1[1(1)]1(1) xx ． −−−− 32 y 2 2 a a 2 2 a a

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：97.05.12 班級

範

圍 2-5 二項式定里

座號

姓 名 一、選擇題(每題 10 分)

1. (複選)(1 + x)ⁿ = a0 + a1

x + a

2

x

² + … + an

x

ⁿ，下列何者正確？

(A)若C = C ，則n = 20 (B)若C²⁰_r = C ，則r = 2 (C) a

n 2

n 18

20 18

0 − a1 + a2 − a3 + a4 − … + ( − 1)ⁿ

a

n = 0 (D)

a

0 + 2a1 + 2²

a

2 + … + 2ⁿ

a

n = 3ⁿ (E) a₀ +

2 a

1 + ²₂

2

a

+ … +

a

_nⁿ 2 = (

2 3

)ⁿ

【解答】(A)(C)(D)(E)

【詳解】

(A)若C = C ⇒ n = 2 + 18 = 20 (B)若C = C₁₈²⁰ ⇒ r = 2 或 18 (C)令x = − 1 ⇒ a

n 2

n 18 20 r

0 − a1 + a2 − a3 + a4 − … + ( − 1 )ⁿ

a

_n = 0 (D)令x = 2 ⇒ a0 + 2a1 + 2²

a

₂ + … + 2ⁿ

a

_n = 3ⁿ

(E)令x =

2

1

⇒ a0 +

2 a

1

+ ₂² 2

a + … + a

_nⁿ 2 = (

2 3

)ⁿ

二、填充題( 每題 10 分) 1. (3x − y

3

2 )⁵展開式中，共有 項，其中x⁴

y的係數為 。

【解答】6；− 270

【詳解】

(3x −

y 3

2

)⁵的一般項C (3x)⁵_r ^{5 r−} (

y 3

− 2

)^r中，共H = C = C = 6 項 其中x

2 5

6 5

6 1

4

y項為C (3x)

₁^{5 4} (

y 3

− 2

)¹ = 5 × 3⁴ ×

3

− 2

(x⁴

y) = − 270，x

⁴

y係數為

− 270 2. (x +

x

2

)⁸的展開式中，(1)常數項 = 。 (2) x⁴之係數為 。

【解答】(1)1120 (2)112

【詳解】

(x +

x

2

)⁸ 的一般項

C

⁸_k

x

^{8 − k} (

x

2

)^k =

C

⁸_k2^k

x

^{8 − 2k} (1) 8 − 2k = 0 ⇒ k = 4 ∴ C 2⁸₄ ⁴ = 1120 (2) 8 − 2k = 4 ⇒ k = 2 ∴ C 2⁸₂ ² = 112 3. 試求∑ − 展開式中x

= 10

0

) 1 (

k

x

k ⁵項的係數 。

【解答】− 462

【詳解】 ∑ − = 1 + (1 − x) + (1 − x)

= 10

0

) 1 (

k

x

k ² + (1 − x)³ + … + (1 − x)¹⁰

=1 [1 (1 ) ]¹¹ 1 (1 )

x x

− −

− −

． =

x x

1) 1 ( − ¹¹ +

則原展開式中x⁵項係數 即 (x − 1)¹¹展開式中x⁶之係數 = C¹¹( − 1)⁵ = − 462

4. a

∈ R，設(ax

² −

x

1

)⁵展開式中，x⁴項係數為 270，求

¹

₂

x

項係數為 。

【解答】15

【詳解】

(ax² −

x

1

)⁵的的一般項C⁵_r(ax²)^{5 r−} ( −

x

1

) ^r

= C

_r⁵

( 1) −

^r

a

^5−r

x

^{2(5− −r) r}

= C

_r⁵

( 1) −

^r

a

^5−r

x

^10−3r

，則 = 10a

10 3−

r

= ⇒ =4

r

2

C

₂⁵

( 1) −

²

a

^{3 3}，10a³ = 270 ∴ a = 3 10 3−

r

= − ⇒ =2

r

4，則

¹

₂

x

項係數

C

₄⁵

( 1) 3 −

^{4 1}= 15，所求係數 = 15 5. (3x −

x 9

1

)¹²的展開式中，試求：(1) x²項的係數為 。(2) x⁶項的係數為 。

【解答】(1) 0 (2) 495

【詳解】

(3x −

x

9

1 )¹² = [3x −

9 1

(x) ²

−1

]¹² 的一般項

C

¹²_k (3x)^{12 − k}( −

9 1 x

²

−1

)^k =

C

¹²_k (3)^{12 − k}( −

9

1

)^k

x

^2k

12−3

(1)12 −

2

3 k = 2

⇒ k =

3

20

，但k

∈ N ∴ 沒有此項，即x

²項係數為 0

(2) 12 −

2

3 k = 6

⇒ k = 4，x⁶項係數為C¹²4 ．3⁸( −

9

1

)⁴ = 495

6. 試計算(1.05)¹²的近似值至小數點後一位（第一位四捨五入）之值為 。

【解答】1.8

【詳解】

(1.05)¹² = (1 + 0.05)¹² = C¹²₀ ·1 + C¹²₁ (0.05) + C¹²₂ (0.05)² + C¹²₃ (0.05)³ + … = 1 + 0.6 + 0.165 + 0.0275 + … = 1.7925… 1.8

7. (1 + x + x²)⁵中，x⁴，x⁵之係數分別為a，b，則a = ，b = 。

【解答】45；51

【詳解】

(1 + x + x²)⁵ 的一般項

!

!

!

! 5

r q

p

1^p

x

^q(x²)^r =

!

!

!

! 5

r q

p x

^{2r + q}，其中

p + + = q r 5

(1)⎩⎨⎧

= +

= + +

4 2

5

r q

r q

p p

1 2 3

q

4 2 0

r

0 1 2

∴ x⁴之係數 = a =

! 1

! 4

! 5

+

! 2

! 2

! 5

+

! 2

! 3

!

5

= 5 + 30 + 10 = 45

(2)⎩⎨⎧

= +

= + +

5 2

5

r q

r q

p p

0 1 2

q

5 3 1

r

0 1 2

∴ x⁵之係數 =

! 5

! 5

+

! 3

! 5

+

! 2

! 2

!

5

= 1 + 20 + 30 = 51

8. (x² − 2x +

¹

₂

x

)⁶展開式中的常數項為 。

【解答】260

【詳解】

一般項：

! ! !

! 6

r q

p

(x²)^p(− 2x)^q(

¹

₂

x

)^r=

!

!

! ) 2 (

! 6

r q p

− q

x

2p + q − 2r，p + q + r = 6，p，q，r ∈ N ∪ {0}

當 2p + q − 2r = 0，又p + q + r = 6，

p 0 3 q 4 0 r 2 3

則(p，q，r) = (0，4，2)，(3，0，3)

所求 =

! 2

! 4

) 2 (

!

6 − ⁴ +

! 3

! 3

!

6

= 240 + 20 = 260

9. 級數H³₀+ H + H + … + H 之和為₁^{3 3}_{2 18}³ 。

【解答】1330

【詳解】

H

³₀+ H + H + … + H =₁^{3 3}_{2 18}³

H

₁₈⁴ = C₁₈²¹=

^{21 20 19} 3 2 1

× ×

× ×

= 1330 10. (x + y + z + u)¹⁰展開式中，

(1)所有不同類項共有 項。 (2) x³

y

³

z

²

u

²項的係數為 。 (3) x⁴

y

³

z

³的同型項共有 項。

【解答】(1) 286 (2) 25200 (3) 12

【詳解】

(1)展開式中一般項為

! ! ! !

! 10

d c b

a x

^a

y

^b

z

^c

u

^d，其中a + b + c + d = 10 a，b，c，d為非負整數，故有H = C¹³₁₀= 286 項

(2) x

4 10

3

y

³

z

²

u

²項之係數 =

! 2 ! 2 ! 3 ! 3

!

10

= 25200

(3) x⁴

y

³

z

³的同型項共有C⁴₃×

! 2

!

3

= 12 項

11.(1 + x²) + (1 + x²)² + (1 + x²) ³ + … + (1 + x ²)²⁰的展開式中，x⁶的係數為 。

【解答】5985

【詳解】

原式 =(1 ²)[(1₂ ^{2 20}) 1]

(1 ) 1

x x

x

+ + −

+ − =(1 ²)²¹₂ (1 ²)

x

x

x

− +

+

原式x⁶的係數為(1 + x²)²¹中x⁸的係數C²¹₄ = 5985

12.[(a − 2b)² − 3c]⁵展開式中，a³

b

³

c

²項的係數為 。

【解答】− 14400

【詳解】

[(a − 2b)² − 3c]⁵ =∑ [(a − 2b)

= 5

0 5

k

C

k ²]^5−k．( − 3c)^k

故含有c²的項為C [a − 2b]⁵₂ ⁶( − 3c)² = C⁵₂·9[ ∑ ．a

= 6

0 6

n

C

n ^{6 − n}．( − 2b)ⁿ]c²

故a³

b

³

c

²之項為 9．C ．C ．a⁵₂ ⁶₃ ³．( − 2b)³．c² = 9．C⁵₂．C ．( − 2)₃^{6 3}．a³

b

³

c

² 其係數 = 9．C ．C⁵₂ ⁶₃．( − 2)³ = 9 × 10 × 20 × ( − 8) = − 14400

13.設( 2+ 1)⁵ = a + b 2 ，( 2 − 1)⁵ = c + d 2 ，其中a，b，c，d為整數，則a = ，d = 。

【解答】41；29

【詳解】( 2+ 1)⁵ = ( 2 )⁵ + C (⁵₁ 2 )⁴ + C (⁵₂ 2 )³+ C (⁵₃ 2 )² + C (⁵₄ 2 ) + C⁵₅= 41 + 29 2 ( 2− 1)⁵ = ( 2 )⁵ − C (₁⁵ 2 )⁴ + C (⁵₂ 2 )³ − C (⁵₃ 2 )² + C (⁵₄ 2 ) − C⁵₅= 29 2 − 41

a = 41，d = 29

14.設a為實數，(ax² +

x

1

)⁵展開式中，x⁴的係數為 80，則a = ，係數的最大值為 。

【解答】2；80

【詳解】

設(ax² +

x

1

)⁵展開式中的一般項為C⁵_r(ax²) ^r．(

x

1

) ^{5 − r}= C a ⁵_r ^r

x

^2r．x ^{r − 5} 即 2r + r − 5 = 4，得r = 3，所以係數C a⁵₃ ³ = 80，a³ = 8，a = 2

(2x² +

x

1

)⁵展開式的各項係數分別為 2⁵，5× 2⁴，10 × 2³，10 × 2²，5 × 2，1，最大的係數為 80

15.(1 − 2x + 3x² )³展開式中，x²的係數為 ，x⁴的係數為 。

【解答】21；63

【詳解】

(1 − 2x + 3x² )³展開式中的一般項為

^{3 !}

! ! !

p q r

1^p( − 2x )^q(3x²)^r =

^{3 !}

! ! !

p q r

( − 2)^q3 ^r

x

^{q + 2r} 其中

(1) ，∴

3, 0 , , 3 p + + = q r ≤ p q r ≤

3 2 2

p q r

q r

+ + =

⎧⎨ + =

⎩

p 1 2 q 2 0 r 0 1

，∴ 3 ！

1!2!0! (−2)²(3)⁰ +

^3!

2!0!1!

(−2)⁰ (3)¹ = 21

(2) 3，∴

2 4

p q r

q r

+ + =

⎧⎨ + =

⎩

p 0 1 q 2 0 r 1 2

，∴ 3 ！

0!2!1! (−2)²(3)¹ +

^3!

1!0!2!

(−2)⁰ (3)² = 63 即x²的係數為 21，x⁴的係數為 63

16.以(x − 1)²除x¹¹ − x + 2，其餘式為 。

【解答】10x − 8

【詳解】

x¹¹ − x + 2 = [(x − 1) + 1]¹¹

− x + 2 = C

¹¹₀ (x − 1)¹¹ + … + C¹¹₁₀(x − 1) + C¹¹₁₁

− x + 2

∴ 所求餘式 = C¹¹₁₀(x − 1) + C¹¹₁₁

− x + 2 = 11(x − 1) + 1 − x + 2 = 10x − 8

17.在(2 −

x

3

+ 4x²)⁴之展開式中，

(1)常數項為 。 (2) x³項之係數為 。

【解答】(1) 880 (2) −1152

【詳解】

(2 −

x

3

+ 4x²)⁴展開式中的一般項為

^{4 !}

! ! ! p q r

2^p( −

x

3

)^q(4x²)^r =

^{4 !}

! ! !

p q r

2^p( − 3)^q4 ^r

x

^{− q + 2r} 其中

p + + = q r 4, 0 ≤ p q r , , ≤ 4

(1) ∴

⎩⎨

⎧

= +

−

= + +

0 2

4

r q

r q

p ^{p 4 1} _{q 0 2}

r 0 1

∴ 4

4

！

！ 2⁴ +

1 2 1

4

！

！

！

！ 2．(− 3)²．4 = 880

(2) ∴

⎩⎨

⎧

= +

−

= + +

3 2

4

r q

r q

p ^{p 1} _{q 1}

r 2

∴ 1 1 2 4

！

！

！

！ 2．( − 3)．4² = − 1152

18.若C₅^m= C ，則C + C + C + … + C^m₃ ^m_{0 1}^{m m}₂ ^m_m= 。

【解答】256

【詳解】

若C₅^m= C ，則m = 5 + 3 = 8 ∵ (1 + x)^m₃ ⁸ = C + C⁸₀ ⁸₁

x + C x

⁸₂ ² + … + C x⁸₈ ⁸ 令x = 1 ⇒ C⁸₀+ C₁⁸+ C + … + C⁸₂ ⁸₈= 2⁸ = 256

19.求(2x − 1)⁴(x + 3)⁵展開式中，x⁷項之係數為 。

【解答】984

【詳解】

(2x − 1)⁴的一般項

C

_α⁴(− 1)^4−α(2x)^α；(x + 3)⁵的一般項

C

_β⁵3^5−β

x

^β (2x − 1)⁴(x + 3)⁵展開式中的一般項[

C C

_{α β}^{4 5}(− 1)^4−α2^α3^5−β]x^{α +β}

α

+

β

= 7 ⇒ (

α

，

β

) = (2，5)，(3，4)，(4，3)

∴ C C⁴₂ ⁵₅(− 1)²2²3⁰ + C C (− 1)2₃^{4 5}₄ ³3 + C C⁴₄ ⁵₃(− 1)⁰2⁴3² = 24 − 480 + 1440 = 984 20.(1 + x)(2 + x)(3 + x)．…．(10 + x)展開式中，x⁸項的係數 = 。

【解答】1320

【詳解】

x

⁸的係數為 10 個括號中有 8 個括號取x，另 2 個括號取常數，故其係數為

(1．2 + 1．3 + 1．4 + … + 1．10) + (2．3 + 2．4 + … + 2．10) + (3．4 + 3．5 + … + 3．10) + … + (8．9 + 8．10) + (9．10)

= [(1 + 2 + 3 + … + 10)² − (1² + 2² + … + 10²)] ×

2

1

= (55² −

6

21 11 10 × ×

)

2

1

= 1320

21.以(x − 1)³除(x² − 2x + 2)¹⁰的餘式為何？

【解答】10x² − 20x + 11

【詳解】

(x² − 2x + 2)¹⁰ = [(x − 1)² + 1]¹⁰ =∑ ．[(x − 1)

= 10

0 10

k

C

k ²]^k =∑ (x − 1)

= 10

0 10

k

C

k ^2k

= 1 + C¹⁰₁ (x − 1)² + C¹⁰₂ (x − 1)⁴ + C¹⁰₃ (x − 1)⁶ + … + C¹⁰₁₀(x − 1)²⁰

= 1 + 10(x − 1)² + (x − 1)³[C (x − 1) + C¹⁰₂ ¹⁰₃ (x − 1)³ + … + C¹⁰₁₀(x − 1)¹⁷]

∴ (x − 1)³除(x² − 2x + 2)¹⁰的餘式為 1 + 10(x − 1)² = 10x² − 20x + 11