高雄市明誠中學 高三(上)平時測驗 日期：94.03.03 班級 普三 班
範
圍 數學乙線性規劃
座號
姓 名 一、單選題(每題 10 分)
1. 不等式組 在 xy 平面上的圖形為
(A)三個半平面之聯集 (B)一角的內部 (C)三角形內部 (D)三角形外部 (E)無圖形
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
+
>
>
0 1
x y
y x y
【解答】(E)
【詳解】
x > y 與 x + y < 0 之圖形之交集，如圖中角的內部 與 y > 1 之圖形無交集(沒有公共點)
∴ 不等式組 y > 1，x > y，y + x < 0 無圖形
2. 若直線 y = mx + 2 與不等式|x| + |y| ≤ 1 相交，則(複選) (A) m 有最小值 − 2 (B) m 無最大值 (C) − 2 ≤ m ≤ 2 (D) m ≥ 2 或 m ≤ − 2 (E) m ≥ 1 或 m ≤ − 1
【解答】(B)(D)
【詳解】
|x| + |y| ≤ 1 的圖形為一正方形區域
四頂點為(1，0)，(0，1)，(− 1，0)，(0，− 1)，
y = mx + 2 為過點(0，2)，斜率 m 的直線，
此直線過(0，2)與正方形區域相交時 m ≤ − 2 或 m ≥ 2 3. 在坐標平面上，不等式組 y ≤ 2，2x − y ≥ 0，x + y ≥ 0，
5x − y ≤ 18 所圍成的區域 R，(x，y)為 R 上一點，則(複選)
(A) R 是一個三角形區域 (B) R 是一個四邊形區域 (C) x − 2y 的最小值 − 2 (D) x − 2y 的最大值 9 (E) 2x + y 之最大值為 10
【解答】(B)(D)(E)
【詳解】
不等式組 之圖形如右圖斜線部分
為一個四邊形區域（含邊界），頂點為(0，0)，(3，− 3)，
(4，2)，(1，2)，代入
故 x − 2y 之最小值為 0，最大值為 9，
2x + y 之最大值 10
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≤
−
≥ +
≥
−
≤
18 5
0 0 2
2
y x
y x
y x y
4.已知A(3，5)，B(− 1，2)，C(2，1)，P(x，y)為UABC區域內一點，則
(A) x − y之最大值為 1 (B) 2x − y之最小值為 − 2 (C) x2 + y2之最大值為 34 (D) x2 + y2之最小值為 5 (E) 0 ≤
2 1 +
− x
y ≤ 1
【解答】(A)(C)(E)
【詳解】
A(3，5)，B( − 1，2)，C(2，1)為頂點之三角形區域，如右圖 (A) x − y = k平移到點C(2，1)時，k = 2 − 1 = 1 為最大
(B) 2x − y = k平移到點C (2，1)時，k = 3 最大，
過點B( − 1，2)時，k = − 2 − 2 = − 4 最小 (C) x2 + y2表示點(x，y)與(0，0)距離平方，
點A(3，5)與(0，0)距離最大，故x2 + y2 = 34 為最大
(D) x2 + y2之最小值為原點(0，0)到直線BC：x + 3y − 5 = 0 之 距離平方即 2
2 2
| 0 0 5 | 5
( )
1 3 2
+ − =
+ (E) 2
1 +
− x
y 表點( , )x y 與( − 2，1)之斜率由C(2，1)，點B( − 1，2)代入
斜率由 0 增加到 2 1
1 2
+
−
− = 1，即 ≤ 2 1 +
− x
y ≤ 1 二、填充題(每題 10 分)
5.在不等式組 的圖形內，求下列各式的極值，
(1) 2x + 4y的最大值為
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≥
− +
≤
− +
≥
≥
0 2
0 12 2 3
0 0
y x
y x y x
。 (2) x2 + y2的最小值為 。
(3) x2 + y2 + 2x + 4y + 5 的最大值為 。
【解答】(1) 24 (2) 2 (3) 65
【詳解】
的圖形如下
頂點為(2，0)，(4，0)，(0，6)，(0，2) (1) 2x + 4y的最大值為 24
(2) x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
− +
≤
− +
≥
≥
0 2
0 12 2 3
0 0
y x
y x
y
x ，
2 + y2表示點(x，y)與原點(0，0)的距離平方，此距離最小 值為(0，0)到直線x + y − 2 = 0 的距離故x2 + y2之最小值為(
2 2
| 0 0 2 | 1 1 + −
+ )2 = 2 (3) x2 + y2 + 2x + 4y + 5 = (x2 + 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) = (x + 1)2 + (y + 2)2
表示點(x，y)與點( − 1，− 2)距離平方，當(x，y) = (0，6)時，12 + 82 = 65 最大 5
6.設A (2，0)，B(0，3)，若點P(k，− 3)與點Q(4，k)在直線AB的異側，則k值之範圍為 。
【解答】− 3 < k < 4
【詳解】
直線 AB：y = 2 3
− (x − 2) ⇒ 3x + 2y − 6 = 0
令 f (x，y) = 3x + 2y − 6，因 P(k，− 3)，Q(4，k)在直線 AB 的異側
代入 f (x，y)之值異號，即 f (k，− 3)．f (4，k) < 0⇒ (3k − 6 − 6) (12 + 2k − 6) < 0 即(k − 4) (k + 3) < 0，故得 − 3 < k < 4
7.設A(− 1，− 2)，B(5，2)，C(1，2)，則圍成三角形區域之二元一次不等式組為 。
【解答】⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
−
≤
−
≤
−
−
0 2
0 2
0 4 3 2
y x y
y x
【詳解】
直線 AB：y + 2 = 6
4(x + 1) ⇒ 2x − 3y − 4 = 0 直線 BC：y − 2 = 0
直線 CA：y + 2 = 2
4(x + 1) ⇒ 2x − y = 0 UABC 內部在 AB 上方 ⇒ 2x − 3y − 4 ≤ 0 在 BC 下方 ⇒ y − 2 ≤ 0 在 AC 下方 ⇒ 2x − y ≥ 0
8.不等式 所圍形區域內，有
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤ +
<
<
<
<
7 6 0
5 0
y x
y x
個格子點。
【解答】17
【詳解】
(x + y ∈ Z)的圖形為一五邊形，含界線 x + y = 7
不含界線 x = 5 與 y = 6 及 x = 0，y = 0 x = 1 時，y = 1～5，有 5 個
x = 2 時，y = 1～5，有 5 個 x = 3 時，y = 1～4，有 4 個 x = 4 時，y = 1～3，有 3 個
∴ 共有 5 + 5 + 4 + 3 = 17 個
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤ +
<
<
<
<
7 6 0
5 0
y x
y x
9.設S為不等式組x + y ≤ 2，3x + y ≤ 5，x ≥ 0，y ≥ 0 之圖形，若P(3k − 1，k)∈S，則k之範圍 為 。
【解答】3 1≤ k ≤
4 3
【詳解】
∵ P(3k − 1，k)∈S，代入
∴ ⇒
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≥
≥
−
≤ +
−
≤ +
−
0 0 1 3
5 )
1 3 ( 3
2 )
1 3 (
k k
k k
k k
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
≥
≥
≤
≤
0 3 1 5 4 4 3
k k k k
∴ 3 1≤ k ≤
4 3
10.不等式組 所圍成區域之面積為
⎩⎨
⎧
≥ +
−
−
≥
0 6 3
| 2
| y x
x
y 。
【解答】8
【詳解】
∵ y ≥ |x − 2|
當 x ≥ 2 時，
當 x < 2 時， ，
其圖形為角及內部，x − 3y + 6 ≥ 0 表線 x − 3y + 6 = 0 及 其下方，共同部分為如圖斜線部分之三角形區域
∵ 三頂點分別為 A(0，2)，B(2，0)，C(6，4)
故所求區域面積為梯形 OACD 面積 − UOAB 面積 − UBCD 面積 =
2 3 6 y x x y
⎧ ≥ −
⎨ − + ≥
⎩ 0
0 2 3 6
y x
x y
≥ − +
⎧⎨ − + ≥
⎩
2
1(2 + 4) × 6 − 2
1× 2 × 2 − 2
1× 4 × 4 = 18 − 2 − 8 = 8
11.若直線 y = mx − 5 與不等式|x| + |y| ≤ 3 的圖形沒有交點，求 m 之範圍。
【解答】−
3 5< m <
3 5
12.某汽車製造公司有F1及F2兩個工廠，這兩個工廠每天各生產汽車 30 部、40 部。欲將所 生產的汽車運往M1，M2兩個市場銷售，從工廠運往市場每部汽車的運費如下表所示，又 這兩個市場每天的需要量分別為 20 部和 50 部，問應如何輸送，才能使運費最少？
F1 F2
M1 300 元 400 元
M2 400 元 200 元
【解答】F1送 20 部至M1，F1送 10 部至M2，F2送 40 部至M2
13.一五金商有兩工廠，第一廠有產品 40 單位，第二廠有產品 50 單位，該商人自甲、乙兩
鎮接獲訂貨單，甲鎮申購 30 單位，乙鎮申購 40 單位。如果該商人自第一廠運x單位至甲 鎮，運y單位至乙鎮，其餘不夠的由第二廠運出。又第一廠之產品運到甲鎮，每單位運費 為 10 元，至乙鎮為 14 元，第二廠之產品運至甲鎮，每單位運費為 12 元，至乙鎮為 15 元；則
(1) x之範圍為 ；y之範圍為 。 (2) x + y之範圍為 。
(3)全部運費為 元。（以x，y表示之）
(4)若欲全部的運貨最省，則須x = ，y = 。（二格全對才給分）
【解答】(1) 0 ≤ x ≤ 30，0 ≤ y ≤ 40 (2) 20 ≤ x + y ≤ 40 (3) 960 − 2x − y (4) x = 30，y = 10
【詳解】
∵ 自第一廠運 x 單位至甲鎮 ∴ 自第二廠運 30 − x 單位至甲鎮
∵ 自第一廠運 y 單位至乙鎮 ∴ 自第二廠運 40 − y 單位至乙鎮 由題意得不等式組
⇒
∵ 的圖形為五邊形區域
如圖斜線區域，其五頂點為 A(20，0)，B(30，0)，C(30，10)，D(0，40)，E(0，20) 求運費總數 f (x，y) = 10x + 14y + 12(30 − x) + 15(40 − y) = (960 − 2x − y)元
當 x = 30，y = 10 時，f (30，10) = 890 元為最低運費
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≤ +
≤
− +
−
≥
−
≥
≥
−
≥
40
50 ) 40 ( ) 30 (
0 40
0 0 30
0
y x
y x
y y
x x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤ +
≤
≤
≤
≤
≤
40 20
40 0
30 0
y x y x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤ +
≤
≤
≤
≤
≤
40 20
40 0
30 0
y x y x
14.某人有房屋總共 13000 坪，現建造成 A 型房屋每間 40 坪，造價 80 萬元，可賣 110 萬元；
B 型房屋每間60 坪，造價 60 萬元，可賣 80 萬元，此人有資金 17000 萬元，問兩種房屋 如何建造，使得利潤最大？
【解答】A 型 100 間，B 型 150 間，最大利潤 6000 萬元
【詳解】
設 A 型房屋建 x 間，B 型房屋建 y 間，依題意列不等式為
利潤 P = (110 − 80)x + (80 − 60)y = 30x + 20y 依斜率觀察知點(100，150)代入
利潤 P = 30 · 100 + 20 · 150 = 6000 萬元最大即 A 型房屋建 100 間，B 型房屋建 150 間
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤ +
≤ +
≥
≥
17000 60
80
13000 60
40
0 0
y x
y x
y
x ，
15.一農民有田 2 甲，根據他的經驗；若種水稻，則每甲每期產量為 8000 斤；若種花生，
則每甲每期產量為 2000 斤，但水稻成本較高，每甲每期需 24000 元，而花生只要 8000
元，且花生每斤可賣 12 元，稻米每斤可賣 8 元。現在他手頭只能湊足 40000 元，並假 定他只種水稻與花生，試問這位農民對這兩種作物應各種若干，才能得到最大的收益。
【解答】水稻 1.5 甲，花生 0.5 甲，最大收益 68000 元
【詳解】
設水稻 x 甲，花生 y 甲，依題意列不等式
收益 P = 8000 · 8 · x + 2000 · 12 · y = 64000x + 24000y 依斜率觀察知點 P(
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤ +
≤ +
≥
≥
2
40000 8000
24000 0 0 y x
y x
y
x ，
2 3，
2
1)代入 收益 P = 64000 ·
2
3+ 24000 · 2
1 = 68000 元最大
