國立臺灣海洋大學河海工程學系2015 工程數學(二) 第四次作業參考解答
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1. 試求曲線 (x1)(y2)3上任一點之曲率
與扭率 。2. 對於兩曲面 x2 y2 1 與x2 y2 z 試求其交線上任一點之曲率與扭率。
3. 試求曲面 r(u,v)(uv)iˆ(uv2)ˆj(u2 3v4)kˆ 在 r(0,1)之切平面。
參考解答:
1. (x1)(y2)3 y(x31)2 ( 1)2
3
y x
( 1)3
6
y x
4
233
2 3 4 3
2 3
2 ( 1) 9
) 1 ( 6
) 1 ( 1 9
) 1 (
6
] ) ( 1
[
x x
x x y
y
因為是平面曲線，所以 0
2.
兩曲面交線可由 x2 y2 1 可得 x cos t 與 y cost 帶入 x2y2 z
可得 zcos2tsin2t cos2t
兩曲面交線可由參數式表示，即 r(t)costiˆsint jˆcos2tkˆ
r(t)sintiˆcost jˆ2sin2tkˆ
r(t)costiˆsint jˆ4cos2tkˆ
r(t) sintiˆcost ˆj8sin2tkˆ
r(t)r(t)14sin2 2t
Filename: EMII-2015-hw04s.doc ~ by Y. T. Lee March 23, 2015
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ˆ ˆ ) 2 cos sin 2 sin 2 ˆ ( ) 2 cos cos 2 cos 2 (
ˆ ˆ ) 2 cos sin 4 2 cos sin 2 sin 2 ˆ ( ) cos 2 cos 2 cos 2 2 cos cos 4 (
ˆ ˆ ] 2 cos sin 4 ) 2 cos 1 ( sin 2 ˆ [ ] cos ) 2 cos 1 ( 2 2 cos cos 4 [
ˆ ˆ ) 2 cos sin 4 cos sin 4 ˆ ( ) cos sin 4 2 cos cos 4 (
ˆ ˆ ) 2 cos sin 4 cos 2 sin 2 ˆ ( ) 2 sin sin 2 2 cos cos 4 (
) ( ) (
2 2
t
t t
t
t t
t
t t
t t
r t r t
r 6sin2
2 sin 8 cos sin
2 cos 4 sin
cos
2 sin 2 cos
sin )]
( ) ( [ )
(
2 232
2 3 2
2
2 3
)]
1 ( 4 1 [
12 5 )
2 sin 4 1 (
2 cos 12 5 )
( ) (
) ( ) (
z z t
t t
r t r
t r t r
2 5 612sincos22 2 51212 2 )
( ) (
)]
( ) ( ) ( [
z xy t
t t
r t r
t r t r t r
3. r(u,v)xiˆy jˆzkˆ(uv)iˆ(uv2)ˆj(u2 3v4)kˆ
r0 r0(0,1)iˆ ˆj3kˆ
r(uu,v) iˆ ˆj 2ukˆ(0,1) iˆ ˆj
) 1 , 0 (
r(uv,v) (iˆ 2vˆj 12v3kˆ)(0,1) iˆ 2jˆ 12kˆ
) 1 , 0 (
法向量: (iˆ jˆ)(iˆ2ˆj12kˆ) 12iˆ12ˆj3kˆ
切平面方程式: (x1, y1,z3)(12,12,3) 0 12(x1)12(y1)3(z3)0
4(x1)4(y1)(z3)0
Filename: EMII-2015-hw04s.doc ~ by Y. T. Lee March 23, 2015
