10 1. Topological Spaces
依定義當 B 是 topological space X 的一組 basis 時, 因為 X 本身是 open, 我們會有 X =
∪
S∈B
S . 另一方面, 若 S1, S2 ∈ B 且 x ∈ S1∩ S2, 由於 S1∩ S2 亦為 open, 故知 S1∩ S2
必可寫成一些 B 中的集合的聯集, 因此由 x ∈ S1 ∩ S2 得必存在 S ∈ B 滿足 x ∈ S 且 S ⊆ S1∩ S2. 我們得到以下有關 basis 的性質.
Proposition 1.2.4. 假設B 是 topological space X 的一組 basis, 則 B 滿足以下條件:
(1) X =∪
S∈B
S .
(2) 若 S1, S2∈ B 且 x ∈ S1∩ S2, 則存在 S ∈ B 滿足 x ∈ S 且 S ⊆ S1∩ S2.
反之, 若 B 為 X 中的一些 subsets 所成的集合且滿足上述 (1), (2) 兩個性質, 則存在唯一的 topology T , 使得 B 為 T 的一組 basis.
Proof. 我們僅剩要證明存在唯一的 topology T , 使得 B 為 T 的一組 basis. 要證明存在 性, 所以我們必須具體定出T 來. 由於 B 要成為 basis 的定義為每個 open set 皆是 B 中的 一些元素的聯集, 因此 T 的元素自然皆需可寫成 B 中的一些元素的聯集再加上 ∅. 所以我 們只要收集 ∅ 以及所有可以寫成 B 中的一些元素的聯集的 subsets 定之為 T 再證明 T 確 實符合 topology 的要求即可. 首先已知 ∅ ∈ T , 再由 X = ∪
S∈B
S , 故知 X 在 T 中. 另外由 於 T 的元素皆可寫成 B 中的一些元素的聯集, 所以 T 中任意一些元素的聯集仍可寫成 B 中的一些元素的聯集. 最後我們只剩下要證明若 T1, . . . , Tn 皆可寫成 B 中的一些元素的聯 集, 則 T1∩ · · · ∩ Tn 亦可寫成 B 中的一些元素的聯集. 事實上利用數學歸納法, 我們只要證 明 n = 2 的情況 (參見 Question 1.10). 現假設 T1, T2 ∈ T , 依定義存在 index sets I, J 使得 T1=∪
i∈I
Si, T2 =∪
j∈J
S′j, 其中 Si, S′j 皆在B 中. 利用聯集交集的分配性質, 我們有
T1∩ T2= ∪
i∈I, j∈J
Si∩ S′j.
所以我們僅需要證明 Si ∩ S′j 亦可以寫成 B 中的一些元素的聯集即可. 然而對於任何 x∈ Si∩ S′j, 由於 Si, S′j 皆在B 中, 故由性質 (2) 知存在 Sx ∈ B 滿足 x ∈ Sx 且 Sx ⊆ Si∩ S′j. 由此可推得
Si∩ S′j= ∪
x∈Si∩S′j
Sx.
因此我們得證T 確為 X 的一個 Topology 且 B 為 T 的一組 basis. 最後我們介紹 topological space 上的 closed set.
Definition 1.2.5. 假設 X 為 topological space. 對於 S ⊆ X, 如果 S 的補集 Sc = X\ S 是 open set, 則我們稱 S 是 closed set.
再次提醒大家, closed set 不是 open set 的相反, 不要誤以為一個集合若不是 open set 則 必是 closed set. 這是錯誤的概念. 事實上有可能一個集合既不是 open 也不是 closed. 另一 方面也有可能一個集合既是 open 是 closed. 甚至有可能一個 topological space 上的 open
1.3. Continuous Functions and Open Maps 11
sets 和 closed sets 完全相同. Indiscrete topology 和 discrete topology 就是例子. 總而言之, 要證明一個集合是 closed, 我們必須依定義證明其補集是 open set 即可. 利用捕集的性質, 如同 Question 1.9, 我們有以下的結果.
Proposition 1.2.6. 假設 X 為一 topological space, 則我們有以下性質.
(1) X, ∅ 皆為 closed.
(2) 假設 S1, . . . , Sn 皆為 closed set, 則
∪n i∈1
Si 亦為 closed set.
(3) 假設 {Si, i ∈ I} 是以 I 為 index set 的 indexed family 其中每個 Si⊆ X 皆為 closed set, 則 ∩
i∈I
Si 亦為 closed set.
Question 1.15. 試說明在 indiscrete topology 和 discrete topology 中 open set 就是 closed set, 而 closed set 就是 open set.
Question 1.16. 一個 topological space 中, 若知道所有的 closed sets 為何, 是否就可以知 道所有的 open sets?
最後要提醒的是在一般的 topological space 上由一個元素所成的集合, 不一定會是 closed. 例如 indiscrete topology 就是一個例子. 這和我們在 R 上習慣的 standard topology 相當不同, 所以千萬要注意. 不過在特殊的情況, 例如 R 上的 standard topology 甚至更一 般的 metric space 上, 任意一個元素所成的集合就一定是 closed.
1.3. Continuous Functions and Open Maps
一個集合有了 topology, 我們便可將實數上連續函數的等價性質 (Theorem 1.1.8) 拿來 當成連續函數的定義. 事實上, 我們不只談論一個 topological space 自己到自己的函數, 我 們可以將之推廣到兩個 topological spaces 之間的函數.
Definition 1.3.1. 假設 X, Y 為 topological spaces 且 f : X → Y 為一 function. 如果對於 Y 上任意的 open set U 皆得 f−1(U) 為 X 上的 open set, 則稱 f 為 continuous function.
再次提醒, continuous function 指的是對應域上的 open set 的 inverse image 仍為定義 域上的 open set. 而不是將定義域上的 open set 取 image 後會是對應域的 open set.
Question 1.17. 設 X, Y 為 topological space, f : X → Y 為 function. 試判斷以下情形何者 可確定 f 為 continuous.
(1) X 上的 topology 為 discrete topology.
(2) Y 上的 topology 為 discrete topology.
(3) X 上的 topology 為 indiscrete topology.
(4) Y 上的 topology 為 indiscrete topology.
12 1. Topological Spaces
Question 1.18. 試 說 明 一 個 集 合 X 上 的 identity function idX : X → X 有可能不是 continuous function.
Excecise 1.4. 假設 X 是一個 metric space. 試證明對於任意 x∈ X, 集合 {x} 是 closed set.
Excecise 1.5. 對任意 a∈ Z, b ∈ N 令 Na,b ={a + nb : n ∈ Z}. 考慮 B = {Na,b: a∈ Z, b ∈ N}.
(1) 利用中國剩餘定理說明B 可以成為 Z 中某一個 topology T 的 basis.
(2) 說明在 T 這個 topology 之下, U ∈ T (即 U 為此拓樸之下的一個 open set) 若且 唯若∀ a ∈ U, ∃ b ∈ N 使得 Na,b⊆ U.
(3) 說明在 T 這個 topology 之下 Na,b 是 open 也是 closed.
Excecise 1.6. 考慮 P ⊆ N 為所有質數所成的集合, 在此問題中我們將利用定義 P 中的 closed set 來給出 P 的一個 topology. 對任意整數 m∈ Z, 我們定義 V(m) = {p ∈ P : p | m}.
(1) 證明存在 m, m′∈ Z 使得 ∅ = V(m), P = V(m′).
(2) 對任意的 index set I, 任取 mi ∈ Z, ∀ i ∈ I. 證明存在 m ∈ Z 滿足
∩
i∈I
V(mi) = V(m).
(3) 對任意 a, b ∈ Z 證明存在 m ∈ Z 滿足 V(a) ∪ V(b) = V(m).
(4) 令T = {U ⊆ P : P \ U = V(m), for some m ∈ Z}. 說明 T 是 P 的一個 topology.
———————————– 29 September, 2017
