這個結果對任意的 vector space 皆成立, 不過我們僅探討 finite dimensional 的情形

5.3. Transpose and Adjoint 121

以下結果告訴我們一個 linear transformation 其 kernel 和 image 和其 transpose 的 kernel 與 image 之間的關係. 這個結果對任意的 vector space 皆成立, 不過我們僅探討 finite dimensional 的情形.

Proposition 5.3.3. 假設 V,W 皆為 finite dimensional vector space, T : V → W 為 linear transformation, T^t: W^∗→ V^∗ 為其 transpose. 則

Ker(T^t) = Im(T )⁰, Im(T^t) = Ker(T )⁰.

Proof. 假設 f ∈ Ker(T^t), 即 T^t( f ) = f◦ T = O in V^∗. 這表示對任意 v∈ V, 皆有 T^t( f )(v) = f (T (v)) = 0. 得 f ∈ {T(v) | v ∈ V}⁰= Im(T )⁰.反之, 若 f ∈ Im(T)⁰, 表示對任意 v∈ V, 皆有 f (T (v)) = 0, 亦即 T^t( f ) = O in V^∗, 得證 f ∈ Ker(T^t).

另一方面, 假設 f ∈ Im(T^t), 即存在 g∈ W^∗ 使得 f = T^t(g) = g◦ T. 故對任意 v ∈ Ker(T), 我們有 f (v) = g(T (v)) = g(O_W) = 0. 也就是說 f ∈ Ker(T)⁰, 得證 Im(T^t)⊆ Ker(T)⁰. 現因 T^t: W^∗→ V^∗ 為 linear transformation, 利用 Theorem 5.2.2 我們有

dim(Im(T^t)) = dim(W^∗)− dim(Ker(T^t)) = dim(W )− dim(Ker(T^t)).

再由 Ker(T^t) = Im(T )⁰ 以及 Proposition 5.2.6 知

dim(Ker(T^t)) = dim(Im(T )⁰) = dim(W )− dim(Im(T)), 故得

dim(Im(T^t)) = dim(Im(T )).

而因 T : V → W 為 linear transformation, 故知 dim(Ker(T)) = dim(V) − dim(Im(T)), 再由 Proposition 5.2.6 知

dim(Ker(T )⁰) = dim(V )− dim(Ker(T)) = dim(Im(T)).

故得 dim(Im(T^t)) = dim(Ker(T )⁰),得證 Im(T^t) = Ker(T )⁰.  Question 5.15. 在 Proposition 5.3.3 的證明中我們知道 dim(Im(T^t)) = dim(Im(T )). 是否 dim(Ker(T^t)) = dim(Ker(T ))?

既然 T^t: W^∗→ V^∗ 也是 linear transformation, 我們自然也會去考慮 T^t 的 transpose, 也 就是 (T^t)^t: (V^∗)^∗→ (W^∗)^∗. 回顧一下當 V 為 finite dimensional, 我們有一個 isomorphism τV : V → (V^∗)^∗, 定義為對任意 v∈ V, τV(v) = ˆv 其中 ˆv( f ) = f (v), ∀ f ∈ V^∗. 我們有以下的圖 示:

V −−−−−−→^T W



y^τV y^τW (V^∗)^{∗ (T}

t)^t

−−−−−−→ (W^∗)^∗

現對於任意 v∈ V, 我們有 (T^t)^t(τV(v)) = ˆv◦ T^t∈ (W^∗)^∗. 也就是說對於任意 f ∈ W^∗, 我 們有

(T^t)^t(τV(v))( f ) = ˆv◦ T^t( f ) = ˆv( f◦ T) = f ◦ T(v) = f (T(v)).

122 5. Operators on Inner Product Spaces

另一方面 T (v)∈ W, 所以 τW(T (v)) = dT (v)∈ (W^∗)^∗. 也就是說對於任意 f ∈ W^∗, 我們有 τW(T (v))( f ) = dT (v)( f ) = f (T (v)).

得證 (T^t)^t(τV(v)) =τW(T (v)), ∀v ∈ V, 亦即

(T^t)^t◦τV =τW◦ T.

我們證明了上面那個圖示為一個 commutative diagram. 再加上 τV 為 isomorphism, 故 τV⁻¹: (V^∗)^∗→ V 存在 (亦為 isomorphism). 我們有以下之結果.

Proposition 5.3.4. 假設 V,W 皆為 finite dimensional vector space, T : V → W 為 linear transformation. 令 τV 以及τW 分別為 V, (V^∗)^∗ 以及 W, (W^∗)^∗ 之間的 canonical map. 則

(T^t)^t=τW◦ T ◦τV⁻¹.

由 Proposition 5.3.1, 我們可將一個 linear transformation 的 transpose 和一個 matrix 的 transpose 相連結. 我們可以將 Proposition 5.3.2, 5.3.3, 5.3.4 換成有關 matrix 的 transpose 的性質.

Question 5.16. 令 β = (v1, . . . , vn),γ = (w1, . . . , wm) 分別為 V,W 的 ordered basis 且令 β = ( bˆ v₁, . . . ,vb_n), ˆγ = (cw₁, . . . ,wc_m)分別為 (V^∗)^∗, (W^∗)^∗ 的 ordered basis, 其中vb_i=τV(v_i),cw_j= τW(w_j) (τV : V → (V^∗)^∗, τW : W → (W^∗)^∗ 為 canonical maps.) 請利用 Proposition 5.3.4, 5.3.1 證明

(_γ[T ]^t_β)^t=_γˆ[(T^t)^t]_βˆ =_γ[T ]_β.

5.3.2. The Adjoint of a Linear Transformation. 接下來我們要探討的是一個 linear transformation T : V → W 的 adjoint. 首先強調 adjoint 的定義是需要 V,W 皆為 finite dimensional inner product spaces. 回顧一下, 在此時我們有ρV : V → V^∗,ρW: W → W^∗ 定義 為ρV(v) =⟨·,v⟩,∀v ∈V 以及ρW(w) =⟨·,w⟩,∀w ∈W 且ρV,ρW 皆為 conjugate isomorphism.

我們定義 T 的 adjoint T^∗: W → V 為

T^∗=ρV⁻¹◦ T^t◦ρW. 換言之對任意 w∈ W, 我們有

T^∗(w) =ρ_V⁻¹◦ρW(w)◦ T =ρ_V⁻¹(⟨T(·),w⟩).

由 Lemma 5.2.9 (1) 我們知 T^t◦ρW : W → V^∗ 為 conjugate transformation, 故再由 Lemma 5.2.9 (2) 得 T^∗: W→ V 為 linear transformation. 我們有以下的 commutative diagram.

Vy^ρV ←−−−−−− W^T∗ y^ρW

V^∗ ←−−−−−− W^{Tt ∗}

5.3. Transpose and Adjoint 123

Theorem 5.3.5. 假設 V,W 皆為 finite dimensional inner product space, T : V → W 為 linear transformation. 則 T 的 transpose T^∗: W → V, 為唯一的 linear transformation 滿足

⟨T(v),w⟩ = ⟨v,T^∗(w)⟩, ∀v ∈ V,w ∈ W.

Proof. 我們已知 T^∗ 為 linear transformation. 現對任意 w∈ W, 我們有 ρV(T^∗(w))∈ V^∗ 滿 足對任意 v∈ V, 皆有 ρV(T^∗(w))(v) =⟨v,T^∗(w)⟩. 另一方面ρV(T^∗(w)) = T^t◦ρW(w), 而對任 意 v∈ V, 皆有 T^t◦ρW(w)(v) =⟨T(v),w⟩. 得證 ⟨T(v),w⟩ = ⟨v,T^∗(w)⟩

至於唯一性, 假設 T^′: W → V 亦滿足 ⟨T(v),w⟩ = ⟨v,T^′(w)⟩, ∀v ∈ V,w ∈ W, 則知對任意 v∈ V,w ∈ W 皆有 ⟨v,T^∗(w)⟩ = ⟨v,T^′(w)⟩. 由 Corollary 5.1.5 知 T^∗(w) = T^′(w), ∀w ∈ W, 得

證 T^′= T^∗. 

要注意 Theorem 5.3.5 中左式的 inner product 是 W 的 inner product, 右式為 V 的 inner product. 當一個 linear transformation T : V → W 保持 inner product, 亦即

⟨T(v),T(v^′)⟩ = ⟨v,v^′⟩, ∀v,v^′∈ V.

我們很自然有 T 為 one-to-one. 這是因為若 v∈ Ker(T), 則 ⟨v,v⟩ = ⟨T(v),T(v)⟩ = 0, 得 證 v = O_V. 故若 dim(W ) = dim(V ), 則 T 為 isomorphism, 我們稱這樣的 isomorphism 為 inner product isomorphism. 此時 linear transformation T⁻¹: W → V 也會是 inner product isomorphism. 這是因為

⟨T⁻¹(w), T⁻¹(w^′)⟩ = ⟨T(T⁻¹(w)), T (T⁻¹(w^′))⟩ = ⟨w.w^′⟩, ∀w,w^′∈ W.

我們有以下判斷 inner product isomorphism 的方法.

Corollary 5.3.6. 假設 V,W 為 finite dimensional inner product spaces, T : V→ W 為 linear transformation 且 T^∗: W → V 為其 adjoint. 則以下敘述為等價的 (equivalent).

(1) T 為 inner product isomorphism.

(2) T 為 isomorphism 且 T⁻¹= T^∗.

Proof. (1)⇒ (2): 對於任意 v ∈ V,w ∈ W, 我們有

⟨T(v),w⟩ = ⟨T(v),T(T⁻¹(w))⟩ = ⟨v,T⁻¹(w)⟩.

故利用 Theorem 5.3.5 有關 adjoint 的唯一性得證 T⁻¹= T^∗. (2)⇒ (1): 對於任意 v,v^′∈ V, 皆有

⟨T(v),T(v^′)⟩ = ⟨v,T^∗(T (v^′))⟩ = ⟨v,T⁻¹(T (v^′))⟩ = ⟨v,v^′⟩.

故 T 為 inner product isomorphism. 

接下來我們列出 adjoint 的基本性質.

Proposition 5.3.7. 設 V,W,U 皆為 finite dimensional inner product space over F.

124 5. Operators on Inner Product Spaces

(1) 若 r, s∈ F 且 T1: V → W, T2: V → W 皆為 linear transformations, 則 (rT₁+ sT₂)^∗= rT₁^∗+ sT₂^∗.

(2) 若 T₁: V → W, T2: W→ U 皆為 linear transformations, 則 (T₂◦ T1)^∗= T₁^∗◦ T₂^∗.

(3) id_V^∗ = id_V, 特別地, 若 T : V → W 為 isomorphism, 則 T^∗: W→ V 亦為 isomorphism 且

(T^∗)⁻¹= (T⁻¹)^∗. (4) 若 T : V→ W 為 linear transformation, 則

(T^∗)^∗= T.

Proof.

(1) 對於任意 v∈ V,w ∈ W, 利用 inner product 的性質我們有

⟨(rT1+ sT₂)(v), w⟩ = r⟨T1(v), w⟩+s⟨T2(v), w⟩ = r⟨v,T1^∗(w)⟩+s⟨v,T2^∗(w)⟩ = ⟨v,(rT1^∗+ sT₂^∗)(w)⟩.

故由 adjoint 的唯一性得證 (rT₁+ sT2)^∗= rT₁^∗+ sT₂^∗.

(2) 因為 T2◦ T1 為從 V 到 U 的 linear transformation, 所以 (T₂◦ T1)^∗ 為從 U 到 V 的 linear transformation. 現對任意 v∈ V,u ∈ U, 我們有

⟨(T2◦ T1)(v), u⟩ = ⟨T2(T₁(v)), u⟩ = ⟨T1(v), T₂^∗(u)⟩ = ⟨v,T₁^∗(T₂^∗(u))⟩ = ⟨v,T₁^∗◦ T₂^∗(u)⟩.

故由 adjoint 的唯一性得證 (T₂◦ T1)^∗= T₁^∗◦ T₂^∗.

(3) 對於任意 v, v^′ ∈ V, 我們有 ⟨v,v^′⟩ = ⟨idV(v), v^′⟩ = ⟨v,idV^∗(v^′)⟩, 所以利用 Corollary 5.1.5 得證 id_V^∗(v^′) = v^′,∀v^′∈ V. 亦即 idV^∗ = id_V. 現若 T : V → W 為 isomorphism, 我們有 T⁻¹◦ T = idV 且 T◦ T⁻¹= idW. 故由 (2) 得

id_V = id^∗_V = T^∗◦ (T⁻¹)^∗, id_W = id^∗_W = (T⁻¹)^∗◦ T^∗, 得證 T^∗ 為 isomorphism 且 (T^∗)⁻¹= (T⁻¹)^∗.

(4) 因 T^∗: W → V 為 linear transformation, 對任意 v ∈ V,w ∈ W 我們有

⟨T^∗(w), v⟩ = ⟨w,(T^∗)^∗(v)⟩.

另一方面

⟨w,T(v)⟩ = ⟨T(v),w⟩ = ⟨v,T^∗(w)⟩ = ⟨T^∗(w), v⟩,

我們得知 (T^∗)^∗(v) = T (v), ∀v ∈ V. 得證 (T^∗)^∗= T.  Question 5.17. 試利用 adjoint 的定義證明 Proposition 5.3.7.

接下來, 我們來看一個 linear transformation 和其 adjoint 它們的 kernel 和 image 之間 的關係.

Proposition 5.3.8. 假設 V,W 為 finite dimensional inner product spaces, T : V → W 為 linear transformation 且 T^∗: W → V 為其 adjoint. 則