點)，一般傳統的局部線性化控 制設計方法，很難達到滿意的控制效果，

甚至於造成程序系統的不穩定。所以，近 年來非線性控制設計方法已被廣泛地直接

2

應用於化工程序，期望能得到比較好的控 制成效。從文獻的調查與比較，證明這樣 的觀點是正確的，確實直接使用非線性程 序模式，進行控制系統設計遠比傳統的局 部線性化控制設計方法，可以得到較好的 控制效果(Henson and Seborg, 1997)。另 外，化工程序的真正數學模式不易求得，

只能得到近似的設計模式，因此真正的程 序系統與設計模式之間存在有所謂的模式 不確定。縱然化工程序的真正數學模式可 以求得，但其模式往往過於複雜不適合做 為控制設計之用，而需要加以簡化，才能 成為設計用之模式，例如：偏微分方程系 統簡化為常微分方程系統，高階系統降階 為低階系統等等，這樣的簡化與降階處 理，也使得真正的程序系統與設計模式之 間存在有模式的不確定。又化工程序的系 統參數也常是時變的，或者受到系統外在 環境改變的影響，或是程序老化等問題，

都可能使程序系統參數發生改變。處理這 種非線性程序具有模式不確定與時變參數 的控制問題，相當困難，但也具有挑戰性，

也是目前控制領域重要的待解決問題與研 究方向之一(Landau, et al., 1998)。

對化工程序而言，往往程序的狀態變數 不一定都能量測得到或可以即時量測到，

例如化學反應器裡的濃度，所以控制設計 僅能利用輸出變數或部份可量測得到的狀 態變數做為回饋之用，使得控制系統的設 計更艱難，但也更具有挑戰性與研究的必 要性，因為真實的系統即是如此。因此，

如何應用輸出回饋來設計控制系統處理具 有模式不確定與時變參數的非線性程序，

乃為本研究計畫的主要研究探討課題。本 研究計畫擬分為二年期，探討非線性輸出 回饋適應控制的理論與應用，在第一年的 研究重點，乃是著重於靜態的輸出回饋控 制設計，藉著參考模式為基礎的適應控制 結構，推演具有程序不確定與時變參數的 非線性程序系統的控制法則，同時利用李 氏穩定法則來推演程序參數的估測法則，

利用這兩種法則控制與估測執行系統的適 應控制，以確保系統的穩定與優良的控制 效果。然後再利用這些理論應用於化工程

序的反應器控制，實質評估其實用性與控 制效果。

三、研究方法

考慮有一非線性系統其結構如下式

[ ]

1

1 0

0 0

1 1

1 ,

) , ( )

, (

) ( ) ( ) ( )

(

1 1

), , , , (

x y

n r i x

y x

y x

u x x

x x

x

i x

x x x

x

i

r i i r

r

T T

r i i

T i i

=

≤

≤ + Φ

+ Φ

=

+ +

+

=

−

≤

≤ +

=

∑= +

ρ ρ ρ

θ

β θ β γ

θ γ

ρ γ

θ

&

&

& Λ

假若系統的參考信號y_r(t)與其ρ 次微分 為已知，並且為有限值。則設計步驟可以 整理為：

Step 1:

令z₁ = x₁ −y_r , z₂ = x₂ −α₁ 其中 cn

c

c₁, ₂,Λ , 是 constant coefficients。重寫 )

( ₁

1 2

1 x x

x&= +θ^Tγ 為 ) ( ₁

1 1

2

1 z y x

z&= +α − &_r +θ^Tγ 使用α 為虛擬₁ 控制以及設計李氏函數為

ˆ ) ( ˆ )

2 ( 1 2

1 _{2 1}

1

1 θ θ θ θ

π − Γ −

+

= z ^{T −}

V ，利用其

微分必須小於或等於零的條件求取控制律

ˆ ) (1 ˆ )

( ˆ )

( _{2 1 1} ¹ _{1 1}

1

1 θ γ

θ π θ γ θ

α y z

z z

V&= + −&_r+ ^T + − ^TΓ⁻ &−Γ

所以選擇1 ˆ ₁ τ

πθ&= 為參數更新律而控制律

) ˆ ( )

ˆ, ,

( _{1 1 1 1 1}

1 x θ y_r y_r c z θ^Tγ x

α & = &− −

所以整個系統的閉環路狀態方程式為 )

( ˆ) ( _{1 1}

2 1 1

1 c z z x

z&=− + + θ −θ ^Tγ

Step i (2≤i≤ρ−2):

令z_i+1 = x_i+1 −α_i，重寫 ) , , ( ₁

1 i i

T i

i x x x

x&= ₊ +θ γ Λ 為

( ) ( )i i r r

i i i

k

k T k k i i T i i

i y

x y z x

z ¹ ₁¹

1

1

1 1

1 ˆ

) ˆ

( ⁻ ₋⁻

−

= − +

+ ∂

−∂

∂

−∂

∂ +

− ∂ + +

= ^{α θ γ} ∑ ^{α θ γ α}_θ ^{θ& α}

&

使用α 為虛擬控制以及設計李氏函數為_i

3

2

1 2

1

i i

i V z

V = ₋ + 其微分為

( ) ( )











 



∂

− ∂ Γ

− Γ

− +



 





∂

− ∂

∂ +

−∂

∂

−∂

∂

− ∂ + + +



 



 −



 





∂ + ∂

−

=

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

=

−

=

−

−

−

=

−

−−

− −

= − +

+

−

−

−

= +

−

=

i l

l k

k k l l l T

i k

k k i i T i i r r i i i

k k k i i i i i

i i

k k k i

k k k i

z x

y x x y

z x z z

z z c V

1 1

1 1 1

1

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

1

1 2

1 1 1

1 2

1 ˆ ˆ ) (

) ˆ(

ˆ ˆ 1 ˆ ˆ

α γ γ πθ

θ θ

α γ γ α θ

θ θ α α α

πθ θ τ α

&

&

&

&

接著利用其微分必須小於或等於零的條件 求取控制律

( ) ( ) ( )





∂

− ∂



 



 Γ−

∂ + ∂

∂ +∂

∂ +∂

∂ + ∂

−

−

=

∑

∑

∑

−

=

− −

= +

−−

− −

=

− −

1

1 1 2

1 1

1 1 1 1

1 1 1

3 1

ˆ ˆ ) ˆ ˆ, , , , (

i

k k k i i T i

k k k

i i r r

i i i i

k k k i i i i i r i

z x

y y x x

z c z y x x

α γ γ θ θ

α

τ α θ α θ α

α Λ

整個系統的閉環路狀態方程式為





∂

− ∂



 



 Γ

∂ + ∂



 

 −

∂ +∂





∂

− ∂

− + +

−

−

=

∑

∑

∑

−

=

− −

= +

−

−

= + −

−

1

1 1 2

1 1 1

1

1 1 1

1

ˆ 1 ˆ

ˆ

ˆ) (

i

k

k k i i

i

k

k k i

i

i

k

k k i i

T i

i i i i

z x z x

z c z z

α γ θ γ

θ α τ π θ α

α γ γ

θ θ

&

&

Step ρ :

利用前面相同的原理，令z_ρ =x_ρ −α_ρ−1，

以及 ₁ ²

2 1

ρ ρ

ρ V z

V = ₋ + 設計參數更新律





∂

− ∂ + Γ +

=

 



∂

− ∂ Γ + Γ

=

= ∑₌ ∑⁻₌ ^{− −} ∑⁻₌^{1 −}

1 1 1

1 1

1

) 1

,ˆ ˆ (

1 ^ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

ρ

ρ α γ

β γ τ α γ γ β θ τ

πθ k

k l k

l

k k k l l

l z u x

z x u z

& z

和最後的控制律為

( ) ( ) 





∂

− ∂



 Γ

∂

− ∂

∂ +

−∂





∂

−∂

∂

− ∂ +



 Γ

∂

− ∂ +

=

∑

∑

∑ ∑

−

=

− −

= +

−

−

− −

= − +

− −

= +

1

1 1 2

1 1 1

1

1 1

1 1 1 0

2 1

1 1 0

ˆ ( ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ 1

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ ρ ρ ρ

α γ θ γ

θ α α

θ θ α γ α

θ θ α

β β

k k k k

k k T r r

k k k k

k k T

z x y y

x x z

z

u ^&

四、結果與討論

將上述的控制器設計方法應用於反應 器系統，以印證所提設計方法的可行性與 其效果。在此考慮恆溫 CSTR 系統，其反 應方程式為：A⇔B→C，而無因次方程 式則為：

3 3 2 2 3 3

2 2 3 2 2 2 2 1 1 2

2 2 2 1 1 1 1

) ( 1

x x h y

x x D x

u x D x D x x D x

x D x D x x

=

=

−

=

+

−

−

−

=

+

−

−

=

&

&

&

此處x , ₁ x 與₂ x 分別代表無因次濃₃ 度。

起始濃度x(0)=[0.356 0.921 0.848] , 而

系統參數 ˆ 3

1 =

D , ˆ 0.5

2 =

D , ˆ 1

3 =

D . 上述 方程式借由 feedback linearization 可以轉化 成為：

( )

2 2 2 1 1 1 1

2

2 2 3 3 2 1

1

ˆ

x D x D x x

hu L L h L L z

x D D z z

f g f f f

+

−

−

=

+

=

− +

=

∆ +

&

&

&

其中z₁ = x₃, z₂ =Dˆ₃x₂² −x₃

( )

( ^{1 1 2 2 22 3 22}) ( ^{3 22 3})

2 3

2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ

2ˆ 1 2ˆ 0

x x D x D x D x x D x D

f f x D h L L

T

f f f

−

−

−

−

−

=

∆ +

 ⋅















−

∆ =

+

2 3

2 3

2ˆ 1 2ˆ 0

x D

g x D h L L

T

f g

=

 ⋅















−

=

然後依照第三段所介紹的設計方法，設計 出控制器。

Step 1: 令 w₁ = z₁−y_sp , w₂ =z₂ −α₁,

1 1 1 = D −Dˆ

κ , κ₂ =D₂ −Dˆ₂ 與

3 3 3 =D −Dˆ

κ . κˆ 是κ =(κ₁,κ₂,κn)的估測 值，重寫^{z&1=z2 +}(^{D3−Dˆ x3}) ²²

2 2 3 1

2

1 w y x

w&= +α − &_sp +κ 令李氏函數為

) ˆ ( ) ˆ 2 (

1 2

1

3 3 3 3 3 2 1

1 κ κ κ κ

π − −

+

= w ^T

V 其微分

[ ^{+ − +} ]⁺( ⁻ )_^{ −} _^

= _{3 1} ²₂

3 3 3 2 2 3 1

2 1

1 1 ˆ

ˆ

ˆx wx

y w

w

V _sp κ

κ π κ κ

α & ^&

&

推導出更新律為 _{3 1}

3

1 ˆ τ

π κ&= ，而虛擬控制律

為α1(x2,x3,κˆ3,y&_sp)=−c1w1−κˆ3x2²+y&_sp

( 3 3) 2² 2

1 1

1 cw w ˆ x

w&=− + + κ −κ

Step 2: 重寫z&2 =L_f+∆fL_fh+L_gL_fhu

4

( )

[ ] ( )

sp

sp

y x

u x D x D x x D x x w

w c c

y x x x w c

&

&

&

&

&

&

&

&

&

+

−

+

−

−

−

−

− + +

−

−

=

+

−

−

−

=

2 2 3

2 2 3 2 2 2 2 1 1 2 3 3 2 3 3 2 1 1 1

2 2 3 2 2 3 1 1 1

ˆ

2ˆ ˆ 2ˆ 2ˆ

κ

κ κ κ

κ κ α

( ) ( )

( ) ( )

( )x x ysp

c w c w c x x x D

u x x D x x D x x x D x D

x x D u x D x D x x D x D w

&

&

&

&

&

− +

− +

− + +

−

−

+

−

−

−

−

− + +

=

−

−

− +

−

−

−

=

2 2 3 2 2 3 3 1 1 2 1 2 1 3 2 2 3 2 2 3

2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 3 3

1 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 1 1 2 3 2

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ 2 ˆ 2ˆ

κ κ κ κ

κ κ

κ κ

α

令李氏函數為

( ) ( ) ( 2 2) ( 2 2)

2 1 1 1 1 1 2 2 1

2 ˆ ˆ

2 ˆ 1 2 ˆ

1 2

1 + π κ −κ κ −κ + π κ −κ κ −κ +

=V w ^{T T}

V

由其微分

( ) ( )

( ⁻ )_^{ +} _^+( ⁻ )_^{ − −}( ^{− −} ) _^

+



 −

− + + + + +

−

=

2 2 2 1 1 2 2 1 3 3 3 3 2 2 2 1 2 2 2 2

1 2 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 2 2 1 1 2

ˆ 1 ˆ 1

1 ˆ ˆ

1 ˆ ˆ

x w s c x w x

w s

x w s s

u s s s w w w c V

π κ κ κ π κ

κ κ

π κ κ κ

&

&

&

&

( )

ysp

x w c w c x x x D s

x x D x x D x x x D s

x D

s

&

&

& − +

− + +

−

−

=

−

−

−

−

− +

= +

=

2 2 3 1 2 1 2 1 3 2 2 3 2 2 3 3

2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2

2 3 3 1

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ 2

κ κ

κ κ

κ κ

推導出更新律為

( )

( ^{1 22 1 1 2 22})

3 3

2 2 2 1 2 2

1 2 1 1 1

1 ˆ

ˆ ˆ

x w s c

x w

x w s

x w s

−

− +

=

−

=

= π κ

π κ

π κ

&

&

&

而虛擬控制律

1

3 2 1 1 2 2

s

s s s w w

u= −c − − −

但部份的系統狀態無法及時量測到，因此 另外設計非線性估測器，借以估測系統狀 態。而非線性估測器的設計則利用 sliding mode 方法來完成。

)

~/ ˆ (

ˆ ˆ

)

~/ ˆ (

ˆ ˆ

ˆ ˆ

)

~/ ˆ (

ˆ 1 ˆ

ˆ

3 3 2 2 3 3

2 2

2 3 2 2 2 2 1 1 2

1 2 2 2 1 1 1 1

φ

φ φ

x k x x D x

x k u x D x D x x D x

x k x D x D x x

+

−

=

+ +

−

−

−

=

+ +

−

−

=

&

&

&

將上述的設計結果利用電腦模擬，模擬結 果顯示利用本方法設計的控制器具有非常 優異的控制能力。

圖一：非線性估測器安置極點在(-4,-4)，其 估測收斂情形

圖二：各種控制器設計比較 五、參考文獻

[1] B. Jakubczyk and W. Respondek, “On Llinearization of Control Systems,”Bull. Acad.

Pol. Science, Ser. Science Math., v.28, pp.517- 522, 1980.

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Chem. Engng. Sci. v.52, pp.787-805, 1997.

[3] I. D. Landau, R. Lozano and M. M’Saad, Adaptive Control, Springer, 1998.

[4] M. Henson and D. E. Seborg , Nonlinear Process Control, Prentice-Hall, 1997.

[5] M. Krstic, I. Kanellakopoulos and P. Kokotovic,

“Adaptive Nonlinear Control Without Overparametrization, ”System & Control Letters, v.19, pp.177-185, 1992.

[6] M. Krstic, I. Kanellakopoulos and P. Kokotovic, Nonlinear and Adaptive Control Design, Wiley, 1995.