2.1. Galois Group

李華介

國立台灣師範大學數學系

Chapter 2

Galois Group 和 Fixed Field

Galois 理論主要探討的是 field extensions 之間的關係, 這些關係可以和 groups 之間的關 係相連結. 本章主要是探討這些關係的基本定義及其基本性質.

2.1. Galois Group

當L 是一個 field 時, 從 L 到 L 的 1-1 且 onto 的 ring homomorphism 稱為 L 的 automorphism.

我們用 Aut(L) 表示所有 L 的 automorphisms 所成的集合. 本節將討論 Aut(L) 相關的性 質.

利用合成函數的運算我們可以將Aut(L) 視成一個 group. 也就是說對任意 σ, τ ∈ Aut(L), 我們考慮的運算為 σ ◦ τ , 在此運算之下 Aut(L) 會是一個 group. 要注意這裡的“◦”指的是 合成而不是乘法. 也就是說對任意 λ ∈ L, 我們有 σ ◦ τ (λ) = σ(τ (λ)), 因此 σ ◦ τ 仍為 L 到 L 的函數. 而且 σ 和 τ 都是 ring isomorphisms, 很容易驗證 σ ◦ τ 仍為 ring isomorphism.

因此 σ ◦ τ ∈ Aut(L), 換句話說 Aut(L) 在 ◦ 的運算下是封閉的 (closed).

要證明 Aut(L) 在 ◦ 運算之下是一個 group 我們還須證明結合率 (associative law) 即 σ ◦ (τ ◦ ρ) = (σ ◦ τ ) ◦ ρ 以及存在 identity 和 inverse. 合成函數的結合率在一般的集合論 中有介紹 (你也可以用元素代入自行驗證) 這裡不做驗證. 至於 identity 會是什麼呢? 大 家很快猜出應該是 identity 這個函數. 這裡我們用 I 來表示, 也就是說 I : L → L 滿足對 任意 λ ∈ L 皆有 I(λ) = λ. 當然了 I 是 ring isomorphism 所以 I ∈ Aut(L). 又因為對任意 σ ∈ Aut(L) 皆有 σ ◦ I = I ◦ σ = σ, 所以 I 會是 Aut(L) 在 ◦ 的運算之下的 identity.

對任意的 σ ∈ Aut(L), 其 inverse 會是什麼呢? 從函數的觀點看來和 σ 合成後會是 I 的函數應就是σ 的反函數. 又加上 σ 是 1-1 且 onto 其反函數 σ⁻¹ 必存在, 所以我們找到

“候選人”了: 就是 σ 的反函數 σ⁻¹. 最後我們僅要證明 σ⁻¹ ∈ Aut(L) 即可. 首先我們要 證明: σ⁻¹ : L → L 仍為 ring isomorphism. σ⁻¹ 是 1-1 且 onto 可由反函數定義推得, 所以 11

只要證明 σ⁻¹ 為 ring homomorphism 即可. 也就是說對任意 a, b ∈ L 我們要證明 σ⁻¹(a + b) = σ⁻¹(a) + σ⁻¹(b) 且 σ⁻¹(a · b) = σ⁻¹(a) · σ⁻¹(b).

因為 σ 是 ring homomorphism, 故得

σ(σ⁻¹(a) + σ⁻¹(b)) = σ(σ⁻¹(a)) + σ(σ⁻¹(b)) = a + b.

也就是說 σ⁻¹(a + b) 和 σ⁻¹(a) + σ⁻¹(b) 經由 σ 作用後皆得 a + b. 所以由 σ 是 1-1 得知 σ⁻¹(a + b) = σ⁻¹(a) + σ⁻¹(b). 同理可得 σ⁻¹(a · b) = σ⁻¹(a) · σ⁻¹(b). 由此知 σ⁻¹ ∈ Aut(L) 從而得證 Aut(L) 在 ◦ 的運算之下是一個 group.

前面提過為了方便記, 當 L/K 是 field extensions 時我們可以直接假設 K ⊆ L. 在這 個時候, 若 σ : L → L 是 L 的一個 automorphism 且對任意 k ∈ K 皆滿足 σ(k) = k, 我們 稱 σ 為 L 的一個 K-automorphism. 我們將 L 的所有 K-automorphisms 所成的集合用 Aut_K(L) 表示. 簡單來說 Aut_K(L) 的元素就是 L 的 automorphisms 中會將 K 的元素固 定的那些 automorphisms.

Aut_K(L) 當然是 Aut(L) 的一個 subset, 事實上在 ◦ 的運算下 Aut_K(L) 會是 Aut(L) 的一個 subgroup. 要證明這件事, 依 group 的理論我們只要證明封閉性和 inverse 存在即 可. 首先若 σ, τ ∈ Aut_K(L), 由於對任意 k ∈ K 我們皆有 σ(k) = k 且 τ (k) = k, 所以得 到 σ ◦ τ (k) = σ(τ (k)) = σ(k) = k. 也就是說 σ ◦ τ ∈ Aut_K(L). 最後對任意 k ∈ K, 由 於 σ(k) = k 故知 σ⁻¹(k) = σ⁻¹(σ(k)) = k. 因此 σ⁻¹ 仍為 K-automorphism, 也就是說 σ⁻¹∈ Aut_K(L).

Aut_K(L) 既然是一個 group 又和 L/K 這一個 extension 息息相關, 我們有以下的定義 來突顯這兩件事.

Definition 2.1.1. 對任意的 extension L/K 我們稱 Aut_K(L) 為 L/K 的 Galois group. 通 常我們會把 L/K 的 Galois group 記為 Gal(L/K).

Aut_K(L) 和 Gal(L/K) 是一樣的, 不過當我們要談論 Galois 的相關理論時我們會特別 選用 Gal(L/K) 這個符號.

當 F/K 是 L/K 的 subextension, 即 F 是一個 field 且 K ⊆ F ⊆ L. 我們稱 F 是 L/K 的intermediate field. 這時我們有兩個 groups 可以考慮: 一個是 Gal(L/F ), 另一個 是 Gal(F/K). 這兩個 groups 都和 Gal(L/K) 有關, 不過 Gal(L/F ) 和 Gal(L/K) 的關係 較直接, 所以我們先討論 Gal(L/F ) 和 Gal(L/K) 的關係.

事實上若σ ∈ Gal(L/F ), 依定義我們當然有 σ ∈ Aut(L) 而且 σ 將 F 中的元素固定. 然 而由於 K ⊆ F 我們知 σ 當然也將 K 中的元素固定. 也就是說 σ ∈ Aut_K(L) = Gal(L/K).

我們得證 Gal(L/F ) ⊆ Gal(L/K). 又由於 Gal(L/K) 和 Gal(L/F ) 在 ◦ 的運算之下都是 group, 所以 Gal(L/F ) 是 Gal(L/K) 的 subgroup.

若令 F 是 L/K 的 intermediate fields 所成的集合且令 G 是 Gal(L/K) 的 subgroups 所成的集合. 由以上的討論我們可以訂一個從 F 到 G 的函數 G. 這個函數 G : F → G 的 定義如下: 對任意 L/K 的 intermediate field F ∈ F, 我們定義 G(F ) = Gal(L/F ).

2.1. Galois Group 13

由定義我們知道 G(K) = Gal(L/K). 另外 G(L) = Gal(L/L) = Aut_L(L), 也就是說 G(L) 中的元素 σ 必須是 L 到 L 的函數且滿足對任意 λ ∈ L 皆有 σ(λ) = λ. 這表示 σ = I, 因此得知 G(L) = {I} 是由 identity 所成的 trivial group. 對於函數 G, 我們還有以下的性 質.

Lemma 2.1.2. ›× extension L/K, u F₁, F₂ ∈ F Î L/K ËÍ intermediate fields v”• F1 ⊆ F₂, J G(F₂) ⊆ G(F₁).

Proof. 若 σ ∈ G(F₂) = Gal(L/F₂), 即表示 σ 是 L 的 automorphism 且將 F₂ 中的元素固 定. 然而由於 F₁⊆ F₂, 可知 σ 當然也將 F₁ 中的元素固定. 故得 σ ∈ Gal(L/F₁) = G(F₁).

得證 G(F₂) ⊆ G(F₁). ¤

這裡我們要強調: 必須先固定一個 extension L/K 才能定義出 G 這一個函數. 另外要 注意的是 G 的定義域是一些 fields 所成的集合而不是 field. 更具體一點來說就是: 可以代 入 G 的應該是 L/K 的 intermediate field 而不是 L 的元素. 同樣的將一個 intermediate field 代入 G 後所得的結果會是 Gal(L/K) 的 subgroup, 而不是 Gal(L/K) 中的元素. 千萬 不要誤以為這裡定的 G 是從 L 送到 Gal(L/K) 的函數.

接下來我們要介紹一些Galois groups 的例子. 因為我們舉的例子都是 simple extensions, 所以先介紹一下探討simple extension 的 Galois group 的基本方法.

假設L/K 是一個 simple extension of degree n, 即 L = K(α) 其中 α over K 的 minimal polynomial 為 f (x) ∈ K[x] 且 deg(f (x)) = n. 在前一章中我們提及對任意的 λ ∈ K(α) 都 可唯一表示成:

λ = c₀+ c₁α + · · · + c_n−1αⁿ⁻¹, 其中 c₀, c₁. . . , c_n−1∈ K.

現若 σ ∈ Gal(L/K), 則由於 σ 是 ring homomorphism 且將 K 中的元素固定, 可得 σ(λ) = σ(c₀+ c₁α + · · · + c_n−1αⁿ⁻¹) = c₀+ c₁σ(α) + · · · + c_n−1σ(α)ⁿ⁻¹.

換言之, 對任意 λ ∈ L, σ(λ) 的取值完全可由 σ(α) 決定. 所以要了解 Gal(L/K) 只要了解 對任意 σ ∈ Gal(L/K), σ(α) 有哪些可能的取值. 這個概念對 simple extension 的 Galois group 相當重要, 我們不時的會用它來處理 simple extension.

那麼對任意的 σ ∈ Gal(L/K), σ(α) 有可能取哪些值呢? 首先我們觀察對任意的 g(x) = a_mx^m+ a_m−1x^m−1+ · · · + a₁x + a₀ ∈ K[x], 由於

g(α) = a_mα^m+ a_m−1α^m−1+ · · · + a₁α + a₀, 以及 σ 是 ring homomorphism 且將 K 中的元素固定, 我們有

σ(g(α)) = σ(a_mα^m+ a_m−1α^m−1+ · · · + a₁α + a₀)

= a_mσ(α)^m+ a_m−1σ(α)^m−1+ · · · + a₁σ(α) + a₀

= g(σ(α)). (2.1)

現在由於f (x) 是 α over K 的 minimal polynomial, 我們有 f (x) ∈ K[x] 且 f (α) = 0, 套用 等式 (2.1) 可得

f (σ(α)) = σ(f (α)) = σ(0) = 0.

也就是說σ(α) 必為 f (x) 的一個根. 又別忘了 σ 是 L 到 L 的 automorphism, 故知 σ(α) ∈ L.

所以我們可以總結說: 若 L = K(α), f (x) ∈ K[x] 為 α 的 minimal polynomial over K 且 σ ∈ Gal(L/K), 則 σ(α) 必為 f (x) 在 L 中的一個根.

上一個結論只是說 σ(α) 必為 f (x) 在 L 中的一個根. 並不表示對任意 f (x) 在 L 中 的一個根 β 皆存在 σ ∈ Gal(L/K) 使得 σ(α) = β. 接下來我們要說明這是對的. 首先回 顧一下: 若 f (x) ∈ K[x] 是一個 irreducible polynomial 且 α 和 β 為其根, 從大學基礎 代數講義的 Corollary 10.1.7 我們知道存在 K-isomorphisms φ : K[x]/(f (x)) → K(α) 和 ψ : K[x]/(f (x)) → K(β) 滿足 φ(x) = α 和 ψ(x) = β. 考慮 ρ = ψ ◦ φ⁻¹ : K(α) → K(β), 很容易檢查 ρ 仍為 K-isomorphism 且滿足 ρ(α) = β. 現若又知 β ∈ L = K(α), 由於 K(β) ⊆ L 且 [K(β) : K] = [L : K] = n, 可得 K(β) = L = K(α). 換句話說在這情況下 ρ 為 L 的 K-automorphism, 也就是說 ρ ∈ Gal(L/K) 且滿足 ρ(α) = β. 綜合以上的討論, 我 們可以由 f (x) 在 L 中相異根的個數得知 Gal(L/K) 的 order. (回顧一下所謂一個 finite group G 的 order 就是 G 中元素的個數, 記作 |G|.)

Proposition 2.1.3. ƒ' L = K(α) Î×Í finite simple extension over K v f (x) ∈ K[x]

α over K Ý minimal polynomial. u f(x) 3 L b m Í8²q, J |Gal(L/K)| = m.

Proof. 令 S = {β ∈ L | f (β) = 0} 為 L 中所有 f (x) 的根所成的集合. 考慮一函數 χ : Gal(L/K) → S 使得對任意 σ ∈ Gal(L/K) 定義 χ(σ) = σ(α). 從前面討論知對任意 σ ∈ Gal(L/K), 皆有 σ(α) ∈ S, 所以 χ 是一個 well defined 的函數. 我們目的是要證明 χ 是 1-1 且 onto 由此可得 Gal(L/K) 和 S 的元素個數相等.

假設 σ, τ ∈ Gal(L/K) 滿足 χ(σ) = χ(τ ), 即 σ(α) = τ (α). 由前面討論知 σ 和 τ 對任 意 L 中元素的取值完全由 σ(α) 和 τ (α) 來決定. 因此由 σ(α) = τ (α) 得知 σ = τ , 也就是 說 χ 是 1-1. 另一方面對任意 β ∈ S 由前面討論知必存在 σ ∈ Gal(L/K) 使得 σ(α) = β, 也就是說 χ(σ) = β. 故得證 χ 是 onto, 因此知 Gal(L/K) 的 order 為 m. ¤ 由於一個多項式在一個field 中其解的個數不超過此多項式的次數, 我們很容易得到以 下之結果.

Corollary 2.1.4. ƒ' L/K Î×Í finite simple extension, J

|Gal(L/K)| ≤ [L : K].

Proof. 假設 L = K(α) 且 α over K 的 minimal polynomial f (x) 的次數為 n. 我們知在 L 中 f (x) 的根的個數必小於或等於 n 而且 [L : K] = n, 故由 Proposition 2.1.3 知

|Gal(L/K)| ≤ n = [L : K].

¤

2.1. Galois Group 15

這裡我們預告一下, 當 L/K 是 finite extension 時, 以後我們會知道即使 L/K 不是 simple extension, 仍然會有 |Gal(L/K)| ≤ [L : K]. 接下來我們來看兩個 simple extension 的例子.

Example 2.1.5. 利用 Eisenstain criterion 參見大學基礎代數講義Proposition 7.3.14 我們 知道 x⁴− 2 是 Q[x] 中的 irreducible polynomial. 令 α = √⁴

2 是 x⁴− 2 = 0 唯一的正實數 解, 我們有 α, −α, αi 以及 −αi 是 x⁴− 2 = 0 在 C 中的 4 個解. 現令 L = Q(α), 我們考 慮 L/Q 這一個 extension.

首先我們討論Gal(L/Q) 是怎樣的 group. 由於 α ∈ R 且 L = Q(α) 是包含 Q 和 α 最 小的 field, 故知 L ⊆ R. 但 αi 6∈ R 且 −αi 6∈ R, 我們得知 x⁴− 2 在 L 中的根為 α 和 −α.

故由 Proposition 2.1.3 得知 |Gal(L/Q)| = 2 < 4 = [L : Q].

從 group 的理論我們知只有兩個元素的 group 必 isomorphic to Z/2Z, 因此我們知 Gal(L/Q) 是一個 order 2 的 cyclic group. 事實上 Gal(L/Q) 有兩個元素: 一個是 identity I 將 α 送到 α, 另一個不為 identity 的元素 σ 將 α 送到 −α. 由於 σ(α) = −α, 我們知

σ ◦ σ(α) = σ(σ(α)) = σ(−α) = −σ(α) = α.

得知 σ ◦ σ = I, 也就是說 σ 的 order 確為 2. 因此 Gal(L/Q) 的確是一個 order 2 的 cyclic group.

因為 α⁴ = 2, 很容易看出 α² 是 x² − 2 的一個根. 令 F = Q(α²). 由於 x² − 2 是 irreducible over Q, 所以 [F : Q] = 2, 又因為 α² ∈ L, 我們知 Q ( F ( L. 既然 F 是 L/K 的intermediate field, 那麼 G(F ) = Gal(L/F ) 是甚麼呢? 已知 Gal(L/F ) 會是 Gal(L/Q) 的 subgroup, 又知 Gal(L/Q) 是一個 order 2 的 cyclic group, 所以 Gal(L/F ) 要不是 identity 就是 Gal(L/Q). 因此我們只要檢驗 Gal(L/Q) 中不為 identity 的 σ (即 σ(α) = −α) 是否 在 Gal(L/F ) 中即可: 也就是要檢查 σ 是否將 F = Q(α²) 中的元素固定. 因為 σ 已將 Q 中元素固定, 所以若 σ 可將 α² 固定, 則 σ 會將 F = Q(α²) 中所有的元素固定 (別忘了 Q(α²) 中的元素都是 r₀+ r₁α² 其中 r₀, r₁∈ Q 這種形式). 然而

σ(α²) = σ(α)² = (−α)² = α²,

我們得知 σ ∈ Gal(L/F ), 也就是說 Gal(L/F ) = Gal(L/Q). 用 G 這個函數來看就是 G(F ) = G(Q). 由於已知 F 6= Q, 所以在這情況之下 G 不是一對一的函數.

Example 2.1.6. 令 L = Q(α) 其中 α =√

2 + i. 很容易驗證 x⁴− 2x²+ 9 ∈ Q[x] 是 α over Q 的 minimal polynomial. 我們有

α =√

2 + i, −α = −√

2 − i, α =√

2 − i and − α = −√ 2 + i 是 x⁴− 2x²+ 9 = 0 在 C 中的 4 個解.

由於(√

2 + i) · (√

2 − i) = 3, 知 α =√

2 − i = 3(√

2 + i)⁻¹= 3α⁻¹ ∈ L. 因此 x⁴− 2x²+ 9 在 C 中的 4 個根 (即 α, −α, 3α⁻¹ 和 −3α⁻¹) 都在 L 中. 故由 Proposition 2.1.3 知

|Gal(L/Q)| = 4.

由 group 的理論知 Gal(L/Q) 會 isomorphic to Z/4Z 或 Z/2Z × Z/2Z 其中之一. 區 分 Z/4Z 和 Z/2Z × Z/2Z 這兩個 groups 的方法是: 由於 Z/4Z 是一個 order 4 的 cyclic group, 所以其中必存在一個 order 4 的元素, 而 Z/2Z × Z/2Z 就沒有 order 4 的元素. 因 此我們需檢查 Gal(L/Q) 中所有元素的 order. 已經知道 Gal(L/Q) 中將 α 送到 α 的元素 就是 identity, 所以我們只要考慮其他三個元素 σ₁, σ₂, σ₃∈ Gal(L/Q) 其中

σ₁(α) = −α, σ₂(α) = α = 3α⁻¹ and σ₃(α) = −α = −3α⁻¹. 因為

σ₁◦ σ₁(α) = σ₁(σ₁(α)) = σ₁(−α) = −σ₁(α) = −(−α) = α, 得知 σ₁◦ σ₁ = I, 也就是說 σ₁ 的 order 為 2. 另一方面

σ₂◦ σ₂(α) = σ₂(σ₂(α)) = σ₂(3α⁻¹) = 3σ₂(α)⁻¹= 3(3α⁻¹)⁻¹= α, 以及

σ₃◦ σ₃(α) = σ₃(σ₃(α)) = σ₃(−3α⁻¹) = −3σ₃(α)⁻¹= −3(−3α⁻¹)⁻¹ = α, 所以 σ₂ 和 σ₃ 的 order 皆為 2. 得知 Gal(L/Q) ' Z/2Z × Z/2Z.

接下來我們看看 L/K 的 intermediate fields. 由於 (√

2 + i) + (√

2 − i) = 2√ 2 以及 (√

2 + i) − (√

2 − i) = 2i, 我們知

√2 = 1

2(α + 3α⁻¹) ∈ L, i = 1

2(α − 3α⁻¹) ∈ L and √ 2i = 1

4(α²− 9α⁻²) ∈ L.

令F₁= Q(√

2i), F₂= Q(√

2) 以及 F₃= Q(i). 很容易看出 [F₁ : Q] = [F₂ : Q] = [F₃ : Q] = 2.

由於 F₂ ⊆ R 但 F₁, F₃ * R, 我們知 F₂ 6= F₁ 且 F₂ 6= F₃. 又若假設 F₁ = F₃, 即

√2i ∈ F₃ = Q(i), 則 √ 2 =√

2i/i ∈ F₃. 得到 F₂= F₃ 之矛盾, 故知 F₁ 6= F₃. 因此 F₁, F₂ 和 F₃ 是 L/Q 的三個相異的 intermediate fields.

要知道G(F₁) (即 Gal(L/F₁)) 是 Gal(L/Q) 的哪一個 subgroup, 我們需要探討在 σ₁, σ₂ 和 σ₃ 中哪些會固定 F₁= Q(√

2i) 中所有的元素. 由於 σ₁(√

2i) = σ₁(1

4(α²− 9α⁻²)) = 1

4(σ₁(α)²− 9σ₁(α)⁻²) = 1

4((−α)²− 9(−α)⁻²) =√ 2i,

σ₂(√

2i) = σ₂(1

4(α²− 9α⁻²)) = 1

4(σ₂(α)²− 9σ₂(α)⁻²) = 1

4(9α⁻²− 9(3α⁻¹)⁻²) = −√ 2i, 以及

σ₃(√

2i) = σ₃(1

4(α²− 9α⁻²)) = 1

4(σ₃(α)²− 9σ₂(α)⁻²) = 1

4(9α⁻²− 9(−3α⁻¹)⁻²) = −√ 2i, 我們知僅有 σ₁ 會固定 F₁ 中的元素, 因此知 G(F₁) = Gal(L/F₁) = {I, σ₁}. 同樣方法可得 到 G(F₂) = Gal(L/F₂) = {I, σ₂} 以及 G(F₃) = Gal(L/F₃) = {I, σ₃}. 要注意雖然 G(F₁), G(F₂) 以及 G(F₃) 都 isomorphic to Z/2Z, 但它們是 Gal(L/Q) 中三個相異的 subgroups.

事實上以後我們會知道在這個例子中 G 這個函數是 1-1 且 onto 的.

2.2. Fixed Field 17

2.2. Fixed Field

當 L 是一個 field, σ ∈ Aut(L) 若 λ ∈ L 滿足 σ(λ) = λ, 我們就稱 λ 被 σ 固定 (fixed). 我 們用 L^σ 表示在 L 中所有被 σ 固定的元素所成的集合. L^σ 事實上是一個 field, 我們稱之 為 σ 的 fixed field. 這一節中我們主要是介紹 fixed field 以及其和 Galois group 的關係.

首先我們來看 L^σ 為何是一個 field. 若 λ₁, λ₂ ∈ L^σ, 且 λ₂ 6= 0 則由於 σ(λ₁) = λ₁, σ(λ₂) = λ₂ 以及 σ ∈ Aut(L), 可得

σ(λ₁− λ₂) = σ(λ₁) − σ(λ₂) = λ₁− λ₂ and σ(λ₁λ⁻¹₂ ) = σ(λ₁)σ(λ₂)⁻¹ = λ₁λ⁻¹₂ . 因此 λ₁ − λ₂ ∈ L^σ 以及 λ₁λ⁻¹₂ ∈ L^σ, 故知 L^σ 是一個 field. 特別當 L/K 是一個 field extension 且 σ ∈ Gal(L/K), 則由於 K 中的元素皆被 σ, 固定我們有 K ⊆ L^σ⊆ L, 換言之 L^σ 是 L/K 的 intermediate field.

在前一節中我們定義了一個函數 G 將 L/K 的 intermediate fields 送到 Gal(L/K) 的 subgroups. 一般來說 G 不一定是 1-1 (參見 Example 2.1.5), 為了探討何時 G 會 1-1, 以下 我們引進了一個反向的函數將 Gal(L/K) 的 subgroups 送到 L/K 的 intermediate fields.

首先若 H 是 Gal(L/K) 的一個 subgroup 我們定義

L^H = {λ ∈ L | σ(λ) = λ, ∀ σ ∈ H} = \

σ∈H

L^σ.

利用 fields 的交集仍是 field 以及對任意 σ ∈ H ⊆ Gal(L/K) 皆有 K ⊆ L^σ, 我們知 L^H 仍 為一個 field 且 K ⊆ L^H ⊆ L. 故得 L^H 仍為 L/K 的 intermediate field.

Definition 2.2.1. 當 L/K 是一個 field extension 且 H 是 Gal(L/K) 的一個 subgroup, 我 們稱 L^H = {λ ∈ L | σ(λ) = λ, ∀ σ ∈ H} 為 H 的 fixed field.

回顧上一節中當 L/K 是一個 field extension, 我們令 F 是 L/K 的 intermediate fields 所成的集合且令 G 是 Gal(L/K) 的 subgroups 所成的集合. 現在我們可以定義一個函數 F : G → F 使得對任意 Gal(L/K) 的 subgroup H (即 H ∈ G), 我們定義 F(H) = L^H. 從 前面的討論我們知L^H 是 L/K 的一個 intermediate field, 也就是說 F(H) ∈ F, 因此 F 確 實是一個 well-defined 函數.

當 I 是 Gal(L/K) 的 identity 時, 當然有 L^I = L, 因此由定義知 F({I}) = L. 要注意 的是雖然 Gal(L/K) 將 K 的元素都固定, 但是 Gal(L/K) 的 fixed field 可能比 K 還大, 所 以一般的情形不見得有F(Gal(L/K)) = K (後面我們會舉一個例子). 對於函數 F 我們有 和 G 相對應的性質 (Lemma 2.1.2).

Lemma 2.2.2. ›  × extension L/K, u H₁, H₂ ∈ G Î Gal(L/K)  Ë Í subgroups v”• H₁ ⊆ H₂, J F(H₂) ⊆ F(H₁).

Proof. 若 λ ∈ F(H₂) = L^H2, 表示對任意 σ ∈ H₂ 皆滿足 σ(λ) = λ. 現任取 τ ∈ H₁, 由於 H₁ ⊆ H₂, 我們有 τ ∈ H₂, 故由 λ ∈ F(H₂) 的假設知 τ (λ) = λ, 因此 λ ∈ L^H1 = F(H₁). 得

證 F(H₂) ⊆ F(H₁). ¤

再次強調: G 是將 L/K 的 intermediate fields 送到 Gal(L/K) 的 subgroups, 而 F 是將 Gal(L/K) 的 subgroups 送到 L/K 的 intermediate fields. 以下是這兩個函數相互的關係.

Proposition 2.2.3. ƒ L/K Î×Í field extension, F Î L/K Ý intermediate field v H Î Gal(L/K) Ý subgroup. &Æb|ìÝP²:

(1) F ⊆ F(G(F )) v H ⊆ G(F(H)).

(2) G(F ) = G(F(G(F ))) v F(H) = F(G(F(H))).

Proof. (1) 首先觀察若 F 是 L/K 的 intermediate field, 則 G(F ) = Gal(L/F ), 換言之 對任意的 σ ∈ G(F ) 都會將 F 中的元素固定. 因此若 λ ∈ F , 則對任意 σ ∈ G(F ) 皆 滿足 σ(λ) = λ, 也就是說 λ ∈ L^{G(F )} = F(G(F )). 故得證 F ⊆ F(G(F )). 另一方面, 若 H 是 Gal(L/K) 的 subgroup, 則 F(H) 中的元素都會被 H 固定住. 因此若 σ ∈ H, 則 σ ∈ Aut_F(H)(L) = Gal(L/F(H)) = G(F(H)). 故得證 H ⊆ G(F(H)).

(2) 由於 F 和 F(G(F )) 皆為 L/K 的 intermediate fields, 利用 (1) F ⊆ F(G(F )) 以及 Lemma 2.1.2 我們得到 G(F(G(F ))) ⊆ G(F ). 然而 G(F ) 是 Gal(L/K) 的 subgroup, 故將 (1) 的 H 用 G(F ) 取代, 可得 G(F ) ⊆ G(F(G(F ))). 因此得證 G(F ) = G(F(G(F ))). 另一方 面因為 H 和 G(F(H)) 皆為 Gal(L/K) 的 subgroups, 利用 (1) H ⊆ G(F(H)) 以及 Lemma 2.2.2 我們得到 F(G(F(H))) ⊆ F(H). 然而 F(H) 是 L/K 的 intermediate field, 故將 (1) 的 F 用 F(H) 取代, 可得 F(H) ⊆ F(G(F(H))). 因此得證 F(H) = F(G(F(H))). ¤ 在一般的情形 Proposition 2.2.3 (1) 的等式有可能不成立 (即 F ( F(G(F )) 和 H ( G(F(H)) 的情形有可能發生). 以後我們會知道當 L/K 是 finite extension 時, 對任意 Gal(L/K) 的 subgroup H 皆有 H = G(F(H)) 的性質. 不過對於 L/K 的 intermediate field F , 仍可能有 F 6= F(G(F )) 的情形發生 (下面我們會給一個例子). Galois 的理論就是 要探討在哪些 extension L/K, 對任意的 L/K 的 intermediate field F 皆有 F = F(G(F )) 的性質.

以下我們利用前一節的例子, 來探討 Galois groups 和 fixed fields 之間的關係.

Example 2.2.4. 我們沿用 Example 2.1.5 的 extension, 即 L = Q(α) 其中 α 是 x⁴− 2 唯 一的正實根. 此時我們知 Gal(L/Q) = {I, σ}, 其中 σ(α) = −α. 又 F = Q(α²) 為 L/Q 的 intermediate field 且 Q ( F ( L.

Gal(L/Q) 只有兩個 subgroups: 即 {I} 和 Gal(L/Q). 已知 F({I}) = L, 我們來探討 F(Gal(L/Q)) 應該是哪一個 field. 由於

F(Gal(L/Q)) = L^I∩ L^σ = L ∩ L^σ = L^σ, 我們只要探討 σ 的 fixed field 即可.

由於對任意L 中的元素 λ 都可唯一表示成 λ = r₀+r₁α+r₂α²+r₃α³, 其中 r₁, r₂, r₃, r₄ ∈ Q.

若 λ ∈ L^σ, 我們有

λ = σ(λ) = r₀+ r₁σ(α) + r₂σ(α)²+ r₃σ(α)³ = r₀− r₁α + r₂α²− r₃α³.

2.2. Fixed Field 19

因此得知 r₁ = r₃ = 0, 也就是說 L^σ 中的元素必可寫成 r₀+ r₂α², 其中 r₀, r₂ ∈ Q 這種形 式. 故得 L^σ ⊆ Q(α²) = F . 另一方面在 Example 2.1.5 中我們知 F 中的元素都被 σ 固定, 故得F ⊆ L^σ. 因此得證 L^σ = F , 也就是說 F(Gal(L/Q)) = F . 要注意, 我們曾經提過在一 般的情形 Gal(L/K) 的 fixed field 不一定是 K, 在我們這個例子 F(Gal(L/Q)) = F 6= Q, 就是這種情形.

在 Example 2.1.5 我們已知 G(Q) = G(F ) = Gal(L/Q) 以及 G(L) = {I}. 因此我們有 F(G(Q)) = F(G(F )) = F(Gal(L/Q)) = F and F(G(L)) = F({I}) = L.

因此知

Q ( F(G(Q)), F = F(G(F )) and L = F(G(L)).

要注意 Q ( F(G(Q)) 就是 Proposition 2.2.3 (1) 等式不成立的一個例子.

另一方面我們有 G(F({I})) = G(L) 且 G(F(Gal(L/Q))) = G(F ) 因此知 {I} = G(F({I})) and Gal(L/Q) = G(F(Gal(L/Q))).

Example 2.2.5. 在這個例子我們沿用 Example 2.1.6 的 extension, 即 L = Q(α) 其中 α =√

2 + i. 此時我們知 Gal(L/Q) = {I, σ₁, σ₂, σ₃}, 其中 σ₁(α) = −α, σ₂(α) = 3α⁻¹ 以及 σ₃(α) = −3α⁻¹. 另外 L/Q 有三個相異的 nontrivial intermediate fields, 分別為 F₁ = Q(√

2i), F₂ = Q(√

2) 以及 F₃= Q(i).

在 Example 2.1.6 我們已知 Gal(L/Q) ' Z/2Z × Z/2Z 所以 Gal(L/Q) 共有 5 個 subgroups: {I}, Gal(L/Q), H₁ = {I, σ₁}, H₂ = {I, σ₂} 以及 H₃ = {I, σ₃}. 我們先探討 F 在這 5 個 subgroups 的取值. 首先我們已知 F({I}) = L. 對於 F(H₁), 由於

F(H₁) = L^H1 = L^I∩ L^σ1 = L^σ1,

我們只要探討σ₁ 的 fixed field 即可. 不過在 Exampel 2.1.6, 我們知道 σ₁ 會固定 F₁ 的所 有元素, 因此知 F₁ ⊆ L^σ1. 如果 F₁ 6= L^σ1, 即 [L^σ1 : F₁] > 1, 由 Lemma 1.2.3 知

2 = [L : F₁] = [L : L^σ1][L^σ1 : F₁] > [L : L^σ1],

這迫使[L : L^σ1] = 1, 也就是說 L = L^σ1. 不過這是不可能的因為 α ∈ L 但 σ₁(α) = −α 6= α, 也就是說 α 6∈ L^σ1. 由此矛盾知 F₁ = L^σ1 = L^H1 = F(H₁). 同理可得 F₂ = F(H₂) 以及 F₃ = F(H₃). 至於 F(Gal(L/Q)), 由定義以及前面結果知

F(Gal(L/Q)) = L^Gal(L/Q)= L^I∩ L^σ1 ∩ L^σ1 ∩ L^σ3 = F₁∩ F₂∩ F₃.

如果F₂ = F₁∩ F₂∩ F₃, 表示 F₂ ⊆ F₁∩ F₃⊆ F₃, 這是不可能的 (因為 [F₂ : Q] = [F₃ : Q] = 2, 因此F₂⊆ F₃ 會導致 F₂ = F₃). 故知 F₂6= F₁∩ F₂∩ F₃, 也就是說 [F₂: F(Gal(L/Q))] > 1.

再次利用 Lemma 1.2.3 知

2 = [F₂ : Q] = [F₂: F(Gal(L/Q))][F(Gal(L/Q)) : Q] > [F(Gal(L/Q)) : Q],

故得 [F(Gal(L/Q)) : Q] = 1, 也就是說 F(Gal(L/Q)) = Q. 因此我們知 F 這個函數對 Gal(L/Q) 的 subgroups 取值分別為:

F({I}) = L, F(H₁) = F₁, F(H₂) = F₂, F(H₃) = F₃ and F(Gal(L/Q)) = Q.

由 Example 2.1.6 我們知

G(L) = {I}, G(F₁) = H₂, G(F₂) = H₂, G(F₃) = H₃ and G(Q) = Gal(L/Q), 因此我們有

L = F(G(L)), F₁ = F(G(F₁)), F₂ = F(G(F₂)), F₃= F(G(F₃)) and Q = F(G(Q)), 以及

{I} = G(F({I})), H₁ = G(F(H₂)), H₂ = G(F(H₂)), H₃ = G(F(H₃)) and Gal(L/Q) = G(F(Gal(L/Q))).

以後我們會知道L/Q 的 intermediate fields 只有 Q, F₁, F₂, F₃ 以及L, 因此知 G : F → G 和 F : G → F 互為反函數, 也就是說 G 和 F 都是 1-1 且 onto. 這種 extension 就是所謂 的 Galois Extension.

2.3. Extension Degree 和 Galois Group 的 Order 之關係

當 L/K 是 finite extension 時 Gal(L/K) 會是一個 finite group 而且 Gal(L/K) 的 order 和 L/K 的 degree 相關. 這一節中我們就是要探討 |Gal(L/K)| 和 [L : K] 的關係.

在Corollary 2.1.4 中我們知道當 L/K 是 finite simple extension 時, |Gal(L/K)| ≤ [L : K].

所以知道在這情形時 Gal(L/K) 是一個 finite group. 事實上不需 simple 的假設, 當 L/K 是 finite extension 時 Gal(L/K) 必是一個 finite group.

Lemma 2.3.1. u L/K Î×Í finite extension, J Gal(L/K) Î×Í finite group.

Proof. 利用 Proposition 1.3.4, 我們知存在 a₁, . . . , a_n∈ L, 其中這些 a_i 皆 algebraic over K, 使得 L = K(a₁, . . . , a_n). 由 Lemma 1.3.5, 我們知對任意 λ ∈ L, 皆存在 f (x₁, . . . , x_n) ∈ K[x₁, . . . , x_n] 使得 λ = f (a₁, . . . , a_n). 因此若 σ ∈ Gal(L/K), 則由於 f (x₁, . . . , x_n) 的係數 都在 K 中, 可得

σ(λ) = σ(f (a₁, . . . , a_n)) = f (σ(a₁), . . . , σ(a_n)).

也就是說σ 對 L 中元素的取值完全可由 σ(a₁), . . . , σ(a_n) 來決定. 換句話說若 σ, τ ∈ Gal(L/K) 且對於所有的 i = 1, . . . , n, 皆有 σ(a_i) = τ (a_i), 則 σ = τ .

當 σ ∈ Gal(L/K) 時, σ(a_i) 有哪些可能的取值呢? 若 f_i(x) ∈ K[x] 是 a_i over K 的 minimal polynomial, 且 deg(f_i(x)) = m_i, 則由於

f_i(σ(a_i)) = σ(f_i(a_i)) = σ(0) = 0,

我們知σ(a_i) 仍為 f_i(x) 在 L 中的一個根. 因此每個 σ(a_i) 最多只有 m_i 個選擇. 所以對任 何 σ ∈ Gal(L/K) 這些 σ(a₁), . . . , σ(a_n) 最多有 m₁· · · m_n 種選擇, 故知 Gal(L/K) 最多只

能有 m₁· · · m_n 個元素. ¤

要注意如果f_i(x) 在 L 中有 s_i個根, 並不能像 simple extension 的情況得到 |Gal(L/K)| = s₁· · · s_n. 這是因為任意給定 α₁, . . . , α_n ∈ L 分別為 f₁(x) = 0, . . . , f_n(x) 在 L 的根, 並不 能保證存在 σ ∈ Gal(L/K) 會同時滿足 σ(a₁) = α₁, . . . , σ(a_n) = α_n.

2.3. Extension Degree 和 Galois Group 的 Order 之關係 21

利用 Corollary 2.1.4 以及 induction 我們可以推導出, 若 L/K 是 finite extension, 則

|Gal(L/K)| ≤ [L : K]. 例如若 L = K(a₁, a₂), 我們令 F = K(a₁), 則知 L = F (a₂). 因此由 L/F 和 F/K 都是 finite simple extensions, 利用 Corollary 2.1.4 可得

|Gal(L/F )| |Gal(F/K)| ≤ [L : F ][F : K] = [L : K].

接著我們只要再探討|Gal(L/K)| 和 |Gal(L/F )| |Gal(F/K)| 的關係就可得所要的結論. 要 得到 |Gal(L/K)| 和 |Gal(L/F )| |Gal(F/K)| 的關係其實並不直接, 不過由於我們想更精準 的得到 Galois groups 和 fixed fields 之間的關係, 在此我們就不去探討而選擇另外的方法 來處理.

既然 [L : K] 是用 vector space 的 dimension 來定義, 要找到 |Gal(L/K)| 和 [L : K] 的 關係, 我們也要想辦法將 Gal(L/K) 和 vector space 扯上關係. 我們考慮的 vector space 是所有從L 到 L 的函數所成的集合, 即考慮 V = {f : L → L}. 雖然 Gal(L/K) 中的元素 不只是 L 到 L 的函數, 還必須是 ring homomorphism 且是 1-1 and onto, 不過兩個 ring homomorphisms 相加有可能不再是 ring homomorphism, 而兩個 1-1 and onto 的函數相加 也可能不再是 1-1 and onto. 所以我們不能考慮所有 ring homomorphisms 所成的集合, 也 不能考慮所有 1-1 and onto 的函數所成的集合. 它們都無法保持加法封閉, 當然無法形成 vector space. 因此我們必須把條件放寬到考慮所有 L 到 L 的函數. 這時候對於 f, g ∈ V 和c ∈ L, 若我們定義 f + g 和 c · f 這兩個函數為: 對任意 λ ∈ L, f + g 這個函數在 λ 的取 值為f (λ) + g(λ) (即 (f + g)(λ) = f (λ) + g(λ)); 而 c · f 這個函數在 λ 的取值為 c · f (λ) (即 (c · f )(λ) = c · f (λ)), 則很容易看出 f + g 和 c · f 仍為 L 到 L 的函數 (即 f + g, c · f ∈ V ), 且 V 確實為一個 over L 的 vector space.

Lemma 2.3.2. ƒ ' L × Í field v σ₁, . . . , σ_n ∈ Aut(L) × à Ë Ë 8 ² Ý L Ý automorphisms. uÊ σ₁, . . . , σ_n Î V = {f : L → L} 9Í vector space over L Ý-ô, J σ₁, . . . , σ_n Î linearly independent over L.

Proof. 考慮 W = hσ₁, . . . , σ_ni 為以 σ₁, . . . , σ_n over L span 而成的 subspace of V . 既 然 σ₁, . . . , σ_n 可展成 W , 要證明 σ₁, . . . , σ_n 是 linearly independent over L, 只要證明 dim_L(W ) = n 即可.

我們用反證法. 假設 dim_L(W ) = l < n, 由線性代數的性質知可在 σ₁, . . . , σ_n 中找到 l 個元素成為 W over L 的一組 basis. 經過重排, 我們假設 σ₁, . . . , σ_l 就是 W over L 的一組 basis. 因為 σ_n∈ W , 利用 basis 的性質, 我們知道存在唯一的一組 c₁, . . . , c_l∈ L 使得

σ_n= c₁· σ₁+ · · · + c_l· σ_l. (2.2) 因為 σ_n 不為 0 函數, 一定存在一 c_i ∈ {c₁, . . . , c_l} 滿足 c_i 6= 0, 為了方便記, 我們就假設 c₁ 6= 0. 由於 σ₁ 6= σ_n, 必存在 λ ∈ L 使得 σ₁(λ) 6= σ_n(λ). 注意因為 σ₁ 和 σ_n 是 ring homomorphism, 所以 λ 6= 0 (否則會造成 σ₁(λ) = 0 = σ_n(λ)). 現在對任意 β ∈ L, 我們將

λβ 代入 σ_n以及 c₁· σ₁+ · · · + c_l· σ_l 中, 由於它們是相等的函數, 我們得 σ_n(λ)σ_n(β) = σ_n(λβ)

= c₁· σ₁(λβ) + · · · + c_l· σ_l(λβ)

= c₁· σ₁(λ)σ₁(β) + · · · + c_l· σ_l(λ)σ_l(β)

因為 σ_n 是 ring isomorphism 且 λ 6= 0, 我們知 σ_n(λ) 6= 0. 上式兩邊同除 σ_n(λ), 得 σ_n(β) = c₁· σ₁(λ)

σ_n(λ) σ₁(β) + · · · + c_l· σ_l(λ) σ_n(λ) σ_l(β).

由於這個等式是對所有β ∈ L 都成立, 所以看成 L 到 L 的函數, 我們有 σ_n= c₁· σ₁(λ)

σ_n(λ) · σ₁+ · · · +c_l· σ_l(λ)

σ_n(λ) · σ_l. (2.3) 由於 σ₁(λ) 6= σ_n(λ) 且 c₁6= 0, 故知

c₁· σ₁(λ) σ_n(λ) 6= c₁.

比較 (2.2) 和 (2.3) 兩式, 我們得到 σ_n∈ W 有兩種不同用 σ₁, . . . , σ_l 的線性組合的表示法.

這和 σ₁, . . . , σ_l 是 W 的一組 basis 相違背, 故知 dim_L(W ) = l = n. ¤

當 L/K 是一個 finite extension, 由 Lemma 2.3.1 我們知 Gal(L/K) 是 Aut(L) 中的一 個 finite subgroup, 再利用 Lemma 2.3.2 知 Gal(L/K) 的元素是 linearly independent over L. 由此我們可推得以下重要的性質.

Proposition 2.3.3. ƒ' L/K Î×Í finite extension, J

|Gal(L/K)| ≤ [L : K].

Proof. 假設 Gal(L/K) = {σ₁, . . . , σ_n} 以及 a₁, . . . , a_m ∈ L 是 L/K 的一組 basis. 我們利 用反證法: 即假設 n > m 而推得矛盾. 對於任意的 i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . , m}, 由於 σ_i ∈ Aut(L) 且 a_j ∈ L, 我們有 σ_i(a_j) ∈ L. 因此可以考慮以下係數在 L 的 n 個變數, m 個 線性方程式的聯立方程式:











σ₁(a₁)x₁+ σ₂(a₁)x₂+ · · · + σ_n(a₁)x_n = 0 σ₁(a₂)x₁+ σ₂(a₂)x₂+ · · · + σ_n(a₂)x_n = 0

... ...

σ₁(a_m)x₁+ σ₂(a_m)x₂+ · · · + σ_n(a_m)x_n = 0

(2.4)

因為變數的個數n 大於方程式的個數 m, 由線性代數知在 L 中必存在一組不全為 0 的解 c₁, . . . , c_n∈ L 使得 x₁ = c₁, . . . , x_n= c_n 滿足聯立方程式 (2.4). 也就是說

c₁σ₁(a_j) + c₂σ₂(a_j) + · · · + c_nσ_n(a_j) = 0, ∀ j ∈ {1, . . . , m}. (2.5)

2.3. Extension Degree 和 Galois Group 的 Order 之關係 23

現因為 a₁, . . . , a_m 是 L/K 的一組 basis, 對任意 λ ∈ L 都存在一組 r₁, . . . , r_m ∈ K 使 得 λ = r₁a₁+ · · · + r_ma_m. 若將 λ 代入 c₁· σ₁+ · · · + c_n· σ_n 這個函數中可得:

(c₁· σ₁+ · · · + c_n· σ_n)(λ) = c₁· σ₁(λ) + · · · + c_n· σ_n(λ)

= c₁· σ₁( Xm j=1

r_ja_j) + · · · + c_n· σ_n( Xm j=1

r_ja_j)

= Xm j=1

c₁σ₁(r_ja_j) + · · · + c_nσ_n(r_ja_j).

由於 σ_i ∈ Gal(L/K) 將 K 中的元素都固定以及式子 (2.5), 我們得 Xm

j=1

c₁σ₁(r_ja_j) + · · · + c_nσ_n(r_ja_j) = Xm j=1

c₁r_jσ₁(a_j) + · · · + c_nr_jσ_n(a_j)

= Xm j=1

r_j(c₁σ₁(a_j) + · · · + c_nσ_n(a_j))

= 0.

也就是說對任意λ ∈ L 代入 c₁·σ₁+· · ·+c_n·σ_n這個函數後都得到0, 故得 c₁·σ₁+· · ·+c_n·σ_n 是一個零函數(即 c₁· σ₁+ · · · + c_n· σ_n= 0). 由於 c₁, . . . , c_n∈ L 是 L 中一組不全為 0 的 數, c₁· σ₁+ · · · + c_n· σ_n= 0 和 Lemma 2.3.2 所知 σ₁, . . . , σ_n 是 linearly independent over

L 相矛盾, 故得證 |Gal(L/K)| = n ≤ m = [L : K]. ¤

利用類似的方法, 我們可以得到以下更好的結果, 讓我們更清楚 Galois group 和 fixed field 之間的關係.

Theorem 2.3.4. ƒ' L/K Î×Í finite extension v H Î Gal(L/K) Ý subgroup. J

|H| = [L : F(H)].

Proof. 回顧一下 F(H) = L^H 是 H 的 fixed field 而且是 L/K 的 intermediate field. 若 考慮 L/F(H) 這一個 extension, 當然也是 finite extension, 故套用 Proposition 2.3.3, 得

|Gal(L/F(H))| ≤ [L : F(H)]. 依定義 Gal(L/F(H)) = G(F(H)), 故由 Proposition 2.2.3 知 H ⊆ Gal(L/F(H)), 而得

|H| ≤ |Gal(L/F(H))| ≤ [L : F(H)].

假設|H| = n, 若我們能證明任取 L 中 n + 1 個元素必定 linearly dependent over F(H), 則 知 [L : F(H)] ≤ n = |H|. 故得證 |H| = [L : F(H)].

假設 H = {τ₁, . . . , τ_n}, 其中 τ₁ = I 是 identity. 任取 a₁, . . . , a_n+1 ∈ L, 我們欲證明 a₁, . . . , a_n+1 是 linearly dependent over F(H). 首先我們考慮以下係數在 L 的 n + 1 個變 數, n 個線性方程式的聯立方程式:











τ₁(a₁)x₁+ τ₁(a₂)x₂+ · · · + τ₁(a_n+1)x_n+1 = 0 τ₂(a₁)x₁+ τ₂(a₂)x₂+ · · · + τ₂(a_n+1)x_n+1 = 0

... ...

τ_n(a₁)x₁+ τ_n(a₂)x₂+ · · · + τ_n(a_n+1)x_n+1 = 0

(2.6)

注意因 τ₁ = I 所以聯立方程式 (2.6) 中的第一個式子其實是 a₁x₁+ a₂x₂+ · · · + a_n+1x_n+1= 0.

若我們能證明聯立方程式 (2.6) 在 F(H) 中存在一組不全為 0 的解 c₁, . . . , c_n+1 ∈ F(H), 則得

c₁a₁+ c₂a₂+ · · · + c_n+1a_n+1= 0, 故知 a₁, . . . , a_n+1 是 linearly dependent over F(H).

現由於聯立方程式(2.6) 變數的個數 n + 1 大於方程式的個數 n, 由線性代數知在 L 中 必存在一組不全為0 的解. 我們考慮所有聯立方程式 (2.6) 的解中不等於 0 的項數最少的 一組解. 經過重排我們假設 x₁ = b₁, . . . , x_n+1 = b_n+1 是聯立方程式 (2.6) 的一組解, 其中 這些 b_i ∈ L 且 b₁, . . . , b_m 6= 0 以及 b_m+1, . . . , b_n+1= 0. 依我們的找法知若在 L 中找到一 組解且其不等於 0 的項數少於 m, 則這一組解必全等於 0. 又因為 b₁ 6= 0, 且聯立方程式 (2.6) 是線性的, 同除以 b₁ 我們知

x₁ = 1, x₂= b₂/b₁, . . . , x_m= b_m/b₁, x_m+1 = 0, . . . , x_n+1 = 0

仍然是聯立方程式(2.6) 的一組不全為 0 的解. 為了方便我們將 b_i/b₁ 記為 c_i, 也就是說我

們有以下的等式: 









τ₁(a₁) + τ₁(a₂)c₂+ · · · + τ₁(a_m)c_m = 0 τ₂(a₁) + τ₂(a₂)c₂+ · · · + τ₂(a_m)c_m = 0

... ...

τ_n(a₁) + τ_n(a₂)c₂+ · · · + τ_n(a_m)c_m = 0

(2.7)

這些c₂, . . . , c_m 是在L 中皆不為 0 的數, 我們要證明這些 c₂, . . . , c_m 事實上是在F(H) 中.

依定義 F(H) 是被所有 H 的元素固定的 L 中的元素所成的集合, 因此要證明 c_i ∈ F(H), 我們只要證明對任意τ ∈ H 皆有 τ (c_i) = c_i. 所以對任意 τ ∈ H 我們將之作用於式子 (2.7) 中的每一個式子得到對任意 j ∈ {1, . . . , n}, 皆有

0 = τ (τ_j(a₁) + τ_j(a₂)c₂+ · · · + τ_j(a_m)c_m)

= τ (τ_j(a₁)) + τ (τ_j(a₂))τ (c₂) + · · · + τ (τ_j(a_m))τ (c_m)

= τ ◦ τ_j(a₁) + τ ◦ τ_j(a₂)τ (c₂) + · · · + τ ◦ τ_j(a_m)τ (c_m)

由於 H 是一個 group 且 τ ∈ H, 故對任意 j = {1, . . . , n} 皆存在唯一的 j⁰ ∈ {1, . . . , n} 滿 足 τ ◦ τ_j = τ_j⁰. 因此我們可以將上式改寫成

τ_j⁰(a₁) + τ_j⁰(a₂)τ (c₂) + · · · + τ_j⁰(a_m)τ (c_m) = 0.

再加上若 j 6= k, 則 τ ◦ τ_j 6= τ ◦ τ_k, 因此當 j 跑遍所有的 1, . . . , n 時, 所對應的 j⁰ 也跑遍所 有的 1, . . . , n. 因此上式的是對任意的 j⁰ ∈ {1, . . . , n} 都成立的, 也就是說我們有以下的等

式: 









τ₁(a₁) + τ₁(a₂)τ (c₂) + · · · + τ₁(a_m)τ (c_m) = 0 τ₂(a₁) + τ₂(a₂)τ (c₂) + · · · + τ₂(a_m)τ (c_m) = 0

... ...

τ_n(a₁) + τ_n(a₂)τ (c₂) + · · · + τ_n(a_m)τ (c_m) = 0

2.3. Extension Degree 和 Galois Group 的 Order 之關係 25

換言之對任意 τ ∈ H,

x₁ = 1, x₂ = τ (c₂), . . . , x_m= τ (c_m), x_m+1 = 0, . . . , x_n+1= 0 是聯立方程式 (2.6) 的一組解. 由於

x₁ = 1, x₂ = c₂, . . . , x_m= c_m, x_m+1 = 0, . . . , x_n+1= 0 已是聯立方程式 (2.6) 的一組解且聯立方程式 (2.6) 是線性的, 所以知

x₁= 1 − 1 = 0, x₂= c₂− τ (c₂), . . . , x_m = c_m− τ (c_m), x_m+1= 0, . . . , x_n+1= 0 也是聯立方程式 (2.6) 的一組解. 很顯然的這一組解不等於 0 的項數少於 m, 但當初我們 假設 m 是所有不全為 0 的解中不為 0 的項數最少的. 因此知這組解應全為 0, 也就是說 τ (c₂) = c₂, . . . , τ (c_m) = c_m. 又這是對任意 τ ∈ H 都成立的, 故得 c₂, . . . , c_m∈ F(H). 故再 由 c₂, . . . , c_m6= 0 以及 a₁+ c₂a₂+ · · · + c_ma_m = 0, 知 a₁, . . . , a_m 是linearly dependent over F(H). 所以當然 a₁, . . . , a_m, . . . , a_n+1 是 linearly dependent over F(H), 得證本定理. ¤

利用 Theorem 2.3.4 我們馬上可推導出一些有用的性質.

Corollary 2.3.5. ƒ' L/K Î×Í finite extension v H Î Gal(L/K) Ý subgroup, J [F(H) : K] = [L : K]/ |H| .

Proof. 由於 K ⊆ F(H) ⊆ L, 利用 Lemma 1.2.3 我們知 [L : K] = [L : F(H)][F(H) : K].

再利用 Theorem 2.3.4 我們知 [L : F(H)] = |H|, 故得證. ¤ Corollary 2.3.6. ƒ' L/K Î×Í finite extension v H Î Gal(L/K) Ý subgroup, J

G(F(H)) = H.

Proof. 由 Proposition 2.2.3 我們知 H ⊆ G(F(H)), 因此若要證得 H = G(F(H)) 只要檢查 是否 |H| = |G(F(H))|. 由於 G(F(H)) 仍為 Gal(L/K) 的 subgroup, 故由 Theorem 2.3.4 知 |G(F(H))| = [L : F(G(F(H)))]. 又由於 F(G(F(H))) = F(H) (Proposition 2.2.3) 故知

|G(F(H))| = [L : F(H)] = |H|. 得證 G(F(H)) = H. ¤ 回顧一下, 當 L/K 是一個 finite extension, 我們令 F 是 L/K 的 intermediate fields 所 成的集合且令 G 是 Gal(L/K) 的 subgroups 所成的集合, 而 G : F → G 是一個從 F 到 G 的函數, 且 F : G → F 是一個從 G 到 F 的函數. Corollary 2.3.6 告訴我們當 H ∈ G 時 G(F(H)) = H, 也就是說 G ◦ F : G → G 是一個從 G 送到 G 的 identity map. 因此我們知 F 這個函數是 1-1 (因為若 F(H₁) = F(H₂), 將之代入 G 得 H₁ = H₂) 而 G 是 onto (對任 意 H ∈ G, 取 F = F(H) ∈ F, 可得 G(F ) = H). 在 Example 2.1.5 中我們知一般來說 G 不 一定是 1-1, 以後我們將探討何時 G 會是 1-1.