1 y + 1 2 y + 1+ 1 2 y − 1) dy dt =1 如此取同不定積分 −ln ∣y∣ +1 2ln ∣y + 1∣ +1 2ln ∣y − 1

1052微微微乙乙乙01-05班班班期期期末末末考考考解解解答答答和和和評評評分分分標標標準準準 1. (10%) 解微分方程 y^′=y(y²−1)，y 為非常數函數。

Solution:

題目要考慮y非常數函數，即y^′不恆為零的解，即y不總是為0或±1。因此透過移項可得 1

y (y²−1) dy

dt =1 針對左式使用部分分式，即考慮待定常數A, B, C滿足

1 y (y²−1) =

A y +

B y + 1+

C y − 1 容易解得A = −1、B = C =1

2，因此題目的微分方程寫為

(−

1 y +

1 2

y + 1+

1 2

y − 1) dy dt =1 如此取同不定積分

−ln ∣y∣ +1

2ln ∣y + 1∣ +1

2ln ∣y − 1∣ = t + C 根據對數函數的特性可以整理得

1

2ln∣y²−1∣

y² =t + C 即有

∣y²−1∣

y² =C1e^2t 此處C₁=e^2C為正數。

現在去掉絕對值後C¹可為實數，即

y²−1

y² =C₁e^2t 如此能夠解出

y²= 1 1 − C1e^2t 故y = (1 − C1e^2t)

−¹₂

或y = − (1 − C₁e^2t)

−¹₂

。 評分原則：

1. 空白或與題目無關的作答者得0分

2. 未正確移項者得0分或1分（如直接對方程兩邊直接對y積分者得0分，而知道要使用分離變數法者得1分）

3. 正確移項後未進行任何處理者得2分；如有處理但不正確者則得3分至5分不等。

4. 同取積分時，等號另一邊為自變數積分，若誤以為對y積分者扣1分；若未有積分常數者也扣1分。

5. 忽略絕對值者扣1分。

6. 其餘錯誤扣0分至1分不等（如忽略正負號者扣0分）

7. 未有說明就使用積分因子法者得0分，完整陳述積分因子法如何使用者得1分。

2. (10%) 解微分方程 xdy

dx =2y + x³ln x, x > 0, y(1) = −1。

Solution:

xdy

dx−2y = x³ln x dy

dx− 2

xy = x²ln x

Integrating factor: e^{∫ −x2dx}= 1 x²

∴(

y x²)

′

=ln x y

x² =x(ln x − 1) + c When y(1) = −1, c = 0

y(x) = x³(ln x − 1), x > 0 Note:

1. The method of separation of variables cannot be applied here.

2. For the integrating factor, don’t leave out the minus sign, e^{∫ x2dx} is wrong.

3. Need to show the process of∫ ln xdx

3. (15%) 假設隨機變數 X 的取值是 {−1, 0, 1}。若 E(X) = 0 和 Var(X) = 2 3，求 (a) (4%+4%) P (X = 1)和 P (X = 0)

(b) (7%) Var(X²)。

Solution:

(a) Let P (X = −1) = a, P (X = 0) = b, P (X = 1) = c

⎧⎪

⎪⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩

a + b + c = 1 c − a = 0 c + a =

2 3

(4 points)

⇒a = b = c =1 3

∴P (X = 1) = P (X = 0) = 1

3 (2+2 points) (b) V ar(X²) =E(X⁴) −E²(X²)(3 points)

E(X²) =a + c =2

3 (2 points) E(X⁴) =a + c =2

3 (2 points)

∴V ar(X²) = 2 3− (

2 3)²=

2 9

4. (10%) 若對所有 i = 1, 2, ⋯, 10, Xi∼X,且 {X1, X2, ⋯, X10} 是獨立的。假設 E(X) = 1 和 Var(X) = 2，求 (a) (5%) E(5X1⋅X2⋅ ⋯ ⋅X10)

(b) (5%) Var(X1+X2+ ⋯ +X10

10 )

Solution:

(a) E(5X1⋅X2⋅ ⋯ ⋅X10)

=5E(X₁) ⋅E(X₂) ⋅ ⋯ ⋅E(X₁₀)(4 points)

=5 (1 point)

(b) V ar(X1+X2+ ⋅⋯ ⋅ +X10

10 )

=

V ar(X₁) +V ar(X₂) + ⋅⋯ ⋅ +V ar(X₁₀)

10² (4 points)

20 1

5. (10%) 計算積分∫

∞

−∞

(2x + 1)e^−x2+6xdx. (可利用 ∫

∞

−∞

e^−x2dx =√ π)

Solution:

1. (5pt) 對指數項配方

∫

∞

−∞

(2x + 1)e^{−(x−3)2+9} dx = e⁹∫

∞

−∞

(2x + 1)e^−(x−3)2 dx.

2. (2pt)令新變數 y = x − 3, 做變數變換 x = y + 3, dx = dy, 積分範圍 −∞ < x < ∞ ⇒ − ∞ < y < ∞. 得到 原式=e⁹∫

∞

−∞

(2y + 7)e^−y2 dy.

3. (1pt) 計算暇積分極限存在

∫

∞

−∞

ye^−y2 dy = lim

a→∞∫

a 0

ye^−y2 dy + lim

b→−∞∫

0 b

ye^−y2 dy

= lim

a→∞∫

a 0

e^−y21

2dy²+ lim

b→−∞∫

0 b

e^−y21 2dy²

=0.

或者考慮到對任意 y 均有 ∣ye^−y2/2∣ ≤1, 故

∫

∞

−∞

∣ye^−y2∣ dy ≤∫

∞

−∞

e^−y2/2 dy < ∞,

知暇積分為絕對收斂, 因而 ye^−y2 為奇函數, 故 ∫

∞

−∞

ye^−y2 dy = 0.

4. (2pt)餘下代入已知的積分, 因此

原式=e⁹∫

∞

−∞

7e^−y2 dy = 7e⁹√ π.

6. (15%) 若 fX(t) = f_Y(t) =

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

te^−t, t > 0

0, t ≤ 0.,且隨機變數 X, Y 獨立。

(a) (8%) 令隨機變數 Z = X + Y ，求 Z 的機率密度函數 fZ(t)。

(b) (7%) 令隨機變數 W = X²，求 W 的機率密度函數 fW(t)。

Solution:

For t ≤ 0, f_Z(t) = 0. For t > 0,

fZ(t) =∫

∞

∞

fX(v)fY(t − v)dv

= ∫

t 0

ve^−v⋅ (t − v)e^−(t−v)dv

=e^−t∫

t 0

vt − v²dv

=e^−t( 1 2v²t −1

3v³)∣

t 0

= 1 6t³e^−t Note:

1. Make sure the formula for fZ(t) is written correctly.

2. Be careful of the range of integration, it is from 0 to t.

3. Don’t leave out the case when t ≤ 0.

Solution 6(b).

F_W(t) = P (W ≤ t) = P (X²≤t)

=P (−√

t ≤ X ≤√ t)

= ∫

√t

√ t

f_X(s)ds

= ∫

√t

0

se^−sds, t > 0

∴, f_W(t) = F_W^′ (t)

= 1 2e⁻

√ t, t > 0

7. (15%) (5%+5%+5%)令 X 為隨機變數，其密度函數為 fX(t) = 3e^−3t，求 (a) P (1 ≤ X ≤ 2)，(b) E(X) 和 (c) Var(X).

Solution:

(a) 按定義計算如下：

P (1 ≤ X ≤ 2) =∫

2 1

f_X(t) dt =∫

2 1

3e^−3tdt = −e^−3t∣

2

1=e⁻³−e⁻⁶ 評分標準：

1. 空白或僅抄寫題目得0分。

2. 搞錯被積分函數者扣3分。

3. 上下界搞錯扣1分。

4. 積分的過程如正負號或忘記除以3或多乘以3皆扣1分。

(b) 【方法一】由於f^X(t) = 3e^−3t, t ≥ 0為指數分配（其λ = 3），因此E (X) = 1 λ=

1 3。

【方法二】依期望值的定義以及分部積分法計算如下 E (X) =∫

∞ 0

tfX(t) dt =∫

∞ 0

3te^−3tdt = −∫

∞ 0

tde^−3t

= − [te^−3t∣

∞ 0 − ∫

∞ 0

e^−3tdt] =∫

∞ 0

e^−3tdt

= − e^−3t

3 ∣

∞

0

= 1 3

【方法三】依定義表達如下

E (X) =∫

∞

0 tfX(t) dt =∫

∞

0 3te^−3tdt 令u = 3t，則E (X)使用Γ函數改寫可得

E (X) = 1 3∫

∞ 0

ue^−udu = 1 3⋅1! =1

3 評分標準：

1. 空白或僅抄寫題目得0分。

2. 直接使用指數分配特性者得5分，但須註明清楚考生知道該分配為指數分配，誤寫為指數函數等不另外扣分。

2. 搞錯被積分函數者扣3分。

3. 上下界搞錯扣1分。

4. 積分的過程如正負號或忘記除以3或多乘以3皆扣1分。

5. 運用Γ函數者需正確使用代換。

(c) 【方法一】由於fX(t) = 3e^−3t, t ≥ 0為指數分配（其λ = 3），因此E (X) = 1 λ² =

1 9。

【方法二】依變異數的定義以及分部積分法計算如下 Var (X) =E (X²) −E²(X)

= ∫

∞ 0

3t²e^−3tdt −1 9 = − ∫

∞ 0

t²de^−3t− 1 9

= − [t²e^−3t∣

∞ 0 − ∫

∞

0 2te^−3tdt] −1 9 =2∫

∞

0 te^−3tdt −1 9

= 2 9−

1 9 =

1 9

【方法三】依定義表達如下

Var (X) =∫

∞

0 (t − E (X))²fX(t) dt

=3∫

∞ 0

(t²− 2t

3 + 1 9)e^−3tdt 利用Γ函數可以將變異數改寫並計算如下

Var (X) = [1 9⋅2! −2

9⋅1! +1

9⋅0!] = 1 9 評分原則同(b)。

8. (15%) 若某無線通訊中心接收到呼叫次數是一個 Poisson 過程且平均每小時接收到 120 次呼叫。試求出以下機率:

(a) (7%)第 1 次接收到呼叫已經超過 3.5 分鐘的機率。

(b) (8%)在 3.5 分鐘之內所接收到的呼叫的次數比 3 次少的機率。

Solution:

(a) λ = 120

60 =2(times/min), and T = 3.5(min), so m = λT = 7(3%) P (k) =m^k

k! e^−m= 7^k

k!e⁻⁷(2%) P (0) = e⁻⁷(2%)

(b) λ =120

60 =2(times/min), and T = 3.5(min), so m = λT = 7(3%) P (k) =m^k

k! e^−m= 7^k

k!e⁻⁷(2%) P (0) + P (1) + P (2) = e⁻⁷+7e⁻⁷+

49 2 e⁻⁷=

65

2 e⁻⁷(3%)